函数的奇偶性-知识点及习题

函数的奇偶性

一、关于函数的奇偶性的定义

一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称偶函数；

一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就称奇函数；

二、函数的奇偶性的几个性质

1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；

3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

4、等价性：

)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=()()

1=-⇔

x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ()()1-=-⇔x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇±奇＝奇（函数） 偶±偶＝偶（函数）

奇×奇＝偶（函数） 偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）

8、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

9、复合函数[])(x g f y =的奇偶性

若函数[])(),(),(x g f x g x f 的定义域都是关于原点对称的,那么由

)(),(u f y x g u ==的奇偶性得到)(x g f y =的奇偶性的规律是:

)(x g u =)(u f y =.

三、函数的奇偶性的判断

函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查()f x -是否与

()f x -、)(x f 相等，判断步骤如下：

1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能

2、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；

判断分段函数的奇偶性

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X 与—X 的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定

命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如()((1,1))f x x x =∈-，()((2,2))g x x x =∈-，可以看出函数()f x 与()g x 都是定义域上的函数，它们的差只在区间(1,1)-上有定义且()()0f x g x -=，而在此区间上函数()()f x g x -既是奇函数又是偶函数。

命题3：()f x 是任意函数，那么|()|f x 与(||)f x 都是偶函数。

此命题错误。一方面，对于函数(),(()0),|()|(),(()0),f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨

-<⎩不能保证()()f x f x -=或()()f x f x -=-；另一方面，对于一个任意函数()f x 而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数(||)f x 是偶函数。 命题4：如果函数()f x 满足：()()f x f x =-，那么函数()f x 是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数2,(2,),(),(21,),x x n n N f x x x n n N =∈⎧=⎨=+∈⎩

从图像上看，()f x 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。

命题5：设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．

此命题正确。由函数奇偶性易证。

命题6：已知函数()f x 是奇函数，且(0)f 有定义，则()00f =。

此命题正确。由奇函数的定义易证。

命题7：已知()f x 是奇函数或偶函数，方程()0f x =有实根，那么方程()0f x =的所有实根之和为零；若()f x 是定义在实数集上的奇函数，则方程()0f x =有奇数个实根。

此命题正确。方程()0f x =的实数根即为函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若0()0f x =，则0()0f x -=。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有()00f =。故原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类

全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征

一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

图象法：如二次函数2y ax bx c =++成为偶函数，必须要使对称轴02b x a

=-=，即0b =；若二次函数2y ax bx c =++成为奇函数，必须要使0a c ==；当0b ≠时，二次函数是非奇非偶函数。

奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。

七、关于函数奇偶性的简单应用

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：

1、利用奇偶性求函数值

【例1】已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 。

【例2】设f （x ）是定义在R 上的偶函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。

【例3】 )(x f 是定义在R 上的奇函数,则)0(f =___；若有3)2(=-f ，则

=)2(f ___；

若7)5(=f ；则=-)5(f ___；

【例4】已知函数1

21)(+-

=x a x f )(R x ∈,若)(x f 为奇函数，则=a ___； 2、利用奇偶性比较大小 【例5】已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。