周公度第四版结构化学第七章晶体点阵结构和晶体性质
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结构化学知识点归纳
2. 光谱项： 2S+1 L ，光谱支项： 2S+1 LJ 。
L：
0
1
2
3
4
5
符号：
S
P
D
F
G
H
3. 谱项能级的高低：Hund 规则：
（1）原子在同一组态时，S 值越大其能量越低；
（2）S 值相同时，L 值越大其能量越低；
（3）S，L 都相同时，电子少于半充满，J 值小能量低；电子多于半充满时，J
值大能量低。
− =2 d2ψ = Eψ 2m dx2
其解为：ψ n (x) =
2 l
sin( nπ l
x)，
En
=
n2h2 8ml 2
解的特点：（1）粒子可以存在多种运动状态；（2）能量是量子化的；（3）存 在零点能；（4）没有经典运动轨道，只有概率分布；（5）存在节点，节点越多， 能量越高。以上这些特点是所以量子力学体系都有的特点。
∫ ∫ 自厄算符：满足
ψ
* 2
(
Aˆψ
1
)dτ
=
ψ 2 ( Aˆψ1)*dτ 的算符。
自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正 交。
3. 假设 3：若某一物理量 A 的算符 Aˆ 作用于某一状态函数ψ ，等于某一常数 a 乘
以ψ ，即： Aˆψ = aψ ，那么对ψ 所描述的这个微观体系的状态，物理量 A 具有确
（2）外层电子对内层无屏蔽作用，σ = 0 ；
（3）同一组电子σ = 0.35 （1s 组内电子间的σ = 0.30 ）；
（4）对于 s，p 电子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 0.85；对于 d，f 电
子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 1.00；
第七章晶体的点阵结构和晶体的性质
第七章晶体的点阵结构和晶体的性质第七章晶体的点阵结构和晶体的性质⼀、概念及问答题1、由于晶体内部原⼦或分⼦按周期性规律排列，使晶体具有哪些共同的性质？答：a. 均匀性，⼀块晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。
b. 各向异性，在晶体中不同的⽅向上具有不同的物理性质。
c. ⾃发地形成多⾯体外形，晶体在⽣长过程中⾃发地形成晶⾯，晶⾯相交成为晶棱，晶棱会聚成项点，从⽽出现具有多⾯体外形的特点。
2、点阵答：点阵是⼀组⽆限的点，连结其中任意两点可得⼀向量，将各个点按此向量平移能使它复原，凡满⾜这条件的⼀组点称为点阵。
点阵中的每个点具有完全相同的周围环境。
3、晶体的结构基元点阵结构中每个点阵点所代表的具体内容，包括原⼦或分⼦的种类和数量及其在空间按⼀定⽅式排列的结构，称为晶体的结构基元。
结构基元与点阵点是⼀⼀对应的。
4、晶体结构在晶体点阵中各点阵点的位置上，按同⼀种⽅式安置结构基元，就得整个晶体的结构，所以地晶体结构⽰意表⽰为：晶体结构＝点阵+结构基元5、直线点阵根据晶体结构的周期性，将沿着晶棱⽅向周期地重复排列的结构基元，抽象出⼀组分布在同⼀直线上等距离的点列，称为直线点阵。
6、晶胞按照晶体内部结构的周期性，划分出⼀个个⼤⼩和形状完全⼀样的平⾏六⾯体，以代表晶体结构的基本重复单位，叫晶胞。
晶胞的形状⼀定是平⾏六⾯体。
晶胞是构成晶体结构的基础，其化学成分即晶胞内各个原⼦的个数⽐与晶体的化学式⼀样，⼀个晶胞中包含⼀个结构基元，为素晶胞，包今两个或两个以上结构基元为复晶胞，分别与点阵中素单位与复单位相对应。
7、晶体中⼀般分哪⼏个晶系？根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它⾃⼰的特征对称元素，按特征对称元素的有⽆为标准划分晶系。
⼀般分为7个晶系，有⽴⽅晶系、六⽅晶系、四⽅晶系、三⽅晶系、正交晶系、单斜晶系和三斜晶系。
8、CsCl 是体⼼⽴⽅点阵还是简单⽴⽅点阵？是简单⽴⽅点阵。
在CsCl 晶体中，结构基元是由⼀个Cs +和⼀个Cl -构成，点阵点可以选Cs +的位置，也可以选Cl -的位置，还可以选在其他任意位置，但不能同时将Cs +和Cl -作为点阵点，因为这样选取不符合点阵的定义，同时也不能将晶体CsCl误认为是体⼼⽴⽅点阵，因为每个点阵点代表⼀个Cs +和⼀个Cl -。
《结构化学》(7-10章)习题答案全解
《结晶学基础》习题答案目录第7章答案----------------------------------------------------------------------1第8章答案---------------------------------------------------------------------12第9章答案---------------------------------------------------------------------20第10章答案------------------------------------------------------------------251《结晶学基础》第七章习题答案7001 单晶:一个晶体能基本上被一个空间点阵的单位矢量所贯穿。
多晶:包含许多颗晶粒,这些晶粒可能为同一品种,也可能不同品种,由于各晶粒在空间取向可能不同,不能被同一点阵的单位矢量贯穿。
7002 (D) 7004 简单立方; Cs +和Cl -; 4C 37005 (1) 立方F (2) A 和 B (3) 4 个 (4) 4 组 (5) 3a (6) a /2 7007 4n 个 A, 8n 个 B, n 为自然数。
7010 d 111= 249 pm ; d 211= 176 pm ; d 100= 432 pm 7011 六方; D 3h 70127013 依次为立方,四方,四方,正交,六方。
7014 立方 P ,立方 I ,立方 F ; 四方 P ,四方 I 。
7015 旋转轴,镜面,对称中心,反轴; 旋转轴,镜面,对称中心,反轴,点阵,螺旋轴,滑移面;n =1,2,3,4,6; 32个; 七个晶系; 14种空间点阵型式; 230个空间群。
7016 (1) 四方晶系 (2) 四方 I (3) D 4 (4) a =b ≠c , α=β=γ=90° 7017 (1) 单斜晶系,单斜 P (2) C 2h (3) C 2, m , i 7018 (2a ,3b ,c ):(326); (a ,b ,c ):(111); (6a ,3b ,3c ):(122); (2a ,-3b ,-3c ):(322)。
晶体的点阵结构和晶体的性质
h 1 . 2 2 6 2 m V V
1.平移
平移是晶体结构中最基本的对称操作，可用 T 来表示
Tmnp＝ma＋nb＋pc
m，n，p为任意整数 即一个平移矢量 Tmnp 作用在晶体三维点阵上， 使点阵点在a方向平移m单位，b方向平移n单位，c 方向平移p单位后，点阵结构仍能复原。 所有点阵都有的操作
2
1
h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
平面点阵
（ a ）NaCl 结构 点阵
（ b ）Cu 晶格
h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
平面点阵
b a
（c）石墨
结构
点阵
晶格
h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
(1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) .
旋转轴--旋转操作 镜面--反映操作 对称中心--反演操作 反轴--旋转反演操作 点阵--平移操作 螺旋轴--螺旋旋转操作 滑移面--反演滑移操作
h h p m v h 1 . 2 2 6 2 m V V
h h p m v
h 1 . 2 2 6 2 m V V
7个晶系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c 夹角 =β =γ = 900 =β =γ ≠900 =β =γ = 900 =β = 900, γ = 1200 =β =γ = 900 =β = 900, γ ≠ 900 0 ≠β ≠γ ≠ 90 晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4·5H2O
周公度第四版结构化学第七章-晶体的点阵结构和晶体的性质
晶胞选取原则：
① 所选平行六面体应能反映晶体的对称性。 ② 晶胞参数中轴的夹角、、 为90o的数目最多。 ③ 在满足上述两个条件下，所选的平行六面体的体积最小。
7.2.4 晶体的空间点阵型式
在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子, 由布 拉维（O.Bravais）1895年确定.
滑移面对应的对称操作是反映 和平移的联合操作。
滑移面有几种类型.
a滑移面的基本操作是对于该面 (假象镜面)反映后，再沿平行 于此面的x 轴方向平移 ta/2。 ta 是x 轴方向的平移周期 a。 有时将平移直接写成 a/2.
轴线滑移面a(b或c)： 通过镜面反映后，再沿a轴(b或c)方向滑移a/2(b/2或c/2)
a, b, c 选与三次轴交成等角 的晶棱
c∥3; a,b∥2 或⊥m或选a,b⊥c 的 晶棱
特征对称元素与晶轴的选取
晶系
特征对称元素
正交
3个互相垂直的二重对称轴 或2个互相垂直的对称面
单斜 1个二重对称轴或对称面
三斜
无
晶胞类型
晶轴的选取
a b c, α=β=γ=90º a b c,
α=γ=90º a bc αβγ
特征对称元素与晶轴的选取
晶系 特征对称元素
立方
4个立方体对角线 上有三重旋转轴
四方 1个四重对称轴
晶胞类型
晶轴的选取
a = b = c, α=β=γ=90º
4个3∥立方体的4个对角线，立方 体的3个互相垂直的边即为a,b,c的 方向
a = b c,
α=β=γ=90º
c∥4； a,b∥2 或选⊥m 或选 a,b ⊥c 的晶
① 所选平行六面体应能反映晶体的对称性。 ② 晶胞参数中轴的夹角、、 为90o的数目最多。 ③ 在满足上述两个条件下，所选的平行六面体的体积最小。
7.2.4 晶体的空间点阵型式
在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子, 由布 拉维（O.Bravais）1895年确定.
滑移面对应的对称操作是反映 和平移的联合操作。
滑移面有几种类型.
a滑移面的基本操作是对于该面 (假象镜面)反映后，再沿平行 于此面的x 轴方向平移 ta/2。 ta 是x 轴方向的平移周期 a。 有时将平移直接写成 a/2.
轴线滑移面a(b或c)： 通过镜面反映后，再沿a轴(b或c)方向滑移a/2(b/2或c/2)
a, b, c 选与三次轴交成等角 的晶棱
c∥3; a,b∥2 或⊥m或选a,b⊥c 的 晶棱
特征对称元素与晶轴的选取
晶系
特征对称元素
正交
3个互相垂直的二重对称轴 或2个互相垂直的对称面
单斜 1个二重对称轴或对称面
三斜
无
晶胞类型
晶轴的选取
a b c, α=β=γ=90º a b c,
α=γ=90º a bc αβγ
特征对称元素与晶轴的选取
晶系 特征对称元素
立方
4个立方体对角线 上有三重旋转轴
四方 1个四重对称轴
晶胞类型
晶轴的选取
a = b = c, α=β=γ=90º
4个3∥立方体的4个对角线，立方 体的3个互相垂直的边即为a,b,c的 方向
a = b c,
α=β=γ=90º
c∥4； a,b∥2 或选⊥m 或选 a,b ⊥c 的晶
结构化学课件晶体的点阵结构和晶体的性质
点阵点吗？ 假若你这样做了，试
把这所谓的“点阵”放回金 刚石晶体，按箭头所示将 所有原子平移，晶体能复 原吗？
这种所谓的“点阵”有一个致命错误：它本身就违反点阵 的数学定义，并不是点阵！更别说是金刚石晶体的点阵.
正确做法如下：
金刚石的点阵：立方面心
Mg金属晶体结构
六方的Mg晶体能将每个 原子都抽象为点阵点吗?
以抛光…… 1669年巴尔托林发现了光束通过冰洲石的双折射现象:
❖ 石墨在平行于层的方向上电导率高且为半金属性导电; 垂直于层的方向上电导率低且为半导体性导电.
图 中 红 、 蓝 球 均 为 C 原 子
晶体在理想生长环境中能自发地形成规则的凸 多面体外形，满足欧拉定理：
F（晶面数）+V（顶点数）=E（晶棱数）+ 2
石墨的结构基元与点阵点
晶胞净含4个C原子（8×1/8+4 × 1/4+2 × 1/2+1=4）, 每4个C组 成1个结构基元，每个晶胞含一个结构基元. 抽象成点阵后，一个格子 净含1个点阵点, 为六方简单格子：
石墨晶体
红绿点都是C. 点阵 点放在绿点处是一 种方便的作法.
一个素晶胞
石墨的素晶胞与素格子
4. 点阵点、直线点阵、平面点阵的指标 5. X射线衍射法
1. X射线的产生及晶体对X射线的衍射 2. 衍射方向与晶胞参数 3. 衍射强度与晶胞中原子的分布 4. 单晶衍射法 5. 多晶粉末衍射
8．1 晶体的结构特征
晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列构成的固体物质。
晶体 非晶态物质
石墨层
小黑点为平面点阵. 为比较二者关系, 暂以 石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.
石墨层的平面点阵 （红线围成正当平面格子）
把这所谓的“点阵”放回金 刚石晶体，按箭头所示将 所有原子平移，晶体能复 原吗？
这种所谓的“点阵”有一个致命错误：它本身就违反点阵 的数学定义，并不是点阵！更别说是金刚石晶体的点阵.
正确做法如下：
金刚石的点阵：立方面心
Mg金属晶体结构
六方的Mg晶体能将每个 原子都抽象为点阵点吗?
以抛光…… 1669年巴尔托林发现了光束通过冰洲石的双折射现象:
❖ 石墨在平行于层的方向上电导率高且为半金属性导电; 垂直于层的方向上电导率低且为半导体性导电.
图 中 红 、 蓝 球 均 为 C 原 子
晶体在理想生长环境中能自发地形成规则的凸 多面体外形，满足欧拉定理：
F（晶面数）+V（顶点数）=E（晶棱数）+ 2
石墨的结构基元与点阵点
晶胞净含4个C原子（8×1/8+4 × 1/4+2 × 1/2+1=4）, 每4个C组 成1个结构基元，每个晶胞含一个结构基元. 抽象成点阵后，一个格子 净含1个点阵点, 为六方简单格子：
石墨晶体
红绿点都是C. 点阵 点放在绿点处是一 种方便的作法.
一个素晶胞
石墨的素晶胞与素格子
4. 点阵点、直线点阵、平面点阵的指标 5. X射线衍射法
1. X射线的产生及晶体对X射线的衍射 2. 衍射方向与晶胞参数 3. 衍射强度与晶胞中原子的分布 4. 单晶衍射法 5. 多晶粉末衍射
8．1 晶体的结构特征
晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列构成的固体物质。
晶体 非晶态物质
石墨层
小黑点为平面点阵. 为比较二者关系, 暂以 石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.
石墨层的平面点阵 （红线围成正当平面格子）
结构化学 课件 第七章
OP矢量r=ua+vb+wc=3a+2b+3c, 所以，P点阵点指标为323
直线点阵指标 [uvw]
OQ矢量 r =ua+vb+wc=1a+2b+1c, 直线点阵MN与OQ平行或重合，所以，MN直线点阵指标为[121]
平面点阵指标（h*k*l* )
（h*k*l*)=(010)
(111)晶面
相互平行的一族平面点阵, 其（h*k*l*)相同:
矩形框中内容为一个结构基元，可抽象为一个点阵点.安 放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致,这就得到点阵:
三维周期性结构与空间点阵
下列晶体结构如何抽象成点阵？
Mn
(简单立方)
Li Na K Cr Mo W…
(体心立方)
以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.
例：Ni Pd Pt Cu Ag Au ……
净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点 阵点者是复格子；平面素格子、复格子的取法都有 无限多种. 所以需要规定一种 “正当平面格子”标准.
正当平面格子的标准
1. 平行四边形 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少 平面格子净含点阵点数：顶点为1/4；棱心为 1/2；格内为1. 正当平面格子有4种形状，5种型式（其中矩 形有带心与不带心两种型式）：
面心立方是一种常见 的金属晶体结构，其 中每个原子都是一个 结构基元，都可被抽 象成一个点阵点.
CsCl型晶体结构
CsCl型晶体中A、B是不同的原子，不能都被抽象为点阵 点. 否则，将得到错误的体心立方点阵！这是一种常见的错误：
体心立方虽不违反点阵定义，却不是CsCl型晶体的点阵！ 试将此所谓的“点阵”放回晶体，按“点阵”上所示的矢量，对 晶体中的原子平移，原子A与B将互换，晶体不能复原！
结构化学基础习题问题详解 周公度 第4版
01.量子力学根底知识【】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以与以k J ·mol -1为单位的能量。
解：811412.99810m s 4.46910s 670.8m cνλ--⨯⋅===⨯ 41711 1.49110cm 670.810cm νλ--===⨯⨯3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν--==⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅【】金属钾的临阈频率为4×10-14s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hv hv mv =+()1201812341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kgυ------⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦134141231512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----⎡⎤⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⨯⎣⎦=⨯【】计算如下粒子的德布罗意波的波长：（a ） 质量为10-10kg ，运动速度为m ·s -1的尘埃； （b ） 动能为的中子；（c ） 动能为300eV 的自由电子。
解：根据关系式：(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----⨯⋅===⨯⨯⋅34-11 (2) 9.40310m h p λ-====⨯3411(3) 7.0810mh p λ--====⨯【】对一个运动速度c υ〔光速〕的自由粒子，有人进展了如下推导：1v vv v 2h h E m p m νλ=====①②③④⑤结果得出12m m υυ=的结论。
《结构化学》第七章
原子的个数。
注：分数坐标与选取晶胞的原点有关
Nankai University
Cl-: 0,0,0; 1/2,1/2,0; 0,1/2,1/2; 1/2,0,1/2 Na+: 1/2,0,0; 0,1/2,0; 0,0,1/2; 1/2,1/2,1/2
Nankai University
S= : 0,0,0; 2/3,1/3,1/2; Zn++: 0,0,5/8; 2/3,1/3,1/8
宏观晶体的晶面指标 对于宏观晶体的外形晶面进行标记时，习惯
上把原点设在晶体的中心，根据晶体的所属晶系 确定晶轴的方向，两个平行的晶面一个为(hkl)， 另一个为 (h kl )
Nankai University
晶面间距：任三个晶轴上截数为整数的一族晶 面中，相邻晶面间的垂直距离
立方晶系： 正交晶系：
X
OP= xa+yb+zc
x, y, z为P原子的分数坐标。x, y, z
为三个晶轴方向单位矢量的个数
Y
(是分数)(晶轴不一定互相垂直)。 x, y, z一定为分数
• 凡不到一个周期的原子的坐标都必须标记，分数坐标， 即坐标都为分数，这样的晶胞并置形成晶体；
• 这里的分量不一定是垂直投影。 • 一个晶胞内原子分数坐标的个数，等于该晶胞内所包括
数学抽象
晶体
点阵
点阵结构
点阵点
结构基元
直线点阵
晶棱
平面点阵
晶面
空间点阵
晶体
正当单位
正当晶胞
7种形状 14种布拉威格子
7个晶系 14种布拉威晶格
Nankai University
7.1.4 晶胞 晶胞：点阵结构中划分出的平行六面体叫晶胞， 它代表晶体结构的基本重复单位。
注：分数坐标与选取晶胞的原点有关
Nankai University
Cl-: 0,0,0; 1/2,1/2,0; 0,1/2,1/2; 1/2,0,1/2 Na+: 1/2,0,0; 0,1/2,0; 0,0,1/2; 1/2,1/2,1/2
Nankai University
S= : 0,0,0; 2/3,1/3,1/2; Zn++: 0,0,5/8; 2/3,1/3,1/8
宏观晶体的晶面指标 对于宏观晶体的外形晶面进行标记时，习惯
上把原点设在晶体的中心，根据晶体的所属晶系 确定晶轴的方向，两个平行的晶面一个为(hkl)， 另一个为 (h kl )
Nankai University
晶面间距：任三个晶轴上截数为整数的一族晶 面中，相邻晶面间的垂直距离
立方晶系： 正交晶系：
X
OP= xa+yb+zc
x, y, z为P原子的分数坐标。x, y, z
为三个晶轴方向单位矢量的个数
Y
(是分数)(晶轴不一定互相垂直)。 x, y, z一定为分数
• 凡不到一个周期的原子的坐标都必须标记，分数坐标， 即坐标都为分数，这样的晶胞并置形成晶体；
• 这里的分量不一定是垂直投影。 • 一个晶胞内原子分数坐标的个数，等于该晶胞内所包括
数学抽象
晶体
点阵
点阵结构
点阵点
结构基元
直线点阵
晶棱
平面点阵
晶面
空间点阵
晶体
正当单位
正当晶胞
7种形状 14种布拉威格子
7个晶系 14种布拉威晶格
Nankai University
7.1.4 晶胞 晶胞：点阵结构中划分出的平行六面体叫晶胞， 它代表晶体结构的基本重复单位。
(完整版)结构化学 第七章
D16 2h
p
21 n
21 m
21 aC 52hP21 c空间群属单斜晶系
7个晶系
14种空间点阵型式 32个点群(宏观对称性) 230个空间群(微观对称性)
§7.4 晶体的X射线衍射
当X射线与原子中束缚较紧的内层电子相撞时，光子把能 量全部转给电子，电子将在其平衡位置发生受迫振动， 不断被加速或被减速，而且振动频度与入射X射线的相同。 这个电子本身又变成了一个新电磁波源，向四周辐射电 磁波，形成X射线波。这些散射波之间符合振动方向相同， 频率相同，位相差恒定的光的干涉条件， 可以发生干涉 作用，故称之为相干散射。
金刚石滑移面(d)与对角线滑移面(n)的滑移方向相同, 只是 滑移量不同而已。
1/2a
++
+
0
1
2
+a +
(b)
轴线滑移面a
5
4
a
3
aa
2
1´
1
(a) 轴线滑移面 a
b
b
(b) 对角滑移面 n (c) 菱形滑移面d
虚线圈表示不存在
虚线圈表示在镜面下方 虚线圈表示在镜面下方
§ 7.2.3 晶胞
1. 晶胞: 晶体结构的基本重复单元称为晶胞
32个点群符号的说明：(见P276 表8.2.4)
SchÖnflies记号 国际记号 简化记号 对应的三个位
C4v
4mm
4mm
c a a+b
D2h
222 m m m 2/mmm a b c
Oh
432
m3m
a a+b+c a+b
mm
在某一方向出现的旋转轴或反轴是指与这一方向平行的旋 转轴或反轴, 而在某一方向出现的镜面则是指与该方向垂 直的镜面, 如果在某一方向同时出现旋转轴或反轴与镜面 时, 国际记号中用分数形式来表示,将n或n 记在分子位置, 将m记在分母位置。
第07章 晶体的点阵结构和晶体的性质1
18
山东理工大学
19
山东理工大学
3. 晶胞
晶胞：晶体的 最小重复单元 ， 通过晶胞在空间平 最小重复单元， 晶胞 ： 晶体的最小重复单元 移无隙地堆砌而成晶体。晶胞一定是平行六面体 一定是平行六面体。 移无隙地堆砌而成晶体。晶胞一定是平行六面体。 晶胞的两个要素： 晶胞的两个要素： 1. 晶胞的大小与形状： 晶胞的大小与形状： 由 晶胞参数 a ， b ， c ， α ， 晶胞参数a β，γ表示，a，b，c 为六面 表示， 分别是bc， 体边长， 体边长，α，β，γ 分别是bc， ca , ab 所组成的夹角。 所组成的夹角。
20
山东理工大学
晶胞的两个要素： 晶胞的两个要素： 2. 晶胞内部各原子的坐标位置－原子的坐标参数： 晶胞内部各原子的坐标位置－ 原子的坐标参数(x 也称为原子分数坐标 原子分数坐标。 原子的坐标参数(x , y , z )也称为原子分数坐标。 晶胞参数: 晶胞参数: Z
β
向量a、 、 的长度及其间的夹角 向量 、b、c的长度及其间的夹角 α
山东理工大学
13
（a）Po
（ b ）CsCl
（ c ） Na
（ d ）Cu
（e）金刚石
三维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点） 三维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
14
山东理工大学
晶体结构
点 阵
结构基元
+
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
15
山东理工大学
2. 点阵单位和晶格
在点阵中以直线连结各个点阵点， 形成直线点阵， 在点阵中以直线连结各个点阵点 ， 形成直线点阵 ， 相邻两个点阵点的矢量 是这直线点阵的单位矢量， 相邻两个点阵点的矢量 a 是这直线点阵的单位矢量， 称为点阵参数 点阵参数。 矢量的长度 a =｜a｜，称为点阵参数。
07 第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
格子内 1
31
空间格子有7种形状：（即七大晶系） 立方、四方、六方、三方、正交、单斜、三斜 14种空间点阵形式： （即14种空间格子，也称 布拉维格子） 立方P、立方I、立方F 四方P、四方I 六方P 三方P 单斜P、单斜C 正交P、正交I、正交C、正交F 三斜P
P：简单型式 F：面心型式
I：体心型式 C：底心型式
6、晶体对X射线产生衍射
16
第二节 点阵结构和结构基元
点阵（lattice） 晶体宏观特征是由于晶体内原子分子等微粒在 空间的周期排列的结果，可抽象成为一个数学上的 点阵。 点阵：是一组无限的点，连结其中任意两点可得一 向量，将各个点按此向量平移能使它复原。 平移必须是按向量移动；点阵中每个点都具有完全 相同的周围环境。
尖晶石: 宝石级尖晶石则主要是指镁铝尖晶石， 化学分子式为MgAl2O4，是一种镁铝氧化物。 属等轴晶系。晶体形态为八面体及八面体与 菱形十二面体的聚形。颜色丰富多彩，有无 色、粉红色、红色、紫红色、浅紫色、蓝紫 3 色、蓝色、黄色、褐色等。
NaCl
石盐又称岩盐，化学成分为NaCl，晶体都属等轴晶系的卤化物。 单晶体呈立方体，在立方体晶面上常有阶梯状凹陷，集合体常呈 粒状或块状。纯净的石盐无色透明，含杂质时呈浅灰、黄、红、 黑等色，玻璃光泽。三组立方体解理完全。摩氏硬度2.5，比重 2.17。易溶于水。味咸。 石盐是典型的化学沉积成因的矿物。在盐湖或泻湖中与钾石 盐和石膏共生。石盐可作为食品调料和防腐剂，是重要的化工原 料。
8
孔雀石
孔雀石的化学组成Cu2[CO3](OH)2，晶体属单斜晶系的碳酸盐矿 物。因颜色类似蓝孔雀羽毛的颜色而得名。晶体为柱状、针状或 纤维状，通常呈钟乳状、肾状、被膜状或土状集合体。呈绿色， 玻璃光泽，半透明。摩氏硬度3.5-4，比重4-4.5。遇盐酸起泡。 产于铜矿床氧化带中，是含铜硫化物氧化的次生产物，常与 蓝铜矿、赤铜矿、褐铁矿等共生，可用作寻找原生铜矿的标志。 孔雀石可用于炼铜，质纯色美者可做为装饰品及工艺品原料，其 粉末可做绿色颜料（称石绿）。俄罗斯乌拉尔、中国海南岛石碌 等地盛产孔雀石。
结构化学第七章-晶体结构与晶体点阵
Long-range-order 长程有序性
6
7.1.1 晶体概述
晶体的特征
（1）晶体的均匀性
பைடு நூலகம்
非晶物质
如玻璃、松香、明胶等
在它们内部原子或分子的排列没有周期性 的结构规律
宏观上仍是集合意义上的“均匀”
晶体 （a）和 玻璃 （b）的内部结构
均匀性 是针对同一方向不同部位的测量结果而言
7
7.1.1 晶体概述
净含点阵点多于一个的空间点阵单位，取法也有 无限多种。
正当空间单位的标准:（次序不能颠倒） 1. 与空间点阵对称性一致的平行六面体 2. 直角数目尽可能多 3. 包含点阵点数目尽可能少（即体积尽 可能小）
25
7.1.2 点阵
空间点阵
正当空间单位有7种形状，14种型式，称 布拉菲格子 （Barvais Lattice）
一般平行四边形
ab
ab90° 23
7.1.2 点阵
空间点阵 定义：在三维方向上等周期排布点阵叫平面点阵。
平移群表示：
几何形式
(m, n, p = 0, 1, 2, …)
24
7.1.2 点阵
空间点阵
三维阵点连接起来构成三维格子。
素单位
净含一个点阵点的空间点阵单位，取法有无限多 种，体积都相等；
复单位
21
7.1.2 点阵
平面点阵
正当单位：
• 最高对称性 • 面积最小 • 形状规则 的平行四边形单位
尽量与平面点阵对称性一致
22
7.1.2 点阵
平面点阵
平面点阵的正当单位可有四种形状，五种型式
a b
a b
a b
a b
a b
结构化学《结构化学》第7章 第1讲(7.1)6.1 《结构化学》第7章第1讲
17
diamond
18
3）在金属 Mg 结 构 中 ， 若 将 两 个 Mg 原子都抽象为 点阵点，连接 两个点阵点的 矢量平移不能 使点阵复原， 如 图 7.1.6b 所 示。
19
11. CsCl和NaCl的点阵点和结构基元 CsCl和NaCl都是由正负两种离子交替排列形成晶 体，这时每个点阵点代表由两种离子共同组成的结 构基元。 若将Cs和Cl都作为结构基元，则因组成不同，周 围环境不同，连接不同离子间的矢量平移不能使点 阵复原。
例如在图7.1.4g中Cl和Na原子的坐标参数分别为：
Cl: 0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2.
Na: 1/2,0,0; 0,1/2,0; 0,0,1/2; 1/2,1/2,1/2.
22
23
11
Na
Cu
12
Mg
Diamond
13
Graphite_hP
Graphite_hR
14
NaCl
15
9. 什么是晶胞、素晶胞、复晶胞 在三维周期结构中，周期结构重复的单元一般是 平行六面体，称为晶胞。 含有一个结构基元的晶胞，称为素晶胞。 含有2个或2个以上结构基元的晶胞，称为复晶胞。
16
10. 为什么金属Po、Na、Cu的结构基元由1个原子 组成，而金属Mg和金刚石却由2个原子组成？
21
14. 晶胞的两个基本要素 1）晶胞的大小和形状，即晶胞参数a、b、c； 2）晶胞内部各个原子的坐标参数（x，y，z）。 有了这两方面数据，就可确定晶体的空间结构。
15. 原子在晶胞中的坐标参数（x，y，z）
是指由晶胞原点指向原子的矢量r，用基矢a、b、
c来表达：
diamond
18
3）在金属 Mg 结 构 中 ， 若 将 两 个 Mg 原子都抽象为 点阵点，连接 两个点阵点的 矢量平移不能 使点阵复原， 如 图 7.1.6b 所 示。
19
11. CsCl和NaCl的点阵点和结构基元 CsCl和NaCl都是由正负两种离子交替排列形成晶 体，这时每个点阵点代表由两种离子共同组成的结 构基元。 若将Cs和Cl都作为结构基元，则因组成不同，周 围环境不同，连接不同离子间的矢量平移不能使点 阵复原。
例如在图7.1.4g中Cl和Na原子的坐标参数分别为：
Cl: 0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2.
Na: 1/2,0,0; 0,1/2,0; 0,0,1/2; 1/2,1/2,1/2.
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Na
Cu
12
Mg
Diamond
13
Graphite_hP
Graphite_hR
14
NaCl
15
9. 什么是晶胞、素晶胞、复晶胞 在三维周期结构中，周期结构重复的单元一般是 平行六面体，称为晶胞。 含有一个结构基元的晶胞，称为素晶胞。 含有2个或2个以上结构基元的晶胞，称为复晶胞。
16
10. 为什么金属Po、Na、Cu的结构基元由1个原子 组成，而金属Mg和金刚石却由2个原子组成？
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14. 晶胞的两个基本要素 1）晶胞的大小和形状，即晶胞参数a、b、c； 2）晶胞内部各个原子的坐标参数（x，y，z）。 有了这两方面数据，就可确定晶体的空间结构。
15. 原子在晶胞中的坐标参数（x，y，z）
是指由晶胞原点指向原子的矢量r，用基矢a、b、
c来表达：
第七章晶体结构的点阵理论
3、空间点阵（三维点阵） 所有点阵点分布在三维空间上平移群。P208图7.4。 4、正当单位（正当格子） 对平面点阵按选择的素向量和用两组互不平行的平行线组 （过点阵点，等间距），把平面点阵划分成一个个的平行四边 行，可得到平面格子。 由于素向量的选取有多种形式，所以一个平面点阵可得到 多种平面格子。 平面格子中的每一个平行四边形称为一个单位。 四边形顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/4 四边形边上的阵点，对每个单位的贡献为1/2 四边形内的阵点，对每个单位的贡献为1。 只含一个阵点的单位—素单位（素格子） 含有两个或两个以上阵点的单位——复单位（复格子） 注意：素单位肯定是由素向量构成，但素向量不一定构成 素单位。
晶体中原子或基团的排列具有三维空间的周期性， 它使晶体具有下列特点： （1）自发地形成多面体外形（自范性） （2）均匀性 （3）各向异性 （4）有明显的熔点 此外，晶体还有对称性、对X射线的衍射等。
2.晶体的同素异构及应用示例 （1）同素异构体 由于形成材料不同，同一种原子或基团 形成晶体，可能存在不同的晶体结构，此 现象称为晶体的同素异构。不同的异构体 在材料科学中称为不同的“相”。 （2）人工智能材料
①一个晶面指标hkl代表一组互相平行的晶面。 ②晶面指标的数值反映了这组晶面间的距离大小和阵点的 疏密程度。晶面指标越大，晶面间距越小，晶面所对应的平 面点阵上的阵点密度越小。(图7.15) ③由晶面指标hkl可求出这组晶面在三个晶轴上的截数和截 长
截数
截长
n r h
n s k
sb
n t l
T m a ( m 0 ,1 ,2 ) m
T m
对向量的加法构成一个群—平移群。
此外，NaCl晶体中沿某晶棱方向排列的一 列离子，石墨晶体中的一列原子均可抽取出 直线点阵。
结构化学《结构化学》第7章 第2讲(7.2)6.2 《结构化学》第7章第2讲
7.2 晶体结构的对称性
7.2.1 晶体结构的对称元素和对称操作 1. 晶体结构最基本的特点 具有点阵结构 2. 分子的对称性 是点对称性，只有4类对称元素及对称操作： 1）旋转轴：旋转操作 2）镜面：反映操作 3）对称中心：反演操作 4）反轴：旋转反演操作
1
3. 晶体的对称性 晶体的点阵结构，使晶体的对称性在上述点对称 性的基础上又增加了3类对称元素和对称操作： 1）点阵：平移操作 2）螺旋轴：螺旋旋转操作 3）滑移面：反映滑移操作
均有三次对称轴； 2）六方晶系：有1个六次对称轴； 3）四方晶系：有1个四次对称轴； 4）三方晶系：有1个三次对称轴；
5
பைடு நூலகம்
5）正交晶系：有3个互相垂直的二次对称轴或有2 个互相垂直的对称面；
6）单斜晶系：有一个二次对称轴或一个对称面 7）三斜晶系：没有特征对称元素。 注意：这里的对称轴包括旋转轴、螺旋轴、反轴， 对称面包括镜面和滑移面。
7
7.2.3 晶体学点群 1. 晶体的宏观对称性 晶体的理想外形及其在宏观观察中所表现的对称
性称为宏观对称性。 晶体宏观对称性中的对称元素和微观结构中的相
应对称元素一定是平行的。 晶体微观结构中的螺旋轴和滑移面在宏观对称性
中表现为旋转轴和镜面。
8
2. 晶体学点群 将晶体中可能存在的各种宏观对称元素（对称心、 对称面、对称轴）通过一个公共点按一切可能性组 合起来，总共有32种型式，称为32种晶体学点群。 表7.2.3中列出32种晶体学点群的序号、记号、对 称元素及所属晶系。 表 中 D2d 点 群 含 I4 对 称 轴 ， 属 于 四 方 晶 系 ； C3h 和 D3h含I6对称轴，属六方晶系。
晶体的对称元素和对称操作也受到点阵的制约。 在晶体中存在的对称轴（包括旋转轴、螺旋轴、反 轴）的轴次只能是1，2，3，4和6等5种。而滑移面 和螺旋轴中的滑移量，也要受点阵制约。
7.2.1 晶体结构的对称元素和对称操作 1. 晶体结构最基本的特点 具有点阵结构 2. 分子的对称性 是点对称性，只有4类对称元素及对称操作： 1）旋转轴：旋转操作 2）镜面：反映操作 3）对称中心：反演操作 4）反轴：旋转反演操作
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3. 晶体的对称性 晶体的点阵结构，使晶体的对称性在上述点对称 性的基础上又增加了3类对称元素和对称操作： 1）点阵：平移操作 2）螺旋轴：螺旋旋转操作 3）滑移面：反映滑移操作
均有三次对称轴； 2）六方晶系：有1个六次对称轴； 3）四方晶系：有1个四次对称轴； 4）三方晶系：有1个三次对称轴；
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5）正交晶系：有3个互相垂直的二次对称轴或有2 个互相垂直的对称面；
6）单斜晶系：有一个二次对称轴或一个对称面 7）三斜晶系：没有特征对称元素。 注意：这里的对称轴包括旋转轴、螺旋轴、反轴， 对称面包括镜面和滑移面。
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7.2.3 晶体学点群 1. 晶体的宏观对称性 晶体的理想外形及其在宏观观察中所表现的对称
性称为宏观对称性。 晶体宏观对称性中的对称元素和微观结构中的相
应对称元素一定是平行的。 晶体微观结构中的螺旋轴和滑移面在宏观对称性
中表现为旋转轴和镜面。
8
2. 晶体学点群 将晶体中可能存在的各种宏观对称元素（对称心、 对称面、对称轴）通过一个公共点按一切可能性组 合起来，总共有32种型式，称为32种晶体学点群。 表7.2.3中列出32种晶体学点群的序号、记号、对 称元素及所属晶系。 表 中 D2d 点 群 含 I4 对 称 轴 ， 属 于 四 方 晶 系 ； C3h 和 D3h含I6对称轴，属六方晶系。
晶体的对称元素和对称操作也受到点阵的制约。 在晶体中存在的对称轴（包括旋转轴、螺旋轴、反 轴）的轴次只能是1，2，3，4和6等5种。而滑移面 和螺旋轴中的滑移量，也要受点阵制约。
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和旋转操作
旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分 子复原的操作，旋转依据的对称元素为旋转轴。
旋转轴用记号Cn表示，称为n次旋转轴， n为旋转360度过程 中分子复原的次数，称为轴次。
使物体复原的最小旋转角（0度除外）称为基转角()。 =
360o / n ，旋转角度按逆时针方向计算。
直线点阵 平面点阵
空间点阵
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
7.1.2 点阵参数和晶胞参数
直线点阵（一维点阵） 在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点阵，相邻两个点阵 点的矢量a是这直线点阵的单位矢量，矢量的长度a =∣a∣称为 点阵参数。
a
a
a
平面点阵 （二维点阵）
平面点阵用两个互不平行的单位矢量a、b划分成一个个的平行四 边行相平行的单位矢量，各点阵点都位于平行四边形的顶点上。
空间格子（晶格）：空间点阵按照确定的平行六面体 单位连线划分而获得的一套直线网格。
共同点
区别
点阵 空间格子
Lattice；
都是从实际晶体 中抽象出来，反 映晶体结构的周 期性
强调结构基元在空间的 周期排列，反映的周期 排列的方式唯一
强调按点阵单位划分出 来的格子，由于选坐标 轴和单位矢量有一定灵 活性，不唯一
晶体结构的内容，包含在晶胞的两个基本要素中： （1）晶胞的大小和形状，即晶胞参数a,b,c,,, （2）晶胞内部各原子的坐标位置，即原子的坐标 参数（x,y,z）
有了这两方面的数据，整个晶体的空间结构也就 知道了。
7.2 晶体结构的对称性
7.2.1 晶体结构的对称元素和对称操作
1. 旋转轴——旋转操作 2. 镜面——反映操作 3. 对称中心——反演操作 4. 反轴——旋转反演操作 5. 点阵——平移操作 6. 螺旋轴——螺旋旋转操作 7. 滑移面——反演滑移操作
六面体棱上的阵点，对每个单位的贡献为1/4；
六面体面上的阵点，对每个单位的贡献为1/2；
六面体内的阵点，对每个单位的贡献为1。
晶胞参数
z
c
b
a
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量 r = OP = xa + yb + zc
代表. 其中x、y、z就是分数坐标，它们永远
不会大于1.
y
x
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
7.1.1 点阵、结构基元和晶胞
点阵和结构基元
从晶体中无数个重复的等同基本单位抽象出来的无数个点，而 且按连接其中任意两点的向量平移后能使这组点复原。则这组 点就称为点阵（lattice）。 点阵中的点称为点阵点。 重复着的单位，即每个点阵点所代表的具体内容称为结构基元 （structural motif）。
均匀性：一块晶体内部各部分的宏观性质相同，如有相
同的密度，相同的化学组成；
各向异性：晶体在不同的方向上具有不同的物理性质，
如不同的方向具有不同的电导率，不同的折光率和不同的 机械强度等；
对称性：晶体的外观与内部微观结构都具有特定的对称
性；
自发地形成多面体外形（自范性）；
具有明显确定的熔点；
对X射线的衍射。
第七章 晶体的点阵结构和性质
7.1 晶体结构的周期性和点阵 7.2 晶体结构的对称性 7.3 点阵的标记和点阵平面间距 7.4 空间群及晶体结构的表达 7.5 晶体的结构和晶体性质 7.6 晶体的衍射
世界上的固态物质可分为二类，一类是 晶态，另一类是非晶态。自然界存在大量的 晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂 粒、两极冰川都是晶体组成。人类制造的金 属、合金器材，水泥制品及食品中的盐、糖 等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小 至毫米、微米，晶体中的原子、分子都按某 种规律周期性地排列。另一类固态物质，如 玻璃、明胶、碳粉、塑料制品等，它们内部 的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规 律，通常称为玻璃体、无定形物或非晶态物 质。
7.1 晶体结构的周期性和点阵
晶体的定义
➢ 晶体是由原子、离子、分子或离子基团在空间按一定规律 重复地排列构成的固体物质。
➢ 非晶体物质中，内部原子或分子的排布没有周期性，而是 杂乱无章的分布的。
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
晶体结构最基本的特征是周期性:每隔一定距离都能重复出 现的性质。
晶体具有以下性质：
C2
C3
C5
C
1
2
=180°
1
3
2
=120°
=75°
0°
反映操作是使图形中的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长 线上镜面另一侧等距离处。反映的对称元素是镜面。
镜面用记号 （或m）表示，相应的反映操作也记为 。 反映操作有两个： 1 和 2
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
构成点阵的条件： ①点阵点数无穷大； ②每个点阵点周围具
有相同的环境； ③平移后能复原(同一
个方向上相邻点之 间的距离一样)。
结构基元必须满足的条件： ① 化学组成相同；
② 空间结构相同； 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
③ 排列取向相同； ④ 周围环境相同。
点阵的分类
矢量的长度a =∣a∣、b =∣b∣及其夹角 称为平面点阵参数。
✓ 通过点阵点划分乎行四边形的方式 是多种多样的，虽然它们的点阵参 数不同，但若它们都只含一个点阵 点，它们的面积就一定相同。
四边形顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/4； 四边形边上的阵点，对每个单位的贡献为1/2； 四边形内的阵点，对每个单位的贡献为1。
1895年Roentgen（伦琴）发现X射线， 1912年Bragg（布拉格）首次用X射线衍 射测定晶体结构，标志现代晶体学的创立。 晶体内部原子、分子结构的基本单元，在 三维空间作周期性重复排列，我们可用一 种数学抽象——点阵来研究它。若晶体内 部结构的基本单元可抽象为一个或几个点， 则整个晶体可用一个三维点阵来表示。
空间点阵（三维点阵）
➢ 由空间点阵按选择的向量a、b、c将点阵划分成并置的平行六 面体单位，称为点阵单位。
➢ 按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体单位称为晶胞 ➢ 向量的长度及其夹角
a =∣a∣、b =∣b∣、c =∣c∣ α= bΛc、β= aΛc、γ=aΛb 称为点阵参数或晶胞参数
α
六面体顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/8
旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分 子复原的操作，旋转依据的对称元素为旋转轴。
旋转轴用记号Cn表示，称为n次旋转轴， n为旋转360度过程 中分子复原的次数，称为轴次。
使物体复原的最小旋转角（0度除外）称为基转角()。 =
360o / n ，旋转角度按逆时针方向计算。
直线点阵 平面点阵
空间点阵
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
7.1.2 点阵参数和晶胞参数
直线点阵（一维点阵） 在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点阵，相邻两个点阵 点的矢量a是这直线点阵的单位矢量，矢量的长度a =∣a∣称为 点阵参数。
a
a
a
平面点阵 （二维点阵）
平面点阵用两个互不平行的单位矢量a、b划分成一个个的平行四 边行相平行的单位矢量，各点阵点都位于平行四边形的顶点上。
空间格子（晶格）：空间点阵按照确定的平行六面体 单位连线划分而获得的一套直线网格。
共同点
区别
点阵 空间格子
Lattice；
都是从实际晶体 中抽象出来，反 映晶体结构的周 期性
强调结构基元在空间的 周期排列，反映的周期 排列的方式唯一
强调按点阵单位划分出 来的格子，由于选坐标 轴和单位矢量有一定灵 活性，不唯一
晶体结构的内容，包含在晶胞的两个基本要素中： （1）晶胞的大小和形状，即晶胞参数a,b,c,,, （2）晶胞内部各原子的坐标位置，即原子的坐标 参数（x,y,z）
有了这两方面的数据，整个晶体的空间结构也就 知道了。
7.2 晶体结构的对称性
7.2.1 晶体结构的对称元素和对称操作
1. 旋转轴——旋转操作 2. 镜面——反映操作 3. 对称中心——反演操作 4. 反轴——旋转反演操作 5. 点阵——平移操作 6. 螺旋轴——螺旋旋转操作 7. 滑移面——反演滑移操作
六面体棱上的阵点，对每个单位的贡献为1/4；
六面体面上的阵点，对每个单位的贡献为1/2；
六面体内的阵点，对每个单位的贡献为1。
晶胞参数
z
c
b
a
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量 r = OP = xa + yb + zc
代表. 其中x、y、z就是分数坐标，它们永远
不会大于1.
y
x
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
7.1.1 点阵、结构基元和晶胞
点阵和结构基元
从晶体中无数个重复的等同基本单位抽象出来的无数个点，而 且按连接其中任意两点的向量平移后能使这组点复原。则这组 点就称为点阵（lattice）。 点阵中的点称为点阵点。 重复着的单位，即每个点阵点所代表的具体内容称为结构基元 （structural motif）。
均匀性：一块晶体内部各部分的宏观性质相同，如有相
同的密度，相同的化学组成；
各向异性：晶体在不同的方向上具有不同的物理性质，
如不同的方向具有不同的电导率，不同的折光率和不同的 机械强度等；
对称性：晶体的外观与内部微观结构都具有特定的对称
性；
自发地形成多面体外形（自范性）；
具有明显确定的熔点；
对X射线的衍射。
第七章 晶体的点阵结构和性质
7.1 晶体结构的周期性和点阵 7.2 晶体结构的对称性 7.3 点阵的标记和点阵平面间距 7.4 空间群及晶体结构的表达 7.5 晶体的结构和晶体性质 7.6 晶体的衍射
世界上的固态物质可分为二类，一类是 晶态，另一类是非晶态。自然界存在大量的 晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂 粒、两极冰川都是晶体组成。人类制造的金 属、合金器材，水泥制品及食品中的盐、糖 等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小 至毫米、微米，晶体中的原子、分子都按某 种规律周期性地排列。另一类固态物质，如 玻璃、明胶、碳粉、塑料制品等，它们内部 的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规 律，通常称为玻璃体、无定形物或非晶态物 质。
7.1 晶体结构的周期性和点阵
晶体的定义
➢ 晶体是由原子、离子、分子或离子基团在空间按一定规律 重复地排列构成的固体物质。
➢ 非晶体物质中，内部原子或分子的排布没有周期性，而是 杂乱无章的分布的。
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
晶体结构最基本的特征是周期性:每隔一定距离都能重复出 现的性质。
晶体具有以下性质：
C2
C3
C5
C
1
2
=180°
1
3
2
=120°
=75°
0°
反映操作是使图形中的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长 线上镜面另一侧等距离处。反映的对称元素是镜面。
镜面用记号 （或m）表示，相应的反映操作也记为 。 反映操作有两个： 1 和 2
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
构成点阵的条件： ①点阵点数无穷大； ②每个点阵点周围具
有相同的环境； ③平移后能复原(同一
个方向上相邻点之 间的距离一样)。
结构基元必须满足的条件： ① 化学组成相同；
② 空间结构相同； 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
③ 排列取向相同； ④ 周围环境相同。
点阵的分类
矢量的长度a =∣a∣、b =∣b∣及其夹角 称为平面点阵参数。
✓ 通过点阵点划分乎行四边形的方式 是多种多样的，虽然它们的点阵参 数不同，但若它们都只含一个点阵 点，它们的面积就一定相同。
四边形顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/4； 四边形边上的阵点，对每个单位的贡献为1/2； 四边形内的阵点，对每个单位的贡献为1。
1895年Roentgen（伦琴）发现X射线， 1912年Bragg（布拉格）首次用X射线衍 射测定晶体结构，标志现代晶体学的创立。 晶体内部原子、分子结构的基本单元，在 三维空间作周期性重复排列，我们可用一 种数学抽象——点阵来研究它。若晶体内 部结构的基本单元可抽象为一个或几个点， 则整个晶体可用一个三维点阵来表示。
空间点阵（三维点阵）
➢ 由空间点阵按选择的向量a、b、c将点阵划分成并置的平行六 面体单位，称为点阵单位。
➢ 按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体单位称为晶胞 ➢ 向量的长度及其夹角
a =∣a∣、b =∣b∣、c =∣c∣ α= bΛc、β= aΛc、γ=aΛb 称为点阵参数或晶胞参数
α
六面体顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/8