方法最全的数列求和ppt课件
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数列的求和方法(ppt)
分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
数列求和(23张PPT)
n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
数列求和的几种方法(共42张PPT)
470
2nπ 2nπ
2
2nπ
3 ．Leabharlann －sin2nπ
3
，
－sin 以 3 为周期，故 S30＝ 3 3 12＋22 42＋52 282＋292 2 2 2 ＋30 ＝ － 2 ＋3 ＋ － 2 ＋6 ＋ „ ＋ － 2
(2)并项求和法 数列 {an} 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列 并项法 时，运用_____________ 求其前 n 项和． (3)裂项相消 数列{an}满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相 裂项相消法 邻的项出现正负抵消的规律时，运用 _______________ 求和． (4)拆项求和 数列{an}满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等 差数列、等比数列、常数列 )的通项的代数和时，运用 拆项 _________________ 求和．
【解析】(1)a2＝2，a3＝6； (2)证明：由 an＋1＝Sn＋2n，n∈N*，得： n≥2 时，an＝Sn－1＋2(n－1)，n∈N*； 以上两式相减得：an＋1－an＝an＋2， 整 理 得 ： an ＋ 1 ＋ 2 ＝ 2(an ＋ 2) ， 即 bn ＋ 1 ＝ 2bn(n≥2)； b2 a2 ＋ 2 又 ＝ ＝2， b1 a1 ＋ 2 所以，数列 bn 是以 2 为首项，2 为公比的等比 数列．
第32讲 数列求和
【学习目标】 1．掌握等差、等比数列求和． 2．掌握错位相减，裂项相消法求和． 3．掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比)求和，掌握转 化技巧，提升化归能力．
＝
【基础检测】 1．已知{an}是等比数列，a1＝1，S3＝7，求 S5 31或61 ．
【解析】S3＝1＋q＋q2＝7，q＝2 或－3，S5＝ 31 或 61，直接用公式求和．
2nπ 2nπ
2
2nπ
3 ．Leabharlann －sin2nπ
3
，
－sin 以 3 为周期，故 S30＝ 3 3 12＋22 42＋52 282＋292 2 2 2 ＋30 ＝ － 2 ＋3 ＋ － 2 ＋6 ＋ „ ＋ － 2
(2)并项求和法 数列 {an} 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列 并项法 时，运用_____________ 求其前 n 项和． (3)裂项相消 数列{an}满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相 裂项相消法 邻的项出现正负抵消的规律时，运用 _______________ 求和． (4)拆项求和 数列{an}满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等 差数列、等比数列、常数列 )的通项的代数和时，运用 拆项 _________________ 求和．
【解析】(1)a2＝2，a3＝6； (2)证明：由 an＋1＝Sn＋2n，n∈N*，得： n≥2 时，an＝Sn－1＋2(n－1)，n∈N*； 以上两式相减得：an＋1－an＝an＋2， 整 理 得 ： an ＋ 1 ＋ 2 ＝ 2(an ＋ 2) ， 即 bn ＋ 1 ＝ 2bn(n≥2)； b2 a2 ＋ 2 又 ＝ ＝2， b1 a1 ＋ 2 所以，数列 bn 是以 2 为首项，2 为公比的等比 数列．
第32讲 数列求和
【学习目标】 1．掌握等差、等比数列求和． 2．掌握错位相减，裂项相消法求和． 3．掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比)求和，掌握转 化技巧，提升化归能力．
＝
【基础检测】 1．已知{an}是等比数列，a1＝1，S3＝7，求 S5 31或61 ．
【解析】S3＝1＋q＋q2＝7，q＝2 或－3，S5＝ 31 或 61，直接用公式求和．
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和专题完整ppt课件
①
1 2 S n
1 1 4 2 8 1 3 1 1 6 (n 1 ) 2 1 n n 2 1 n 1 ②
两式相减：1 2Sn1 21 48 1 21nn21n11 2(11121n)2nn1 2
S n2 (1 2 1 n2 n n 1)22 1 n 12 n n
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9
倒序法求和
例3.若 f (x) 1
2x
，则
2
f( 5 ) f( 4 ) f( 5 ) f( 6 )
的值为 3 2。Βιβλιοθήκη 【解析】∵1 f (x)
2x 2
∴ f(1x) 1 2x
1 2 x
2
21x 2 2 22x 2 2 x
1 1 2x
∴ f(x)f(1x) 2 2
完整版PPT课件
12
裂项法求和
练习：求和 111 1
14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1)( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
11
n
(1 )
Sn1222 n2 完整16版PnPT(课n件1)(2n1)
4
知识回顾：公式法求和
例1：求和：S n a n a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 a n 1 b n ( n N * )
解：①当a 0时，Sn bn
②当a0且 b 0时，Sn an
③当ab0时，Sn (n1)an
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
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相消法，即利用 anacn＋1＝dca1n－an1＋1
(其中d＝an＋1－an)．
12
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
所以 的通项公式为： 19
(Ⅱ)设求数列
31
2
∴ Tn
(2n
1) 3n1 4
3
17
已知 an是递增的等差数列，
a2 , a4 是方程 x2 5x 6 0 的根。
（I）求 an的通项公式；
（II）（II）求数列
an 2n
的前
n
项和.
18
（I）方程
由题意得
，
的两根为 2,3, ，
设数列 的公差为 d,，
则
，故 d= ，从而
，
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
8
等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
9
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 a32 9a2a6
5.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
13
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
既{anbn}型
等差
等比
14
已知数列an 前项 n 和 sn n2 4n (n N*) ，数列bn 为等比数列，
＝ 9 92 9n ＋2(1＋2＋…＋n) 3
＝ 3(9n 1) ＋n2＋n 8
3分 4分 5分
8分
5
裂项求和法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称为分裂通 项法.（见到分式型的要往这种方 法联想）
n(n 1)
7分
2
1
2
11
故
2( )
bn n(n 1)
n n 1
1 b1
1 b2
... 1 bn
2
(1
1 2
)
(
1 2
1) 3
...
(
1 n
n
1
1)
2n n 1
所以数列{ 1 } 的前 n 项和为 2n
bn
n 1
10 分
11
1．特别是对于 anacn＋1，其中{an}
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数 3、注意公比
4
解： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋ 2d＝5， 由题意，得 10a1＋102×9d＝100，
解得 a1＝1， d＝ 2，
所以 an＝2n－1.
（Ⅱ）因为 bn＝ 3an
＋2n＝ 9n 3
＋2n，
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
首项 b1 2 ，公比为 q (q 0) ，且满足 b2 , b3 4q, b4 成等差数列.
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设 cn
3(an
3) bn 4
，记数列cn 的前 n
项和为Tn
，求Tn .
15
解（Ⅰ）当 n=1 时， a1 S1 5 ．
当 n≥2 时， an Sn Sn1 n2 4n n 12 4n 1 2n 3
数列的求和
献给玉潭中学最棒的你
1
一.公式法：
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
na1(q 1)
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
分组求和法
项的特征 cn=an+bn ({an}、{bn}为等差或等比数列。）
6
已知数列an 是等差数列，且 a1 2 ， a1 a2 a3 12 ． (Ⅰ)求数列an 的通项公式及前 n 项和 S n ；
(Ⅱ)求 1 1 1 L 1 的值．
S1 S2 S3
S10
7
. 解：(Ⅰ)由题意知： a1 a2 a3 3a2 12 ，
a2 4 ， d a2 a1 2
得 a33
9a42
所以 q2
1 9
。
由条件可知 an
>
0
，故 q
1 3
由
2a1
3a2
1 得 2a1
3a1q
1 ，所以 a1
1 3
故数列{an}的通项式为 an =
1 3n
2分 3分 5分
10
（Ⅱ ） bn log3 a1 log3 a2 ... log3 an
(1 2 ... n)
反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差{2n} ＋一
个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题.
3
探究二：
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn n N* ,a3 5, S10 100, .
（Ⅰ）求数列an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn 3an 2n ，求数列bn 的前 n 项和为 Tn.
3 an
3bn
4
n 3n
∴ Tn c1 c2 c3 L cn 1 3 2 32 3 33 L n 3n …①
3Tn
1 32 2 33 3 33 L n 3n1 …………………②
由①-②得： 2 Tn 3 32 33 L 3n n 3n1
3(3n 1) n 3n1 (1 2n) 3n1 3
2分
数列an 的通项公式为： an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n
数列an 的前 n
项和为：
Sn
n(a1 2
an )
n(2
2
2n)
n(n
1)
(Ⅱ)Q 1 1 1 1 1 1 1 L 1
Sn n(n 1) n n 1 S1 S2 S3
S10
(1 1) (1 1) (1 1) L ( 1 1 ) =1- 1 =10
验证 n 1 时也成立．∴数列an 的通项公式为： an 2n 3 ，
∵ b2,b3 4q,b4 成等差数列， b1 2. 所以 2(b3 4q) b2 b4 ，
即 q2 2q 3 0 ，因为 q 0,q 3.
∴
q b1
3 2，∴数列
bn
的通项公式为：
bn
2 3n1
16
(Ⅱ）∵ cn
(其中d＝an＋1－an)．
12
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
所以 的通项公式为： 19
(Ⅱ)设求数列
31
2
∴ Tn
(2n
1) 3n1 4
3
17
已知 an是递增的等差数列，
a2 , a4 是方程 x2 5x 6 0 的根。
（I）求 an的通项公式；
（II）（II）求数列
an 2n
的前
n
项和.
18
（I）方程
由题意得
，
的两根为 2,3, ，
设数列 的公差为 d,，
则
，故 d= ，从而
，
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
8
等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
9
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 a32 9a2a6
5.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
13
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
既{anbn}型
等差
等比
14
已知数列an 前项 n 和 sn n2 4n (n N*) ，数列bn 为等比数列，
＝ 9 92 9n ＋2(1＋2＋…＋n) 3
＝ 3(9n 1) ＋n2＋n 8
3分 4分 5分
8分
5
裂项求和法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称为分裂通 项法.（见到分式型的要往这种方 法联想）
n(n 1)
7分
2
1
2
11
故
2( )
bn n(n 1)
n n 1
1 b1
1 b2
... 1 bn
2
(1
1 2
)
(
1 2
1) 3
...
(
1 n
n
1
1)
2n n 1
所以数列{ 1 } 的前 n 项和为 2n
bn
n 1
10 分
11
1．特别是对于 anacn＋1，其中{an}
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数 3、注意公比
4
解： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋ 2d＝5， 由题意，得 10a1＋102×9d＝100，
解得 a1＝1， d＝ 2，
所以 an＝2n－1.
（Ⅱ）因为 bn＝ 3an
＋2n＝ 9n 3
＋2n，
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
首项 b1 2 ，公比为 q (q 0) ，且满足 b2 , b3 4q, b4 成等差数列.
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设 cn
3(an
3) bn 4
，记数列cn 的前 n
项和为Tn
，求Tn .
15
解（Ⅰ）当 n=1 时， a1 S1 5 ．
当 n≥2 时， an Sn Sn1 n2 4n n 12 4n 1 2n 3
数列的求和
献给玉潭中学最棒的你
1
一.公式法：
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
na1(q 1)
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
分组求和法
项的特征 cn=an+bn ({an}、{bn}为等差或等比数列。）
6
已知数列an 是等差数列，且 a1 2 ， a1 a2 a3 12 ． (Ⅰ)求数列an 的通项公式及前 n 项和 S n ；
(Ⅱ)求 1 1 1 L 1 的值．
S1 S2 S3
S10
7
. 解：(Ⅰ)由题意知： a1 a2 a3 3a2 12 ，
a2 4 ， d a2 a1 2
得 a33
9a42
所以 q2
1 9
。
由条件可知 an
>
0
，故 q
1 3
由
2a1
3a2
1 得 2a1
3a1q
1 ，所以 a1
1 3
故数列{an}的通项式为 an =
1 3n
2分 3分 5分
10
（Ⅱ ） bn log3 a1 log3 a2 ... log3 an
(1 2 ... n)
反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差{2n} ＋一
个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题.
3
探究二：
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn n N* ,a3 5, S10 100, .
（Ⅰ）求数列an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn 3an 2n ，求数列bn 的前 n 项和为 Tn.
3 an
3bn
4
n 3n
∴ Tn c1 c2 c3 L cn 1 3 2 32 3 33 L n 3n …①
3Tn
1 32 2 33 3 33 L n 3n1 …………………②
由①-②得： 2 Tn 3 32 33 L 3n n 3n1
3(3n 1) n 3n1 (1 2n) 3n1 3
2分
数列an 的通项公式为： an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n
数列an 的前 n
项和为：
Sn
n(a1 2
an )
n(2
2
2n)
n(n
1)
(Ⅱ)Q 1 1 1 1 1 1 1 L 1
Sn n(n 1) n n 1 S1 S2 S3
S10
(1 1) (1 1) (1 1) L ( 1 1 ) =1- 1 =10
验证 n 1 时也成立．∴数列an 的通项公式为： an 2n 3 ，
∵ b2,b3 4q,b4 成等差数列， b1 2. 所以 2(b3 4q) b2 b4 ，
即 q2 2q 3 0 ，因为 q 0,q 3.
∴
q b1
3 2，∴数列
bn
的通项公式为：
bn
2 3n1
16
(Ⅱ）∵ cn