2019-2020学年临川一中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

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江西省临川第一中学2019_2020学年高一数学12月月考试题

江西省临川第一中学2019_2020学年高一数学12月月考试题

状元考前提醒拿到试卷:熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张,建议拿到卷子以后看看考卷一共几页,有多少道题,了解试卷结构,通览全卷是克服“前面难题做不出,后面易题没时间做”的有效措施,也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点:1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题,再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题,再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤,一步一步的解决,每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目,力争高水平考试时,因为时间和个别题目的难度,多数学生很难做完、做对全部题目,所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上,是试题的主要构成,学生能拿下这些题目,实际上就是有了胜利在握的心理,对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确,立足一次性成功在答卷时,要在以快为上的前提下,稳扎稳打,步步准确,尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度,甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查,看是否有空题,答卷是否准确,格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分,所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置,文科尽量把要点写清晰,作文尤其要注意开头和结尾。

考试时,每一道题都认真思考,能做几步就做几步,对于考生来说就是能做几分是几分,这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写,忌原地用涂黑的方式改,这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写,要先写出正确的,再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了,写新题解的时间又不够,本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事,莫慌乱!江西省临川第一中学2019-2020学年高一数学12月月考试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =-->,(){}lg 11B x x =+≤,则()R C A B I =( )A .{}13x x -≤< B .{}19x x -≤≤ C .{}13x x -<≤ D .{}19x x -<< 2.已知0.22019a =,20190.2b =,2019c=log 0.2,则( ) A .c a b <<B .b a c <<C .c b a <<D .a c b <<3.已知函数()f x 在(1,2)内有1个零点,用二分法求零点的近似值时,若精度为0.01,则至少计算中点函数值( ) A .5次B .6次C .7次D .8次4.下列不等式正确的是( )A .3sin130sin 40log 4>>o oB .tan 226ln 0.4tan 48<<o oC .()cos 20sin 65lg11-<<o o D .5tan 410sin 80log 2>>o o5.函数()y f x =的图象与函数()xg x e =的图象关于直线y x =对称,则函数()243y f x x =+-的单调递减区间为( )A .3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C .31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D .3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.已知函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则该函数图像( ) A .关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B .关于直线6x π=对称C .关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D .关于直线3x π=对称7.已知函数)53(212log )(+-=ax x x f 在),1(+∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是( ))6,8.(--A ]6,.(--∞B ]6,8.[--C ]6,8.(--D 8.函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是( )A .B .C .D .9.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数,将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得的图象对应的函数为()g x ,若()g x 最小正周期为2π,且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .-2B .2C .2-D 210.将函数()3sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图象关于原点对称,则m 的最小值是( ) A .12πB .6π C .3π D .23π 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数,若()f x 在(0,3)内单调递减.则下面结论正确的是( )A .()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B .()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C .()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D .()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12.设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数,且()11f -=-,若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+,则t 的取值范围是( )]2,2.[-A ]21,21.[-B ),2[}0{]2,.(+∞--∞Y Y C ),21[}0{]21,.(+∞--∞Y Y D第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知角θ的终边经过点P (4,y ),且3sin 5θ=-,则()tan πθ-=__________ 14.若1cos 1sin 2αα+=,则cos 2sin αα+=_________15.函数()2lg1y axax =++的值域是R ,则a 的取值范围是_________ _16.定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ,()()2f x f x =-,且当[]0,1x ∈时,()2f x x =,则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为三、本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知全集U =R ,集合{}56A x x =<≤,139x aB x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,其中a 为实数 (1)当152a =时,求A B U ; (2)若()R C B A φ≠I ,求a 的取值范围18. (本小题满分12分) (1)已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭,求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)已知角α的终边过点()43P ,-,β为第三象限角,且4tan 3β=,求()cos αβ-的值.19.(本小题满分12分)若函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象经过点,且相邻的两个零点差的绝对值为6.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象,当[1,5]x ∈-时,求()g x 的值域.20.(本小题满分12分)2019年,随着中国第一款5G 手机投入市场,5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析,得到如下规律:每生产手机()010x x ≤≤万台,其总成本为()G x ,其中固定成本为800万元,并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩(1)将利润()f x 表示为产量x 万台的函数;(2)当产量x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?21.(本小题满分12分)下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象,M 、N 是它与x 轴的两个交点,D 、C 分别为它的最高点和最低点,()0,1E 是线段MD 的中点,且OME ∆为等腰直角三角形.(1)求()f x 的解析式;(2)将函数()f x 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移12个单位长度得到()g x 的图象,求()g x 的解析式及单调增区间,对称中心.22.(本小题满分12分)已知函数()2lg ,2xf x m m R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. (1)当1m =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点,求实数m 的取值范围;(3)任取[]12,,2x x t t ∈+,若不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立,求实数m 的取值范围.参考答案CCCDD ACBCD AC13. 34 14. 1 15. 4≥a 16. 1617.(1)当152a =时,151522213339x x B x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=<=<=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭15112,22x x ⎧⎫⎛⎫-<-=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,因为集合{}56A x x =<≤,所以(],6A B =-∞U ; (2)因为{}213339x ax a R C B x x ---⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭[)2,a =-+∞, 又因为()R C B A φ≠I , 所以26a -≤,即8a ≤, 所以a 的取值范围是(],8-∞. 18.解:(1)由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭. (2)因为角α的终边过点()43P ,-,所以3sin 5α=,4cos 5α=-,因为β为第三象限角,且4tan 3β=,所以4sin 5β=-,3cos 5β=- 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19.(1)∵()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6,记()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的周期为T ,则62T =, 又2T πω=,∴6π=ω. ∴()2sin 062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭;∵()f x 的图像经过点,∴(0)2sin 02f πϕϕ⎫==<<⎪⎭,∴3πϕ=,∴函数()f x 的解析式为()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.(2)∵将函数()f x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像, 由(1)得,()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,∴函数()g x 的解析式为()2sin (3)2sin 6366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭;当[1,5]x ∈-时,2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,则2sin [66x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.综上,当[1,5]x ∈-时,()g x 的值域为[2]. 20.(1)由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩(2)由(1)可得,当05x ≤≤时,()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时,()max 5600f x =(万元)当510x <≤时,()10004600f x x =-,()f x 单调递增, 所以()()105400f x f ≤=(万元). 综上,当4x =时,()max 5600f x =(万元).所以当产量为4万台时,公司所获利润最大,最大利润为5600万元.21.(1)由已知点()0,1E 为线段MD 的中点,则2A =, 又OME ∆为等腰直角三角形,且2MOE π∠=,OM OE ∴=,则点()1,0M -,则()1,2D ,()121124πω∴⋅=--=,解得4πω=,()2sin 4f x x ϕπ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 将点D 的坐标代入函数()y f x =的解析式得2sin 24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,sin 14πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.02πϕ<<Q ,3444πππϕ∴<+<,42ππϕ∴+=,解得4πϕ=, 因此,()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)将函数()y f x =图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,得出函数2sin 24x y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再向左平移12个单位长度,得到函数()12sin 2cos 2242xg x x πππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,由()222xk k k Z ππππ-≤≤∈,得()424k x k k Z -≤≤∈.令()22xk k Z πππ=+∈,解得()21x k k Z =+∈.因此,函数()y g x =的单调增区间为[]()42,4k k k Z -∈,对称中心为()()21,0k k Z +∈.22.(1)当1m =-时,()212xf x lg ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 要使函数()f x 有意义,则需2102x -+>,即22x <,从而1x < 故函数()f x 的定义域为{}|1x x <(2)若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点, 则22202xlg m xlg ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一个根,即22(2)02x x lg m ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即22(2)12x x m ⎛⎫+=⎪⎝⎭, 即()222210xx m +⋅-=有且仅有一个根令20x t =>,则2210mt t +-=有且仅有一个正根, 当0m =时,210t -=,则12t =,即1x =-,成立; 当0m ≠时,若()2241440m m ∆=-⋅-=+=即1m =-时,1t =,此时0x =成立; 若()2241440m m ∆=-⋅-=+>,需10m-<,即0m >, 综上,m 的取值范围为[){}0,1+∞-U(3)若任取[]12,,2x x t t ∈+,不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 即()()max min 1f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 因为()22xf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭在定义域上是单调减函数, 所以2()2max t f x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,22()2min t f x lg m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 即222()()122max min tt f x f x lg m lg m +⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2221022t t m m +⎛⎫⎛⎫+≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则392t m ≥-,所以339()24max t m ≥-=-,即112m ≥-, 又()22xf x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有意义,需202x m +>,即22xm ->, 所以222t m +->,[]1,2t ∈,18m -> 所以m 的取值范围为),121[+∞-。

临川区一中高一月考数学试题及答案

临川区一中高一月考数学试题及答案

临川一中高一数学月考试卷姓名: 班级: 得分:一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a <0,b <-1,则下列不等式成立的是( )A.2a a a b b >> B.2a aa b b >> C.2a a a b b >> D.2a a a b b>> 2.等差数列{}n a 中,378a a +=,则前9项和9S =( )A. 18B. 24C. 36D. 483.过空间一点作平面,使其同时与两条异面直线平行,这样的平面( ) A.不一定有 B.只有一个 C.至多有两个 D.有无数个4.如右图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( )A. B. C. D.5.a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M ; ③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ; ④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b . 其中正确命题的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.已知四棱锥的俯视图是边长为4的正方形及其对角线(如右图),主视图与左视图都是边长为4的正三角形,则其全面积是( ) A.316 B.31616+ C.32 D.487.不等式22x x x x -->的解集是( ) A.(0,2) B.(,0)-∞ C.(2,)+∞ D.(,0)(0,)-∞+∞8. 设满足则( )A .有最小值2,最大值3B .有最小值2,无最大值C .有最大值3,无最小值D .既无最小值,也无最大值9.在三棱锥A BCD -中,侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直,ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆ 的面积分别为22、32、62,则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A .2πB .6πC .46πD .24π 10.若x,y ∈R,且2x 2+y 2=6x,则x 2+y 2+2x 的最大值为( )A.14B.15C.16D.1711.已知ABC ∆,若存在111A B C ∆,满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.则在满足下列条件的三角形,存在“友好”三角形的是( )①90,60,30A B C === ;②75,60,45A B C ===;③75,75,30A B C ===.A .①B .②C .③D .均不存在 12.已知a ,b ∈R,函数b ax x f -=)(,若对任意2213,1)(0],1,1[-+++≤≤-∈b a b a x f x 则有的最大值为( )A .21 B .52 C .2 D .72二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13. 已知等比数列{}n a ,公比3=q ,且其前4项和804=S ,则=2a _________.14.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=4,AB=AD=2,M 、N 分别为AC 、DD 1的中点,则异面直线DM 与CN 所成的角为_________.15.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边,若c=1,且2A cos +a =2b ,则△ABC 的周长l 的取值范围是_________16.如图,在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点,现将AED ∆沿AE 折起,使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上,当E 从D 运动到C ,则K 所形成轨迹的长度为三:解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本大题满分10分)如图,圆O 为三棱锥P -ABC 的底面ABC 的外接圆,AC 是圆O 的直径,PA ⊥BC ,点M 是线段PA 的中点.(1)求证:BC ⊥PB ;16题(2)设PA ⊥AC ,PA =AC =2,AB =1,求三棱锥P -MBC 的体积;18.(本大题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足 (2a -c )cos B =b cos C . (1)求内角B 的大小;(2)设m =(sin A ,cos2A ),n =(4k,1)(k >1),m ·n 的最大值为5,求k 的值.19.(本大题满分12分)如图,多面体AED —BFC 的直观图及三视图如图所示,M ,N 分别为AF ,BC 的中点.(1)求证:MN ∥平面CDEF ; (2)求多面体A —CDEF 的体积; 20. (本大题满分12分)某中学计划把一块边长为2米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种实验基地,图中DE 需把基地分成面积相等的两部分,D 在AB 上,E 在AC 上。

江西省抚州市临川一中2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题 答案和解析

江西省抚州市临川一中2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题 答案和解析
5.B
【分析】
根据等差数列和项性质得 成等差数列,再根据等差数列通项公式求结果.
【详解】
因为等差数列中 成等差数列,设公差为 ,而 ,
所以
故选:B
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及和项性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
6.C
【分析】
观察式子可变形为: ,再用叠乘法即可求解
【详解】
由nan+1=(n+1)an,可得: ,
【详解】

因此 为以1为首项,1为公差的等差数列,所以


所以
故选:A
【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义以及数列单调性应用,考查综合分析求解能力,属中档题.
13. 或
【分析】
根据正弦定理直接求解,即可得结果.
【详解】

故答案为: 或
【点睛】
本题考查正弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题.
14.
故选:A
【点睛】
本题考查等比数列和项公式基本量计算,考查综合分析求解能力,属中档题.
10.A
【分析】
先对条件取倒数,构造等差数列,求得 通项公式,再利用裂项相消法求结果.
【详解】
为以2为首项,3为公差的等差数列,
因此 ,
则数列 的前10项和为
故选:A
【点睛】
本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和,考查综合分析求解能力,属中档题.
A. B. C. D.
7.在△ABC中,a2tanB=b2tanA,则△ABC是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
8.已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,若 , .则下列说法错误的是()

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含解析

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含解析

临川一中2019-2020学年高一(下)入学考试数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-≤,则{}22xB x =≤,A B =( )A. 112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B. 102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D. 112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】计算{}02A x x =≤≤,12B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再计算交集得到答案. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤,{}1222xB x x x ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭,故102A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题. 2.若实数1122log log a b <,则( )A. ()ln 0a b ->B. 33a b <C. 330a b ->D. sin sin a b >【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性得到0a b >>,再依次判断每个选项得到答案. 【详解】1122log log a b <,故0a b >>,取1a =,12b =,则()ln 0a b -<,A 错误;33a b >,B 错误; 33a b >,故330a b ->,C 正确;取a π=,2b π=,sin sin a b <,D 错误.故选:C.【点睛】本题考查了不等关系的判断,意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.3.如图,若OA a =,OB b =,OC c =,B 是线段AC 靠近C 的一个三等分点,则下列等式成立的是( )A. 4133c b a =-B. 3122c b a =+ C. 3122c b a =-D. 2136c b a =+【答案】C 【解析】 【分析】代换3122OC OA AC OB OA =+=-,计算得到答案. 【详解】()333131222222OC OA AC OA AB OA OB OA OB OA b a =+=+=+-=-=-.故选:C.【点睛】本题考查了向量加法的运算法则,意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.下列函数中,既是偶函数,又在区间()0,∞+上单调递减的函数是( ) A. 23y x = B. 1cos y x =+ C. 2xy -= D. 1lny x= 【答案】D【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案.【详解】()23y f x x ==,则()()()2233y f x x x f x =-=-==,函数为偶函数,在区间()0,∞+上单调递增,故A 不满足;()1cos y f x x ==+,则()()1cos f x x f x -=+=,函数为偶函数,在区间()0,∞+上有增有减,故B 不满足;()2x y f x -==是非奇非偶函数,故C 不满足;()1lny f x x ==,()()1ln f x f x x-==,函数为偶函数,当()0,x ∈+∞时,()ln f x x =-,函数单调递减,满足. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 5.在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边与x 轴非负半轴重合,角α终边上有一点)3,1P-,则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 362-26-26+【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可求得sin α,cos α代入两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】(3,1)P -在终边上, 133sin ,cos 223131αα∴==-==++. 123262sin sin cos cos sin 444222πππααα-⎛⎫⎛⎫∴+=+=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求解三角函数值的问题,涉及到任意角三角函数的定义,属于基础题.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等,已知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()0ω>图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2020y =相交于A ,B 两点,且2AB =.则()f x 的一个增区间为( ) A. 72,12⎛⎫--⎪⎝⎭B. ()1,1-C. 51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2T AB ==,从而求出2πω=,再整体代入法求出函数的单调递增区间,从而得出答案.【详解】解:由题意可知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2T AB ==,∴2πω=,解得2πω=,∴()tan 212f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由,22122k x k k Z ππππππ-+<+<+∈得7522,66k x k k Z -+<<+∈, 当1k =-时,得197,66x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,故A 错; 当0k =时,得75,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故B 错、C 对;当1k =时,得517,66x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故D 错; 故选:C .【点睛】本题主要考查正切函数的周期性与单调性,考查数学想象能力,属于基础题.7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩,若()6f a =-,则a 为( ) A. 116- B. 5- C. 116-或5D. 116-或5- 【答案】D 【解析】 【分析】利用()f x 是奇函数,以及函数()f x 在0x >上的解析式,合理转化,列出方程,即可求解.【详解】由题意,当0x >时,()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩, ①当01a <<时,由()12log 26f a a =+=-,解得82a =,此时无解;②当1a ≥时,由16a +=-,解得7a =-,此时无解; 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f a f a =--, 因为()6f a =-,所以()6f a -=,③当10a -<<时,则01a <-<,可得()12log ()26f a a -=-+=,解得116a =-;④当1a ≤-,则1a -≥,可得()16f a a -=-+=,解得5a =-, 综上可得,实数a 的值为116-或5-. 故选:D.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的应用,以及函数的奇偶性的应用,其中解答中熟练应用函数的解析,结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.8.已知函数()()411f x x x x =+>-,则()f x 的最小值为( ) A. 4 B. 5C. 6D.163【答案】B 【解析】 【分析】 易得()4111f x x x =+-+-,再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题, 10x ->,故()()44111+1511f x x x x x =+-+≥⋅-=--,当且仅当411x x =--,即3x =时取等号. 故选:B【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值问题,属于基础题.9.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a 元一年定期,若年利率为r 保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为( ) A. 17(1)a r + B. 17[(1)(1)]a r r r +-+C. 18(1)a r +D. 18[(1)(1)]a r r r+-+【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得:孩子18岁生日时将所有存款(含利息)全部取回,可以看成是以(1)a r +为首项,(1)r +为公比的等比数列的前17项的和,再由等比数列前n 项和公式求解即可.详解】解:根据题意,当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +, 同理:孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +,孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +,⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +,可以看成是以(1)a r +为首项,(1)r +为公比的等比数列的前17项的和, 此时将存款(含利息)全部取回, 则取回的钱的总数:17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r aS a r a r a r r r r r++-=++++⋯⋯++==+-++-;故选D .【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和,属中档题.10.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1ff x =根的个数为( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =,先求出方程()1f u =的三个根11u =,211u e=+,31u e =+,然后分别作出直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的图象,得出交点的总数即为所求结果. 【详解】令()u f x =,先解方程()1f u =.(1)当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =;(2)当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示:直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=. 故选:C.【点睛】本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于中档题. 11.将函数()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ,2A ,3A ,n A ⋅⋅⋅,若P 点坐标为()0,2,则12n PA PA PA ++⋅⋅⋅+=( )A. 55B. 355 D. 0【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图像,根据图像知共有5个交点,交点关于()1,0对称,则12535PA PA PA PA ++⋅⋅⋅+=,计算得到答案.【详解】()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭,函数周期为4T =,函数图像关于()1,0中心对称,画出函数图像:根据图像知,共有5个交点,交点关于()1,0对称,()31,0A , 则125333322555PA PA PA PA PA PA PA ++⋅⋅⋅+=++==. 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数交点问题,向量的模,确定共有5个交点,交点关于()1,0对称是解题的关键.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下关于狄利克雷函数()f x 的五个结论中,正确的个数是( )个. ①函数()f x 偶函数; ②函数()f x 的值域是{}0,1; ③若0T ≠且T 为有理数,则f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立;④在()f x 图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得ABC 为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】当x Q ∈时,x Q -∈,当R x C Q ∈时,R x C Q -∈,函数为偶函数,①正确,函数()f x 的值域是{}0,1,②正确,T 为有理数,则当x Q ∈时,x T Q +∈,当R x C Q ∈时,R x T C Q +∈,故f x T f x ,③正确,()0,1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭构成等边三角形,故④正确,得到答案.【详解】当x Q ∈时,x Q -∈,当R x C Q ∈时,R x C Q -∈,故()()f x f x =-,函数为偶函数,①正确;函数()f x 的值域是{}0,1,②正确;T 为有理数,则当x Q ∈时,x T Q +∈,当R x C Q ∈时,R x T C Q +∈,故f x T f x ,③正确;()01f =,30f ⎛= ⎝⎭,30f =⎝⎭,故()0,1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3⎫⎪⎪⎝⎭构成等边三角形,故④正确; 故选:D.【点睛】本题考查了函数的新定义问题,意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上. 13.已知向量()2,3a =,(),1b x =,若a b ⊥,则实数x 的值是______. 【答案】32- 【解析】 【分析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.【详解】a b ⊥,则230a b x ⋅=+=,解得32x =-. 故答案为:32-. 点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,属于简单题.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若231018a a a ++=,则9S =______. 【答案】54 【解析】 【分析】计算得到56a =,()1995992a a S a +==,计算得到答案. 【详解】()231011531234318a a a a d a d a ++=+=+==,故56a =,()199599542a a S a +===. 故答案为:54.【点睛】本题考查了等差数列求和,意在考查学生的计算能力.15.已知实数x ,y 满足:210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,221z x y =--,则z 的取值范围是______.【答案】[)0,5 【解析】 【分析】如图所示,画出可行域和目标函数1221z x y =--,根据几何意义得到15,53z ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数1221z x y =--,即112z y x +=-, 112z +-表示直线在y 轴上的截距, 根据图像知:当直线过点()2,1-,即2x =,1y =-时,1z 有最大值为5; 当直线过点12,33⎛⎫⎪⎝⎭,即13x =,23y =时,1z 有最小值为53-, 故15,53z ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,故[)0,5z ∈. 故答案为:[)0,5.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.16.如图,在ABC 中,3AB =,2AC =,60BAC ∠=︒,D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12⋅=AD AE ,若P 是线段DE 上的一个动点,则⋅BP CP 的最小值为______.【答案】116- 【解析】 【分析】 计算1AD =,设()1123DP DE AE AD AC AB λλλ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭,则211416BP CP λ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭,计算得到答案.【详解】11cos 22AD AE AD AE A AD ⋅=⋅==,故1AD =.设()1123DP DE AE AD AC AB λλλ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭,[]0,1λ∈,则()()()()BP CP AP AB AP AC AD DP AB AD DP AC ⋅=-⋅-=+-⋅+-222111113323322416AB AC AB AC λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅-+-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故14λ=时,⋅BP CP 有最小值为116-. 故答案为:116-.【点睛】本题考查了向量的数量积的最值,意在考查学生的计算能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知()()()222121f x ax a x a =-+++,a R ∈.(1)当2a =时,解不等式()0f x ≥; (2)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. 【答案】(1)(]5,2,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭;(2)当0a =时,解集为(],2-∞;当0a <时,故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦;当1a =时,解集为R ;当0a >且1a ≠时,故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】(1)将2a =代入不等式,解得答案.(2)()()()221f x x ax a ⎡⎤=--+⎣⎦,讨论0a =,0a <,1a =和0a >且1a ≠几种情况,计算得到答案. 【详解】(1)当2a =时,()229100f x x x =-+≥,解得2x ≤或52x ≥, 故解集为(]5,2,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. (2)()()()()()222212121f x ax a x a x ax a ⎡⎤=-+++=--+⎣⎦当0a =时,()20f x x =-+≥,解得2x ≤,故解集为(],2-∞; 当0a <时,12a a +<,故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦;当1a =时,()()220f x x =-≥恒成立,故解集为R ;当0a >且1a ≠时,12a a +>,故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述:当0a =时,解集为(],2-∞;当0a <时,故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦;当1a =时,解集为R ;当0a >且1a ≠时,故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了解不等式,分类讨论是常用的数学技巧,需要灵活掌握. 18.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,3116a =,1218a a -=,数列{}n b 满足13b =-,且11n b ++与1n b -的等差中项是n a . (1)分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求242n S b b b =++⋅⋅⋅+的值.【答案】(1)112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(2)221222343nS n n ⎛⎫=⋅--- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)利用等比数列公式得到112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,故1122nn n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,利用累加法计算得到答案. (2)212142n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,利用分组求和法计算得到答案.【详解】(1)231116a q a ==,121118a a a a q -=-=,解得12q =或1q =-(舍去),114a =, 故11111422n n n a -+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.11n b ++与1n b -的等差中项是n a ,故1112n n n b b a +++-=,故1122nn n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, ()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1211111122...2322222n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++--=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)212142n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,故()22421144121242212234314nnn n n S b b b n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=--=⋅--- ⎪⎝⎭-.【点睛】本题考查了数列的通项公式,数列求和,累加法,分组求和法,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19.将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.(1)若()f x 为偶函数,求()fϕ的值;(2)若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数,求ϕ的取值范围.【答案】(1)0;(2),62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)首先化简()g x 解析式,然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式,根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值,进而求得()fϕ的值.(2)根据(1)中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,求得226x πϕ++的取值范围,根据ϕ的取值范围,求得22πϕ+的取值范围,根据()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数,以及正弦型函数的单调性列不等式,解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】(1)()()314sin cos sin 321cos 222g x x x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭,又()f x 为偶函数,则262k ϕππ+=+π(k Z ∈),02πϕ<≤,6πϕ∴=.()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.(2)7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++⎪⎝⎭, 02πϕ<≤,72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦,32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦, ()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数.262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤.,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换,考查根据三角函数的奇偶性求参数,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间有关问题的求解,考查运算求解能力,属于中档题. 20.已知函数()2xxag x e e =-,是奇函数. (1)求a 的值,并证明函数()g x 的单调性;(2)若对任意的()1,9t ∈,使得不等式()()31log log 30t g t g k -+⋅>成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)2a =,证明见解析;(2)[)2,k ∈+∞ 【解析】 【分析】(1)根据()00g =得到2a =,设12x x <,计算()()210g x g x -<得到证明.(2)根据函数的单调性和奇偶性得到221124k m m m ⎛⎫>-=-- ⎪⎝⎭,计算得到答案. 【详解】(1)函数()2xx a g x e e =-是奇函数,故()00220a g e a e =-=-=,故2a =. 当2a =时,()22x x g x e e =-,()()22xx g x e g x e-=-=-,函数为奇函数.函数单调递增, 证明:设12x x <, 则()()()21212112212212221xx x x x x x xg x g x e e e e e e e +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为12x x <,故210x x e e ->,12110x x e++>,故()()210g x g x ->,故函数单调递增.(2)()()31log log 30t g t g k -+⋅>,故()()31log log 3t g t g k ->-⋅, 即31log log 3t t k ->-⋅,设3log t m =,则()0,2m ∈,故1k m m->-, 即221124k m m m ⎛⎫>-=-- ⎪⎝⎭,当2m =时,211224m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,故2k ≥. 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,利用函数性质解决不等式恒成立问题,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.21.已知数列{a n }的首项135a =,1321nn n a a a +=+,n *∈N .(1)求证:数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; (2)记12111n nS a a a =+++,若S n <100,求最大正整数n ; (3)是否存在互不相等的正整数m ,s ,n ,使m ,s ,n 成等差数列,且a m -1,a s -1,a n -1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)99;(3)不存在 【解析】试题分析:(1)根据1321n n n a a a +=+可得111111133n n n a a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,根据135a =,可知1110a -≠,即1111131n n a a +-=-,据此即可求证;(2)根据等比数列的通项公式可得11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,进而即可表示出n S ,对其进行整理可得113n n S n =+-,由于100n S <,所以有111003nn +-<,即1993n <,至此,即可得到最大正整数n ;(3)首先假设存在,根据等差数列的性质可得2m n s +=,再根据等比的性质可得()()()2111m n s a a a --=-,结合(2)中得到的通项公式可将其化简为3323m n s +=⋅,接下来再根据均值不等式可知333323m n m n s ++≥=⋅,当且仅当m n =时等号成立,至此,再根据,,m n s 互不相等即可得结果.试题解析:(1)因为=+,所以-1=-.又因为-1≠0,所以-1≠0(n ∈N *). 所以数列为等比数列.(2)由(1)可得-1=·n -1,所以=2·n+1.S n =++…+=n +2=n +2·=n +1-,若S n <100,则n +1-<100,因为函数y= n +1-单调增, 所以最大正整数n 的值为99. (3)假设存在,则m +n =2s ,(a m -1)(a n -1)=(a s -1)2, 因为a n =,所以=2,化简得3m+3n=2·3s,因为3m+3n≥2·=2·3s,当且仅当m =n 时等号,又m ,s ,n 互不相等,所以不存在. 22.已知()22log 21f x ax x a =-+-,a R ∈.(1)求()f x 的解析式;(2)设()()2xh x f x -=,当0a >时,任意1x ,[]21,1x ∈-,使()()1212a h x h x +-≤成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()22221xxf x a a =⋅-⋅+-;(2)5745a ⎤-∈⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)设2log x t =,则2t x =,代入化简得到答案.(2)设2x t =,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()12a h t at t -=+-,讨论1a >,1a =,105a <<,1152a ≤≤,1425a <≤,415a <<几种情况,根据函数的单调性求最值,计算得到答案. 【详解】(1)()22log 21f x ax x a =-+-,设2log x t =,则2t x =,()()2222212221t t t t f t a a a a =-⋅+-=⋅-⋅+-,则()22221x xf x a a =⋅-⋅+-.(2)()()()22212xx x h x f x a a --==⋅-+-,设2x t =,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()12ah t at t-=+-, 当1a >时,函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤⎪⎝⎭,解得45a ≤,不成立; 当1a =时,()2h t t =-,函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤ ⎪⎝⎭,解得45a ≤,不成立; 当01a <<时,根据双勾函数性质知:()12ah t at t -=+-在1a a ⎛- ⎝上单调递减, 在1,a a ⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增.若105a <<12a a->,故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 故()()()12max 13612222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤⎪⎝⎭,27a ≥,不成立; 若1152a ≤≤,1122aa-≤≤,且()122h h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 故()()()12max 1131212222a a a h x h x h h a a a -+⎛⎫-=-=---≤⎪⎝⎭, 5712a -≤≤; 若1425a <≤,1122aa-≤≤,且()122h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭,()()()()12max1331221222a a a h x h x h h a a a --+-=-=--≤,解得1425a <≤; 若415a <<112a a -<,故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤ ⎪⎝⎭,无解. 综上所述:5745a ⎤-∈⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了求函数解析式,不等式恒成立问题,分类讨论是常用的数学方法,需要熟练掌握.高考资源网()您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)

单调递增的,则不等式
3 的解集为_________.
(1, 2) 【答案】 3 3
【解析】 【分析】
根据已知条件和平移变换可得函数 f (x) 的奇偶性和单调性,再根据奇偶性和单调性解函数不
等式可得.
【详解】因为 f (x 1) 的图像关于 x 1 对称且在 (, 1) 上是单调递增的,所以 f (x) 的图
f (x1) f (x2 ) 0
【详解】因为对任意 x1, x2 R 且 x1 x2 时,有 x1 x2
,所以 f (x) 为 R 上的单调
递增函数,
a 2 0
7
2a 2
1
所以
1
7
2a
1
a
2
5 2
13 a 5
,解得: 6
2.
故选 B .
【点睛】分段函数的单调性除了要各段都单调外,还要考虑各段的最值关系.
f
(x)
满足
2
f
(x)
xf
(1) x
1 x
,则
f
(3)


A. 3 【答案】B 【解析】 【分析】
29 B. 9
23 C. 9
1 D. 3
x1 在已知恒等式中分别 x 3 和 3 得到两个方程,再联立方程组消元可解得.
2 f (x) xf ( 1 ) 1
【详解】在
x x 中,
x1 分别令 x 3 和 3 得:
A {x | x k 1 , k Z}, B {x | x k 5 , k Z}
3.设集合
26
6
,则集合 A 和集合 B 的关系为
()
A. A B
B. B A
C. A B

2019-2020学年临川二中实验学校高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年临川二中实验学校高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年临川二中实验学校高一(下)第一次月考数学试卷题号 一 二 三 总分 得分一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. 在△ABC 中,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 已知点A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4),则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 5√22B. −5√22C. 5√1717D. −5√17173. 在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,若,,则A. 4a ⃗ +6b ⃗B. 14a⃗ +34b ⃗ C. 12a⃗ +32b ⃗ D. 12a⃗ +b ⃗ 4. 在△ABC 中,若A =30°,a =√6,b =4,那么满足条件的△ABC( )A. 有一个B. 有两个C. 不存在D. 不能确定5. 已知向量a ⃗ =(0,−1),b ⃗ =(√3,2),则|a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2B. √7+1C. 8D. 46. 已知向量a ⃗ =(2,3),b ⃗ =(k,−1),a ⃗ ⊥b ⃗ ,则k =( )A. 32B. −32C. 23D. −237. 在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ,其中a =4,b =3,∠C =60°,则△ABC 的面积为( )A. 3B. 3√3C. 6D. 6√38. 在△ABC 中,BC =5,AC =8,C =60°,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. −20 C. 20√3 D. −20√39. ΔABC 中,若cos C =2√23,bcosA +acosB =2,则ΔABC 的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π10. 如图,某船在海上航行中遇险发出呼救信号,我海上救生艇在A 处获悉后,立即测出该船在方位角45°方向,相距10海里的C 处,还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶,救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救,则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为( )A. 15小时B. 13小时C. 25小时D. 23小时11. 在△ABC 中,A =π6,BC =4√33,AB =4,则C =( )A. π6B. 2π3C. π3或2π3D. π212. 若平面向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ =2,则对于任意实数λ,|λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ |的最小值是( ) A. √3B.√32C. 2D. 1二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 设向量a ⃗ =(2,1+m),b ⃗ =(3,m),且a ⃗ //b ⃗ ,则m = ______ .14. 在△ABC 中,若a =2,cos C =−14,3sin A =2sin B ,则c =________.15. 在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a =2√3,m⃗⃗⃗ =(−cos A2,sin A2),n ⃗ =(cos A2,sin A2),且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12,则b +c 的取值范围为______.16. 已知平行四边形ABCD 中,AB =√2,BC =3,∠ABC =45°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ . 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17. 已知|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,(2a ⃗ +3b ⃗ )⋅(3a ⃗ −b⃗ )=18. (1)求a ⃗ ,b ⃗ 的夹角θ;(2)当k 为何值时,(k b ⃗ −a ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ ).18.已知向量a⃗=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ,b⃗ =3e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ,其中e1⃗⃗⃗ =(1,0),e2⃗⃗⃗ =(0,1),求:(1)a⃗⋅b⃗ ;(2)a⃗与b⃗ 夹角的余弦值.),1),n⃗=(cosx,1).,19.已知m⃗⃗⃗ =(sin(x−π6(1)若m⃗⃗⃗ //n⃗,求tan x的值;(2)若函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗,求f(x)的单调递增区间.20.在△ABC中,a=2,b=4,C=60°.(1)求边c及面积S.(2)求sinA+cosB的值.21. 如图,在平面四边形ABCD 中,,(1)若CD =5,求AB 的长; (2)若BD =4,求的值.22. 在△ABC 中,点M 在边AC 上,CM =3MA ,tan∠ABM =√35,tan∠BMC =−√32. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若BM =√21,求△ABC 的面积.【答案与解析】1.答案:A解析:此题考查平面向量的加减运算及平面向量基本定理,属于基础题.关键是利用平面向量的减法及已知得PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:PB ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选A .2.答案:A解析:本题主要考查向量坐标运算以及向量投影的应用,根据向量投影和向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键.根据条件求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,再根据投影的定义即可得到答案. 解:∵A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4), ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1), 则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√22, 故选:A .3.答案:B解析:本题主要考查平面向量基本定理的运用,考查化简运算能力,属于基础题.解题的关键是由已知条件得到AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )及AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),进而得解. 解:作草图如下,∵D 是BC 的中点, ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∵E 是DC 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ] =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +34b ⃗ . 故选B .4.答案:B解析:本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键是通过正弦定理求得sin B ,进而根据sin B 的推断出三角形的解,利用正弦定理和已知的两边,一角求得sin B 的值大于1推断出sin B 不符合题意,三角形无解,属于中档题.解:由正弦定理可知asinA =bsinB ,∴sinB =sinA a⋅b =√63<1,a <b ,∠A <∠B , 故方程有两解. 故选B .5.答案:A解析:解:由题意可得a⃗+b⃗ =(√3,1),∴|a⃗+b⃗ |=√3+1=2,故选:A.先由条件求得得a⃗+b⃗ 的坐标,再根据向量的模的定义求得|a⃗+b⃗ |的值.本题主要考查向量的模的定义和求法,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.6.答案:A解析:本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题.利用a⃗⊥b⃗ ⇔a⃗⋅b⃗ =0,即可得出.解:∵a⃗⊥b⃗ ,∴a⃗⋅b⃗ =0,∴2k−3=0,.解得k=32故选:A.7.答案:B解析:解:∵△ABC中,a=4,b=3,∠C=60°,absinC=3√3,∴S△ABC=12故选:B.利用三角形面积公式列出关系式,把a,b,sin C的值代入计算即可.此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握面积公式是解本题的关键.8.答案:B解析:本题考查向量的数量积的运算,注意向量的夹角是解题的关键.属于基础题.利用已知条件,通过向量的数量积求解即可.解:在△ABC中,BC=5,AC=8,C=60°,,则,=5×8×(−12)=−20.故选:B.9.答案:C解析:本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面积公式在解三角形中的应用,属于中档题.由余弦定理化简已知等式可求c的值,利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值,进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值,利用圆的面积公式即可计算得解.解:∵bcosA+acosB=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2−a22bc +a×a2+c2−b22ac=2,整理解得c=2,又∵cosC=2√23,C为三角形内角,可得:sinC=13,∴设三角形的外接圆的半径为R,则2R=csinC=6,可得R=3,∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π.故选C.10.答案:D解析:本题主要考查了解三角形的实际应用、余弦定理,属于基础题.解题的关键是利用了余弦定理,利用已知的边和角建立方程求得时间.设所需时间为t 小时,在点B 处相遇则可求得AB 和BC ,进而利用余弦定理建立等式求得t .解:设所需时间为t 小时,在点B 处相遇,在△ABC 中,∠ACB =120°,AC =10,AB =21t ,BC =9t , 由余弦定理,得(21t)2=102+(9t)2−2×10×9t ×cos120°, 整理得36t 2−9t −10=0, 解得t =23或−512(负值舍去),故救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为23小时. 故选D .11.答案:C解析:本题考查正弦定理,以及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.由题意和正弦定理求出sin C 的值,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C. 解:∵BC =a =4√33,AB =c =4,A =π6, ∴由正弦定理得, a sinA =csinC , 则sinC =√32, 又∵0<C <π,c >a ,∴C =π3或2π3, 故选C .12.答案:A解析:本题考查了向量的数量积,平面向量的基本定理的应用及向量的模,属于中档题.设平面向量a ⃗ ,b ⃗ 夹角为θ,由题意可得a ⃗ ·b ⃗ =2,可得θ=π3,画出图形,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,可得|λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ |的最小值是△ABC 的高,从而求出答案. 解:设平面向量a ⃗ ,b ⃗ 夹角为θ,由|a ⃗ |=|b ⃗ |=a ⃗ ·b ⃗ =2,得a ⃗ ·b ⃗ =2×2cosθ=2, 即cosθ=12,所以θ=π3,如图,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ,则D 在直线BC 上,∴|λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为△ABC 的高, 即为√32×2=√3.故选A .13.答案:−3解析:解:∵a ⃗ //b ⃗ , ∴3(1+m)−2m =0, 解得m =−3. 故答案为:−3.利用向量共线定理即可得出.本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.答案:4解析:本题考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题. 解:在△ABC 中,∵a =2,3sin A =2sin B , ∴由正弦定理得,3a =2b ,即b =3, ∵cos C =−14,∴由余弦定理得,c 2=a 2+b 2−2abcosC =4+9−2×2×3×(−14)=16, ∴c =4. 故答案为4.15.答案:(2√3,4]解析:解:因为m⃗⃗⃗ =(−cos A2,sin A2),n⃗=(cos A2,sin A2),且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=12,所以−cos2A2+sin2A2=12,所以cosA=−12,又0<A<π,所以A=−2π3,由正弦定理得:b sinB =csinC=2√3√32=4,即b=4sinB,c=4sinC,所以b+c=4(sinB+sinC)=8sin B+C2cos B−C2=4cos B−C2,又−π6<B−C2<π6,所以4cos B−C2∈(2√3,4].故b+c的取值范围为:(2√3,4]由平面向量数量积运算,得:−cos2A2+sin2A2=12,即A=−2π3,由正弦定理得:bsinB =csinC=√3√32=4,即b=4sinB,c=4sinC,由差化积公式得:b+c=4(sinB+sinC)=8sin B+C2cos B−C2=4cos B−C2,又−π6<B−C2<π6,所以4cos B−C2∈(2√3,4],得解.本题考查了正弦定理及和差化积公式及平面向量数量积运算,属中档题.16.答案:5解析:本题考查平面向量的数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于中档题.应用平行四边形的性质,以及向量的数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方.解:平行四边形ABCD 中,AB =√2,BC = 3,∠ABC = 45°,可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = | AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos135°= 3 √2⋅( −√22)= − 3,则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅( − AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = − AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2= 3 + 2 = 5. 故答案为5.17.答案:解:(1)∵|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,(2a ⃗ +3b ⃗ )⋅(3a ⃗ −b ⃗ )=18.∴(2a ⃗ +3b ⃗ )⋅(3a ⃗ −b ⃗ )=6a ⃗ 2−3b ⃗ 2+7a ⃗ ⋅b ⃗ =18, 代入|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3得,a ⃗ ⋅b ⃗ =3, ∴cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=12,解得a ⃗ ,b ⃗ 的夹角.(2)∵(k b ⃗ −a ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ ),∴(k b ⃗ −a ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0,即:(k −1)a ⃗ ⋅b ⃗ +k b ⃗ 2−a ⃗ 2=0,代入|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,a ⃗ ⋅b ⃗ =3,得3(k −1)+9k −4=0, 解得k =712.解析:(1)由(2a ⃗ +3b ⃗ )⋅(3a ⃗ −b ⃗ )=6a ⃗ 2−3b ⃗ 2+7a ⃗ ⋅b ⃗ =18,得,a ⃗ ⋅b ⃗ =3,从而cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b ⃗ |=12,由此能求出a ⃗ ,b ⃗ 的夹角θ.(2)由(k b ⃗ −a ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ ),得3(k −1)+9k −4=0,由此能求出k .本题考查向量的夹角的求法,考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.答案:解:(1)∵向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ,b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ , 其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0),e 2⃗⃗⃗ =(0,1), ∴a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(3,1), a⃗ ⋅b ⃗ =1×3−2×1=1 (2)∵|a ⃗ |=√5,|b ⃗ |=√10, ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√5√10=√210;解析:(1)运算得出a⃗=(1,−2),b⃗ =(3,1),根据数量积的运算公式求解即可.(2)根据cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|求解即可.本题考查了平面向量的坐标运算,数量积,夹角问题,计算简单,属于基础题.19.答案:解:(1)由m⃗⃗⃗ //n⃗可得sin(x−π6)−cosx=0,展开变形可得√32sinx−32cosx=0,∴sinx=√3cosx,∴tanx=√3,(2)f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin(x−π6)cosx+1=√32sinxcosx−12cos2x+1=√34sin2x−14cos2x+34=1 2sin(2x−π6)+34,由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z,即−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z解析:(1)根据向量的平行和两角差的正弦公式即可求出,(2)根据向量的数量公式和二倍角公式两角差的正弦公式化简f(x),再根据正弦函数图象和性质即可求出单调递增区间.本题考查了向量的平行和数量积,以及三角函数的恒等变化,属于中档题20.答案:解:(1)在△ABC中,由余弦定理可得:c2=22+42−2×2×4×cos60°=12,解得c=2√3,则S=12×2×4×sin60°=2√3.(2)在△ABC中,由正弦定理可得:2sinA =4sinB=2√3sin60°,∴sinA=12,sinB=1,∴A=30°,B=90°.sinA+cosB=12+0=12.解析:本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.(1)由余弦定理可得:c ,再利用面积计算公式可得S . (2)由正弦定理可得:2sinA=4sinB=2√3sin60°,解得sin A ,sin B ,即可得出.21.答案:解:,,在△BCD 中,由余弦定理得,∴BD =4, 在ΔABD 中,,∴AB =2√2(2)在△BDC 中,由正弦定理得,且sinC =√1−cos 2C =45,,由BC <BD ,,.解析:本题考查正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用,是中档题. (1)由可求cos C ,然后由余弦定理可求BD ,在直角三角形ABD 中,可求AB .(2)在△BDC 中,由正弦定理可求sin∠BDC ,再求cos∠BDC ,然后利用可求解.22.答案:解:(Ⅰ)∵tan∠BMC =−√32,∴tan∠BMA =√32, ∴tanA =tan(π−∠ABM −∠BMA)=−tan(∠ABM +∠BMA), ∴tanA =−tan∠ABM+tan∠BMA1−tan∠ABM⋅tan∠BMA =√35+√321−√35.√32=−√3,∵0<A <π,∴A =2π3.(Ⅱ)∵tan∠BMA =√32,tan∠ABM =√35,∴sin∠BMA=√217,sin∠ABM=√2114.在△ABM中,由正弦定理,得ABsin∠BMA =BMsinA..∴△ABM的面积.∵点M在边AC上,CM=3MA,∴△ABC的面积.解析:本题考查了解三角的综合应用,涉及和角的余弦公式以及正弦定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.(Ⅰ)利用tanA=tan(π−∠ABM−∠BMA)=−tan(∠ABM+∠BMA),然后求解;(Ⅱ)先求得sin∠BMA,sin∠ABM.利用正弦定理求BA,然后由求解;。

2019-2020学年临汾一中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年临汾一中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年临汾一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. sin405°+cos(−270°)等于( )A. 1+√22B. −√22C. √22−1 D. √222. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4),若a ⃗ ⊥b ⃗ ,则实数k 为( )A. −12B. 12C. 43D. 343. 若a =sin2π7,b =tan 5π7,c =cos 5π7,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a4. 如图,在△ABC 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的值为( )A. 1112 B. 2528 C. 14 D. 13145. 如图,是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图甲中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为A 1、A 2、…、A 6.右下图是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图,则右下图中输出的S =( )A. 10000B. 6000C. 4000D. 以上答案都不对6. 已知一个扇形的半径为1,弧长为4,则这个扇形的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 在△ABC 中,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. −1C. 12D. −128. 已知函数f (x )=ax+b(x+c )2的图像如图所示,则函数g (x )=ax 2+bx −c 的图像可能是( )A.B.C.D.9. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π6,且,则A. √3B. 1C. 2√3D. 210. 已知函数f(x)=log 0.5(x 2−ax +3a)在[2,+∞)单调递减,则a 的取值范围( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4]11. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值−1,则ω的取值范围是( )A. [5π12,13π12) B. (5π12,13π12]C. [7π12,13π12) D. (7π12,13π12]12. 已知函数f(x)={3x ,x >02x +1,x ⩽0,若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值为( )A. −3B. −2C. −1D. 1二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 函数y =tan (x +π6)的定义域是__________.14. 已知点M(1,0,2),N(−1,1,0),P(3,−1,a)三点共线,则实数a 的值为__________.15. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3),且向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为1,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______. 16. 函数f(x)=cos(3x +π6)在上零点个数___________.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17. 已知点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y <0,cosα=35,求tanα的值.18. 已知tanα=2,计算① 2cos(π2+α)−cos(π−α)sin(π2−α)−3sin(π+α) ②sin 3α−cosαsin 3α+2cosα19. 某学校为了解其下属后勤处的服务情况,随机访问了50名教职工,根据这50名教职工对后勤处的评分情况,绘制频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数(结果保留到小数点后一位);(2)从评分在[40,60)的受访教职工中,随机抽取2人,求此2人至少有1人在[50,60)内的概率.),将函数f(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标20.已知函数f(x)=sin(2x+π6扩大到原来的√3倍,所得图象为函数g(x)的图象.(1)写出g(x)的解析式;(2)用“五点法”画出g(x)的图象(x∈[0,2π]).(3)求函数g(x)图象的对称轴,对称中心.)(ω>0)的最小正周期为π.21.已知函数f(x)=4cosωx⋅sin(ωx+π4(1)求ω的值;]上的单调性.(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0,π222.二次函数f(x)满足f(x)=f(−x)+12x+f(0)−6,且f(−1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[−3,0]时,不等式f(2x)>4x+m恒成立,求m的取值范围.【答案与解析】1.答案:D解析:解:sin405°+cos(−270°)=sin45°+cos90°=√22+0=√22,故选:D.由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果.本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错点,属于基础题.2.答案:A解析:本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质,属于基础题.由条件利用两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质,求得k的值.解:∵平面向量a⃗=(k,3),b⃗ =(1,4),a⃗⊥b⃗ ,∴a⃗·b⃗ =k+12=0,解得k=−12,故选A.3.答案:C解析:本题考查三角函数线,考查大小比较,确定0<2π7<π2,π2<5π7<34π,是关键.解:∵0<2π7<π2,π2<5π7<34π,∴a=sin2π7>0,tan5π7<−1<cos5π7<0,∴b<c<a,故选C.4.答案:B解析:本题主要考查平面向量基本定理的应用,属于基础题.根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可.解:∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗=25PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =27BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +27BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +27BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +27(58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =57AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +528AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴λ=57,μ=528, 则λ+μ=57+528=2528. 故选B .5.答案:B解析:解:∵月收入在[1000,1500)的频率为0.0008×500=0.4,且有4000人 ∴样本的容量n =40000.4=10000,由图乙知输出的S =A 2+A 3+⋯+A 6=10000−4000=6000. 故选B利用频率等于纵坐标乘以组距求出月收入在[1000,1500)的频率;利用频数等于频率乘以样本容量求出样本容量;据程序框图的流程判断出框图的功能为求第二组及其后面几组的频数和,利用样本容量减去第一组的人数即可.解决频率分布直方图的问题,要注意直方图的纵坐标为频率除以纵坐标;解决程序框图中的循环结构常采用写出前几次循环的结果,找规律.6.答案:B解析:解:S 扇形=12lR =12×4×1=2. 故选:B .根据扇形的面积公式S 扇形=12lR 即可得出答案.本题主要考查了扇形面积公式的求法,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键,属于基础题.7.答案:A解析:可画出图形,取AB 的中点D ,然后连接CD ,这样根据条件即可得到|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,从而得出△ABC 为Rt △,根据数量积的计算公式便可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.考查向量加法的平行四边形法则,向量的减法的几何意义,以及直角三角形中线的性质,向量数量积的计算公式. 解:如图,取AB 中点D ,连接CD ,则:CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴由|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |得:|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴∠ACB =90°,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAC =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAC ⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =1. 故选A .8.答案:B解析:本题考查函数图像的识别.根据函数f(x)的定义域及图像判断出a,b,c的符号.由函数f(x)的图像可知f(0)>0,因此b>0.又由函数f(x)的定义域可知x≠−c,再由图像可得c<0,且x>−c时,f(x)=ax+b(x+c)2<0恒成立,所以a<0,故二次函数g(x)=ax2+bx−c的图像为选项B中图像.9.答案:A解析:本题考查了平面向量数量积公式的应用,属于基础题.由已知可得a⃗,b⃗ 的模的大小,然后根据数量积公式即可求解.解:由已知可得:|a⃗|=2,|b⃗ |=1,则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=2×1×cosπ6=√3,故选:A.10.答案:D解析:解:令g(x)=x2−ax+3a,∵f(x)=log0.5(x2−ax+3a)在[2,+∞)单调递减,∴函数g(x)在区间[2,+∞)内单调递增,且恒大于0,∴12a≤2且g(2)>0,∴a≤4且4+a>0,∴−4<a≤4.故选:D.令g(x)=x2−ax+3a,则函数g(x)在区间[2,+∞)内单调递增,且恒大于0,可得不等式,从而可求a的取值范围.本题考查复合函数的单调性,解题的关键是搞清内、外函数的单调性,同时应注意函数的定义域.11.答案:C解析:本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,属于中档题.根据函数f(x)的解析式,利用x的取值范围与三角函数图象与性质,列出不等式求出ω的取值范围.解:函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0),当x∈(0,2]时,π3<ωx+π3≤2ω+π3;又函数f(x)在区间(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值−1,∴3π2≤2ω+π3<5π2,解得,∴实数ω的取值范围是故选C12.答案:B解析:本题考查分段函数,考查计算能力,属于基础题.利用f(a)+f(1)=0即可求解.解:由条件,得f(a)=−f(1)=−3,当a>0时,f(a)=3a=−3,显然a不存在;当a≤0时,f(a)=2a+1=−3,解得a=−2.故选B.13.答案:{x|x≠π3+kπ,k∈Z}解析:本题主要考查了函数定义域,属于基础题.根据正切函数的性质解答即可.解:依题意,x+π6≠π2+kπ,k∈Z,所以x≠π3+kπ,k∈Z,故定义域为{x|x≠π3+kπ,k∈Z}故答案为{x|x≠π3+kπ,k∈Z}.14.答案:4解析:本题考查三点共线问题,向量坐标的求法,考查向量共线的充要条件和坐标运算,属于基础题. 利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标,利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程,求出a 即可.解:MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−2),NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2,a), ∴4−2=−21=a −2,解得a =4.故答案为4.15.答案:2解析:本题考查了向量的坐标运算以及向量的投影、模的求法;属于基础题.根据向量的数量积公式与向量的投影公式得到关于m 的方程解之;再由有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得到所求.解:由已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3),且向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为1, 所以向量|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2+√3m 2=1,解得m =0, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.故答案为2.16.答案:1解析:本题考查函数的零点存在性定理及余弦函数图象与性质的应用,属于中档题目.令f(x)=0,由余弦函数图象与性质得出即可.解:令f(x)=0,可得,,解得,由可得−13≤k≤16,k∈Z,∴k=0,,∴函数在上零点个数为1.故答案为1.17.答案:解:∵点P(3,y)是角α终边上的一点,∴cosα=√32+y2=35,∴y2=16,又y<0,∴y=−4,故点P(3,−4),∴tanα=−43.解析:本题考查了任意角的三角函数,由题意得cosα=√32+y2=35,则y2=16,又y<0,所以y=−4,所以tanα=−43.18.答案:解:,.,.解析:本题考查同角三角函数的基本关系,诱导公式,考查学生对基础知识的掌握.①先用诱导公式化简,再结合同角三角函数的基本关系求解;②利用同角三角函数的基本关系转化为关于的式子即可求解.19.答案:解:(1)由频率分布直方图,可知(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得a=0.006,设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x0,有:(0.004+0.006+0.022)×10+0.028×(x0−70)=0.5,解得:x0≈76.4,故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4;(2)由频率分布直方图可知,受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3,受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2,从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2};其中2人评分至少有1人在[50,60)内的基本事件有9种,.故2人评分至少有1人在[50,60)内的概率为910解析:本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计中位数,考查了利用列举法求满足条件的事件,并求概率.(1)利用频率分布直方图中的信息,所有矩形的面积和为1,得到a,进而估算出中位数;(2)求出评分在[40,60)的受访职工人数,随机抽取2人,列举法求出所有可能,利用古典概型公式解答.)的图象,20.答案:解:(1)函数f(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sin(x+π6)的图象,然后纵坐标扩大到原来的√3倍,得到g(x)=√3sin(x+π6).所以g(x)=√3sin(x+π6(2)绘制表格如下:x0π35π64π311π62πx+π6π6π2π3π22π13π6g(x)√32√30−√30√32(3)由表格知,函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ+π3,k∈Z,对称中心为(kπ+5π6,0),k∈Z.解析:本题主要考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,考查三角函数的图象画法,考查三角函数图象的变换规律,利用三角函数图象的变换规律求出函数的解析式以及掌握“五点法”作图是解决本题的关键,属于中档题.(1)根据三角函数图象的变换规律进行求解,(2)利用“五点法”进行列表、作图即可,(3)结合图象利用三角函数的对称性进行求解即可.21.答案:解:(1)函数f(x)=4cosωx⋅sin(ωx+π4),=2sin(2ωx+π4)+√2,由于函数的最小正周期为π,故ω=2π2ω=1,(Ⅱ)所以:f(x)=2sin(2ωx+π4)+√2,令:2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),解得:kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z),由于x 在区间[0,π2]上,所以:函数的单调递增区间为:[0,π8].函数的单调递减区间为:[π8,π2].解析:(1)首先通过三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出结果.(Ⅱ)利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用.22.答案:解:(1)设f(x)=ax 2+bx +c ,a ≠0,则f(−x)=ax 2−bx +c ,f(0)=c .因为f(x)=f(−x)+12x +f(0)−6所以ax 2+bx +c =ax 2−bx +c +12x +c −6,即2bx =12x +c −6.所以{2b =12c −6=0得b =6,c =6. 又f(−1)=a −b +c =1,得a =1,所以f(x)=x 2+6x +6.(2)由(1)及f(2x)>4x +m ,得4x 2+8x +6>m ,令g(x)=4x 2+8x +6,x ∈[−3,0],所以x =−1时,g(x)min =g(−1)=2,从而要使当x ∈[−3,0]时,不等式f(2x)>4x +m 恒成立,则m <2.解析:本题考查不等式恒成立问题的应用,二次函数的简单性质的应用,考查计算能力,属于基础题.(1)设出二次函数,利用已知条件求解二次函数的解析式即可;(2)分离参数,求出函数的最小值,即可求解m 的范围.。

2019-2020年高一下学期第一次月考数学试题 含答案

2019-2020年高一下学期第一次月考数学试题 含答案

2019-2020年高一下学期第一次月考数学试题 含答案班级:________ 姓名:________ 考号:________一、选择题(每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中,若8,3,7===c b a ,则其面积等于( )A .12B .221C .36D .28 2、{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,如果a n =2011,则序号n 等于( )A .667B .668C .669D .671 3、在ABC ∆中, C B cos cos =,则ABC ∆的形状是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若241,5a a ==,则5S 等于( )A .7B .15C .30D .315、在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( )A .006030或B .006045或C .0060120或D .0015030或 6、已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( )A .15B .30C .31D .647、等比数列{a n }中,a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,则数列{a n }的通项公式为( )A .a n =24-nB .a n =2n -4C .a n =2n -3D .a n =23-n8、在△ABC 中,已知a =5,b =15,A =30°,则c 等于( )A .2 5 B. 5 C .25或 5 D .以上都不对 9、等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( )A .81B .120C .168D .19210、在△ABC 中,AB =7,AC =6,M 是BC 的中点,AM =4,则BC 等于( )A.21B.69C.106D.15411、△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c.若a =52b ,A =2B ,则cos B 等于( )A.53 B.54 C.55 D.5612、已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N*,则S 10的值为( ) A. -110B. -90C. 90D. 110请将选择题答案填入下表:横线上)13、2-1与2+1的等比中项是________. 14.若在△ABC 中,∠A=,3,1,600==ABC S b 则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题数学【含解析】一、选择题1.设全集U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =≤,则A B =( )A. {|01}x x ≤<B. {|01}x x <≤C. {|0}x x <D. {|1}x x >【答案】B 【解析】全集U R =,{}0A x x =,{}|1B x x =≤,{|01}A B x x ⋂=<≤.故选B.2.若指数函数(13)x y a =-在R 上递减,则实数a 的取值范围是( ) A. 1(0,)3B. (1,)+∞C. RD. (,0)-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得到关于a 的不等式,解出即可. 【详解】解:由题意得:0131a <-< , 解得:103a <<, 故选:A .【点睛】本题考查指数函数单调性,是一道基础题.3.已知1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩,则1746f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ). A. 16- B. 16C.56D. 56-【答案】A【解析】1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩,则1711111211214646266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A .4.下列函数中,在其定义域内与函数5y x =有相同的奇偶性和单调性的是( ) A. 1y x=-B. 3x y =C. ln y x =D. 122xx y =-【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可. 【详解】解:函数5y x =在R 上递增,是奇函数, 对于A ,在定义域无单调性,是奇函数,不符合题意; 对于B ,是非奇非偶函数,不符合题意; 对于C ,是偶函数,不符合题意;对于D ,在定义域R 上递增,是奇函数,符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,是一道基础题.5.在映射:f A B →中,}{(,)|,A B x y x y R ==∈,且:(,)(,)f x y x y x y →-+,则与B 中的元素(2,1)--对应的A 中的元素为( )A. 31(,)22-- B. 31(,)22-C. 31(,)22-D. 31(,)22【答案】C 【解析】 【分析】由题意,令21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩,解出即可.【详解】解:由题意,21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩解得:31,22x y =-=, 故选:C .【点睛】本题考查了映射的定义,属于基础题. 6.已知函数()f x 对任意不相等的实数12,x x 都满1212()()0f x f x x x ->-,若 1.5(2)a f =,0.61[()]2b f -=,(ln 2)c f =,则,,a b c 的大小关系( )A. b a c <<B. b c a <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,利用1212()()0f x f x x x ->-可得函数的单调性,进而分析0.61.512,,ln 22-⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小,借助()f x 单调性,可得答案. 【详解】解:1212()()0f x f x x x ->-∴当120x x ->时,有12())0(f x f x ->,即对任意12x x >,有12()()f x f x >, 所以函数()f x 在其定义域内为增函数,0.60.6 1.51122,ln 2ln 12e -⎛⎫<=<<= ⎪⎝⎭,1.5(2)f ∴>0.61[()]2f ->(ln 2)f ,∴c b a <<, 故选:D .【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用,关键是应用1212()()0f x f x x x ->-判定函数的单调性,是基础题.7.已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点P ,点P 在幂函数()y f x =的图像上,则3log (3)f =( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质,求出定点P 的坐标,再利用待定系数法求出幂函数()f x ,从而求出3log (3)f 的值.【详解】解:函数23x y a -=+中,令20x -=,解得2x =, 此时134y =+=,所以定点(2,4)P ; 设幂函数()a yf x x ,则24a =,解得2a =; 所以2()f x x =, 所以()()2339f ==,()333log l 9og 2f ∴==.故选:D .【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式,以及指数函数的性质,是基础题. 8.根据表中的数据,可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是( )x1-0 1 2 3x e0.3712.72 7.39 20.09A. (1,0)B. (1,0)-C. (2,3)D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2x f x e x =--,求出选项中的端点函数值,从而由零点的存在性定理判断根的位置. 【详解】解:令()2x f x e x =--, 由上表可知,则(1)0.37120f -≈+-<,(0)10210f =--=-<,(1) 2.72120f ≈--<, (2)7.39220f ≈-->, (3)20.09320f ≈-->.故(1)(2)0f f <, 故选:D .【点睛】本题考查零点存在性定理,若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号,则在该区间上必有零点,属于基础题.9.函数2()46f x x x =--的定义域为[0,]m ,值域为[10,6]--,则m 的取值范围是 A. [0,4] B. [4,6] C. [2,6] D. [2,4]【答案】D 【解析】 【分析】因为函数()246f x x x =--的图象开口朝上,由 ()()()046,210f f f ==-=-,结合二次函数的图象和性质可得m 的取值范围.【详解】函数()246f x x x =--的图象是开口朝上,且以直线2x =为对称轴的抛物线, 故()()()046,210f f f ==-=-,函数()246f x x x =--的定义域为[]0,m ,值域为[]10,6--,所以24m ≤≤,即m 的取值范围是[]2,4,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,以及函数的定义域与值域,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.10.关于x 的不等式92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. 2a <- B. 1a ≤-C. 2a ≤-D. 1a <-【答案】B 【解析】 【分析】分离参数a 后,构造函数求出值域可得. 【详解】解:92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立22231112(3)(3)3x x x xa -⋅+∴<=-⋅,令1(0,1)3x t =∈ 所以92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立等价于22a t t <-对任意(0,1)t ∈恒成立,()221112t t t =--->-,∴1a ≤-. 故选:B .【点睛】本题考查了函数恒成立问题,可以通过分离参数转化最值问题,而且还可以避免分类讨论,属中档题.11.已知函数()4f x x x =-,若直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点,,A B C ,它们的横坐标分别为12,3,x x x ,则123x x x ++的取值范围是( )A. (6,622)+B. [8,622)+C. [6,622)+D. (8,622)+【答案】D 【解析】 【分析】将()4f x x x =-去掉绝对值,写为分段函数的形式,做出()y f x =的图像,同时做出直线y a =的图像,当直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点的时候,利用()y f x =图像的对称性可得结果.【详解】解:22(2)4,(4)()4(2)4,(4)x x f x x x x x ⎧--≥=-=⎨--+<⎩, 其图像如图:设函数()y f x =的图象与直线y a =的交点对应横坐标分别为12,3,x x x , 则124x x +=,34222x <<+, 所以1238622x x x <++<+ 故选:D .【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用,属中档题. 12.函数()f x 的定义域为D ,若满足如下两个条件:(1)()f x 在D 内是单调函数;(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦,使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ,那么就称函数()f x 为“希望函数”,若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“希望函数”,则t 的取值范围是()A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ,且函数是单调递增的.所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m mn n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根,140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<,故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域,单调性,二次方程根的问题,属于难题. 二.填空题13.函数2()ln(1)1xf x x x =++-的定义域为________。

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2019-2020学年临川一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知△ABC中,a=2√2,b=2√3,B=60°,那么角sin A等于()A. −√22B. 1 C. √22D. 122.在△ABC中,若AB=√13,BC=3,C=120°,则AC的值为()A. 1B. 2C. √2D. √33.在等比数列{a n}中,a2a3a4=8,a7=32,则a2=().A. −1B. 1C. ±1D. 24.等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n,若S nT n =2n+13n+2,则a3+a11+a19b7+b15=()A. 6970B. 129130C. 123124D. 1351365.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=35,则a3=A. 5B. 7C. 9D. 116.已知数列{a n}满足2a n−a n a n+1=1,a1=32,则a2021=()A. 20202019B. 20212020C. 20222021D. 202320227.在△ABC中,A=60°,a=5,b=6,那么满足条件的△ABC()A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定8.已知等差数列{a n}的前17项之和S17>0,则下列一定成立的是()A. a17>0B. a16>0C. a9>0D. a8>09.在等比数列{a n}中,a1=2,若数列{a n+1}也是等比数列,则{a n}的前n项和S n等于()A. 2n+1−2B. 3nC. 2nD. 3n−110.已知数列{a n}的各项均为正数,且满足a n+12−a n2−2(a n+1+a n)=0,且a2,a4,a8成等比数列,则数列{1a n a n+1}的前2019项和为()A. 20192020B. 10098080C. 20198080D. 2018202111.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=n√3√3a+1∈N∗),则a2016等于()A. 0B. −√3C. √3D. √3212.已知数列a1=1,a2=2,且a n+2−a n=2−2(−1)n,n∈N∗,则S2017的值为()A. 2016×1010−1B. 1009×2017C. 2017×1010−1D. 1009×2016二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.在△ABC中,a=√3b,A=120°,则角B的大小为______ .14.若一个三角形的三边是连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,则这个三角形最大角的余弦值为______.15.已知数列{a n}满足对n∈N∗,有a n+1=11−a n ,若a1=12,则a2015=______ .16.已知数列{a n}满足a n+1=a n2−a n+1(n∈N∗),且a1=43,则1a1+1a2+⋯+1a2019的值的整数部分为.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.在△ABC中,∠A,∠B,∠C,所对边分别为a,b,c.已知n⃗=(b,2c),m⃗⃗⃗ =(sinC,sinB⋅cosA),且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗.(1)求∠A的值;(2)若a=2√3,c=2,求△ABC的面积.18.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+1=(1+q)a n−qa n−1(n≥2,q≠0)(Ⅰ)设b n=a n+1−a n(n∈N∗),证明{b n}是等比数列;(Ⅱ)当q=2时,求数列{a n}的通项公式.19.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m⃗⃗⃗ =(cos A−2cos C,2c−a),n⃗=(cos B,b)平行.(1)求sin C的值;sin A(2)若bcos C+ccos B=1,△ABC的周长为5,求b的长.20.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,满足AD⊥AC,cos∠BAC=−1,AB=3√2,BD=√3.3(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.21. 设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ,且S 4=−62,S 6=−75,求:(1){a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ;(2)|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|.22. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=12,a n+1=n+12na n .(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =n(2−S n ),n ∈N ∗,若集合M ={n|b n ≥λ,n ∈N ∗}恰有5个元素,求实数λ的取值范围.【答案与解析】1.答案:C解析:本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.利用正弦定理即可得解.解:由正弦定理可得:sinA=asinBb =2√2×sin60°2√3=√22.故选:C.2.答案:A解析:本题主要考查利用余弦定理解三角形,属于基础题.直接利用余弦定理计算即可求解.解:在△ABC中,若AB=√13,BC=3,∠C=120∘,,可得:13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=−4(舍去).故选A.3.答案:C解析:本题考查等比数列的定义和性质考查了计算能力,属于基础题.根据等比数列的性质可求出a3=2,再求出公比,即可求出a2.解:等比数列{a n}中,a2a3a4=8,则a33=8,则a3=2,∵a7=32,∴q4=a7a3=16,解得q=±2,则a 1=a 3q 2=24=12,∴a 2=a 1q =±1, 故选C .4.答案:B解析:本题主要考查等差数列性质的应用,结合等差数列的前n 项和公式以及性质是解决本题的关键. 根据等差数列的性质,结合等差数列的前n 项和公式进行转化即可. 解:在等差数列中a 3+a 11+a 19b 7+b 15=3a 112b 11,=32⋅2a 112b 11=32⋅a 1+a 21b 1+b 21=32⋅a 1+a 212×21b 1+b 212×21=32⋅S 21T 21=32×2×21+13×21+2=32×4365=129130, 故选B .5.答案:B解析:本题考查了等差数列的前n 项和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.利用等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质即可得出.解:由等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质由S 5=35, ∴5(a 1+a 5)2=35,∴a 3=7. 故选B .6.答案:D解析: 【试题解析】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式,考查了利用规律对通项公式的猜想和验算,属于中档题.根据题意可得a n+1=2−1a n,先求a 1=32,a 2=2−1a 1=43,a 3=2−1a 2=54,a 4=2−1a 3=65,…,所以猜测a n =n+2n+1,经验证即可得解.解:因为2a n −a n a n+1=1,所以a n+1=2−1a n,因为a 1=32,所以a 2=2−1a 1=43,a 3=2−1a 2=54,a 4=2−1a 3=65,…,所以猜测a n =n+2n+1, 代入2a n −a n a n+1=2n+4n+1−n+2n+1×n+3n+2=n+1n+1=1,所以a n =n+2n+1满足题意,所以a 2021=20232022, 故选D .7.答案:C解析:本题考查正弦定理,属于基础题.由正弦定理求出sin B ,然后利用大边对大角和正弦函数的性质即可求解. 解:已知△ABC 中,∠A =60°,a =5,b =6, 所以由正弦定理可得5sin60°=6sinB ,解得sinB =3√35>1,故B 不存在,所以满足条件的△ABC 不存在. 故选C .8.答案:C解析:S17=17(a1+a17)2=17⋅a9>0,∴a9>0.9.答案:C解析:解:设等比数列{a n}的公比为q,则可得a n=2⋅q n−1,故a n+1=2⋅q n−1+1,可得a1+1=3,a2+1=2q+1,a3+1=2q2+1,由于数列{a n+1}也是等比数列,故(2q+1)2=3(2q2+1),解之可得q=1,故{a n}的前n项和S n=na1=2n故选C设等比数列{a n}的公比为q,可得数列{a n+1}的前3项,由等比中项可得关于q的方程,解之可得q=1,故等比数列{a n}为常数列,易得答案.本题考查等比数列的通项公式和求和公式,涉及公比的求解,属中档题.10.答案:C解析:本题考查由递推关系判断等差数列,及裂项相消法求和,考查模型应用及运算能力,属于中档题.由a n+12−a n2−2(a n+1+a n)=0推导出{a n},再结合a2,a4,a8成等比数列求出通项公式,最后利用裂项相消法求{1a n a n+1}的前2019项和.解析:解:由于数列{a n}的各项均为正数,所以a n+1−a n=2所以{a n}为等差数列,且公差为2,由题意易得(4+a2)2=a2(a2+12)解得a2=4所以a n=2n所以1a n a n+1=12n(2n+2)=14(1n−1n+1)所以数列{1a n a n+1}的前2019项和为14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(12019−12020)=14(1−1 2020)=20198080.故选C.11.答案:C解析:本题考查数列的周期性,考查运算能力,属于中档题.通过计算数列的前几项,可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,计算即可得到所求值.解:满足a1=0,a n+1=n√3√3a+1∈N∗),a2=1√3√3a+1=−√3,a3=2√3√3a+1=−2√3−3+1=√3,a4=3√3√3a+1=√3−√33+1=0,a5=4√33a+1=−√3,…,可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,可得a2016=a3×672=a3=√3,故选C.12.答案:C解析:本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.a n+2−a n=2−2(−1)n,n∈N∗,可得a2k+1−a2k−1=2+2=4,k∈N∗,a2k+2−a2k=2−2=0,k∈N∗,可得数列{a n}的奇数项成等差数列,公差为4,偶数项满足:a2k=a2=2.解:∵a n+2−a n=2−2(−1)n,n∈N∗,∴a2k+1−a2k−1=2+2=4,k∈N∗,a2k+2−a2k=2−2=0.k∈N∗,∴数列{a n}的奇数项成等差数列,公差为4,偶数项满足:a2k=a2=2.∴S2017=(a1+a3+⋯+a2017)+(a2+a4+⋯+a2016)=1×1009+1009×10082×4+2×1008=2017×1010−1. 故选:C .13.答案:30°解析:本题考查了正弦定理、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 利用正弦定理即可得出.解:∵△ABC 中a =√3b ,A =120°, ∴sin120°=√3sinB ,B 为锐角. ∴sinB =12,可得B =30°.故答案为30°.14.答案:18解析:本题考查解三角形,涉及正余弦定理和三角形的边角关系,属中档题.设三角形的三边分别为n −1,n ,n +1,对应的角分别为A 、B 、C ,由题意和正弦定理可得cosA =n+12(n−1),再由由余弦定理可得cosA =n+42(n+1),可得n+12(n−1)=n+42(n+1),解方程可得a 值,可得三边长,由余弦定理可得.解:设三角形的三边分别为n −1,n ,n +1,对应的角分别为A 、B 、C , 则A <B <C ,由题意可得C =2A , 由正弦定理可得n−1sinA =n+1sinC =n+12sinAcosA , ∴cosA =n+12(n−1),又由余弦定理可得cosA =n 2+(n+1)2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1),∴n+12(n−1)=n+42(n+1),解得n =5, ∴三角形的三边分别为4,5,6, ∴三角形的最大边所对角的余弦值cosC =42+52−622×4×5=18.故答案为:18. 15.答案:2解析:本题考查了递推式的应用、数列的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.由a n+1=11−a n ,a 1=12,可得a 2=2,a 3=−1,a 4=12,…,因此a n+3=a n .即可得出. 解:∵a n+1=11−a n ,a 1=12,∴a 2=2,a 3=−1,a 4=12,…, ∴a n+3=a n .∴a 2015=a 3×671+2=a 2=2.故答案为2.16.答案:2解析:本题考查数列的递推公式,利用题中的等式和累加法进行求解即可得数列的通项公式,然后求出数列{1a n }的通项公式,再进行后面的求解即可得,是个中档题. 解:因为a n+1=a n 2−a n +1,即a n+1−1=a n (a n −1),所以1an+1−1=1a n (a n −1)=1a n −1−1a n , 所以1an −1−1a n+1−1=1a n . 所以1a1−1−1a 2−1=1a 1, 1a 2−1−1a 3−1=1a 2, 1a 3−1−1a 4−1=1a 3,⋯,1a 2019−1−1a 2020−1=1a 2019,将上述各式两边分别相加可得1a 1−1−1a 2020−1=1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2019,因为a 1=43,所以1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2019=3−1a 2020−1.因为a n+1−a n=a n2−2a n+1=(a n−1)2>0,所以a n+1>a n,所以数列{a n}为递增数列.而a2=a1(a1−1)+1=43×13+1=139,a3=a2(a2−1)+1=139×49+1=13381,a4=a3(a3−1)+1=13381×5281+1=69166561+1>2,所以a2020>a2019>⋯>a4>2,所以0<1a2020−1<1,所以2<3−1a2020−1<3,所以1a1+1a2+⋯+1a2019的值的整数部分为2.17.答案:解:(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗,∴bsinC+2csinBcosA=0,由正弦定理可知,bsinB =csinC,∴bc+2bccosA=0,∵b≠0,c≠0,∴1+2cosA=0,∴cosA=−1 2∵0<A<π,∴A=2π3;(2)△ABC由余弦定理可知,a2=b2+c2−2bccosA,∴b2+4−4bccos120°=12,∴b2+2b−8=0,∵b>0,∴b=2,s△ABC=12bcsinA=12×2×2×√32=√3.解析:本题主要考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式的综合应用,属于中档试题(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗,结合向量数量积的性质及正弦定理可求A,(2)△ABC由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA,结合已知可求b,然后代入s△ABC=12bcsinA即可求18.答案:证明:(Ⅰ)∵数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+1=(1+q)a n−qa n−1(n≥2,q≠0),∴a n+1−a n=q(a n−a n−1),即b n=a n+1−a n=qb n−1,n≥2,又b1=a2−a1=1,q≠0,∴{b n}是首项为1,公比为q的等比数列.解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得a2−a1=1,a3−a2=q,…,a n−a n−1=q n−2,将以上各式相加,得:a n−a1=1+q+⋯+q n−1=1+2+⋯+2n−2=1−2n−11−2=2n−1−1.∴a n=2n−1.n=1时,上式也成立,∴数列{a n}的通项公式a n=2n−1.解析:(Ⅰ)推导出b n=a n+1−a n=qb n−1,n≥2,b1=a2−a1=1,q≠0,由此能证明{b n}是首项为1,公比为q的等比数列.(Ⅱ)由a2−a1=1,a3−a2=q,…,a n−a n−1=q n−2,利用累加法能求出数列{a n}的通项公式.本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意累加法的合理运用.19.答案:解:(1)由已知向量m⃗⃗⃗ =(cosA−2cosC,2c−a)与n⃗=(cosB,b)平行∴b(cosA−2cosC)=(2c−a)cosB,由正弦定理得(cosA−2cosC)sinB=(2sinC−sinA)cosB,化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),又A+B+C=π,所以sinC=2sinA,因此sinCsinA=2.…(6分)(2)bcosC+ccosB=b⋅a2+b2−c22ab +c a2+c2−b22ac=2a22a=a=1,由(1)知ca =sinCsinA=2,∴c=2,…(10分)由a+b+c=5,得b=2.解析:本题考查向量知识的运用,考查正弦定理、余弦定理,解题的关键是边角互化,属于中档题.(1)利用向量共线的条件,建立等式,利用正弦定理,将边转化为角,利用和角公式,即可得到结论;(2)由bcosC +ccosB =1利用余弦定理,求得a ,再由(1)计算c ,利用△ABC 周长为5,即可求b 的长.20.答案:解:(1)因为AD ⊥AC ,cos∠BAC =−13,且∠BAC ∈(0,π),所以sin∠BAC =2√23. 又sin∠BAC =sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD =2√23, 在△ABD 中,由余弦定理得, 即AD 2−8AD +15=0,解得AD =5或AD =3, 因为AB >AD ,所以AD =3.(2)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin∠BAD =AB sin∠ADB , 又由cos∠BAD =2√23,得sin∠BAD =13, 所以sin∠ADB =√63. 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C , 所以cosC =√63. 在Rt △ADC 中,cosC =√63,则tanC =√22=AD AC=3AC , 所以AC =3√2,所以△ABC 的面积S =12AB ·AC ·sin∠BAC=12×3√2×3√2×2√23=6√2.解析:本题考查正弦定理,余弦定理的应用,属于中档题.(1)由诱导公式求得sin∠BAC =sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD =2√23,在△ABD 中,由余弦定理可求得; (2)由正弦定理求得sin∠ADB =√63,cosC =√63,AC =3√2,由三角形面积公式可求得.21.答案:解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75,解得a 1=−20,d =3. ∴a n =−20+(n −1)×3=3n −23;S n =(−20+3n−23)n 2=32n 2−432n.(2)∵a n =3n −23,∴由a n <0得n <8,∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=−a 1−a 2−⋯−a 7+a 8+⋯+a 14=S 14−2S 7=32×142−432×14−2(32×72−432×7)=7(42−43)−7(21−43)=−7−7×(−22)=147.解析:(1)由S 4=−62,S 6=−75,可得到等差数列{a n }的首项a 1与公差d 的方程组,解之即可求得{a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ;由(1)可知a n ,由a n <0得n <8,从而|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=S 14−2S 7,计算即可. 本题考查数列的求和,着重考查等差数列的通项公式与前n 项和公式,考查解方程组的能力,求得a n 是关键,属于中档题.22.答案:解:(I)由已知得a n+1n+1=12a n n,其中n ∈N ∗ ∴数列{a n n }是公比为12的等比数列,首项a 1=12 ∴a n n =(12)n∴a n =n 2n(2)由(1)知S n =12+222+323+⋯+n 2n ,12S n=122+223+324…+n 2n+1, 两式相减可得,12S n =12+122+123+⋯+12n −n 2n+1,=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1∴s n =2−n+22因此,b n =n(n+2)2n ,b n+1−b n =(n+1)(n+3)2n+1−n(n+2)2n =−n 2+32n+1所以,当n =1,b 2−b 1>0即b 2>b 1,n >2时,b n+1−b n <0即b n+1−b n <0b 1=32,b 2=2,b 3=158,b 4=32,b 5=3532,b 6=34 要使得集合M 有5个元素,实数λ的取值范围为34<λ≤3532.解析:(I)由已知得a n+1n+1=12a n n,结合等比数列的通项公式可求a n n ,进而可求a n (2)由(1)知S n =12+222+323+⋯+n 2n ,利用错位相减可求s n ,然后利用数列的单调性可求b n 的最大值与最小值,进而可求实数λ的取值范围本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用,数列的错位相减求和方法的应用,及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用,试题具有一定的综合性。

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