西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3

λ − 1 −1 0 ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ (2) 当 a = 0 时, A = 1 1 0 则 λ E − A = −1 λ − 1 0 = (λ − 2)2 λ ⎜ ⎟ ⎜0 0 2⎟ λ −2 0 0 ⎝ ⎠
故 A 的特征值 λ1 = 2 (二重),
λ2 = 0
当 λ1 = 2 时，由 ( λ1 E − A ) X = 0 得线性无关的特征向量为
试 题 三
一、 填空题（每小题 4 分，共 32 分）
（考试时间：120 分钟）
1．若 n 阶方阵 A 的特征值为 0,1, 2,L , n − 1 ，且方阵 B 与 A 相似，则 B + E = 2．设 A = ⎜
x −1 ⎛ 1 −2 ⎞ ，则 g ( A) = ⎟ , g ( x) = −3 x + 2 ⎝0 1 ⎠
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
（１） 当 a ≠ 2 时， r ( A ) = r A = 4 ，方程组有唯一解；
记 Q = (η1，η2，η3 ) ,则 Q 为正交矩阵.
2 2 令 X = QY 则有 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 y1 + 2 y2
六．解：对矩阵方程 A BA = 6 A + BA 两端右乘 A 得
−1
−1
A−1 B = 6 E + B ．故 B = 6 A + AB
则
−1
−1
⎛1 ⎜ 3 A=⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝
七、 （12 分） （选做一题）
0 1 4
0
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. ⎟ 1 ⎟ ⎟ 7⎠
（1）设向量组 α1 , α 2 ,L , α r 是线性方程组 AX = 0 的基础解系，向量 β 满足 Aβ ≠ 0 . 证明：向量组 β + α1 , β + α 2 ,L , β + α r , β 线性无关。 （2） 已知向量组 α 1 , α 2 , L, α k ( k ≥ 3) 线性无关， 试讨论向量组 α 1 + α 2 , α 2 + α 3 ,L, α k + α 1 的线性相关性.
由题设 α1 , α 2 ,...., α k
(k ≥ 3) 线性无关知
⎧l1 + lk = 0 ⎪l + l = 0 1 2 ⎪ ⎪ ⎨l2 + l3 = 0 ⎪K ⎪ ⎪ ⎩lk −1 + lk = 0
考虑这个一次线性方程组的系数矩阵 A 的行列式的值
1 0 0 1 1 0 0 1 1 A= L L L 0 0 0 0 0 0
试题三参考答案
一．填空题
1. n !
⎛ 0 −8 ⎞ 2． ⎜ ⎟ ⎝0 0 ⎠
７．２
３． (1,1, 2 )
T
４． − 2 < t <
2
⎛ 2 −1 −1⎞ ⎜ ⎟ ５． 2 −2 −1 ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠
６． E
８．６
n(n + 1) n +1 ( n + 1) ! 二 解 Dn = ( −1) ( n − 1)! （或 ( -1) 2 2
8．设
α , β , γ 为 3 维 列 向 量 ， 记 矩 阵 A = (α , β , γ ) , B = (α + β , β + γ , γ + α ) ， 若
.
A = 3, 则 B =
二、 （10 分）计算 n 阶行列式的值
1
2 2
3 0 −2 0
1 −1
Dn = 0
L n −1Hale Waihona Puke BaiduL 0
0
( )
⎛1 ⎜ 0 A2 → ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 0 −8 ⎞ ⎟ 1 2 0 3 ⎟ 0 0 1 2 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎠
T T
得基础解系为 α1 = ( 0, −2,1, 0 ) ，特解 η0 = ( −8,3,1, 2 ) ， 故通解为 η = kα1 + η0 （ k 为任意常数） ．
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
解得： a = −3, b = 0,
⎧λ − 2 + 1 + 2 = 0 ⎪ 即 ⎨−5 + λ − a + 3 = 0 ⎪1 − b − λ − 2 = 0 ⎩
λ = −1 ．
⎛ 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 得 (2) 由 A = 5 −3 3 λ E − A = (λ + 1)3 ， ⎜ ⎟ ⎜ −1 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠
β + α1 , β + α 2 ,....., β + α r , β 线性无关．
(2) 设 l1 (α1 + α 2 ) + l2 (α 2 + α 3 ) + ...... + lk (α k + α1 ) = 0 则有 (l1 + lk )α1 + (l1 + l2 )α 2 + (l2 + l3 )α 3 + ... + (lk −1 + lk )α k = 0
即 ( E − A) B = 6 A
⎛2 ⎜3 ⎜ −1 B = 6( E − A) A = 6 ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝
0 3 4 0
⎞ ⎛3 0⎟ ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ 0 A ＝ 6⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ ⎜0 7⎟ ⎝ ⎠
0 4 3 0
⎞⎛ 1 0 ⎟⎜ 3 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎜ 7 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 6 ⎠⎝
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ −1 5． 设矩阵 A = 1 −1 0 ，则 A = ⎜ ⎟ ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠
6． 设 n 维行向量 α = ( ,0， L，， 0 ) ，矩阵 A = E − α 阵，则 AB = .
1 2
1 2
T
α , B = E + 2α T α ，其中 E 为 n 阶单位
⎛ 1 0 2⎞ ⎜ ⎟ 7．设 A 是 4 × 3 阶矩阵，且 A 的秩 r ( A) = 2 ，而 B = ⎜ 0 2 0 ⎟ ，则 r ( AB ) = ⎜ − 1 0 3⎟ ⎝ ⎠
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
四 解：(1) 设 ξ 所对应的特征值为 λ ，由 Aξ = λξ ， 即 ( λ E − A ) ξ = 0 得：
1 −2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛λ − 2 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −5 λ − a −3 ⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ． ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ −b λ + 2 ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ −1⎠ ⎝ 0 ⎠
0 1 4 0
⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 1⎟ 7⎟ ⎠
⎛ 3 0 0⎞ ⎜ ⎟ = 0 2 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
七． （1） 证明：考察 k1 (α1 + β ) + k2 (α 2 + β ) + ...... + kr (α r + β ) + k β = 0 即 k1α1 + k2α 2 + ...... + krα r + ( k1 + k2 + ... + kr + k ) β = 0 对（ ∗ ）式两端左乘 A ，且由题设 Aα i = 0 （∗ ）
无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解的情况下，求其通解.
⎛ 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 四、 （12 分） 设 ξ = (1,1, − 1) 是矩阵 A = 5 a 3 ⎟ 的一个特征向量.（1）试确定参数 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ −1 b −2 ⎠
T
a, b 及特征向量 ξ 所对应的特征值；
（2）问 A 能否相似于对角阵，试说明理由. 五、 （12 分）已知二次型
当 k 为奇数时， A = 2 ≠ 0 ，方程组只有零解， 当 k 为偶数时， A = 0 ，方程组有非零解． 故 当 k 为奇数时， α1 + α 2 , α 2 + α 3 ,......, α k + α1 线性无关； 当 k 为偶数时， α1 + α 2 , α 2 + α 3 ,......, α k + α1 线性相关．
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2 的秩为 2
（1） 求 a 的值; （2）求正交变换 X = QY , 把 f ( x1 , x2 , x3 ) 化成标准形.
六、 （ 10 分 ） 设 3 阶 方 阵 A , B 满足关系式 A BA = 6 A + BA , , 求 矩 阵 B . 其 中
k +1
L 0 0 1 L 0 0 0 L 0 0 0 L L L L L L 1 0 1 1 0 1
k ×k
1
＝ 1× 1
k −1
1
0
L
0
0
+ (−1)
k +1
0 1 1 L 0 0 L L L L L L 0 0 0 L 1 1 0 0 0 L 0 1 ( k −1)×( k −1)
＝１＋ ( −1)
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
( )
1 1 0 0
⎛1 ⎜ 0 （２） 当 a = 2 时， A1 → ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
2 3 2 −1 0 1 0 0
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A2 2 ⎟ ⎟ b − 1⎟ ⎠
1o ．若 a = 2 且 b ≠ 1 时， r ( A ) = 3 < 4 = r A ，方程组无解； 2o ．若 a = 2且b ≠ 1 时，则
T T T 3
.
3. 向量 α1 = (1,1, 0) , α 2 = (0,1,1) , α 3 = (1,1,1) 是 R 的一组基，则向量 ξ = (3 , 4 ,3) 在该
T
基下的坐标为
.
2 2 2
4． 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + x2 + x3 + 2 x1 x2 + tx2 x3 是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围 是 .
(i = 1, 2,...., r ) 得
( k1 + k2 + ... + kr + k ) Aβ = 0
而 Aβ ≠ 0 ，故 k1 + k2 + ... + k r + k ＝０ 代入（ ∗ ）式得
k1α1 + k2α 2 + ...... + krα r = 0
又因为 α1 , α 2 ,....., α r 是 AX = 0 的基础解系， 从而有 k1 = k2 = ... = kr = 0 即 故k = 0．
T
量只含一个解向量，不等于 λ1 的重数３，故 A 不可对角化．
⎛1 − a 1 + a 0 ⎞ ⎜ ⎟ 五 解：(1) 二次型 f 所对应的矩阵 A = 1 + a 1 − a 0 由 f 的秩为 2 知 r ( A) =2. ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 2 ⎝ ⎠
所以有
1− a 1+ a = −4a =0，得 a = 0 ． 1+ a 1− a