讲义一元二次方程讲义

考点一、概念

(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132+=+x x

B 02112=-+x x

C 02=++c bx ax

D 1222+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：

1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解

⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a

变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则

a

b b a +的值为 。 针对练习：

1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）

A 1-

B 1

C c b -

D a -

5、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

作业：

1、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，

⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程

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1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值；⑵方程的另一个解。

考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02

※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：

例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132

=--x 例2、若()()2

221619+=-x x ，则x 的值为 。 针对练习：

1、下列方程无解的是（ ）

A.12322-=+x x

B.()022

=-x C.x x -=+132 D.092=+x 类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如()()2

2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x 典型例题：

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=x

B 3=x

C 3,2521==x x

D 5

2=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()

=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。 变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ）

A.2321=-=，x x

B.2321-==，x x

C.3321-==，x x

D.2221-==，x x 例4、解方程： ()04321322=++++x x

例5、已知023222=--y xy x ,则y

x y x -+的值为 。 变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则

y x y x -+的值为 。 针对练习：

1、下列说法中：

①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++

② )4)(2(862--=-+-x x x x .

③)3)(2(6522--=+-a a b ab a

④ ))()((22y x y x y x y x -++=-

⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x

正确的有（ ）