12.1随机事件的概率
12-1随机事件的概率
跟踪训练2 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购 买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表， 其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品 顾客人数
100 217 200 300 85 98
甲乙丙丁
√ ×√√ ×√ ×√ √√√ × √ ×√ × √××× ×√ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概 率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中 哪种商品的可能性最大？
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋ 1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件． 【答案】 C
【思维升华】 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能 都不发生，即有且仅有一个发生． (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的 两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两 事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_0_≤__P_(_A_)_≤__1． (2)必然事件的概率为_1_． (3)不可能事件的概率为_0_． (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则 P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(_B_)_． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件， 则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝_1_，P(A)＝_1_－__P_(_B_)_.
第十二章认识概率全章节教案(表格式)
（正、正）
（正、反）
你能只通过一次试验，列出所有可能
个相等的扇形。
任意转动每个转盘，当转盘哪一个转盘的指针指向红色区域的
就可获得一次转动转盘的机会。
转盘停止时，指针指向红、蓝、黄区域，顾客可分别获得1000
元的礼品。
某顾客购物1400元，他获得礼品的概率是多少？他分别获得
元礼品的概率是多少？
这个问题可转化为等可能条件下的概率
：在试验过程中，这些正方形除颜色外都
一次沙包一
【例题选讲】
、中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下:1个帅、5个兵,“士、象、马、车、炮”各2个,将所有棋子反面朝上放在棋盘中,任意取一个不是兵和帅的概率是.
、小明玩转盘游戏，当他转动如图所示的转盘，停止时指针指向2的概率是__________.
、一张圆桌旁边有4个座位，A先坐在如图所。
高中数学高考73第十二章 概率、随机变量及其分布 12 1 事件与概率、古典概型
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000元和4 000元， 所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆 中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000 元的概率. 解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为12040＝0.24， 由频率估计概率得P(C)＝0.24.
6.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相 1
等，那么每一个基本事件的概率都是_n_；如果某个事件A包括的结果有m个， m
那么事件A的概率P(A)＝_n_.
7.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
Байду номын сангаас
解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格 数据知，
1234567
超实用高考数学专题复习教学课件：12.1 随机事件的概率
D.0.68
答案 B
解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的
概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
1
3.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是 ,记
6
事件 A 为“向上的点数是奇数”,事件 B 为“向上的点数不超过 3”,则概率
C.0.3
D.0.6
)
答案 A
解析 设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的概率是P(B),摸出白球的概率为
P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,
所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.
性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越趋近于概
率.
2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率.(2)利用
随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法,列
举法,树状图法.
对点训练2从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到
火车站的人进行调查,调查结果如下:
30~40
所用时间(分钟) 10~20 20~30
6
12
18
选择L1的人数
0
4
16
选择L2的人数
40~50
12
16
50~60
12
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
第十二编 概率与统计
第十二编 概率与统计§12.1 随机事件的概率1.下列说法不正确的有 . ①某事件发生的频率为P （A ）=1.1②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件 ④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 ①③④2.给出下列三个命题，其中正确命题有 个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 答案 03.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.034.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 . 答案655.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ）=61，则出现奇数点或2点的概率之和为 . 答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是94. 基础自测（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3（14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥. 2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60. 5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78. 10分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P（B）=1-P（B）=1-0.78=0.22. 14分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.(1)“3件都是二级品”是什么事件？（2）“3件都是一级品”是什么事件？（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p =nm，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.解 方法一 记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=121. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=43. （2）取出红或黑或白球的概率为 P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =125+124+122=1211. 方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=43.（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=1211.一、填空题1.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 . 答案103 2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是 （写出一个即可）. 答案 2次都不中靶3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么甲是乙的 条件. 答案 必要不充分4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 . 答案216915.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是 . 答案 0.26.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 . 答案 0.807.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为73，乙夺得冠军的概率为41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 二、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.解 （1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则 P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率； （2）派出医生至少2人的概率. 解 记事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥， 且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为 P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P （C +D +E +F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A +B ）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A +B ）.解 方法一 因为A +B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A +B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A +B ）=64=32. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”， 则A +B =A +C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=61，P （A ）=21， 所以P （A +B ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ） =21+61=32. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A +B 不发生.又事件A +B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A +B 与事件D 为对立事件. 因为P （D ）=62=31， 所以P （A +B ）=1-P （D ）=1-31=32. 12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为41，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率是21，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P .∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41，61，31.§12.2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 . 答案32 2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 . 答案21 3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 . 答案65 4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 . 答案643 5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则P (M )= ,P (N )= . 答案 21 43例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩 具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：基础自测（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”. 解 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙 两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10³9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6³4=24. ∴P （A ）=n m =9024=154. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4³3=12. ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=152, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=1513. 例3 （14分）同时抛掷两枚骰子. （1）求“点数之和为6”的概率； （2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.7分（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P =365. 10分（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率 P =3620=95. 14分方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P =3616=94， 所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 14分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ）， 即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=103.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 2.（2008²山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率； （2）求B 1和C 1不全被选中的概率.解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等 可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)} 事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=186=31. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P （N ）=183=61，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-61=65. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A :取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. ∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=156=52. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6）， （2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=158.一、填空题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则P 10 P 1（填“＞”“＜”或“=” ）. 答案 =2. 采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为 . 答案21 3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 . 答案1034.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .答案31 5.设集合A ={1，2}，B ={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a ,b ）落在直线x +y =n 上”为事件C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为 . 答案 3和46.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x +y =5下方的概率是 . 答案617.（2008²江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案121 8.（2008²上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 答案54二、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： （1）甲中奖的概率P （A ）； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=52. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5³4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3³2=6种基本事件，∴P 3=206=103. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52. 10. 箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a +b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法，可以抽出3个正品的概率P =33ba a A A +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a +b 个产品中不放回抽样3次共有C 3ba +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a种方法，可以取出3个正品的概率P =33ba a C C +.两种方法结果一致. （2）从a +b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a +b 种方法，所以共有（a +b ）3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率 P =333)(⎪⎭⎫⎝⎛+=+b a a b a a .11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.解 （1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n -1）=6，解得n =3(舍去n =-2). 故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=72. （3）记“甲取到白球”的事件为B ，“第i 次取到白球”为A i ，i =1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥， ∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5） =73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. 12.（2008²海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=157.§12.3 几何概型1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为 . 答案21 2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.答案π2 3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 . 答案53 4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ， 则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件， 所以P （A ）=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为222979-=8132. 基础自测（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为8192ππ=. 例3 （14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.3分 则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分 则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.14分 例4 在Rt △ABC 中，∠A =30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |＞|AC |的概率. 解 设事件D “作射线CM ，使|AM |＞|AC |”.在AB 上取点C ′使|AC ′|=|AC |，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′=230180-=75°,A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x -y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x ,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P （A ）=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30³31=10（米）， ∴P （E ）=3010=31. 2.（2008²江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 . 答案16π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率. 解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF =∠BOE =30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使 ∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A =“3段构成三角形”，x ,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l -x -y . 则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l ,0＜y ＜l ,0＜x +y ＜l },要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x +y ＞l -x -y ⇒x +y ＞2l,x +l -x -y ＞y ⇒y ＜2l ,y +l -x -y ＞x ⇒x ＜2l . 故所求结果构成集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =222122l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、填空题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a ,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是 . 答案103 2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 .答案51 3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 . 答案161 4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .答案 1-π25.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 . 答案43 6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是 . 答案6π 7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 二、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41³1222 cm 2的大圆 内，而当中靶点在面积为π41³12.22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生 的概率P （A ）=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解 设事件A “父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ,而（x ,y )的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21³21³21=87，Ωμ =1， 所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C =90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； （2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解 （1）设CM =x ，则0＜x ＜a .（不妨设BC =a ）. 若∠CAM ＜30°,则0＜x ＜33a , 故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(330a a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33.（2）设∠CAM =θ，则0°＜θ＜45°.若∠CAM ＜30°,则0°＜θ＜30°, 故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=的长度的长度)450()30,0( ，=32. 12.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 解 设事件A 为“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”.当a ≥0,b ≥0时，方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b . （1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值. 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 P （A ）=129=43. （2）试验的全部结果所构成的区域为 {(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}. 构成事件A 的区域为。
随机事件的概率计算
gllllfe 知识内容版块一：事件及样本空间1.必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现彖；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现彖.2.试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果.一次试验是指事件的条件实现一次.在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件.通常用大写英文字母A, C,…来表示随机事件，简称为事件.3.基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件・它包含所有可能发生的基本结果.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用G表示.版块二：随机事件的概率计算1.如果事件同时发生，我们记作AC1B,简记为初；2.一般地，对于两个事件A, B,如果有P（AB） = P{A）P（B）,就称事件A与B相互独立，简称A 与B独立.当事件A与B独立时，事件刁与B, A与鸟，刁与万都是相互独立的.3.概率的统计定义一般地，在“次重复进行的试验中，事件A发生的频率冬，当"很人时，总是在某个常数附n近摆动，随着"的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P（A）・从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率P（A）满足：OWP（A）WI.当A是必然事件时，P（A） = 1,当A是不可能事件时，P（A） = O.4.互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件.由事件4和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或都发生）所构成的事件C,称为事件A与B的并（或和），记作C = AUB.若C = AUB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AUB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合.5.互斥事件的概率加法公式：若A、B是互斥事件，有P（AUB） = P（A） + P（B）若事件人，4，…，人两两互斥（彼此互斥），有p（人u比u…u A）=P（ A）+戸（比）+…+ P（九）.事件％U4 U…发生是指审件人，人人中至少有一个发生・全国名校高中数学优质课时训练汇编(优品质)6. 互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件A 的对立事件记作A . 有 P(A) = 1-P(A).＜教师备案〉1. 概率中的“事件”是指咂机试验的结果=与通常所说的事件不同.基本事件空间是指一 次试验中所有可能发生的基本结果.有时我们提到爭件或随机爭件，也包含不可能事件和必 然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断.2. 概率可以通过频率来“测量=或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统 计定义.在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率.随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某 个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件 的概率•概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.3. 基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形.相乘事件.等可能事件：P(A)=- n 第三步，运用公式|互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)独立事件:P(A B) = P(A)・P(B)〃次独立重复试验:P n (k) = C" (1-p )>J 'k第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复・ 解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率(尤其是其中的(4).(5)两种概率): (1)随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵互斥事件有一个发生的概率； ⑶相互独立事件同时发生的概率；⑷川次独立重复试验中恰好发生R 次的概率；⑸川次独立重复试验中在第R 次才首次发生的概率； ⑹对立事件的概率.另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生〃，"至多有一个发生S 〃恰好有一个发生", “都发生”，“不都发生S “都不发生〃，"第R 次才发生〃等.gm 医 典例分析题型一概率与频率求概率的步骤是：■等可能事件 第一步，确定事件性质＜互斥事件，即所给的问题归结为四类事件中的某一种.独『事件n 次独立重复试验 主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”: 第二步，判断事件的运算 ,即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或和事件枳事件求解【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做“次随机试验，事件A发生的频率仪就是事件的概率；n③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的…次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的是（）A.①④©B.②④⑤C.①③④D.①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下:根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:（1）在表中直接填写进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做〃次随机试验，事件A发生加次，则事件A发生的概率为仝；n③频率是不能脱离…次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确命题的序号为___________ ・【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球.从中任取一只球.试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A = 〃取岀的球是白球〃；⑵B = 〃取岀的球是蓝球〃；〃取岀的球是黄球〃；⑷£） = 〃取出的球是白球或黄球〃•题型二独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工•个零件•加工为•等品的概率分别为-^11 --两个零件是否 3 4加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.丄B. —C. -D.-2 12 4 6【例7】掷两枚均匀的骰子，记人=“点数不同笃3 = “至少有一个是6点笃判断A与B是否为独立事件.【例8】设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（）A. M + NB.莎帀C. M-N + M-ND.【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件（1）甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，”从甲组中选岀1名男生〃与"从乙组中选岀1名女生〃•⑵容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，〃从8个球中任意取岀1个，取出的是白球〃与〃从剩下的7个球中任意取出1个，取岀的还是白球〃.【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报冷事件B为“至少订一种报"，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件.①A与C;②B与E;③B与D;④B与C;⑤C与【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数=事件B为嚅地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A. A 与B B・B 与C C. A 与£> D. C 与D【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是丄，我每题都选择第一个选择支，4则一定有3题选择结果正确”.对该人的话进行判断，其结论是（）A.正确的B.错误的C.模棱两可的D.有歧义的题型三随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1,向该圆内随机投一点P,点P恰好落在正三角形外的概率是__________ ・【例14】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没仃人小王）屮随机的抽•张牌，这张牌是八戈0或K的概率为【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行・若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不人于10.则就有可能撞到玻 璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行 是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置町能性相同，那么蜜蜂飞 j •是安全的概率是（ ，.丄B.丄8 16【例16】（2010东城二模）在直角坐标系xOy lb 设集合C = {（x,刃|0WxWl,0WyWl},在区域G 内任取… 点P （x,y ）,则满足x+ y W1的概率等于 ___________________ ・【例17】（2010朝阳一模）在区间［-兀,兀|内随机取两个数分别记为a,b ，则使得函数f （x ） = x 2+2ax-b 2+ n （i 零点的概率为（）【例18】（2010东城一模）某人向 个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各 点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A. -L B ・丄 C ・丄 D ・丄 13942【例19】（2010西城一模）在边长为1的」F 方形ABCD 内任取•点、P 为) C.—271 - 4D.1 - 2C3 -4 B.7 - 8A.P A 订的全国名校高中数学优质课时训练汇编(优品质)【例20】(2010丰台二模)已知Q = {(x , y)|x+y W6 , xMO , y MO} , A = {(x,y)|x W 4 , y M 0 , x-2y M 0}.若向区域C I：随机投•点P 则点P落入区域A的概率是 _______________ ・【例21】(2010朝阳一模)袋子中装有编号为a上的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个坪.⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个照球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个照球的概率.【例22】(2010崇文二模)在平面直角坐标系xOy中，平面区域W屮的点的坐标(x,y)满足疋+ b W5 ,从区域W中随机取点M(x,y).(1)若xwZ, yeZ,求点M位「•第四象限的概率：⑵已知直线/:y = _x+b(b>0)与圆O:x2 + r =5相交所截得的弦长为JTT,求y^-x+b的概率.全国名校高中数学优质课时训练汇编（优品质）【例23】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4 .现从盒子中随机抽取卡片.⑴若一次抽取3张卡片,求3张卡片上数字之和大于7的概率;⑵若第一次抽1张k片•放回后再抓収1张卡片，求两次抽取屮至少一次抽到数字3 的概率.【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推If, -JW优忠活动.活动规则如下:消费每满WO兀町以转动如图所示的圆盘一次，其屮O为閲心，且标有20元、10兀、0兀的一部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了218兀・第一次转动获得了20元，第二次获得了10兀，则其共获得了30元.优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.⑴若顾客甲消费了128兀，求他获得优惠券面额人于0元的概率？⑵若顾客乙消费了280元•求他总■获得优惠券金额不低F2（H的概率?【例25】（2010石景山一模〉为援助汶川灾厉反建，対某项I卫M行竟标，共仃6家企业参号竞标.”中4企业來口辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F［家企业來自河南省.此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同.⑴企业E卩标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硕币和一枚均匀骰子各一次，记"硬币正面向上"为爭件A “骰于向上的点数是3”为Mff B,则M件A , B中至少有•件发生的概率是A. 2B. -C. —D.-12 2 12 4【例27】盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___________________【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币人臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑人臣作弊, 他用两种方法来检测.方法一：在100箱中各任意检查一枚：方法二：在5箱中各—'「吗枚•国「13；.「、旌发现至◊刁币的槪.「别为刃，必.则（）A. I" =B・p x < p2C・> p2D・以上二种情况都右川•能【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石A和B的含f a‘ ；• '如每丿j吨铁矿右的CO2的排放量b及每万吨恢矿石的价格C如卜表：某冶炼厂至少要T产1・9 （万吨）铁，若要求C。
高中数学统计知识点
高中数学统计知识点：统计1.1.1简单随机抽样1.总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体 x 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x，x，xn 研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2.简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法：(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
4.抽签法:(1)给调查对象群体中的每一个对象编号(2)准备抽签的工具，实施抽签(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5.随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
1.1.2系统抽样1.系统抽样(等距抽样或机械抽样)：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
2.系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
12.1 随机事件及其概率
12.1 随机事件及其概率1.(2013广东,17,12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.1 7 92 0 1 53 0(1)根据茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.5.解析 (1)样本均值为17+19+20+21+25+306=1326=22; (2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26=13,故推断该车间12名工人中有12×13=4名优秀工人.(3)设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则P(A)=C 41C 81C 122=1633. 2.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列及数学期望.6.解析 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”,B 表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=C 21C 32=2,P(B)=C 42C 53=3. ∵事件A 与B 相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A ·P()=P(A)·[1-P(B)]=23×25=415.或P (AB )=C 21·C 43C 32·C 53=415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=C 42C 53=35,∵X 可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P(AB C )=13×25×25=475,P(X=1)=P(A C )+P(A B C )+P(=23×25×25+13×35×25+13×25×35=2075,P(X=2)=P(AB=2×3×2+2×2×3+1×3×3=33,P(X=3)=P(ABC)=23×35×35=1875, ∴X 的分布列为∴X 的数学期望EX=0×4+1×20+2×33+3×18=140=28.。
随机事件的概率
§12.1 随机事件的概率1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式．1． 事件(1)不可能事件、必然事件、随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；有的结果可能发生，也可能不发生，它称为随机事件． (2)基本事件、基本事件空间：试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示． 2． 概率与频率：(1)概率定义：在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )． (2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似． 3． 事件的关系与运算名称 定义并事件(和事件) 由事件A 和B 至少有一个发生所构成的事件C互斥事件 不可能同时发生的两个事件A 、B 互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件A 、B4． 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (E )＝1. (3)不可能事件的概率：P (F )＝0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)．②P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(A 1，A 2，…，A n 彼此互斥)． 教学目标学习内容知识梳理(5)对立事件的概率：P (A )＝1－P (A )．题型一 随机事件的关系例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析．解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件． (3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．巩 固 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．答案 A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D解析 设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅. 故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝I ，故B 与D 互为对立事件． 题型二 随机事件的频率与概率例2 某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn例题讲解(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率． 解 (1)依据公式f ＝mn ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．巩 固 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120320420720320220(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.题型三 互斥事件、对立事件的概率例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．思维启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件的概率公式求解． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )计算．巩 固 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.思想与方法 用正难则反思想求互斥事件的概率典例：(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维启迪若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示：(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为B＋C的对立事件，导致计算错误.A组1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的． ( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( × ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )2． 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶答案 D3． 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9答案 A解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 4． 下列事件中，随机事件为________，必然事件为________．(填序号)①冬去春来 ②某班一次数学测试，及格率低于75% ③体育彩票某期的特等奖号码 ④三角形内角和为360° ⑤骑车到十字路口遇到交警 答案 ②③⑤ ①5． 给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．B 组1． 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A ．至少有一个红球与都是红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有二个红球 答案 D2． 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 答案 C解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P (A )＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.3． 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08 答案 C解析 记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.4． 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.5． 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56B.23C.12D.13 答案 A解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56.6． 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①7． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个． 答案 15解析 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50， 50×0.30＝15.8． 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 9． 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的． 由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′. 根据互斥事件的加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)方法一 由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′＋C ′，且P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.方法二 因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P (A ′＋C ′)＝P (B'D' )＝1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36.10．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. (2)由(1)知，出现次品的频率mn 在0.05附近摆动，故P (A )＝0.05. (3)设进衬衣x 件， 则x (1－0.05)≥1 000， 解得x ≥1 053，故至少需进货1 053件．C组1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案 B解析根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件答案 D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案8151415解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.4. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．答案351315解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是 P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概 率为________． 答案 45解析 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，解得x <8，所以x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.6． 如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.方法与技巧1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．失误与防范1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．。
中职数学基础模块教案
中职数学基础模块教案第一章：数学基础概念1.1 实数1.1.1 有理数1.1.2 实数1.1.3 数的运算1.2 代数式1.2.1 代数式的概念1.2.2 代数式的运算1.2.3 代数式的简化1.3 方程与不等式1.3.1 方程的解法1.3.2 不等式的解法1.3.3 方程与不等式的应用第二章：函数与图形2.1 函数的概念2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的性质2.2 常见函数2.2.1 正比例函数2.2.2 反比例函数2.2.3 二次函数2.3 函数的图像2.3.1 图像的绘制方法2.3.2 图像的特点与分析2.3.3 图像的应用第三章：几何基础3.1 点、线、面的基本概念3.1.1 点的概念3.1.2 线段的概念3.1.3 三角形、四边形、圆的概念3.2 平面几何图形的性质与判定3.2.1 平行线的性质3.2.2 垂直线的性质3.2.3 圆的性质3.3 几何图形的计算与应用3.3.1 面积的计算3.3.2 周长的计算3.3.3 几何图形的应用第四章：三角函数4.1 三角函数的概念4.1.1 角度的概念4.1.2 三角函数的定义4.1.3 三角函数的性质4.2 三角函数的图像与性质4.2.1 正弦函数的图像与性质4.2.2 余弦函数的图像与性质4.2.3 正切函数的图像与性质4.3 三角函数的应用4.3.1 三角函数在测量中的应用4.3.2 三角函数在工程中的应用4.3.3 三角函数在科学计算中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念5.1.1 随机事件的概念5.1.2 概率的计算方法5.1.3 概率的性质5.2 统计的基本概念5.2.1 统计量的概念5.2.2 数据的收集与整理5.2.3 描述统计的方法5.3 概率与统计的应用5.3.1 概率在实际问题中的应用5.3.2 统计在实际问题中的应用5.3.3 概率与统计的综合应用第六章：初等代数6.1 代数式的运算6.1.1 整式的运算6.1.2 分式的运算6.1.3 指数与对数的运算6.2 一元二次方程6.2.1 一元二次方程的定义6.2.2 一元二次方程的解法6.2.3 一元二次方程的应用6.3 不等式与不等式组6.3.1 不等式的性质6.3.2 一元一次不等式的解法6.3.3 不等式组的解法与应用第七章：函数的进一步研究7.1 函数的性质7.1.1 单调性7.1.2 奇偶性7.1.3 周期性7.2 函数图像的变换7.2.1 图像的平移7.2.2 图像的伸缩7.2.3 图像的翻折7.3 函数的应用7.3.1 函数在实际问题中的应用7.3.2 函数在数学问题中的应用7.3.3 函数与其他数学知识的综合应用第八章：几何进阶8.1 解析几何8.1.1 坐标系的概念8.1.2 点、直线、圆的方程8.1.3 解析几何的应用8.2 空间几何8.2.1 空间点的坐标8.2.2 空间直线与平面的方程8.2.3 空间几何体的性质与计算8.3 几何图形的变换8.3.1 旋转8.3.2 翻折8.3.3 缩放第九章：微积分基础9.1 极限的概念9.1.1 极限的定义9.1.2 极限的计算9.1.3 极限的应用9.2 导数的概念与计算9.2.1 导数的定义9.2.2 基本导数公式9.2.3 导数的应用9.3 积分的基础9.3.1 积分的定义9.3.2 基本积分公式9.3.3 积分的应用第十章：数学应用与实践10.1 数学在科学中的应用10.1.1 数学在物理中的应用10.1.2 数学在化学中的应用10.1.3 数学在生物学中的应用10.2 数学在工程技术中的应用10.2.1 数学在电子技术中的应用10.2.2 数学在机械工程中的应用10.2.3 数学在建筑中的应用10.3 数学在日常生活中的应用10.3.1 数学在财务管理中的应用10.3.2 数学在市场营销中的应用10.3.3 数学在生活中的其他应用第十一章：线性代数基础11.1 向量及其运算11.1.1 向量的定义11.1.2 向量的运算11.1.3 向量的应用11.2 矩阵及其运算11.2.1 矩阵的定义11.2.2 矩阵的运算11.2.3 矩阵的应用11.3 行列式及其应用11.3.1 行列式的定义11.3.2 行列式的计算11.3.3 行列式的应用第十二章：概率论与数理统计12.1 随机事件及其概率12.1.1 随机事件的概念12.1.2 概率的计算12.1.3 条件概率与独立性12.2 随机变量及其分布12.2.1 随机变量的概念12.2.2 离散型随机变量的分布12.2.3 连续型随机变量的分布12.3 数理统计的基本方法12.3.1 描述统计方法12.3.2 推断统计方法12.3.3 统计应用案例分析第十三章：离散数学初步13.1 集合及其运算13.1.1 集合的概念13.1.2 集合的运算13.1.3 集合的应用13.2 图论基础13.2.1 图的概念13.2.2 图的运算13.2.3 图的应用13.3 逻辑与布尔代数13.3.1 逻辑的基本概念13.3.2 布尔代数的基本运算13.3.3 布尔代数的应用第十四章：数学建模与解决问题14.1 数学建模的基本方法14.1.1 数学建模的概念14.1.2 数学建模的步骤14.1.3 数学建模的方法与应用14.2 数学在解决问题中的应用14.2.1 问题的定义与分析14.2.2 数学模型的建立14.2.3 数学模型的求解与分析14.3 数学建模案例分析14.3.1 经济管理领域的应用14.3.2 工程技术领域的应用14.3.3 社会生活领域的应用第十五章：数学思维与创新15.1 数学思维的基本方法15.1.1 合情推理与演绎推理15.1.2 抽象思维与形象思维15.1.3 批判性思维与创造性思维15.2 数学思维在解决问题中的应用15.2.1 问题的定义与分析15.2.2 数学思维方法的运用15.2.3 解决问题的策略与技巧15.3 数学创新与数学探究15.3.1 数学创新的概念与意义15.3.2 数学探究的基本方法15.3.3 数学创新与探究的案例分析重点和难点解析本文档为您提供了一份中职数学基础模块的教案，共包含十五个章节。
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1 随机事件的概率
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )
A ．合格产品少于9件
B ．合格产品多于9件
C ．合格产品正好是9件
D ．合格产品可能是9件
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A ．至多有一次中靶
B ．两次都中靶
C ．只有一次中靶
D ．两次都不中靶
3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一
次正面朝上，则下列结果正确的是( )
A ．P (M )＝13，P (N )＝12
B ．P (M )＝12，P (N )＝12
C ．P (M )＝13，P (N )＝34
D ．P (M )＝12，P (N )＝34
4．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1
次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A ．A 与
B 是互斥而非对立事件
B ．A 与B 是对立事件
C ．B 与C 是互斥而非对立事件
D ．B 与C 是对立事件
5．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )
A ．甲是乙的充分但不必要条件
B ．甲是乙的必要但不充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的
概率为________．
7．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构
成三角形的概率是________．
8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率
为0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
9．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率
分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为__________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2，…，10，从中任取一
球，求下列事件的概率．
(1)A ＝{球的标号数不大于3}；
(2)B ＝{球的标号数是3的倍数}；
(3)C ＝{球的标号数为素数}．
11．(14分)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体
情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
12．(14分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到
红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
答案
1. D
2. D
3. D
4. D
5. B
6. 35
7. 34
8. 15 9. 0.95 10. 解 (1)P (A )＝310
. (2)P (B )＝310
. (3)P (C )＝410＝25
. 11. 解 (1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35
. (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，
则事件B 的概率P (B )＝1－220＝910
. 12. 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、
D 为互斥事件，根据已知得到
⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512
，P (C )＋P (D )＝12
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＝14， P (C )＝16，
P (D )＝13
. ∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13
.。