讲3度量空间

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第一讲 距离空间 相关实际问题 1 分类问题 (模式识别 模式识别) 模式识别 2 逼近问题 (预测 滤波 重建 预测 重建)
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1 距离空间定义
核心： 核心：集合中的元素 +差别大小定义 差别大小定义
பைடு நூலகம்
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1.1 距离空间的收敛性
收敛是数学连续概念推广， 收敛是数学连续概念推广，实际就是可以无限 接近的意思。 接近的意思。
正因为整数分解很困难，人们才得以利用它的原理来设计难以破译的密码，例如由里 正因为整数分解很困难，人们才得以利用它的原理来设计难以破译的密码， 维斯特（ ）、沙米尔 ）、阿德尔曼 维斯特（R.Rivest）、沙米尔（A.Shamir）、阿德尔曼（M.Adleman）在1978年创立 ）、沙米尔（ ）、阿德尔曼（ ） 年创立 密码体制，就是这样一种在实际上难以破译的密码。 的 RSA 密码体制，就是这样一种在实际上难以破译的密码。只要整数分解问题解决 也即整数分解可以快速进行)， 密码体制之破译也就迎刃而解。 了(也即整数分解可以快速进行 ，RSA密码体制之破译也就迎刃而解。下面这个数有 也即整数分解可以快速进行 密码体制之破译也就迎刃而解 212位，它有两个素因子。RSA愿奖励 万美元给第一个分解出这个数的人： 愿奖励3万美元给第一个分解出这个数的人 位 它有两个素因子。 愿奖励 万美元给第一个分解出这个数的人： 7403756347956171282804679609742957314259318888923128908493623263897276503 40282662768919964196251178439958943305021275853701189680982867331732731089 30900552505116877063299072396380786710086096962537934650563796359
2007年12月全国模式识别学术会议 年 月全国模式识别学术会议
[1] S-学习：一种模式分类的新方法 杨双红 胡 学习： 包钢 中国科学院自动化所 修改分类器的目标函数（非凸） 修改分类器的目标函数（非凸） [2]格子SVM 格子SVM 格子SVM——汉字识别中的新方法 刘志斌 金 汉字识别中的新方法 连文 华南理工大学 （估计是通过定义文字图象之间的新的距离 来实现汉字识别） 来实现汉字识别）
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（2）马氏（Mahalanobis）距离 ）马氏（ ）
定义：马氏距离的平方 γ 2 = ( x − µ )T ∑ −1 ( x − µ ) 其中，µ 为均值向量，Σ 为协方差矩阵
（3）明氏（Minkowsky）距离 ）明氏（ ）
1 ， λ λ Dλ ( x, y ) = ∑ | xi − yi | i =1 它是若干距离函数的通式： λ = 2时，等于欧氏距离； = 1时，称为“街坊”（city block）距离
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谢谢！ 谢谢！
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现代信号信息处理的数学基础
主讲人： 主讲人：胡正平
第一讲
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认识大学数学
• 大学微积分课程主要介绍定义在欧氏空间上的实函数 (或看成欧氏空间到实数空间的映射 的解析性质。而 或看成欧氏空间到实数空间的映射)的解析性质 或看成欧氏空间到实数空间的映射 的解析性质。 讨论抽象空间、 讨论抽象空间、定义在抽象空间上的函数和抽象空间 到抽象空间的映射的性质， 到抽象空间的映射的性质，则成为泛函分析课程的主 要内容。泛函分析是一门体系庞大、抽象严谨、 要内容。泛函分析是一门体系庞大、抽象严谨、应用 广泛的较新的数学分支。它运用和结合代数、拓扑的 广泛的较新的数学分支。它运用和结合代数、 方法，发展了经典的分析学。随着科学技术的发展， 方法，发展了经典的分析学。随着科学技术的发展， 许多工程技术和理论问题很难用经典分析的框架去刻 画，泛函分析则成为处理这类问题的有力的工具和方 也正因为如此， 法。也正因为如此，愈来愈多的理工科本科生和研究 生选修泛函分析课程。 生选修泛函分析课程。
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任何一个大于1的正整数都可以唯一地被分解成素数之乘积 的正整数都可以唯一地被分解成素数之乘积， 整数分解 任何一个大于 的正整数都可以唯一地被分解成素数之乘积，这被称为 算术基本定理” 是数论中最基本的一个定理， “算术基本定理”，是数论中最基本的一个定理，欧几里得可能早就已经知道这一 事实。但是该定理的证明只告诉我们“整数分解”的存在性与唯一性， 事实。但是该定理的证明只告诉我们“整数分解”的存在性与唯一性，而并没有告 诉我们如何去真正求出这种素数的分解形式。 诉我们如何去真正求出这种素数的分解形式。
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目前关于距离定义的研究还在继续， 目前关于距离定义的研究还在继续，针对不同问题定 义不同距离是非常必要的。 义不同距离是非常必要的。
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国家自然科学基金2006年 年 国家自然科学基金
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查资料解决的思考题目
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牛顿(Newton,Isaac)，公元1642年圣诞节生于英国Woolsthorpe村，他的父亲是一位农夫，在牛顿出生之前两个月便去 世了，遗留下一个农场．母亲在其三岁之时，又改嫁他人，因此牛顿由其祖父抚养成人.牛顿小时候，便已经展现出 他的聪明与创造力．早年在格兰瑟姆读书，曾设计了水钟与玩具磨坊等．他的叔叔是一位剑桥大学的研究生，对牛 顿的教育非常关切，在1661年牛顿以优异成绩考入剑桥大学三一学院读书，但当时牛顿的兴趣是在化学的领域．他 入学考试的欧氏几何成绩并不理想，甚至在大学期间，差点放弃科学而改念宗教学．在三一学院，牛顿的数学受教 于巴罗．到1664年底，牛顿似乎精通了当时的所有数学知识，并开始将数学应用在各个领域，这年他大学毕业，伦 敦流行鼠疫．毕业后（1665~1666）他为躲避鼠疫回到家乡，开始学习研究物质的变化率（或称流数），如距离或 温度的连续性变动．这个研究的成果在今天，便是大家所熟知的微积分．在这一时期牛顿并致力于研究力学、光学 和数学，成果丰硕，包括流数术、万有引力和光的分析三大发明，这时他年仅23岁． 1667年他回剑桥念硕士，并在三一学院执教．1669年在他的老师 Barrow辞职之后，继任为三一学院的数学教授， 教书并无过人之处，学生并不多，同仁对他新颍的教学方式亦不感兴趣．牛顿用级数做微分和积分，他已有级数收 敛和发散的认识．他说过：“有限项能做的，无限项也经常能做．这种无限多项的作法叫分析．”他也研究微分方 程式，他发表了隐函数微分 ，曲线切线，曲线曲率，曲线的拐点和曲线长． 牛顿也是化学家和水利学家．他当了 35年的教授（这时他已经62岁），晚年他变得消沉，精神几乎崩溃．他放弃研究工作，致力于哲学和公务，1696年 任大英造币厂监督，3年后任厂长．在此待了20年没再做研究．1703年当选为皇家学会主席．1705年封为爵士，享 年85岁． 牛顿在数学上以创建微积分而著称，其流数法始于1665年，系统叙述于《流数法和无穷级数》（1671年完成， 1736年出版），首先发表在《自然哲学之数学原理》（1687）中．其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述 他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率． 讨论的基本问题是：已知流量间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类运算的互 逆关系，即微积分基本定理．此外他还论述了有理指数的二项定理（1664）、数论、解析几何、曲线分类、变分法 等问题．在物理学上发现了万有引力定律（1666~1684），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因．1666年用三棱 镜实验光的色散现象，1668年发明并亲手制作了第一具反射望远镜．在哲学上深信物质、运动、空间和时间的客观 存在性，坚持用观察和实验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象，其科学研究方 法支配后世近300年的物理学研究． 但是牛顿对于他的成就，却一直十分谦虚，在其晚年之时，他写道: “If I have seen father than Descartes， it is because I have stood on the shoulders of giants.”
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实际 举 例
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证明距离空间的正确性 即验证满足： 即验证满足：非负 对称 三角不等式
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说 明 1 并不是所有证明距离空间都是如此简单， 并不是所有证明距离空间都是如此简单， 也有比较复杂的情况。总的来说， 也有比较复杂的情况。总的来说，无非是 利用一些数学技巧，证明她满足：非负、 利用一些数学技巧，证明她满足：非负、 对称、三角不等式的三要素。 对称、三角不等式的三要素。 2 如果我们将来自己要定义一种距离，一般 如果我们将来自己要定义一种距离， 情况下也要满足上面的三个条件。 情况下也要满足上面的三个条件。
2000年，马萨诸塞州剑桥的克莱基金会发起了一场颇具历史意 年 义的竞赛：任何能够解决七大数学难题之一的人， 义的竞赛：任何能够解决七大数学难题之一的人，在专家认定其解 答正确之后，都可以获得100万美元的奖金。之前也有过这样的先 万美元的奖金。 答正确之后，都可以获得 万美元的奖金 例：1900年，当时最伟大的数学家之一希尔伯特提出了 个问题 年 当时最伟大的数学家之一希尔伯特提出了23个问题 (现被称作希尔伯特问题 ，在很大程度上为 世纪的数学设定了议 现被称作希尔伯特问题)， 现被称作希尔伯特问题 在很大程度上为20世纪的数学设定了议 千年难题很可能获得同样的地位。对它们的解答(或者解答不 程。千年难题很可能获得同样的地位。对它们的解答 或者解答不 将对21世纪的数学研究起到巨大的影响 出)将对 世纪的数学研究起到巨大的影响。这些问题涉及纯粹数 将对 世纪的数学研究起到巨大的影响。 学和应用数学中大多数最迷人的领域：从拓扑学和数论到粒子物理 学和应用数学中大多数最迷人的领域： 密码学、计算理论甚至飞机设计。 学、密码学、计算理论甚至飞机设计。著名的数学阐释者德夫林在 本书中向我们讲了这七大难题的内容、 本书中向我们讲了这七大难题的内容、由来以及它们对数学和科学 的意义。 的意义。. 这些问题是伸向当今数学家的铜铃，它们闪闪发亮， 这些问题是伸向当今数学家的铜铃，它们闪闪发亮，却伸手够 不着。在美国全国公共电台“周末版”的“数学小子”德夫林笔下， 不着。在美国全国公共电台“周末版” 数学小子”德夫林笔下， 每一个千年难题都成了通向该领域中最深奥、 每一个千年难题都成了通向该领域中最深奥、最困难问题的一个诱 人的窗口。对于数学家、物理学家、 人的窗口。对于数学家、物理学家、工程师以及任何一个对数学前 沿问题感兴趣的人来说， 千年难题》 沿问题感兴趣的人来说，《千年难题》都是关于一门具有长久生命 力的学科的最可靠描述。 力的学科的最可靠描述。
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模式识别空间的一些距离定义 1.距离相似性度量 距离相似性度量
De ( x, y ) =|| x − y ||=
（1）欧氏距离 ） i =1 d s的选择问题 a、门限 、 b、模式特征坐标单位的选取也会强烈地影响聚类结果 、
i i
∑| x − y |
d
2
c、欧氏距离具有旋转不变的特性，但对于一般的线性变换不 、欧氏距离具有旋转不变的特性， 是不变的， 是不变的，此时要对数据进行标准化
定义：明氏距离:
d
λ >0
λ
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Hausdorff 距离
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切距离（ 切距离（Tangent distance） ）
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王立威博士提出的图像欧式距离（ 王立威博士提出的图像欧式距离（IMED） ）
同时考虑了位置与内容的关系。 同时考虑了位置与内容的关系。
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