浙教版七年级数学下册：第二章 二元一次方程组 教学课件
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）2.4二元一次方程组的应用（2）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程. 2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)； (2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)； (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意).【经典例题】【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，列方程组为（ ）A ．{x −y =210x +y −(10y +x)=18B ．{x −y =210y +x −(10x +y)=18C ．{y −x =210y +x −(10x +y)=18D ．{y −x =210x +y −(10y +x)=18【答案】A【解析】设十位上的数字为x ，个位上的数字为y ， ∵十位上的数字比个位上的数字大2， ∴x −y =2；∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18． ∴10x +y −(10y +x)=18；故可列方程组：{x −y =210x +y −(10y +x)=18，故答案为：A【分析】设十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，由十位上的数字比个位上的数字大2，可得x −y =2；由交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18，可得10x +y −(10y +x)=18，从而得出方程组. 【例2】某旅游景点今年“五一”小长假共接待游客39200人，和去年同时期相比，游客总数增加了12%，其中省外游客增加了17%，省内游客增加了10%，求该景点去年“五一”小长假接待的省外游客和省内游客各是多少人？【答案】解：设该景点去年“五一”小长假接待的省外游客是x 人、省内游客是y 人，根据题意得{x +y =392001+12%(1+17%)x +(1+10%)y =39200，解得：{x =10000y =25000．答：该景点去年“五一”小长假接待的省外游客是10000人、省内游客是25000人【解析】【分析】根据题意先求出 {x +y =392001+12%(1+17%)x +(1+10%)y =39200， 再解方程组即可。
2.3 解二元一次方程组 浙教版数学七年级下册课件(9张PPT)
浙教版 数学七年级下册
复习回顾
代入消元法求解二元一次方程组的一般步骤： ①变形 ②代入—消元—求解 ③回代并求出另一未知数的的值 ④写出方程组的解 ⑤检验(口算或写在草稿纸上)
注:代入时必须添上括号。
复习回顾
用代入消元法求解二元一次方程组： 2x+5y=3 2x-5y=5
解二元一次方程组
解二元一次方程组
解方程组的基本思想仍然是消元
2x+5y=3 ① 2x-5y=5 ②
在二元一次方程组中，当两个方程中的同一个未知
数的系数是互为相反数或相同时(绝对值相同)，可
以将两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一
元一次方程。此方法叫做加减消元法，简称加减法。
同一个未知数的系数互为相反数
相加
计算相加 减时注意
2x+5y=3 ①
2x+5y=3 ①
2x-5y=5 ②
2x-5y=5 ②
两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数 (等价于绝对值相同)
∵①43;②式右边 且①式左边-②式左边= ①式右边-②式右边
解二元一次方程组
2x+5y=3 ① 2x-5y=5 ②
x=2
同一个未知数的系数相同
相减
括号的使 用。
解二元一次方程组
加减消元法的一般步骤： ① 将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数) ② 通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一元一次方程 ③ 解一元一次方程，得到一个未知数的值 ④ 将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求 得另一个未知数的值 ⑤ 写出方程组的解 ⑥ 检验
解二元一次方程组
x-y = x+y
3
2
浙教版初中数学七年级下册2.4.3 用二元一次方程组解图表信息、几何问题课件
点拨：
设小长方形的长为x m，宽为y m，则由题意可
知
两式相加可得x＋y＝8.
故小长方形的周长为2(x＋y)＝2×8＝16(m)．
4．(中考·十堰)如图，分别用火柴棍连续搭建正三角 形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭 建正三角形和正六边形共用了2 016根火柴棍，并 且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么 能连续搭建正三角形的个数是( D ) A．222 B．280 C．286 D．292
5．小强用8 个边长不全相等的正三角形拼成如图所示 的图案，其中阴影部分是边长为1 cm 的正三角形．试求出图中正三角形A、 正三角形B的边长分别是多少厘米．
解：设正三角形A的边长为x cm，正三角形B的边长为
y cm，根据题意，得
解得 答：正三角形A的边长为3 cm，正三角形B的边长
为6 cm.
点拨： 本题渗透数形结合思想，易知正三角形A，H，G
的边长相等，且正三角形B的边长＝正三角形A的边长 ×2；正三角形F，E的边长相等，正三角形D，C的边 长也相等，且正三角形F的边长＝正三角形G的边长 ＋1 cm，正三角形D的边长＝正三角形E的边长＋1 cm ，正三角形B的边长＝正三角形C的边长＋1 cm，从而 可得正三角形B的边长＝正三角形A的边长＋3 cm.分 别设出正三角形A，B的边长，依此可列二元一次方程 组，求出方程组的解即可得出答案．
2．(中考·吉林)根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿 现在的高度．
解：设梅花鹿高x m， 长颈鹿高y m，
由题意得
解得 答：梅花鹿和长颈鹿现在的高度分别为1.5 m，
5.5 m.
考查角度 2 从几何图形中获取信息列方程组
3. (中考·漳州)水仙花是漳州市花，如图，在长为14 m， 宽为 10 m 的长方形展厅，划出三个形状、大小完 全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的 周长为______1_6_m.
数学浙教版七下-解二元一次方程组 课件3-29页PPT资料
3x+2y=14 ①
例1：解方程组
X=y+3
②
在学习中实践
一起解决 鸡兔同笼
问题
例2 解方程组 x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
你解的 对吗？
看看你掌握了吗?
练习：解下列方程组
y=2x ① 1.
X+y=12 ②
x+y=11 ① 2.
X - y=7 ②
同学们：你从上面的学习中体会到解方程组 的基本思路是什么吗？主要步骤有那些吗？
2x+3y=40 ①
x -y=-5 ②
例3 解方程组 2x－7y=8 ① 3x－8y－10=0 ②
课内练习p87：（1）（2）（3）（4）
同学们：你从上面的学习中体会到解方程组的基 本思路是什么吗？主要步骤有那些吗？来自基本思路: 消元: 二元
一元
主要步骤：
用一个未知数的代数式
1.变
表示另一个未知数
答：上面解方程组的基本思路是“消 元”------把“二元”变为“一元”。 主要步骤是：将其中一个方程的某个未 知数用含另一个未知数的代数式表示出 来，并代入另一个方程中，从而消去一 个未知数，化二元一次方程组为一元一 次方程。这种解方程组的方法称为代入 消元法，简称代入法
1、把方程3x=1-4y变形： （1）用含x的代数式表示y （2）用含y的代数式表示x 2、解二元一次方程组
一元
主要步骤： 变形
加减 求解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代. 入法、加减法
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二元一次方程课件(浙教版)
方程的正整数解。
2. 已知
x=2 y=1
是方程2x+3y=a的一个解，
求a的值.
a=7
3.已知 5x3m7 2y2n1 4 是二元一次 方程，求mn的值
mn=-2
变式一：
若方程 3x2m 1 yn 1 9 是一个二元一
次方程，则m= 1 ,n= 0 .
变式二：
X=4
若
是二元一次方程 3x ay 9
y=-3
的解，则a= 1
4.若 mxy 9x 3yn1 7 是关于x,y的二
元一次方程,则m+n=
对于二元一次方程2x+y=8，若x=2时
y= —4——，则
x=2 是方程2x+y=8的 y=4
一个正整数解. 请你写出二元一次方程2x+y=8的其它
x=1 x=3
正整数解——y=—6——y—=2— 。
注意：一般地，二元一次方程有无数
使二元一次方程两边的值相等的一对未 知数的值，叫做二元一次方程的一个解
引例： 解方程：3×2+2y=10
例 已知方程 3x 2 y 10
，
（1）用关于x的代数式表示y； 。
（2）求当x= -2，0，3时，对应的y的值 并写出3x+2y=10的三个解 分析：要用x的代数式表示y，只要把方程
3x 2y 10 看做未知数y的一元一次方程。
义务教育教科书（浙教）七年级数学下册
第2章 二元一次方程组
今有鸡兔同笼 上有三十五头
下有九十四足 你能用二元一次方程的 问鸡兔各几何 知识解决这个问题吗?
《孙子算经》
1.找出下面式子中的一元一次方程：
七年级数学下册第2章二元一次方程组2
12 某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每 件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人 每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个， 那么应该安排多少名工人缝制衣袖，多少名工人缝制 衣身，多少名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣 袖、衣身、衣领正好配套？
所以三元一次方程组的解为yx＝＝3530，， z＝－12.
所以三个“○”里的数之和为 71，三个“○”里应填入的
数按先上后下，先左后右的顺序依次为 50，33，－12.
14 阅读理解：已知实数 x，y 满足32xx－＋y3＝y＝5①7②，，求 x－4y 和 7x＋5y 的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的 关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如 由①－②可得 x－4y＝－2，由①＋②×2 可得 7x＋5y＝19. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体 思想”，解决下列问题：
x＝－152， 所以原方程组的解为y＝－2，
z＝153.
【点拨】 解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边
同乘某常数，以便于消去同一未知数；在变形过 程中，易漏乘常数项而出现方程①变形为4x＋2y＋ 6z＝1的错误．
9 已知x－2y＋z＝2x－y＋z＝3，且x，y，z的值中仅有一
个为0，解这个方程组． 解：原式化为x2－x－2yy＋＋zz＝＝33，，①② ②－①，得 x＋y＝0. ∵x，y，z 的值中仅有一个为 0，∴z＝0. 由xx＋－y2＝y＝0，3，解得xy＝＝－1，1.∴原方程组的解为xyz＝＝＝0－1.，1，
2x＋y＋3z＝1，① 8 解方程组3x－2y＋2z＝2，②
浙教版七年级数学下册第二章《解二元一次方程组(第二课时)》精品课件
❖ 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/30
❖ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ❖ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ❖ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ❖ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
2.3 解二元一次方程组（2）
引入
浙教版数学七年级下册课件2.3解二元一次方程组(2)
7．解下列方程组： x＋2y＝8，
(1)3x－2y＝4. 解：x3＋ x－2y2＝y＝8， 4.②① ①＋②，得 4x＝12，解得 x＝3. 把 x＝3 代入①，得 3＋2y＝8，解得 y＝52.
x＝3， ∴原方程组的解为y＝52.
3x＋12y＝8， (2)2x－12y＝2. 解：3x＋12y＝8，①
5.方程组x3－ x＋y＝y＝17，的解为__xy_＝＝__12_，___.
【解析】
x－y＝1，① 3x＋y＝7.②
①＋②，得 4x＝8，解得 x＝2.
把 x＝2 代入①，得 y＝1.
∴原方程组的解为xy＝＝12.，
6.已知 x，y 满足方程组x2＋x＋3yy＝＝3－，1，则 x＋y 的值为_____1____. 【解析】 解方程组x2＋x＋3yy＝＝3－.②1，① ①×2－②，得 5y＝－5，解得 y＝－1. 把 y＝－1 代入①，得 x＋3×(－1)＝－1，解得 x＝2. ∴x＋y＝2－1＝1.
11．解下列方程组： 3（x－1）＝y＋5，
(1)5（y－1）＝3（x＋5）.
解：原方程组可化为35xy－－3y＝x＝8，20.①② ①＋②，得 4y＝28，解得 y＝7. 把 y＝7 代入①，得 3x－7＝8，解得 x＝5. ∴原方程组的解为xy＝＝75.，
23u＋34v＝12， (2)45u＋56v＝175.
∴原方程组的解为xy＝＝21，，
2．用加减消元法解二元一次方程组x2＋x－3yy＝＝41，②①时，下列方法中，无法消元 的是( D ) A．①×2－② B．②×(－3)－① C．①×(－2)＋② D．①－②×3
3．已知二元一次方程组23xx＋ －57yy＝ ＝1－3， 7，①②用加减消元法解方程组，正确的是 (C )
浙教版七年级下册 第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组 培优讲义(含解析)
第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义 【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组 例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解 例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是 －3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支． 根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组 【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零． 例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？ 解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解． 解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值． 解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3， 则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ， 即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2， 则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ， 得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。
浙教版七年级数学下册第二章《解二元一次方程组(第1课时)》优质课课件
①将方程组中一个方程变形，使得一个未知数能 用含有另一个未知数的代数式表示；
②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数， 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
③把这个未知数的值代入代数式(回代) ，求得另一 个未知数的值；
x y 35 2x 4y 94
这节课你有什么收获呢？
1.消元实质
消元
二元一次方程组
一元一次方程
代入法
2.代入法的一般步骤
即: 变形 代替 回代 写解
3.学会检验，能灵活运用适当方法解二元 一次方程组.
课题检测
• 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次 方程的是（ ） A．3x－ 2y=4z B．6xy+9=0 C．1x+4y=6 D ．4x=24y
2x+10=200
①为什么可以代入？
x=95
②怎样代入？
∴y=x+10 =95+10
这1个苹果的质量 x加上10g的砝码恰好
=105
与这1个梨的质量y相
即 : 苹 果 和 梨 的 质 量 等，即x+10与y的大小
分别为95g和105g. 相等(等量代换).
代入消元法，简称代入法.
例1
解方程组
2
x
ax
b
x
by ay
11 2
的一组解是
x y
2
1
，
求a、b的值.
｛ ｛ x=2
x=1
3. 已知
和
是方程
y=5
y=10
ax+by=15的两个解，求a,b的值.
试一试
4、已知（2x+3y-4）2+∣x+3y-7∣=0, 则x= -3 ，y= — 130 .
2.2二元一次方程组 课件1(数学浙教版七年级下册)
3. 将上面各组解由1-10标上序号，并将各组解填入图 中适当的位置
题1方程的解
既是题1方程的解， 又是题2方程的解
题2方程的解
例1：6块同样大小的长方形复合地板刚好拼成一个大长方形， 如图。设小长方形的长为x,宽为y，根据条件列出关于x,y的 方程组，并用列表尝试法求出每块符合地板的长和宽吗？
1.方程组
x 5 A． y 1
x y 6 的解是 （ x 3 y 2 x 5 x 4 C. B. y 2 y 1
）
x 4 D. y 2
2.两个三角形的边长和周长如图所示，请列出关于未知 数a,b的方程组。
一个苹果和一个梨的质量总共是200g，而苹果的质量加上一 个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等。. （1）根据图2-2的等量关系 可得方程：_______________ （2）由（1）所得方程，可 得如下表格： x y （3）根据上述表格，写出方程的其中两组解为： ________________________ … 85 90 95 100 105 …
(1) a 3b 周长为14 a (2) b 1.25a 周长为12 1.25a
3m n 1 3.已知方程组 2m 3n 8
（1）m分别取-3，-1，0，2，填写下表 3m+n=-1的解 m -3 -1 0 2 n (2)写出方程组的解 2m-3n=-8的解 … m -3 -1 0 2 … n
一个苹果和一个梨的质量总共是200g，而苹果的质量加上一 个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等。问苹果和梨的质量 各为多少？ 1. （1）根据图2-1的等量关系可 得方程：_______________ （2）由（1）所得方程，得如 下表格： x y （3）根据上述表格，写出方程的其中两组解为： ________________________ … 85 90 95 100 105 …
2.1二元一次方程 课件10(数学浙教版七年级下册)
x 1 A y 3
x 3 C y 2
x 2 B y 4
x 2 D y 6
2、 已知
x=2 y=-1是方程 2x－3源自=a 的一个解，求a的值.
x=2 3、 已知 是方程 2x+3y=13 的一个 y=b
解，求b的值.
4、 如果有一组数
已知方程 2x－3y = 2 (1) 用含y的代数式表示x;
2 3y x 2
(2) 根据给出的y值,求出对应的x的值,填入表内;
y x
0
2
-2
2 3
1
… …
1、下列方程 ①3x+6=2z ,②3x-y=xy ,
x y ③ 1 , ④ y 4 2 4 2 二元一次方程的是
中是 。
2、根据题意列出方程 （1）长方形的周长是300cm，求长方形的长与宽。 设长方形的长为a（cm），宽为b（cm)。
（2）一场篮球赛门票的收入是4700元。已知门票价 格为成人每人30元，学生每人10元，有多少名观众 观看了这场篮球赛？其中学生有多少人？设有x名观 众，其中y名学生观看了这场篮球赛。
§2.1 二元一次方程
(1)二元一次方程的概念及判断 (2)二元一次方程的解 (3)用含一个未知数的代数式表示另一个
未知数
含有一个未知数, 且未知数的指数是一次的整式方程, 叫做一元一次方程
含有两个未知数,且含有未知数的项的 次数都是一次的整式方程叫做二元一 次方程。
(1)3y-2x
下列各式是二元一次方程吗? 2
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
《孙子算经》
你能用二元一次方程的知识解决这个问 题吗?
a=2 是一个关于 b=－3
二元一次方程(课件)七年级数学下册(浙教版)
能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变的容易呢？
分析
投2分球次数＋投3分球次数＝总出手数
2分球分数+3分球次数=总分数
设篮球队头2分球次数为x次，3分球次数为y次
2分 3分
出手
得分
x
2x
y
3y
合计
x＋y=10
10
24
2x＋3y=24
讲授新课
观察思考
x＋y=10
2x＋3y=24
思考一:上述方程有什么共同特点?
知识点一 二元一次方程的定义
情境引入：篮球联赛中，投篮可以得分，投一次篮可能
是2分，有可能是3分；某队在1场比赛中出手10次，一共
得了24分，那么这场比赛该队一共投了几次2分球，几次
3分球？
解：设投了x个2分球，则投了（10-x）
个3分球.
2x+3（10－x）=24.
这是一个一元一次方程
讲授新课
问题
【详解】∵关于x、y的方程（m-3）x|m|-2-2ym+2n=5是二元一次方
程，
|| − 2 = 1
∴ + 2 = 1 ，
−3≠0
解得：m=-3，n=2，
∴m-n=-3-2=-5
故答案为：-5．
讲授新课
知识点二 二元一次方程的解
探究
仅考虑上题中篮球问题的方程 x y 10 ，且符合问题的实
个解。
注：
1、一般地，二元一次方程的解有无数组，且每一个解都是成对出现，而不是单独
的一个未知数的值；
2、二元一次方程的一组解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值，反过来，
如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；
二元一次方程组的应用(课件)七年级数学下册(浙教版)
七年级 下册
第2章 二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
学习目标
1．根据题干所给的具体数量关系，能列出二元一次方程组，解
答简单的实际问题、几何问题、行程问题和运输问题；
2．根据所列的方程组解决实际问题，注意要符合实际情况，不
满足要求的答案要进行排除；
当堂检测
知识回顾
二元一次方程组的解法有哪些？
=6
解得：
，
=3
∴这个两位数为36．
讲授新课
归纳总结
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
数量关系
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
字母
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
2
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
代入消元
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的
答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量
关系列出方程是解题关键．
讲授新课
练一练
1．商店有甲、乙两种型号的足球，已知购买2个甲型号足球和5个乙型
号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元．
(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元？
组，解之即可得出结论；
（2）设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，根据该学
校一次性购买甲、乙型号足球共100个且共花费5900元，即可得出关于m，
n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
讲授新课
【详解】（1）解：设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格
浙教版数学七年级下册《二元一次方程》课件
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感悟新知
知识点三 解二元一次方程 思考
检验下列各组数是不是方程2a=3b+20的解？
a=4 a=5 a=0
a=100
b=3
b=-
10 3
b=-
20 3
b=60
知识点三
感悟新知
解二元一次方程
思考 你能写出方程2x-y=1的一个解吗？ a+5b=7一共有多少组解？ x=1，y=2是5x+3y=14的唯一解吗？
3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3 时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车 的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程？
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感悟新知
知识点一 二元一次方程
思考 (1)小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角. 小红有
面额为6角和8角的邮票若干张，问这两种面额的邮票各 需多少张？
这个二元一次方程的一个解。
知识点二
感悟新知
二元一次方程的解
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使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做 二元一次方程的一个解。
归纳
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判断一组数值是不是方程的解，可将这组数值分别 代入方程中，若满足该方程，则这组数值就是这个 方程的解，若不满足该方程，则这组数值就不是这 个方程的解。
总结
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不同点： 概念
不同点
一元一次方程
二元一次方程
含有一个未知数 含有两个未知数
方程 的解
一个未知数的值
一对未知数的值，记 做x= y=
只有一个解
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）2.5三元一次方程组及其解法（选学）【知识重点】 1．三元一次方程含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程. 2．三元一次方程组概念由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 3．三元一次方程组的解同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解. 4．解三元一次方程组基本步骤为解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 【经典例题】【例1】解方程组{2x −3y +4z =12x −y +3z =44x +y −3z =−2【答案】解：{2x −3y +4z =12(1)x −y +3z =4(2)4x +y −3z =−2(3)（2）+（3）得： 5x=2，∴x=25，由（2）得： y=x+3z-4 （4），将（4）代入（1）得： 2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，解得：z=-225，将x=25，z=-225代入（4）得：y=-9625， ∴原方程组的解为：{x =25y =−9625z =−225.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y ，z 的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y ，z 可求出x 的值；然后求出y ，z 的值，即可得到方程组的解.【例2】解方程组 {2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③【答案】解：{2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③由①+②+③得：4x+4y+4z=-24； x+y+z=-6④由①-④得：x=-1； 由②-④得：y=-2由③-④得：z=-3∴原方程组的解为：{x =−1y =−2z =−3.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数和特点：①②③相加之后，x 、y 、z 的系数和相等，从而可以得出x+y+z 的值。
《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减 消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建 造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元 一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10
2.3解二元一次方程组 课件2(数学浙教版七年级下册)
（4）已知
2007x 2008y 2006 x 2007y 2009 2008
求（x-y）4-（x+y）2008的值。
zxxkw
2u 5v 12 4uபைடு நூலகம்3v 2
思考：在用加减消元法解二元一次方程组时， 如何根据系数特征选择相加或相减？
（1）
3 x 2 y 11 2 x 3 y 16
（2）
x y 1 3 7 2 x y 1 3 7 3
（3）．已知2v+t=3v-2t=3,求v 、t的值。
2（1）已知方程组
，把两个方程的左右两边分别___________，
就可消去未知数_______,得一元一次方程：___________________________。
归纳：通过将方程组中的两个方程 ，消去其中的 ，转
化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（简称加减法）
（3）解方程组：
1．
1) x y 2.......( 观察方程组，它的系数有什么特点？你会用什么方法消元？ 2) x y 5.......(
解：把方程（1），（2）的左右两边分别相加， 得___________，(依据：____________) 解得x=__________.把解得x的值代入（1），得____________ 解得y=_______________.所以原方程组的解是_________________. 思考：把上述过程中（1）+（2）改为（1）-（2）。 结果将如何？
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(1) 小红到邮局寄挂号信。需要邮资1元9角。小红 有票额为3角和4角的邮票若干张。问各需多少张这 两种面额的邮票？
设3角的邮票为x张，4角的邮票为y张。
3x+4y=19
(2)请你帮小红贴邮票
3角的邮票
张，4角的邮票
张。
x=5，y=1；
x=1，y=4
使二元一次方程两边的值相等的一对未知 数的值,叫做二元一次方程的一个解
第2章 二元一次方程组
2.1 二元一次方程
⑴ 2x+3=7 (Ⅰ) 2x 3y 7
⑵ 5x=50+4x (Ⅱ) 5x 50 4 y
⑶ 8x=32
(Ⅲ) 8x 32 y
一元一次方程
①只含有一个未知数 ②未知数的最高次是一次 ③方程两边都是整式
二元一次方程的定义
含有两个未知数,且所含未知数的项的次数都是1次 的方程叫做二元一次方程.
3x+4y=19
{ x=5
记作： y=1
{ x=1 y=4
小试牛刀
请检验下列各组解是否为方程
2x-3y=1的解
(1)
x
1 2
y 0
(2)
x y
1 4
x 1
(3)
y
1
例 已知方程3x+2y=10
（1）当x=2时，求所对应的y 的值；
（2）取一个你自己喜欢的数作为x的值，求 所对应的y 的值； （3）用含x的代数式表示 y； （4）当x= -2 ，0，5 时，所对应的y 的值是多少？
含有两个未知数
二元一次方程
含未知数的项的次数都是1次
方程两边都是整式
方程中含有未知数的项都是一次单项式
辨一辨 ☞
1、请判断下列各方程中，哪些是二元 一次方程，哪些不是？并说明理由。
(1) x+y+z=9
(3) x2 y 24
(5)
1+1 =2
xy
(2)xy =x-7
(4)2(m-1)+5n=10 (6) x 1 y
结论: 对于二元一次方程组,当两个方程的 同一个未知数的系数相同或是互为
相反数时,可以通过把两个方程的两 边相加或相减来消元,转化为一元 一次方程求解.
例：解方程组
2s 3t 2, (1)2s 6t 1;
2s 3t 2, 变式1 2s 6t 1;
变式2
s 3t 2, 2s 6t 1;
表示另一个未知数
2.2 二元一次方程组
设苹果和梨的质量分别为x(g)和y(g)，你能列出几个方
程？
x+y=200, y=x+10.
二元一次方程组的概念
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方 程组，叫做二元一次方程组.
x+y=200, y=x+10.
你能写出一个二元 一次方程组吗?
注：二元一次方程组并不要求每个方程都是二元的， 如 2-x=2
2x+y=5 也是二元一次方程组.
方程的变形
已知方程3x+2y=10，用关于x的代数式表示y，
则y =_5_-_1_._5_x_.
分析：用关于x的代数式表示y，只要把 3x+2y=10的y看成“未知数”，而把字母x看成 是“常数”，解关于y的方程即可.
试一试 判断下列各组是不是二元一次方程组：
① x+y=3 , ② x+y=3,
y+z=4 .
1
③ x +y=3,
x+5=2. ④ x + y=200,
x+y=2 .
y=x+10.
练一练
｛ 二元一次方程组 x+2y=10， 的解是（3） . y=2x
｛x=4,
(1) y=3
｛x=3,
(2) y=6
｛x=2,
(3) y=4
｛x=4,
(4) y=2
2.把下列各组数的序号填入图中适当的位置.
4,将求得的未知数的值代入原方程组中的任一
个方程,求得另一个未知数的值; 5,写出方程组的解.
提高题：
已知方程组
x by a, 3x y 8
和
2x ax
y y
7, b
有相同的解，求a,b的值
小结： 谈一谈你的收获！
2.4 二元一次方程组的应用
课前复习——
家具厂生产一种餐桌，1m3木材可做5张桌面 或30条桌腿。现在有25m3木材，应怎样分配 木材，才能使生产出来的桌面和桌腿恰好配套 （一张桌面配4张桌腿）？共可生产多少张餐 桌？ 解：设用xm3木材生产桌面，用ym3木材生产桌腿，
x=1
x=-2
②
x1
③
2
x1
④
2
①
y=0
y=2
y 1
y 1
2
④
② ①③
方程x+y=0的解 方程组
x+y=0
的解
方程2x+3y=2的解
2x+3y=2
二元一 次方程 的解
变形
二元一 次方程
概念
概念
二元一次方 程组的解
二元一次 方程组
解法
数学方法:类比思想
2.3 解二元一次方程组
100g 100g 30g
变式3
3s 2s
2t 3t
2, 1;
加减消元法: 通过将方程组中的两个方程相加或相减,消 去其中的一个未知数,转化为一元一次方程.
问题:你认为用加减法解二元一次方程 组的一般步骤是哪些?
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是: 1,将其中一个未知数的系数化成相同(或互为 相反数); 2,通过相减(或相加)消去这个未知数,得到一个 一元一次方程; 3,解这个一元一次方程,得到这个未知数的值;
根据题意得 x+y=25
5x×4=30y
应用二元一次方程组解决实际问题的基 本步骤:
• 理解问题 (审题,搞清已知和未知,分析数量关系) • 制订计划(考虑如何根据等量关系设元,列出方程组)。 • 执行计划（列出方程组并求解，得到答案）。题意).
已知二元一次方程2x+3y=2
(1)用含y的代数式表示x; (2)用含x的代数式表示y;
（1）已知方程 2xa2 3 y3b10 4 0
是二元一次方程,则a=＿3 b= -＿3
（2）如果
{
X=3 y=1
是二元一次方程
kx+y=7的解,则k= ＿2
你学会了什么？
(1)二元一次方程 (2)二元一次方程的解（不唯一性） (3)用一个未知数的代数式
列二元一次方程组解应用题的步骤：
1.审题；
2.设未知数；
3.列方程组； 4.解方程组；
5.检验；
6.作答。
例1:一根金属棒在0℃时的长度是q米,温度每升高 １ ℃ ，它就伸长p米,当温度为t ℃ 时，金属棒的 长度l可用公式l=pt+q计算． 已测得当t＝100℃时，l=2.002米； 当t＝500 ℃时，l=2.01米．
如图所示的天平处于平 衡状态.设每个的质量为 xg,每个 的质量为yg,你 能根据图示列出求x, y 的方程组吗?
4x 3y 130, 2x 3y 100;
你能说说下面等式变形的理由吗?
4x 3y 130, 2x 3y 100;
2x =30
归纳:由此你发现了什么?得到了什么 结论?