平方根法追赶法
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§5 平方根法 一、教学设计
1．教学内容：对称正定矩阵的Cholesky 分解法、三对角线矩阵分解的追赶法。
2．重点难点：Cholesky 分解法、追赶法。
3．教学目标：掌握对称正定矩阵的Cholesky 分解的计算过程，掌握三对角线矩阵分解的追赶法。 4．教学方法：讲授与讨论。
二、教学过程 §5 平方根法
在工程计算中，常遇到求解解对称再正定线性方程组问题，如应用有限元法解结构力学问题，应用差分方法解椭圆型偏微分方程等，最后都归结为求解系数矩阵为对称正定阵的线性方程组。根据系数矩阵的特殊性，是否有更好的解决方案（在存贮空间上的好处是显而易见的），算法上是否有所简化？
5－0对称正定矩阵及性质复习
定义：设n n R A ⨯∈，如果A 满足条件 （1）A A T =；（2）对任意非零向量n R ∈x ，有0>x x A T ，则称A 为对称正定矩阵。
定理1 （对称正定矩阵的性质）如果n n R A ⨯∈为对称正定矩阵，则
（1）A 为非奇异阵，且1-A 亦是对称正定阵；
（2）记k A 为A 的顺序主子阵，则k A 亦是对称正定阵),,2,1(n k =；
（3）A 的特征值),,2,1(0)(n i A i =>λ；
（4）A 的顺序主子式都大于零，即),,2,1(0)det(n k A k =>。
定理2 设n n R A ⨯∈为对称矩阵（判据）
（1）若A 的特征值),,2,1(0)(n i A i =>λ，则A 为对称正定矩阵； （2）若A 的顺序主子式都大于零，即),,2,1(0)det(n k A k =>，则A 为对称正定阵。
5－1 对称正定矩阵的三角分解
由前述定理 3.1知，若n 阶方阵A 的顺序主子式)1,,2,1
()d e t (-=n k A k 均不为零，则A 有唯一的三角分解LU A =，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。n 阶对称正定阵A 的顺序主子式都大于零，当然有LU 分解，进一步地，此时U L ,之间有什么关系？这对解方程组有用处。由LU A L U A T T T ===及分解的唯一性，想到若U 的主对角元素皆为1，就有可能获得一些结果。为此，再将U 分解
DR
u u u u u
u u u u u u u u u u U n n nn nn n n ≡⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎢
⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=111222*********
11222
11211
易知),,2,1(0n i u ii => （用k k k U L A ,,分别记矩阵U L A ,,的k 阶
顺序主子阵，容易验证k k k U L A =于是
ii k
i i ii
k i k k k k k k u a U U L U L A ∏∏
=======1
)(1det det det )det(det ）
于是LDR LU A ==，所以
A DR L LU DL R LDR A T T T T =====)()()(，
即 )()(DR L DL R A T T ==
由分解的唯一性知：T R L =，R L T =，于是T LDL A = 自然地，若记
T nn D u u u D )(21
22
1121
=⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=
则T T
T
L L LD LD L D LD A 1121
2121
21))((≡==，其中1L 是对角元为正数
的下三角阵。
定理5.1 （Cholesky 分解）
设A 是n 阶对称正定矩阵，则存在唯一的对角线元素全是正数的下三角形矩阵L ，使得T LL A =。称这种分解为Cholesky 分解。
有了这种分解后，解线性方程组b x =A 等价于解以下两个三角方程组b y =L ，y x =T L ，这将带来一些简便。下面讨论如何计算L 的元素。
5－2 平方根法
设n 阶对称正定矩阵A 有如下Cholesky 分解
T
nn ni ii nj ij jj n i j n i j nn ni
nj
n n ii
ij
i i jj
j j nn ni
nj n n in ii
ij
i i jn ji
jj
j j n i
j n i
j
LL l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
222221112111
21
2
12122
2111212
121222222111112
11 比较等式两边的第1列对应元素，得到