样条插值

数值分析
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
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余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
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三次样条插值的边界
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构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
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f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
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B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
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样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
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样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
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其解 M 0 = 代入，得
28 38 106 170 , M1 = − , M 3 = ,M4 = 3 3 3 3
38 ( x − 0) 3 28 ( x − 1) 3 S0 ( x) = − × − × 3 6 3 6 38 28 )( x − 0) − (0 − )( x − 1) + (2x 2 + 14 x + 3) 3 1 S1 ( x ) = (24 x 3 − 91x 2 + 108 x − 35) 3 1 S 2 ( x ) = ( − 46 x 3 + 329 x 2 − 732 x + 525) 3
Q M 0 = M3 = 0, 0.6667 ⎞ ⎛ M1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎧M1 = 13.125, ⎛ 2 =⎜ , solve ⎨ ⎜ 0.6667 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ M 2 ⎠ ⎝ −55⎠ ⎝ ⎩M 2 = −31.875.
因此，分段的三次样条插值函数为
⎧ S 0 ( x) = 21.875 x 3 − 72.1875 x 2 + 83.1875 x − 32.875, x ∈ [1.1,1.2] ⎪ S ( x) = ⎨ S1 ( x) = −37.5 x 3 + 141.625 x 2 − 173.3125 x + 69.725, x ∈ [1.2,1.4] ⎪ S ( x) = 53.125 x 3 − 239.0625 x 2 + 359.5625 x − 178.95, x ∈ [1.4,1.5] ⎩ 2
⎧ 1, x > 0 ⎪ 0 x+ = ⎨1 / 2, x = 0 ⎪ 0, x < 0 ⎩
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性质：
1. x+k 有 k-1阶连续导数； 2. x+k 在x=0处k阶导数不存在；
k ⎧ ( x − a ) , 3. ( x − a ) k = ⎨ + ⎩0,
x≥a x<a
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小结
• 多项式插值法，其目的是利用节点上的值，构造通过这些节 点的多项式，从原则上说，利用n+1个节点的值，可以构造n 次多项式，而且这种构造是唯一的！利用待定系数法，将节 点值带入后，得到一个n+1阶线性方程，即可求出多项式。
′′, γ n = 0, β n = 2 yn ′′. α 0 = 0, β 0 = 2 y0
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2. 对于第二种边值条件有：（同上）
yn − yn−1 6 y1 − y0 6 ′ ), γ n = 1, β n = ( yn ′− α 0 = 1, β 0 = ( − y0 ) h1 h1 h1 hn
y1 − y0 yn − yn−1 h1 6 ,γ n = 1 − αn , βn = ( ) αn = − h1 + hn h1 + hn h1 hn
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已知函数表 j xj yj 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 16
求 边 界 条 件 y ′(0)= 1,y ′(3)= 0 的 三 次 样 条 插值公式。 解：用三弯矩方程求解。 由 已 知 ， h0 = h1 = h 2 = 1。
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样条函数的定义：对于区间[a, b]上的一个分划 π：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b 如果函数s(x)满足条件 （1）s(x)在每个子区间[xi, xi+1] (i=0,1,…,n-1)上是次数不高于k 的多项式, （2）s(x)在区间[a, b]上有k-1阶连续导数， 则称s(x)是定义在[a, b]上对应于分划π的k次多项式样条函数 （简称k次样条）。x0, x1, …, xn 称为样条节点，其中x1, …, xn称为内节点，x0 和xn 称为边界节点。 • 样条插值是分段低次插值函数； • 实际应用中常取k=3，即三次样条函数。
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方程组的系数及右端项为 j
γj
αj
βj
0 1 6 1 1/ 2 1/ 2 −3 2 1/ 2 1/ 2 36 3 1 −78 代入得方程组 1 0 0 ⎞⎛ M0 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ 1/ 2 2 1/ 2 0 3 − 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ =⎜ ⎜ 0 1/ 2 2 1/ 2 ⎟ ⎜ M 2 ⎟ ⎜ 36 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 0 1 2 ⎠ ⎝ M 3 ⎠ ⎝ −78 ⎠ ⎝ 0
3. 对于第三种边值条件有：
⎡ 2 α1 ⎢γ 2 α2 ⎢ 2 ⎢ O O ⎢ O ⎢ ⎢ ⎢ ⎣α n
γ1
O O
γ n−1
O 2
γn
⎤ ⎡ M 1 ⎤ ⎡ β1 ⎤ ⎥⎢ M ⎥ ⎢ β ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M⎥ α n−1 ⎥ ⎢ M n−1 ⎥ ⎢ β n−1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ 2 ⎦ ⎣ M n ⎦ ⎣ βn ⎦
三弯矩法求三次样条插值函
选取s(x)在插值节点的二阶导数为待定参数来列方程组（称为三弯矩 法）求解s(x)在每个小区间的待定系数。 1. 对于第一种边值条件有：
⎡ 2 α0 ⎤ ⎡ M 0 ⎤ ⎡ β0 ⎤ ⎢γ ⎥⎢ M ⎥ ⎢ β ⎥ 2 α 1 ⎢ 1 ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M⎥ O O O ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ O O O ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M⎥ ⎢ γ n−1 2 α n−1 ⎥ ⎢ M n−1 ⎥ ⎢ β n−1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ γn 2 ⎦ ⎣ M n ⎦ ⎣ βn ⎦ ⎣
x ∈ [0,1] x ∈ [1, 2] x ∈ [2, 3]
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例 已知离散点: (1.1, 0.4000), (1.2, 0.8000), (1.4, 1.6500), (1.5, 1.8000), 取自然边界条件 M0 = Mn = 0, 构 造三次样条插值函数，并计算 f(1.25). 解 n = 3. ∵ h0= x1- x0 = 0.1, h1= 0.2, h2=0.1,
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
Email: numerical_analysis@ Password:buaa2015 答疑时间：星期一下午15:00－17:00 答疑地点：双周：西配楼519室， 单周：主南307
朱立永
数值分析
第五章插值与逼近
第十六讲
样条插值
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代数插值
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• Lagrange公式的构造思想非常重要！后面的埃尔米特公 式出发点也是利用了这一点。
• 如果节点上不仅已知函数值，同时还已知函数的导数 即要求插值多项式在节点上与函数具有相同的函数值和 数值，这时要用埃尔米特公式。
• 高次插值有时会引起较大误差，对此，解决的方案是分 低次插值。如果对插值多项式要求较好的光滑性，这时 需要进行样条函数插值。
• 为便于在计算机上实现，引入了Lagrange插值公式和牛顿插 值公式，各有千秋， Lagrange插值公式便于理解和记忆， 顿公式便于计算机计算。但必须指出的是，不管用什么方法 插值，所得到的插值公式实际上是完全一样的，包括上面所 说的待定系数法，这就是插值公式唯一性。唯一性的一个直 接推论就是各种插值公式的余项完全一样，都是Lagrange余 项。