广西柳州高中2020届名校仿真模拟数学试题(理科)10月月考试题(含答案)
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（9 分）
1 21
（11 分） （12 分）
计算 P（Y=0）= 6= ，
2
3
P（Y=1）= 6
31=10，
21
22
P（Y=2）= 6 3= ，
1
1
P（Y=3）= 6
3
3=
1
；
21
则 Y 的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
10
2
21
1
数学期望为 E（Y）=0× +1×10+2× +3× 1 = ．
2 21 1
21 3
（2 分） （4 分） （5 分）
（6 分）
=4 ，此时三角形应是等边三
角形，故（3）是假命题； 以上假命题有（1）（3）
16.【答案】由 a:c=cos72,利用黄金分割法，即可求得 5(e 1) =5
17.【答案】（Ⅰ）因为 a、b、c 成等比数列，则 b2=ac 得 sin2B=sinAsinC．（2 分）
又 sinAsinC= ，所以 sin2B= ．
（8 分）
= - cosA+2cos2A-1=2（cosA- ）2 -
（10 分）
所以当 cosA= 时， • 取的最小值- ．
（12 分）
18.【答案】答案】证明：（1）四棱锥 P-ABCD 的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，且
AD=CD=2，AB=4，PA=PD=PC=3．O 为 AC 的中点，所以 PO⊥AC，
（2）由题意得，在习惯使用移动支付的 60 岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在(2000，3000]内的人数为 30 人； 用分层抽样的方法从中抽取 9 人，再从这 9 人中随机抽取 4 人， 记 4 人中每月移动支付金额超过 3000 元的人数为 Y， 则 Y 的可能取值为：0，1，2，3；
x
因为 f x ax2 与 g x ln x 在它们的公共点 P m,n 处
具有公共切线，
f m g m am2 ln m
m e
f
m
gm
2am
1 m
，解得
a
1 2e
，故选：C
6.【答案】C 【解析】解：关于命题 p：∀x∈R，x2-2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ-4≤0，故 p 是
2， 2，1 ．
（8 分）
设平面 BCP 的法向量为 h， ， ，由于
0 ，得到
h2 0
0
2h 2
0
得 =（1,2,2）取平面 BCD 的一个法向量 =（0,0,1）．
（10 分）
易知二面角 D-CB-P 为锐角，故 cosθ=|cos＜ ， ＞=
=
2．
3
（12 分）
19.【答案】解：（1）根据题意填写列联表如下；
∴a≤
对∀x∈（1，+∞）恒成立；
设 f（x）=
，其中 x∈（1，+∞），
则 x-3•ex=
•ex=ex-3lnx≥x-3lnx+1，
∴x-3ex-x-1≥x-3lnx+1-x-1=-3lnx，
∴f（x）=
≥ =-3，当 x-3lnx=0 时等号成立；
又方程 x-3lnx=0 在（1，+∞）内有解， ∴f（x）min=-3， 即 a 的取值范围是（-∞，-3]．
因为 sinB＞0，则 sinB= ．
（4 分）
因为 B∈（0，π），所以 B= 或 ．
又 b2=ac，则 b≤a 或 b≤c，即 b 不是△ABC 的最大边，故 B= ．
源自文库
（6 分）
第 2页，共 6页
（Ⅱ）因为向量 =（cosA，cos2A）， =（- ，1），
所以 • = - cosA+cos2A
（2 分）
连接 DO，在 Rt△ACD 中，O 为 AC 的中点，所以 OD=12 =2 2
（4 分）
OP=1,OD2+OP2=PD2，所以 PO⊥OD．所以 PO⊥平面 ABCD
（6 分）
（2）如图所示：
建立空间直角坐标系 D-xyz，所以 B（4，2，0），C（0，4，0），P（2，2，1），
，2，0 ，
真命题，
关于命题 q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，
∴（￢p）∨q 是真命题，
7.【答案】A 【解析】解：设 x＞0，则-x＜0，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-（e-x-ex）=ex-e-x，
且 f（x）为 R 上的单调递增函数， 故由 f（x2-2x）-f（3）＜0，得 f（x2-2x）＜f（3）， 即 x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，
故选：A．
8.【答案】B 9.【答案】D 【解析】解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 r2+h2=l2=42=16，
所以
，
当且仅当
时取等号．
此时侧面积为
．
10.【答案】A 11.【答案】B 12.【答案】D 【解析】解：不等式 x-3ex-alnx≥x+1，
第 1页，共 6页
∴alnx≤x-3ex-x-1； 又 x∈（1，+∞），lnx＞0，
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付 合计（人数）
60 岁以上
30
60 岁及以下
90
合计（人数）
120
40
70
40
130
80
200
第 3页，共 6页
计算 K2=200 30 0 0 0 2=1200≈13.187＞10.828，
120 0 0 130
1
所以有 99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；
13.【答案】5 14.【答案】0 15.【答案】（1）（3） 【解析】解：（1）若 Rt△ABC 中，C=90°，A=60°，则三边之
比为：1： ：2，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此（1）是假命题；
（2）由 S= absin = ab，若面积是整数，则存在正整数 x，使得 ab=4x，由于 a，b
答案和解析
1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】A 【解析】解：根据三视图可得该几何体是由棱
长为 2 的几何体挖去两个圆锥所得，如图，
则该几何体的体积为 V=
=8- ．
5.【答案】c 因为 f x ax2 ，所以 f x 2ax ；由
g x ln x ，得 g x 1 .
都为整数，此式不成立，因此不存在面积都是整数的“完美三角形”，（2）是真命题；
（3）设 C= ，则 a+b+c=12，c2=a2+b2-2ab ，可得（12-a-b）2=a2+b2-ab，
化为
-16 +48≥0，解得 0＜ ≤4，即 ab≤16，当且仅当 a=b=4 时取等号，
可得周长为 12 的“完美三角”中面积最大为
1 21
（11 分） （12 分）
计算 P（Y=0）= 6= ，
2
3
P（Y=1）= 6
31=10，
21
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P（Y=2）= 6 3= ，
1
1
P（Y=3）= 6
3
3=
1
；
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则 Y 的分布列为：
Y
0
1
2
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P
10
2
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1
数学期望为 E（Y）=0× +1×10+2× +3× 1 = ．
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（2 分） （4 分） （5 分）
（6 分）
=4 ，此时三角形应是等边三
角形，故（3）是假命题； 以上假命题有（1）（3）
16.【答案】由 a:c=cos72,利用黄金分割法，即可求得 5(e 1) =5
17.【答案】（Ⅰ）因为 a、b、c 成等比数列，则 b2=ac 得 sin2B=sinAsinC．（2 分）
又 sinAsinC= ，所以 sin2B= ．
（8 分）
= - cosA+2cos2A-1=2（cosA- ）2 -
（10 分）
所以当 cosA= 时， • 取的最小值- ．
（12 分）
18.【答案】答案】证明：（1）四棱锥 P-ABCD 的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，且
AD=CD=2，AB=4，PA=PD=PC=3．O 为 AC 的中点，所以 PO⊥AC，
（2）由题意得，在习惯使用移动支付的 60 岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在(2000，3000]内的人数为 30 人； 用分层抽样的方法从中抽取 9 人，再从这 9 人中随机抽取 4 人， 记 4 人中每月移动支付金额超过 3000 元的人数为 Y， 则 Y 的可能取值为：0，1，2，3；
x
因为 f x ax2 与 g x ln x 在它们的公共点 P m,n 处
具有公共切线，
f m g m am2 ln m
m e
f
m
gm
2am
1 m
，解得
a
1 2e
，故选：C
6.【答案】C 【解析】解：关于命题 p：∀x∈R，x2-2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ-4≤0，故 p 是
2， 2，1 ．
（8 分）
设平面 BCP 的法向量为 h， ， ，由于
0 ，得到
h2 0
0
2h 2
0
得 =（1,2,2）取平面 BCD 的一个法向量 =（0,0,1）．
（10 分）
易知二面角 D-CB-P 为锐角，故 cosθ=|cos＜ ， ＞=
=
2．
3
（12 分）
19.【答案】解：（1）根据题意填写列联表如下；
∴a≤
对∀x∈（1，+∞）恒成立；
设 f（x）=
，其中 x∈（1，+∞），
则 x-3•ex=
•ex=ex-3lnx≥x-3lnx+1，
∴x-3ex-x-1≥x-3lnx+1-x-1=-3lnx，
∴f（x）=
≥ =-3，当 x-3lnx=0 时等号成立；
又方程 x-3lnx=0 在（1，+∞）内有解， ∴f（x）min=-3， 即 a 的取值范围是（-∞，-3]．
因为 sinB＞0，则 sinB= ．
（4 分）
因为 B∈（0，π），所以 B= 或 ．
又 b2=ac，则 b≤a 或 b≤c，即 b 不是△ABC 的最大边，故 B= ．
源自文库
（6 分）
第 2页，共 6页
（Ⅱ）因为向量 =（cosA，cos2A）， =（- ，1），
所以 • = - cosA+cos2A
（2 分）
连接 DO，在 Rt△ACD 中，O 为 AC 的中点，所以 OD=12 =2 2
（4 分）
OP=1,OD2+OP2=PD2，所以 PO⊥OD．所以 PO⊥平面 ABCD
（6 分）
（2）如图所示：
建立空间直角坐标系 D-xyz，所以 B（4，2，0），C（0，4，0），P（2，2，1），
，2，0 ，
真命题，
关于命题 q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，
∴（￢p）∨q 是真命题，
7.【答案】A 【解析】解：设 x＞0，则-x＜0，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-（e-x-ex）=ex-e-x，
且 f（x）为 R 上的单调递增函数， 故由 f（x2-2x）-f（3）＜0，得 f（x2-2x）＜f（3）， 即 x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，
故选：A．
8.【答案】B 9.【答案】D 【解析】解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 r2+h2=l2=42=16，
所以
，
当且仅当
时取等号．
此时侧面积为
．
10.【答案】A 11.【答案】B 12.【答案】D 【解析】解：不等式 x-3ex-alnx≥x+1，
第 1页，共 6页
∴alnx≤x-3ex-x-1； 又 x∈（1，+∞），lnx＞0，
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付 合计（人数）
60 岁以上
30
60 岁及以下
90
合计（人数）
120
40
70
40
130
80
200
第 3页，共 6页
计算 K2=200 30 0 0 0 2=1200≈13.187＞10.828，
120 0 0 130
1
所以有 99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；
13.【答案】5 14.【答案】0 15.【答案】（1）（3） 【解析】解：（1）若 Rt△ABC 中，C=90°，A=60°，则三边之
比为：1： ：2，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此（1）是假命题；
（2）由 S= absin = ab，若面积是整数，则存在正整数 x，使得 ab=4x，由于 a，b
答案和解析
1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】A 【解析】解：根据三视图可得该几何体是由棱
长为 2 的几何体挖去两个圆锥所得，如图，
则该几何体的体积为 V=
=8- ．
5.【答案】c 因为 f x ax2 ，所以 f x 2ax ；由
g x ln x ，得 g x 1 .
都为整数，此式不成立，因此不存在面积都是整数的“完美三角形”，（2）是真命题；
（3）设 C= ，则 a+b+c=12，c2=a2+b2-2ab ，可得（12-a-b）2=a2+b2-ab，
化为
-16 +48≥0，解得 0＜ ≤4，即 ab≤16，当且仅当 a=b=4 时取等号，
可得周长为 12 的“完美三角”中面积最大为