曲线积分与曲面积分习题课

思考题

1. 设L 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形依

逆时针方向的周界，则曲线积分=⎰++L y x dy

dx ||||

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1

2. 设Ω是平面块：y=x,10,10≤≤≤≤z x 的右侧，则⎰⎰Ω

ydydz

的值是（ ）

3. 设Ω是平面4=++z y x 被园柱面

12

2=+y x 截下的有限部分，则⎰⎰Ω

yds 的值是：

（A ）π

（B ）33

4

（C ）34 （D ） 0 4. 设f(x)连续可微，且f(0)=2，若沿任意光滑封闭曲线L 都是：

⎰=+-L

x dy x f dx x f e 0)()](3[2,则f(x)= (A)x x

e e

23-- (B)x x e e --23

(C)x

x e e 2+- (D)x x e e 2---

5. 设S 是锥面22y x z +=

被平面ｚ＝０和ｚ＝１所截得

部分的外侧，则曲面积分

)()2(2

=-++⎰⎰dxdy z z ydzdx xdydz S

ππ

π

2

3)(32)(0

)(2

3)(D C B A -

6.设∑为由2

2

2y x z +=与)0(00 z z z =所围立体之表面

的内侧，则⎰⎰∑

dxdy z ＝

（ ） 2

2

2

2

3)()(3)()(z D z C z B z A ππππ--

7. 设2

22:a y x D ≤+，则⎰⎰==D

dxdy xy I )(

44

4

)(2

)

()(0

)(a D a C a B A π

9.，并设曲线积分是连续可微函数，且若1

)0()(=ϕϕx ⎰

-=)

4,4()

0,0()(tan )(π

πϕϕdy x xdx x y A

之值为与积分路径无关，则A

8

2

)(8

2)

(2

2

)(22)

(-

-

D C B A

10. 若∑为

)(22

2y x z +-=在xoy 面上方部分的曲面 , 则⎰⎰∑

ds 等于( C ).

(A)⎰⎰⋅+r

rdr r d 0

2

20

41π

θ (B)⎰

⎰⋅+2

22041rdr r d πθ

(C)⎰⎰⋅+2

022041rdr r d πθ

11. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( B ).

(A)⎰⎰∑++外侧

dxdy y z dydz x )2(2 =

⎰⎰⎰Ω

+dxdydz x )22(

(B)⎰⎰∑+--外侧

zdxdy ydzdx x dydz yz x 232)(= ⎰⎰⎰Ω

+-dxdydz x x )123(2

2 (C)⎰⎰∑++内侧

dxdy y z dydz x )2(2

=⎰⎰⎰Ω

+dxdydz x )12(

12. L 为圆周，L 是

12

22=++z y x 与0=++z y x 的交线，其方向由x 轴正向看去为 逆时针方向，那么⎰

=++L

xdz zdy ydx

13.设S

是平面=++z y x 4

被圆柱面

12

2=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰S

yds 的

值是 14.设曲线积分⎰+L

dy x y dx xy )(2ϕ与路径无关，其中)(x ϕ具

有连续导数，且0)0(=ϕ，则⎰+)

1,1()

0,0(2

)(dy x y dx xy ϕ= 15. 设闭区域

D

由分段光滑的曲线

L

围成,函数

),(),,(y x Q y x P 及在

D

上具有一阶连续偏导数,则有

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y

P

x Q )(

________________ 16.

利用高斯公式计算曲面积分

dxdy z dzdx y dydz x 333++⎰⎰∑

，其中∑为球面2222a z y x =++的外

侧

17.设曲线积分

⎰+L

dy x y dx xy

)(2

ϕ与路径无关，其中

)(x ϕ具有连续导数，且0)0(=ϕ，

计算⎰+)

1,1()0,0(2

)(dy x y dx xy ϕ的值

18. 求dy m y e dx my y e x L

x )cos ()sin (-+-⎰,其中m 为常数，L 为沿上半园周)0,0(2

2≥>=+y a ax y x ，从点A(a,0)

至点O(0,0).

19. 计算yzdz x ⎰Γ，其中Γ是用平面z y =截球面1222=++z y x 所得的截痕，从z 轴的正向看去，沿逆时针方向

20. 计算..,2

2222的上侧为其中y x R z dxdy y x z ---=∑+⎰⎰

∑

21.计算曲线积分

,)(sin ydx dy e x y L

-+⎰212)0,1(x y A L -=沿是从点其中到点)0.1(-B 的上半椭圆.

22.利用高斯公式计算22

()()z y dzdx x z dxdy ∑

-+-⎰⎰，其中∑为