南京大学2004量子力学考研真题
量子力学经典题目及解答
8 a1
a2
a3
2 a1
a2
a3
第一章
补充：1.设 1 af1(x)ei(x和t) 2 bf2 (x)ei分(x别t表) 示
微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 1 2
时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2为实函数。 解： 2 1 2 2 af1ei( xt) 2 bf2ei( xt) 2
n1
x
2
， px
h
x
n1h , 2a1
同理， py n2h / 2a2, pz n3h / 2a3 n1, n2, n3 1, 2,3
E
p2
2
1
2
(
px2
py2
pz2 )
h2
2
(
n1 2a1
)2
( n2 2a2
)2
( n3 2a3
)2
E h2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ] 2 2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ]
1
hv kT
1 c2
v T
d
c1v3dv ec2v/T 1
c1v3dv c2v /T
c1 c2
Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En
解： 角动量量子化条件，
es2 r2
Ln
v2
r
rnv
(向心力)
(1) （2）
r * (2) :
es2
(v2
)
(1)
(
的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后, k，可由(15)
得 2.8出分对子应间的的能范级德瓦E。n耳斯力所产生的势能可以近似的表示为
汇总高校量子力学考研试题
汇总⾼校量⼦⼒学考研试题习题1⼀、填空题1．玻尔的量⼦化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归⼀化波函数，粒⼦在⽅向、⽴体⾓内出现的⼏率为，在半径为，厚度为的球壳内粒⼦出现的⼏率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．⾃由粒⼦体系，__________守恒；中⼼⼒场中运动的粒⼦___________守恒。
9．⼒学量算符应满⾜的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归⼀化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两⼒学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的⼒学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量⼦⼒学中，原⼦的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原⼦的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量⼒学量有确定的值，则⼒学量算符与态⽮量的关系为__________。
20．⼒学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
南京大学2004年哲学综合专业课考研真题试卷
南京大学2004年哲学综合专业课考研真题试卷
311哲学综合
一、简述题
1、马克思主义哲学创立的理论前提是什么？
2、“社会一旦有技术上的需要，比十所大学更能把科学推向前进”，谈谈你对这句话的认识。
3、“我们突破前人，前人也突破我们”，运用认识论原理说明你
的认识。
二、思考题
1、马克思，恩格斯在《德意志形态》中，实际上和对--实践的唯
物主义者，革命化实际反对和改变事物现状，用马克思主义哲学
谈谈对马克思主义哲学基本精神的理解。
2、真理是政治权力的运行规则，金钱的游戏规则等联系在一起的，所以走上真理观上的相对主义，所以试比较马克思主义真理相对性。
三、简答题
1、如何理解“观察渗透理论”？
2、创造性思维的特点与作用？
四、论述题
1、论述自然辩证法的创立发展反映了科学技术发展的历史必然性。
2、论述如何正确协调人与自然的关系
3、科学发展有哪些形式？如何评价西方科学哲学中的科学发展模式？
418科学思想史
一、简述题
1、简述热二律与进化的矛盾，如何认识？
2、如何理解毕达哥拉斯学派在西方科学思想史上的地位？
3、简述笛卡儿派与牛顿派的争论？
二、论述题
1、论述量子力学思想发展的基本体系。
2、论述科学史对理解两种文化的关系有何意义？
3、论述科学与技术联系、区别、相互联系。
4、论述从科学技术是第一生产力到知识经济到历史必然性。
5、论述网络与社会的关系及其对人的影响作用。
6、从科学技术哲学角度对“新型工业化”的理解。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
南京大学2000年量子力学专业课考研真题试卷
南京大学2000年量子力学专业课考研真题试卷
一.一维谐振子处在状态,,求:
(1)势能的平均值(7分)
(2)动能的几率分布函数(7分)
(3)动能的平均值(7分)
提示:
二.质量为m的粒子在一维势场中运动，求,
(1)决定束缚态能级的方程式(15分)
(2)至少存在一个束缚态的条件(5分)
三.质量为m的粒子在一维势场中运动,其中是小的实常数，试用微扰论求准到一次方的基态能量.(20分)
四.两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量，求的能量本征值和相应的简并度.(20分)
五．
(1)设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场中,不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的分裂情况.(10分)
(2)如果沿z方向不仅有均匀静磁场,还有均匀静电场,再用微扰论求n=2能级的分裂情况.(9分)。
量子力学统考真题答案解析
量子力学统考真题答案解析近年来，量子力学成为物理学领域研究的热点，其在现代科技中的应用也越发广泛。
因此，掌握量子力学相关知识成为了很多学生的目标。
本文将对一些量子力学统考真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
真题一：在泊松括号的定义中，以下哪个性质是正确的？A. 反对称性B. 可加性C. 分配律D. 结合律答案解析：泊松括号的正确性质是反对称性，即对于量子力学中的两个算符A和B，其泊松括号满足{A, B} = -{B, A}。
可加性、分配律和结合律均不是泊松括号的性质。
真题二：以下哪个选项是描述薛定谔方程解的最准确的描述？A. 波函数是一种物理量B. 波函数是一种运动学参数C. 波函数描述了粒子的运动状态D. 波函数描述了粒子的位置答案解析：准确描述薛定谔方程解的选项是C，即波函数描述了粒子的运动状态。
量子力学中的波函数是对粒子运动状态的描述，可以通过求解薛定谔方程得到。
真题三：以下哪个选项是正确的？对于一个哈密顿量H，若其本征态满足ψ = Cψ，其中C为常数，则A. H是没有本征值的。
B. ψ是H的本征态。
C. ψ是H的本征值。
D. ψ不是H的本征态。
答案解析：本题要求判断给定情况下的哈密顿量H与其本征态之间的关系。
根据题目中给出的条件，可以得出结论：ψ是H的本征态。
因为薛定谔方程的解包含了波函数和能量本征值，ψ满足薛定谔方程，因此可以认为ψ是H的本征态。
真题四：以下哪个量是角动量算符的一个本征值？A. 平动动量B. 能量C. 电荷D. 波长答案解析：角动量算符的一个本征值是角动量，选项A的平动动量与角动量概念不同，选项B的能量与角动量没有直接关系，选项C的电荷也与角动量无关，只有选项D的波长与角动量有一定关系，因此答案选D。
通过以上对量子力学统考真题的答案解析，希望可以帮助读者更好地理解量子力学知识。
量子力学是一门复杂而且深奥的学科，需要持续的学习和思考。
只有通过理论的学习和实践的应用，我们才能真正掌握量子力学的精髓，为科学技术的发展做出贡献。
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:量子力学的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含南师大物理学专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含南师大考研专业课量子力学各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据南师量子力学各专业考试科目的考试题型（简答题、计算题、证明题、综合题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析：最新真题是南师考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的南师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 未来考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵南师大考研的核心要旨。
part 5 南师大考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列南师大考研专业课量子力学的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓南师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、南师大历年真题与答案详解：整理南师大该科目的1997-2018年考研真题，并配有2010-2018年真题答案详解，本部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
量子力学4
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学一、 一维自由粒子的状态由波函数()kx kx x cos 21sin2+=ψ描述。
求粒子的动量平均值和动能平均值。
（20分）二、 粒子被约束在半径为r 的圆周上运动1） 设立“路障”进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动，即()⎩⎨⎧<<∞<<=πϕϕϕϕϕ2,0,000V ，求解粒子的能量本征值和本征函数；2） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？（20分）提示：在柱坐标系下22222211zuu u u ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕρρρρρ 三、 设算符ˆˆˆN a a +=且ˆˆ,1a a +⎡⎤=⎣⎦，证明：如果ψ是N ˆ的本征函数，对应的本征值为λ，那么，波函数ψ=ψa ˆ1也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1-λ，而波函数ψ=ψ+a ˆ2也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1+λ。
（20分）四、 一个粒子在二维无限深势阱()⎩⎨⎧∞<<=elsewhere ay x x V ,,0,0中运动，设加上微扰xy H λ=1()a y x <<,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）五、 若电子处于z S ˆ的本征态，试证在此态中，y S ˆ取值为2 -或2的几率各为21。
（20分）南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为μ的粒子处于一维谐振子势()2212Vx x μω=中运动，ω为谐振子的本征振动频率。
如果0t =时，该粒子处于态()()()021,03x x c x ψψψ=+，其中()0x ψ和()2x ψ分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c 为待定常数且0c >。
1） 根据归一化条件，求待定常数c ；（5分） 2） 求t 时刻粒子所处的状态(),x t ψ；（5分）3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； （10分） 4） 求粒子能量的平均值； （5分）5） 若在t τ=时刻，粒子所处的势场突然变为()'2213Vx x μω=，求粒子在τ时刻处于新的势场 ()'Vx 的第一激发态的几率。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
峪F黢 嘁ing
参 C)haptcΓ 1 0ri胥 :ins OfQuantum Physics
α1apter2 M【rtthcmatic1b()ls OfQ11ar、 tt1mλ4ec丨】anics Chaptcr3 POstulatcs OfQuantulvl人丌cchani(;s
C∷haptcr4 ()haptcr5
j的
本
^=o^不
征值 和本和f函
数
。
学 (b)在 宏农象巾,求 箅符
ε的铡i阵 表示 ,以 及 月的本 征竹 和l本 征 函数 。
)供ε 奋兀二砷 · ⑹ 求从 ⒔农象到 捻表象^的和幺i∷ 变换知阵。
(;罗
:(∶
彳a艹 ￡甫:口
″ι
w
厶 \ 丿
叫
+ d
n
` 丨
‘
\ ︑
R”
●夕
一b' 丶
0
d
丿
一 一
6,Ⅵ so″ 】而 ε 阝勿 切 /lT伤 nⅠ `卩 c犭 tRf/饣
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J冫 幻 /s氵
)l飞 1nlC Ⅱ I。
PA· M· IⅡ rac
C,·
ρ .J· ∫·Sakur缸
sy11a笾冫us
考 7`3eP而
刀c洌es
q厂 Q溺 nFⅣ 饲
∧亻0c向 佣
泅
冫4th刚 itiOn
f‘
吹 ,
Ⅳ o初 mQ“ 溺/PrⅡ Jlf姒佗c九四崩 cs,Rc∽ scd Edi⒈ iOn 衤1.
王鸳?矿廴卩 嚅
。dFˇ 石 .
饣 马∷助赳 η
乙耕 ”:
·
爹 亻 鲁
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
2004年量子力学期末试题及答案
2004年量子力学期末试题及答案一、（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态 21310112(,,0)()()()010333x x x xψϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中，)(x n ϕ为该氢原子的第n 个能量本征态。
求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t 时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为42212n e E nμ=-， ,3,2,1=n （1）将0=t 时的波函数写成矩阵形式()()()231133(,0)23x x x x ϕϕψϕ⎛⎫+ ⎪⎪= ⎪-⎪⎝⎭（2）利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x cx x x x x ccϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++=⎪⎝⎭⎰ （3）于是，归一化后的波函数为()()()()()()232311133(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎛⎫⎫+⎪+⎪ ⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E === （5）能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e eμμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦（6）自旋z 分量的可能取值为,22-，相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭ （8）0>t 时的波函数()()()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（9）二. （20分） 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0若已知该粒子在此势阱中有一个能量20V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
2004年量子力学期末试题及答案
2004年量子力学期末试题及答案一、（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态21310112(,,0)()()()010333x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，)(x n ϕ为该氢原子的第n 个能量本征态。
求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t 时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为42212n e E n μ=-， ,3,2,1=n （1）将0=t 时的波函数写成矩阵形式()()()23113(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（2） 利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x c x x x x x c cϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ （3）于是，归一化后的波函数为()()()()()()23231113(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4） 能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E ===（5） 能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e e μμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦ （6）自旋z 分量的可能取值为,22-，相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （7） 自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭（8）0>t 时的波函数()()()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（9）二. （20分） 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0.0 若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
南京理工大学考研题
[][]的平均值为多少？态上力学量）在少？（体系能量的平均值为多出现的概率是多少可测得哪些值？各个值态的体系进行能量测量）对处于求（是正的实数。
，其中，的矩阵表示分别为：学量及力系哈密顿量算符为态空间中得基矢，体和、中，态十一、已经体系处于状的可能值是多少？下，力学量）（）（十、求在状态的几率为多少？的值为的本征态，求在此态中）如果粒子处于的本征值和本征态；（）表象中，求（九、在）能量至一级修正。
（示；）微扰哈密顿的矩阵表。
写出（《，其中矩阵表示为八、体系哈密顿算符的分）能量至二级修正值。
（为实数。
用微扰公式求，且七、在能量表象中分）。
（。
证明，六、设分）。
（中算符的表示为五、试证明在动量表象分）（的本征值和本征函数。
分量四、求角动量的分的可微函数，试证明：是三、设分）彼此正交。
（同能级的束缚态波函数）中运动，证明属于不（二、粒子在一维势场分）流密度。
（计算其几率密度和几率的粒子处于定态波函数一、质量为试题（量子力学）年硕士研究生入学考试南京理工大学A A H A HS L J Y S Y S S S S S S H b a E E a E b b a E H i S S pi x I z pf i q f p q q q f i p q x V e rm Z Z Z Z y x y x Z y x Zikr Z ψψαωαωϕϕϕϕϕϕψϕθχϕθχψααααββαβαϕ3)2(?1010100001ˆ200020001ˆˆˆ212121-ˆˆˆ),(),(231222ˆ,ˆ1ˆ2112002002ˆ15,,ˆ152ˆ,2ˆ100115ˆ15-i ˆ)15.(2)(,)(,,1515,12004003213211121-1021020102012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛+=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂=∂∂====ψ南京理工大学2005年硕士研究生入学考试试题[][]()()面。
南京大学考研量子力学试题2001-2009
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。
求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。
若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。
（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。
在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。
（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。
可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。
晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试题（三小时三小时）） 考试科目名称及代码：
适用专业：
注意注意：：
1. 所有答案必须写在“南京大学研究生入学考试答题纸”上，写在试卷和其他低上无效；
2. 本科目允许/不允许使用无字典存储和编程功能的计算器。
3. 本试卷中第一题至第四题为必做题，第五题和第六题中任选一题，做六题者按得分最低的五题计分。
一、已知电子质量为µ，电子电量为()e −，回答以下问题
1) 一个电子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；
（5分）
2) 五个电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式； （10分）
3) 一个电子处于一维谐振子势场222
1x µω中运动，其中ω是谐振子势的本征圆频率，x 是电子的坐标，请写出该体系的能级公式；
（5分）
4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和运量的平均值，这些平均值随时间变化么？ （10分）
5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；
（10分） 6) 假定氢原子处于基态，求电子势能
−r e 2的平均值，其中是电子的径向坐标。
（10分）
二、假定电子的波函数在球坐标系下写为()()
()r g e r i θθϕθψϕcos sin ,,+=，其中()r g 仅为径向坐标r 的函数。
1) 求角动量平方2L 的可能测量值和相应的几率；
（10分） 2) 求角动量的z 分量z L 的可能测量值和平均值。
提示：头几项球谐函数的表达式如下 ()πϕθ41,0,0=
Y ，()θπ
ϕθcos 43,0,1=Y ，
()()ϕθπϕθi Y ±=±exp sin 83,1,1m
， ()()
1cos 3165,20,2−=θπϕθY ， ()()ϕθθπϕθi Y ±=±exp cos sin 815,1,2m
， ()()ϕθπ
ϕθi Y 2exp sin 3215,22,2±=±。
三、S r 代表电子的自旋算符，()θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin =n r 为从原点指向单位球面上()ϕθ,方向的单位向量，其中θ是纬度，ϕ是经度。
1) 在()z S S ,2
表象下求自旋S r 在n r 方向上的投影S n S n r
r •=的本征值和相应的本征函数； （10分）
2) 假定电子处于n S 的某个本征态，那么测量z S 会得到哪些数值，相应的几率是多少，
测量z S 的平均值又是多少？
（10分） 四、一个质量为m ，无电荷但自旋为21，磁矩为s r h
r 02µµ−=的粒子在一维无限深势阱() ∞+=0x V L
x L x ><中运动，其中0µ和L 是正常数，x 是粒子的坐标，S r 是粒子的自旋算符。
现考虑在0<x 的半空间中有一沿z 方向的均匀磁场，
其大小为B ，而在0>x 的半空间中有一同样大小但沿x 方向的均匀磁场。
在弱磁场极限下用微扰论找出体系基
态的能级和波函数，并指出B 能作为弱磁场处理的具体条件。
（微扰只须计算到最低阶，自旋空间的波函数请在()z S S ,2的表象下写出。
） （30分）
五、一个质量为m 的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势()()a r C r V −−=δ作用，
其中C ，a 为下常数，r 是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C 的值最小可以取多少？ （30分）
六、一个质量为m 的无自旋的粒子受到中心势()()
a r ma r V /cosh 1222h −=的散射，其中a
是常数。
已知方程0cosh 22222=++y x y k dx y
d 有解()ik x
e y ikx m tanh ±=，在低能极限
下，求粒子能量为时E ，s 分波的散射截面及其角分布。
(30分)。