反函数的八个性质及应用

反函数的八个性质及应用

浙江周宇美

反函数是函数一章中的重要内容，在历年的高考数学试题和各地的模拟试题中与反函数有关的问题频频出现，且大多是小巧灵活的客观性试题．许多学生在解答这些问题时小题大作，耗时费力，隐含潜在失分的危险．为便于同学们复习、巩固、解决好这类问题，下面给出由反函数的概念得到的几个性质，再举例分类解析，供参考．

一、反函数的八个性质

⑴原象与象的唯一互对性

设函数f(x)存在反函数1

f-(x)，若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域为C中的元素b，则它的反函数f－1(x)恰好将值域C中的元素b

f-(b)＝a．

唯一还原成A中的元素a，即f(a)＝b⇔1

⑵定义域与值域的互换性

f-(x)的定义域若函数f(x)的定义域为A，值域为C，则它的反函数1

为C，值域为A，即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域

⑶图象的对称性

在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x 对称，反之亦然．

⑷奇偶性

f-(x)(x∈C)奇函数y＝f(x)(x∈A)若存在反函数，则它的反函数y＝1

也是奇函数．定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数．

⑸单调性

若函数y ＝f (x )(x ∈A )是单调函数，则它的反函数y ＝1f -(x )(x ∈C )也是单调函数，且它们的单调性相同．

⑹ 对应法则互逆性

即有①1f -[f (x )]＝x ，x ∈A ，A 是f (x )的定义域；

②f [1f -(x )]＝x ，x ∈C ，C 是f (x )的值域．

⑺ 交点性质

函数y ＝f (x )与其反函数y ＝1f -(x )的图象交点，或者在直线y ＝x 上；或者关于直线y ＝x 对称．

当函数y ＝f (x )是单调增函数，则函数y ＝f (x )与它的反函数y ＝1f -(x )的图象的交点必定在直线y ＝x 上．

⑻ 自反函数性质

①函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是f [f (x )]＝x ．

②函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是它自身的图象关于直线y ＝x 对称．

二、性质的应用举例

例1 函数),1(,11ln

+∞∈-+=x x x y 的反函数（ ） (A) ),0(,11+∞∈+-=x e e y x x (B) ),0(,1

1+∞∈-+=x e e y x x (C) )0,(,11-∞∈+-=x e e y x x (D) )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 解析：本题无需利用求反函数的三步曲：反解——互换——表定义域，只要利用互为反函数的定义域和值域互换性即可．由x ∈(1，＋∞)，得y ＝ln 11x x +-＝ln(1＋21

x -)≥0，得反函数的定义域为(0，＋∞)，排除(C)、(D)，且反函数的值域为(1，＋∞)，故选(B)．

例2 若f (x )与其反函数1f -(x )是同一个一次函数y ＝ax ＋b ，求a 和b

的值．

解：由f (x )为自反函数，据性质有f [f (x )]＝x ，即

a 2

x ＋ab ＋b ＝x ，得210a ab b ⎧=⎨+=⎩，

解得a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ∈R ．

例3 已知点(1，2)在函数f (x )

＝的图象上，又在它的反函数图象上，求f (x )的解析式．

解：互为反函数的互对性，知点(1，2)，(2，1)都在f (x )的图象上，

∴

21

==，解得a ＝－1，b ＝7．

∴ f (x )

＝x ≤73

)． 例4已知f (x )＝－31x 2＋43

(x ≤0)，求函数f (x )与它的反函数1f -(x )的图象的交点．

解：∵ f (x ) ＝－31x 2＋43

在(－∞，0]上是单调增函数，故f (x )与 1f -(x )的图象交点必在y ＝x 上，即

21433y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩

，解得(－4，－4)． 例5 已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝1f -(x )的图象是( 解：综合运用上述性质几乎无需动笔即可完成解答：由原函数易知

(A)(B)(C)(D)

1f -(x )的定义域为R ＋,从而否定(A)、(B)两项．又∵f (0)＝31，∴1f -(31)＝0，故选(D)．