平面直角坐标系中有关计算的问题

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（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF∥BD
交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；
若不能，请说明理由；（注：要分类讨论；E
（1，2）或（
1+
17 2
，3+
17 2
）或（
1-
17 2
∴
2= 2 4+y 2+1 2=2
，解得，xy==-11．
若以 BC 为对角线，AB，AC 为邻边构成平行四边形，则 AD，BC 的中点重合
∴ -212+2+yx==41+22+13，解得，xy==53．
若以 AC 为对角线，AB，BC 为邻边构成平行四边形，则 BD，AC 的中点重合
3+x -1+1
y ·A（1，5）
角度进行考查，会有一部分同学不习惯，无从下手．启示平 时学习要注意发散思考，教师组织教学时多注意变式教学，
·B′ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3，1）
突破思维定势．关于距离和的最小值结论需要根据三角形的
O ·M
x
B
（3，－1）
5
任意两边之和大于第三边理解，而象此题这样的关于距离差 的最大值结论需要根据三角形的任意两边之差小于第三边来理解．
2、【解析】如下图所示，取 B（3，－1）关于 x 轴的对称点为 B′，则 B′的坐标为（3， 1）．作直线 AB，它与 x 轴的交点即为所求的点 M．使用待定系数法求得直线 AB 的解析式
为 y＝－2x＋7，令 y＝0，得－2x＋7＝0，解得 x＝ 7 ，所以点 M 的坐标为（ 7 ，0）．
2
2
【点评】此题属于最值类问题，将平面直角坐标系、对称点、 轴对称、一次函数等知识糅合在一起考查．这类问题中，以 往考查较多的是到两定点的距离和最大，而此题从距离差的
∴D1E1= D1C1= ， ∴D1E1=B2E2= ， ∴cos30°=
=
，
解得：B2C2= ，
∴B3E4= ， cos30°=
，
解得：B3C3= ，
则 WC3= ， 根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°， ∴WQ= × = ，
FW=WA3•cos30°= × = ，
⑤当 AB 不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，AB= x2 x1 2 y2 y1 2
△⑥平面直角坐标系中，点到直线的距离:
已知点 P（ x 0， y 0）、直线 L： Ax By C 0 ，
y B2
B(x2,y2)
则点 P（ x 0， y 0）到直线 L： Ax By C 0 的
的坐标分别是（ ）
A．M(5，0)，N(8，4)
B．M(4，0)，N(8，4)
C．M(5，0)，N(7，4)
D．M(4，0)，N(7，4)
7、若点 A（m－3，1－3m）在第三象限，则 m 的取值范围是
.
1
◆例题精讲
例 1、如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标
平面直角坐标系中有关计算的问题
◆知识讲解
①点 P（a，b）到 x 轴的距离为
，到 y 轴距离为
，到原点距离为
。
②点 P（a，b）：若点 P 在 x 轴上 a 为任意实数，b=
；
若点 P 在 y 轴上 a=
，b 为任意实数；
若点 P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上 a=
；
若点 P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上 a=
则点 A3 到 x 轴的距离是：FW+WQ= + =
，
故选：D．
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出 B3C3 的长是解题关键．
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d 距 离公式为
Ax0 By0 C
A2 B2
△⑦平面直角坐标系中，两平行线之间的距离:
A(x1,y1) A2
A1 O
C
x B1
两条平行直线 l1：Ax By C1 0 l2：Ax By C2 0
之间的距离是
d
C1 C2 A2 B2
⑧若直线 y k1x b1 与直线 y k2 x b2 平行时， k1 k2 ；若直线 y k1x b1 与直线
【运用】 （1）如图，矩形 ONEF 的对角线交于点 M，ON、OF 分别在 x 轴和 y 轴上，O 为坐标原
点，点 E 的坐标为（4，3），则点 M 的坐标为______；
（2）在直角坐标系中，有 A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点 D 与点 A、B、C 构成平行四边形的顶点，求点 D 的坐标．
。
③A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B 关于 x 轴对称 x1=
，y1=
；
A、B 关于的 y 轴对称 x1=
，y1=
；
A、B 关于原点对称 x1=
，y1=
；
④AB∥x 轴 y1=y2 且 x1≠x2；AB∥y 轴 x1=x2 且 y1≠y2（A，B 表示两个不同的点）．
当 AB 平行于 x 轴时，AB=|x2－x1|； 当 AB 平行于 y 轴时，AB=|y2－y1|；
，3-
17 2
）。）
（4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个
动点，求△APC 的面积的最大值．（ 27 ） 8
◆发散思维
3
1、求函数 y= x2 1 x2 4x 8 的最小值.
2、已知点 A（1，5），B（3，－1），点 M 在 x 轴上，当 AM－BM 最大时，点 M 的坐标为 .
y k2 x b2 垂直时， k1 k2 1 。
◆课前热身
1、点 A（-2,-3）到 x 轴的距离是
，到 y 轴的距离是
。
2、若点 P 在第三象限且到 x 轴的距离为 2 ,到 y 轴的距离为 5,则点 P 的坐标是
。
3、已知点M (3，b), N (a,5) :
(1)若点M、N两点都在第一、三象限角平分线上，则a ___,b ___
4
A．
B．
C．
D．
例 2、【答案】解：（1）∵四边形 O NEF 是矩形， ∴点 M 是 OE 的中点． ∵O（0，0），E（4，3），
∴点 M 的坐标为（2，32）．
（2）设点 D 的坐标为（x，y）． 若以 AB 为对角线，AC，BC 为邻边构成平行四边形，则 AB，CD 的中点重合
1+x -1+3
◆课后作业
1、已知 A，B，C，D 点的坐标如图 1 所示，E 是图中两条虚线的交点，若△ABC 和△ADE 相似，则 E 点的坐标为_______．
2、如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为(1，0)，
(3，0)，过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB，AC 交于点 M，N，若 OM＝MN，
◆巩固练习 1、在平面直角坐标系中,坐标轴上到点 A(6,-8)的距离等于10的点共有( )
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2、已知在平面直角坐标系中，点 P（1-a,2a+5)到两坐标轴的距离相等，求 a 的值并确定
点 P 的坐标。
3、已知平面直角坐标系中点 A(0,-3)，点 B 与点 A 在同一坐标轴上，且|AB|=8， 求点 B 的坐标
∴
2= 2 12+y=2+24
，解得，xy==-53．
综上可知，点 D 的坐标为（1，-1）或（5，3）或 （-3，5）． 发散思维【答案】1、解：函数的解析式可化为
x2 1 x2 4x 8 = x 02 0 12 x 22 0 22
令 A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在 x 轴上求一点 P(x，0)，使得|PA|+|PB| 取最小值.
(2)若点M、N两点都在第二、四象限角平分线上，则a ___,b ___ 4、点 A 在 x 轴上,距离原点 4 个单位长度,则 A 点的坐标是 _______________。
5、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是
。
6、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 MNPO 的顶点 P 坐标是（3，4），则顶点 M、N
◆课后作业答案：2、(54，
3 4)
3、分 析：
利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出 D1E1=B2E2=
，B2C2=
，进而得出
B3C3= ，求出 WQ= × = ，FW=WA3•cos30°= × = ，即可得出答案．
解答： 解：过小正方形的一个顶点 W 作 FQ⊥x 轴于点 Q，过点 A3F⊥FQ 于点 F， ∵正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°，
则点 M 的坐标为______________．
y
M
A
N M
OB M
Cx
3、已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y 轴 上，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上．若正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°， B1C1∥B2C2∥B3C3，则点 A3 到 x 轴的距离是（ ）
2
◆拓展提高 例 3、如图，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A（﹣1，0），C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N．其顶点为 D．
（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； y x2 2x 3; y x 1