山东省济宁市兖州实验中学高一数学上学期期中试题
2019-2020学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题(解析版)
山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,6,7A =，{}2,3,4,5B =，则()U A B =I ð( )A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】根据集合中补集运算和交集运算，即可求解. 【详解】由题意，{}1,6,7U B =ð，(){}6,7U A B =I ð故选：C 【点睛】本题考查补集运算和交集运算，属于基础题.2．命题:,||0R p x x x ∀∈+≥，则p ⌝（ ） A ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+> B ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+< C ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+≤ D ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+≥【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，根据已知写出即可. 【详解】解：命题:,||0R p x x x ∀∈+≥，则:,||0R p x x x ⌝∃∈+<， 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题否定的书写，是基础题.3．函数()f x =的定义域为 A ．(]-2,0 B ．(]-2,1 C ．()(]--2-2,0∞⋃，D ．()(]--2-2,1∞⋃， 【答案】A【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解． 【详解】由12020x x ＞⎧-≥⎨+⎩，解得﹣2＜x ≤0．∴函数()f x =的定义域为(]-2,0． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题．4．已知函数2,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2)f =( ) A ．32 B ．12C ．16D ．132【答案】B【解析】根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果. 【详解】()()()11223122f f f -=-=-==本题正确选项：B 【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题. 5．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得a 的最大值. 【详解】由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题. 6．设x ∈R ，则“05x <<”是“()211x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先通过()211x -<求出x 的范围，然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可. 【详解】解：由()211x -<，得02x <<，所以“05x <<”是“02x <<”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，是基础题. 7．下列各组函数是同一函数的是( )①()f x =()g x =②()f x x =与()g x =③()0f x x =与()01g x x=;④()21f x x x =--与()21g t t t =-- A ．②③ B ．①③ C ．③④ D ．①④【答案】C【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数. 【详解】对于①，由220x -≥得0x ≤，即函数()f x 的定义域为(],0-∞，则()f x ==-，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；对于②，()g x x ==，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；对于③，两个函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；对于④，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数. 故选：C 【点睛】本题考查相同函数的概念，注意函数三要素，当定义域和对应法则一致时值域也一致，是函数定义常考点.8．已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】先将b a 和转换为同为2为底的指数，422335244a b ==>=，a 和c 可以转换为指数相同1223332554c a ==>=．所以b a c <<． 【详解】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b.规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目．9．设0,0a b >>则下列各式中不一定成立的是 A ．2a b ab +≥B ．2b a a b+≥ C ．22≥ab abD ．2≥+abab a b【答案】D【解析】令1,2a b ==代入选项，由此确定出正确选项. 【详解】不妨设1,2a b ==，A ：322≥成立；B ：522≥成立；C ：22≥成立；D ：423<，D 选项不成立. 故选D. 【点睛】本小题主要考查不等关系正确与否的判断，属于基础题.10．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】C【解析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 11．函数||()2x x f x x=⋅的图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置即可得到结果．【详解】 函数f （x ）•2xx x=是奇函数，判断出B ，D 不符合题意； 当x ＝1时，f （1）2=，选项C 不成立， 故选A ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为221y x =+，值域为{}9的“孪生函数”有三个：（1）{}221,2y x x =+∈；（2）{}221,2y x x =+∈；（3）{}221,2,2y x x =+∈-。
山东省济宁市高一上学期数学期中考试试卷
山东省济宁市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={x|x<1}，N={x|2x>1}，则M∩N=（）A .B . {x|x<0}C . {x|x<1}D . {x|0<x<1}2. （2分） (2018高一上·邢台月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分）下列不等式正确的是（）A .B .C .D . (且)4. （2分） (2019高一上·忻州月考) 设 , , ,则 , , 的大小关系为（）A .B .C .D .5. （2分）若幂函数y=f(x)的图象过点(3,)，则为（）A .B .C . 1D . 26. （2分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2010）+f（2011）的值为（）A . -2B . -1C . 1D . 27. （2分）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意，有，则下列说法一定正确的是（）A . f(x)为奇函数B . f(x)为偶函数C . f(x)+1为奇函数D . f(x)+1为偶函数8. （2分）设f（x）=1nx+2x﹣6，用二分法求方程lnx+2x﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f（2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间（）A . （2.5，3）B . （2.5，2.75）C . （2.625，2.75）D . （2.5，2.625）9. （2分） (2019高一上·平坝期中) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）A . （0，1]B . （1，10]C . （10，100]D . （100，+∞）11. （2分）已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x ，x∈A}，则A∩B=（）A . （0，2）B . （1，2）C . [0，4）D . （1，4）12. （2分）已知函数，则（）A . 0B . 2C . －2D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写；④在上为增函数．其中正确的命题的序是：________．14. （1分） (2018高二下·北京期末) 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)；且当0≤x<1 时，f(x)＝2x－1，则 ________15. （1分）计算：= ________ ,= ________ 。
济宁市兖州区2019-2020学年高一上期中数学试卷(有答案)
2019-2020学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣56．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）=．12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）=．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a=．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？2019-2020学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴∁U A={3}；∴B∪∁U A={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】直接由对数式的真数大于0求解分式不等式得答案．【解答】解：根据题意得，解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤4故f（x）=（x+1）的定义域是（﹣1，1）∪（1，4]．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图像变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的性质以及函数与图象之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，则排除A．D．∵f（x）=21﹣|x|的≤=21=2，∴当x=0时，函数取得最大值，故排除B，选C，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质判断函数的图象是解决本题的关键．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】阅读型．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．6．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称【考点】换底公式的应用；指数函数的单调性与特殊点；指数函数与对数函数的关系．【专题】综合题．【分析】由x＜0，判断A和C不成立；由y=（）﹣x是R上的减函数，判断B不成立；指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．【解答】解：当x＜0时，3x＜2x，故A不成立；y=（）﹣x=是R上的减函数，故B不成立；当x＜0时，2log2x不存在，故C不成立．指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．故选D．【点评】本题考查对数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1），结合f（﹣1）＞f（4），即可判断．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣1）=f（1），又f（4）＞f（1），∴f（4）＞f（﹣1），即f（﹣1）＜f（4），故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由f（4）＞f（1）错误的认为f（x）在（0，6）上单调递增，从而出错．8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=1和x=log2代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=0，f（f（1））=f（0）=2，f（log2）=3+1=4，故f（f（1））+f（log2）=6，故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，对数的运算性质，难度中档．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中符号[x]表示不超过x的最大整数，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+0+1+2=﹣1，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数求值，对数的运算性质，估算出每个式子的近似值是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据对数的运算法则进行计算；【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（）=（）（+）=×=，故答案为：．【点评】此题主要考查对数的运算性质，比较简单，是一道基础题；12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可．【解答】解：由题意f（3）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（9）=故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a=0或±1．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合关系，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2=1}={1，﹣1}，∵A∪B=A，∴B⊆A，若a=0，则B=∅，满足条件．若a≠0，则B={]，则此时=±1，解得a=±1，综上a=0或±1，故答案为：a=0或±1【点评】本题主要考查集合关系的应用，注意要对a进行分类讨论．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为{k|k≤40，或k≥160}．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴x=﹣，要求f（x）在〔5，20〕上具有单调性，只要对称轴x≤5，或x≥20，即可，从而求出k的范围；【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=﹣=﹣=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在〔5，20〕上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤5，或x=≥20∴≤5或，∴k≤40，或k≥160∴k∈（﹣∞，40〕∪〔160，+∞），故答案为：{k|k≤40，或k≥160}【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，f（x）在（5，20）上具有单调性的条件，此题是一道基础题．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为（0，）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出函数的单调性，结合f（）=0，可将不等式f（）＜0转化为＜，或＞，进而根据对数的性质解得答案．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，又∵f（）=0，∴f（﹣）=0，若f（）＜0则＜，或＞解得x＞2，或0＜x＜故答案为：（0，）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中由已知分析出函数的单调性，进而将抽象不等式具体化是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）由A与B，求出两集合的并集即可；（2）由全集R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（3）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；（2）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴∁R A={x|x＜3或x≥10}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3}；（3）∵A={x|3≤x＜10}，C={x|x＜a}，且A∩C≠∅，∴a＞3．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用根式和分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0=22×33+（）﹣4×（）﹣1﹣﹣1=4×27+2﹣7﹣2﹣1=100．（2）∵lg2=m，lg3=n，∴log512===．【点评】本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．【考点】对数函数的图像与性质；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由t=log2x，t=log2x，可得log4x=t，1≤t≤3，代入可得y关于t的函数关系式；（2）根据二次函数的图象和性质，可得函数的最值，进而得到函数的值域．【解答】解：（1）∵2≤x≤8，t=log2x，∴1≤t≤3，则log4x=log2x=，故函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣）=（t﹣2）•（﹣）=，1≤t≤3，（2）由函数y=的图象是开口朝上，且以直线t=为对称轴的抛物线，故1≤t≤3时，函数y=在[1，]上为减函数，在[，3]上为增函数；故当t=时，函数取最小值，当t=3时，函数取最大值1，故函数的值域为[，1]【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，是二次函数与对数函数的综合应用，难度中档．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x﹣2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1∴令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2，令x=4，y=2，则f（8）=f（4）+f（2）=2+1=3（Ⅱ）∵f（x）+f（x﹣2）＞3，∴f（x（x﹣2））＞f（8），又∵f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，，解得x＞4，∴不等式的解集为（4，+∞）．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x1＜x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论；（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2，则=．∵x1＜x2，∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，∴f（0）=0，即．解得．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，由（Ⅰ）知，f（x）为增函数，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．∵，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意，100•﹣60=140，从而求a的值；（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=﹣15×35+640=115，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．【解答】解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•﹣60=140，解得，a=4；（2）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（3）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．。
山东省济宁市实验中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题
绝密★启用前山东省济宁市实验中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()A B =ðU （ ）A ．{}23，B ．{}145，，C ．{}45，D ．{}15，2．若命题2000:,220p x x x ∃∈++<R ，则命题p 的否定是（ ） A ．2000,220x x x ∃∈++≥R B ．2,220x x x ∀∈++>R C ．2,220x x x ∀∈++≥RD ．2,220x x x ∀∈++<R3．若a b >，则下列不等式中正确的是 （ ） A ．11a b< B ．22ac bc > C ．33a b < D ．33a b >4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．||1y x =+C ．x y e -=D ．2y x -=5．若关于x 的不等式230ax x b -+<的解集为{}|12x x <<，则实数,a b 的值是（ ） A ．1,2a b ==B ．2,1a b ==C ．1,2a b =-=D ．2,1a b ==-6．三个数 之间的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．…………订…订※※线※※内※※…………订…7．要制作一个容积为43m，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米30元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．120元B．160元C．200元D．240元8．已知a R∈,则“1a>”是“11a<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件9．函数2ln(2)y x x=-的单调递增区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(,1)-∞D．(1,)+∞10．已知lg lg0a b+=(01,01)a ab b>≠>≠且且，则函数()xf x a-=与函数()logbg x x=的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数,1()(3)1,1xa xf xa x x⎧>=⎨-+≤⎩满足：12,x x R∀∈，都有1212()[()()]0x x f x f x-->，则实数a的取值范围是（）A．(1,2]B．[2,3)C．(2,3)D．(1,3)12．已知函数22()log||f x x x=+，且2(log)(1)f m f>，则实数m的取值范围是（）A．1(0,)2B．1(,2)2C．(2,)+∞D．1(0,(2,)2+∞第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知函数ln,1()4,1xx xf xx->⎧=⎨≤⎩, 则(f f=______.14．函数y=的定义域为______.装…………○…………_姓名：___________班级：________装…………○…………15．已知函数())1f x x =+，若()2f a =，则()f a -=_____. 16．已知正数,a b 满足4a b ab +=，则+a b 的最小值为______. 三、解答题17．已知3log 2a =，b =，求2111333422a b a b ---⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.18．已知函数3()(),f x g x x x =+∈R 为奇函数. （Ⅰ）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）若0x <时，()3xg x =. 当0x >时，求函数()f x 的解析式.19．已知函数222,0()|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩（Ⅰ）画出函数()f x 的图象，并写出其单调递减区间(不需证明)；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x m m =-有4个不同的实数解，求实数m 的取值范围.20．已知全集U =R ，集合{}{}2|lg(2),|(1)0A x y x B x x a x a ==-=-++<.（Ⅰ）若3a =，求集合()U A B ð；（Ⅱ）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.21．小李大学毕业后选择自主创业，开发了一种新型电子产品.2019年9月1日投入市场销售，在9月份的30天内，前20天每件售价P （元）与时间x （天，*x ∈N ）满足一次函数关系，其中第一天每件售价为63元，第10天每件售价为90元；后10天每件售价均为120元.已知日销售量Q （件）与时间x （天）之间的函数关系是*（1）写出该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式； （2）9月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额.(日销售金额=每件售价⨯日销售量).22．已知函数2()( 2.71828)1x f x a e e =-=+. （Ⅰ）判断并证明()f x 的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当(0,)x ∈+∞时，()xmf x e ≤恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】求出集合A ∩B ，然后求出它的补集即可． 【详解】集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4} 所以A ∩B ＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}； ∁U （A ∩B ）＝{1，4，5}； 故选：B ． 【点睛】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型． 2．C 【解析】 【分析】根据命题p 的否定是￢p ，结合全称命题与特称命题的关系，可以直接写出答案来． 【详解】根据命题p 的否定是￢p ，∴命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0﹣2<0，命题p 的否定是：2,220x x x ∀∈++≥R ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了特称命题的否定是全称命题的问题，注意“改量词，否结论”，是基础题． 3．D 【解析】 【分析】直接利用举反例和配方法求出结果． 【详解】对于选项A ：当a ＝0或b ＝0时，不等式无意义． 对于选项B ：当c ＝0时，不等式不成立．对于选项C ：∵3x y =是单增的，∴当a b >时，33a b >，故C 不成立对于选项D ：当a ﹣b ＞0时，a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝（a ﹣b ）[223()24b b a ++]＞0， 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 4．D 【解析】 【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 【详解】 A 中，y 1x=为奇函数，故排除A ； B 中， y ＝|x |+1是偶函数，当x >0时，y ＝|x |+1＝x+1为增函数，不满足条件，故排除B ； C 中，y ＝e ﹣x 为非奇非偶函数， 故排除C ；D 中， y ＝x ﹣2是偶函数，开口向上，图象关于y 轴对称，（0，+∞）上单调递减，故D 对． 故选：D ． 【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决． 5．A 【解析】 【分析】由不等式ax 2﹣3x +b <0的解集为{}|12x x <<，可得312120a b a a ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪>⎪⎪⎩解出即可．【详解】∵不等式ax 2﹣3x +b <0的解集为{}|12x x <<，∴312120a b a a ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪>⎪⎪⎩解得a ＝1，b ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得 的取值范围，即可求解． 【详解】由题意，根据指数函数与对数函数的图象与性质，可得三个数 ， 所以 ，故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求出 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求． 【详解】设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，则 ∵长方形容器的容器为4m 3，高为1m ，∴底面面积S ＝ab ＝4，y ＝30S +10[2（a +b ）]＝20（a +b ）+120，∵a +b =4，∴当a ＝b ＝2时，y 取最小值200， 即该容器的最低总造价是200元， 故选：C ． 【点睛】本题以长方形的体积为载体，考查了基本不等式，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键． 8．A 【解析】 【分析】 先求得不等式11a<的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a<，等价与1110a a a --=<，即10a a ->，解得0a <或1a >， 所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后把函数y ＝ln （2x ﹣x 2）分解为y ＝lnt 和t ＝2x ﹣x 2，根据两函数单调性及复合函数单调性的判断方法可得答案． 【详解】由2x ﹣x 2＞0，得0＜x ＜2，所以函数y ＝ln （2x ﹣x 2）的定义域为（0，2），y ＝ln （2x ﹣x 2）是由y ＝ln t 和t ＝2x ﹣x 2复合而成的，t＝2x﹣x2在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，且y＝lnt递增，所以y＝ln（2x﹣x2）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，故选：A．【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，正确理解“同增异减”是解决复合函数单调性的关键．10．B【解析】【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案．【详解】lga+lgb＝0，即为lg（ab）＝0，即有ab＝1，当a＞1时，0＜b＜1，函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x在同一坐标系中的图象不可能是C，而A显然不成立，对数函数图象不可能在y轴的左边；D是0＜a＜1，0＜b＜1,不满足ab＝1；当0＜a＜1时，b＞1，函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x在同一坐标系中的图象可能是B，故选：B．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图象的画法，考查对数的运算性质，属于基础题．11．B【解析】【分析】由题意，函数f （x ）()()()1311xa x a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＞在定义域R 上是增函数，故可得到13031a a a a⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞，解出即可． 【详解】∵对任意x 1，x 2∈R （x 1≠x 2），恒有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，∴函数f （x ）()()()1311xax a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＞在定义域R 上是增函数， ∴13031a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞， 解得，2≤a ＜3， 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，注意断点处要保证增，属于中档题． 12．D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|log 2m |>1，即log 2m <﹣1或log 2m>1，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，22()log ||f x x x =+,∴2222()()log ||log ||()f x x x x x f x -=-+-=+=∴函数f （x ）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数， 若2(log )(1)f m f >，则有|log 2m |>1， 即log 2m <﹣1或log 2m>1， 解可得102m <<或m >2，即m 的取值范围为1(0,)(2,)2+∞；故选：D ．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于m 的不等式，属于基础题． 13．12. 【解析】【分析】由分段函数知12f =，从而再求(f f ＝f （12）． 【详解】∵12f ==，∴(f f ＝f （12）＝124-＝12； 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了分段函数的简单应用，将自变量的取值代入相应的那一段求值是关键，属于基础题．14．1(,1]2.【解析】【分析】由函数的解析式利用偶次根式被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式，解得x 的范围，可得函数的定义域．【详解】由函数的解析式可得2x ﹣1＞0，且()0.5log 210x -≥，即0211x <-≤ 解得112x <≤，故函数的定义域为1(,1]2， 故答案为：1(,1]2． 【点睛】本题主要考查求对数函数型的定义域，属于基础题．【解析】【分析】根据条件建立方程关系进行求解即可．【详解】())1f x x =+，∵f （a ）＝2，∴())12f a a =+=则)1a =，∴())11)1110f a a a -=+=+=-+=-+=故答案为：0．【点睛】 本题主要考查函数值的计算，根据对数函数的运算法则是解决本题的关键．16．9.【解析】【分析】正数a ，b 满足4a +b ＝ab ，即41b a +=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵正数a ，b 满足4a +b ＝ab ，即41b a+=1．则a +b ＝（a +b ）41b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭54a b b a ++≥=9，当且仅当b ＝2a ＝6时取等号． ∴a +b 的最小值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17．2-.【解析】【分析】先利用指数幂的运算性质化简所求，再将a b，代入利用换底公式化简即可. 【详解】原式=212113133333222211222a b a b a b ab-+---+⎛⎫⎛⎫÷-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将,a b的值代入上式得原式3111lg21lg22lg3log2921222lg32lg3lg22ab=-=-⨯⨯=-⨯=-⨯⨯=-【点睛】本题考查了分数指数幂的运算性质及对数运算，换底公式的应用，考查了计算能力，属于简单题.18．（Ⅰ）()g x为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）3()3xf x x-=-+.【解析】【分析】（Ⅰ）根据函数3()(),f xg x x x=+∈R为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），即可判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）由0x<时，()3xg x=，结合奇函数，求出x>0时的解析式，即可求函数f（x）的解析式．【详解】（Ⅰ）由3()(),f xg x x x=+∈R得3()(),g x f x x x=-∈R.又()f x为奇函数，333()()()()[()]()g x f x x f x x f x x g x∴-=---=-+=--=-，()g x∴为奇函数.（Ⅱ）当0x<时，()3xg x=，3()3xf x x=+当0x>时，0x-<，33()3()3x xf x x x---=+-=-又()f x为奇函数，3()()3xf x f x x-∴=--=-+所以当0x >时，3()3x f x x -=-+.【点睛】 本题考查函数的奇偶性，函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（Ⅰ）图象见解析，单调递减区间是[1,0](0,1)-、； （Ⅱ）11,0),1).22-（（ 【解析】【分析】（Ⅰ）分两段画图；对照图象直接写递减区间;（Ⅱ）根据图象交点回答．【详解】（Ⅰ）该函数的图象如图所示：其单调递减区间为[1,0](0,1).-、（Ⅱ）由图象可知 202m m <-<1 即102112m m m ⎧⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或 0122m m ∴-<<<<11或故实数m 的取值范围是11,0),1).22-（（ 【点睛】 本题考查了分段函数图象及应用，考查了一元二次不等式的解法，属中档题．20．（Ⅰ）{}()|23U x x A B =≤<ð （Ⅱ）2a ≤.【解析】【分析】（Ⅰ）把a ＝3代入B 确定出B ，利用对数函数的定义域求出A 及∁U A ，再求（∁U A ）∩B 即可；（Ⅱ）由A 与B 的并集为A ，得到B 为A 的子集，按a 与1的大小关系进行分类，得到符合条件的a 的范围即可．【详解】（Ⅰ）{}|2A x x =<，{}|2U x x A ∴=≥ð若3a =，则{}{}2|430|13B x x x x x =-+<=<< {}()|23U A x B x =∴≤<ð （Ⅱ）A B A =Q U ,B A ∴⊆，{}|(1)()0B x x x a =--<，方程(1)()0x x a --=的根为1,a①当1a >时， {}|1B x x a =<<， B A ⊆ 12a ∴<≤②当1a =时， B =∅，符合B A ⊆， 1a \=③当1a <时， {}|1B x a x =<<，符合B A ⊆， 1a ∴<综上，实数a 的取值范围是2a ≤.【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（1）**360,(120,)120,(2130,).x x x N P x x N ⎧+≤≤∈=⎨≤≤∈⎩； （2）9月份第10天的日销售金额最大，最大为3675元.【解析】【分析】（1）设前20天每件售价P （元）与时间x （天，x ∈N +）的解析式为P ＝kx +b ，由条件列出方程，解方程可得k ，b ，进而运用分段函数的解析式可得所求；（2）运用分段函数的形式写出9月份日销售金额的解析式，再由二次函数和一次函数的性质，即可得到所求最大值．【详解】（1）设前20天每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为(0)P kx b k =+≠.由题意得 631090,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得 3,60.k b ==故该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为**360,(120,)120,(2130,).x x x N P x x N ⎧+≤≤∈=⎨≤≤∈⎩（2）设9月份日销售金额为y 元，则有**(360)(50),(120,)120(50),(2130,).x x x x N y x x x N ⎧+-+≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩ ①当120x ≤≤时，(360)(50)y x x =+-+的对称轴为15x =.(360)(50)y x x ∴=+-+在[1,15]上为增函数，在[15,20]上为减函数.∴当15x =时，max 3675.y =②当2130x ≤≤时，120(50)y x =-+为减函数.∴当21x =时，max 3480.y =综上所述，9月份第10天的日销售金额最大，最大为3675元.【点睛】本题考查分段函数的应用题的解法，注意运用方程的思想和二次函数和一次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）()f x 在R 上为增函数；（Ⅱ）1a =时,()f x 是R 上的奇函数，证明见解析；（Ⅲ）(,3]-∞.【解析】【分析】（Ⅰ）直接由函数单调性的定义加以证明；（Ⅱ）由奇函数的性质得f （0）＝0，求得a 的值，然后利用奇函数的定义证明a ＝1时函数f （x ）为奇函数．（Ⅲ）由题意将m 进行参数分离，得到(1)1x x x e e m e ⋅+≤-，利用换元法求得不等式右边的最小值即可.【详解】（Ⅰ）任取12,x x R ∈，且12x x <，则121221*********()()()()()1111(1)(1)x x x x x x x x e e f x f x a a e e e e e e --=---=-=++++++ 1212x x x x e e <∴<，，即120x x e e -<又110x e +>，210x e +>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <()f x ∴在R 上为增函数（Ⅱ）假设存在实数a ，使函数()f x 为奇函数,x ∈R ,2(0)011f a ∴=-=+，即1a =. 21()1=11x x x e f x e e -∴=-++ 11()=()11x xx x e e f x f x e e----∴-==-++ 1a \=时,()f x 是R 上的奇函数.（Ⅲ）()xmf x e ≤即11x x x e m e e -⋅≤+恒成立，∵(0,)x ∈+∞，∴e 1x >，即10.x e -> ∴(1)1x x x e e m e ⋅+≤-（0x >）恒成立， 设1xt e =-（0t >），则2(1)(2)3223t t t t m t t t t +⋅+++≤==++2333t t ++≥=当且仅当2t t=，即t =时等号成立. 23tt∴++的最小值为3∴3m ≤即实数m 的取值范围为(,3]-∞.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性及不等式的恒成立问题，是中档题．。
山东省济宁市兖州区高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4] B．[﹣1，1）∪（1，4] C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣56．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）= ．12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）= ．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a= ．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？2015-2016学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴∁U A={3}；∴B∪∁U A={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4] B．[﹣1，1）∪（1，4] C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】直接由对数式的真数大于0求解分式不等式得答案．【解答】解：根据题意得，解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤4故f（x）=（x+1）的定义域是（﹣1，1）∪（1，4]．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图像变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的性质以及函数与图象之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，则排除A．D．∵f（x）=21﹣|x|的≤=21=2，∴当x=0时，函数取得最大值，故排除B，选C，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质判断函数的图象是解决本题的关键．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】阅读型．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．6．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称【考点】换底公式的应用；指数函数的单调性与特殊点；指数函数与对数函数的关系．【专题】综合题．【分析】由x＜0，判断A和C不成立；由y=（）﹣x是R上的减函数，判断B不成立；指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．【解答】解：当x＜0时，3x＜2x，故A不成立；y=（）﹣x=是R上的减函数，故B不成立；当x＜0时，2log2x不存在，故C不成立．指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．故选D．【点评】本题考查对数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1），结合f（﹣1）＞f（4），即可判断．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣1）=f（1），又f（4）＞f（1），∴f（4）＞f（﹣1），即f（﹣1）＜f（4），故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由f（4）＞f（1）错误的认为f（x）在（0，6）上单调递增，从而出错．8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=1和x=log2代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=0，f（f（1））=f（0）=2，f（log2）=3+1=4，故f（f（1））+f（log2）=6，故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，对数的运算性质，难度中档．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中符号[x]表示不超过x的最大整数，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+0+1+2=﹣1，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数求值，对数的运算性质，估算出每个式子的近似值是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）= ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据对数的运算法则进行计算；【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（）=（）（+）=×=，故答案为：．【点评】此题主要考查对数的运算性质，比较简单，是一道基础题；12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）= ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可．【解答】解：由题意f（3）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（9）=故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a= 0或±1．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合关系，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2=1}={1，﹣1}，∵A∪B=A，∴B⊆A，若a=0，则B=∅，满足条件．若a≠0，则B={]，则此时=±1，解得a=±1，综上a=0或±1，故答案为：a=0或±1【点评】本题主要考查集合关系的应用，注意要对a进行分类讨论．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为{k|k≤40，或k≥160}．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴x=﹣，要求f（x）在〔5，20〕上具有单调性，只要对称轴x≤5，或x≥20，即可，从而求出k的范围；【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=﹣=﹣=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在〔5，20〕上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤5，或x=≥20∴≤5或，∴k≤40，或k≥160∴k∈（﹣∞，40〕∪〔160，+∞），故答案为：{k|k≤40，或k≥160}【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，f（x）在（5，20）上具有单调性的条件，此题是一道基础题．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为（0，）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出函数的单调性，结合f（）=0，可将不等式f（）＜0转化为＜，或＞，进而根据对数的性质解得答案．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，又∵f（）=0，∴f（﹣）=0，若f（）＜0则＜，或＞解得x＞2，或0＜x＜故答案为：（0，）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中由已知分析出函数的单调性，进而将抽象不等式具体化是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）由A与B，求出两集合的并集即可；（2）由全集R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（3）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；（2）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴∁R A={x|x＜3或x≥10}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3}；（3）∵A={x|3≤x＜10}，C={x|x＜a}，且A∩C≠∅，∴a＞3．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用根式和分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0 =22×33+（）﹣4×（）﹣1﹣﹣1=4×27+2﹣7﹣2﹣1=100．（2）∵lg2=m，lg3=n，∴log512===．【点评】本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．【考点】对数函数的图像与性质；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由t=log2x，t=log2x，可得log4x=t，1≤t≤3，代入可得y关于t的函数关系式；（2）根据二次函数的图象和性质，可得函数的最值，进而得到函数的值域．【解答】解：（1）∵2≤x≤8，t=log2x，∴1≤t≤3，则log4x=log2x=，故函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣）=（t﹣2）•（﹣）=，1≤t≤3，（2）由函数y=的图象是开口朝上，且以直线t=为对称轴的抛物线，故1≤t≤3时，函数y=在[1，]上为减函数，在[，3]上为增函数；故当t=时，函数取最小值，当t=3时，函数取最大值1，故函数的值域为[，1]【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，是二次函数与对数函数的综合应用，难度中档．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x﹣2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1∴令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2，令x=4，y=2，则f（8）=f（4）+f（2）=2+1=3（Ⅱ）∵f（x）+f（x﹣2）＞3，∴f（x（x﹣2））＞f（8），又∵f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，，解得x＞4，∴不等式的解集为（4，+∞）．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x1＜x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论；（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2，则=．∵x1＜x2，∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，∴f（0）=0，即．解得．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，由（Ⅰ）知，f（x）为增函数，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．∵，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意，100•﹣60=140，从而求a的值；（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=﹣15×35+640=115，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．【解答】解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•﹣60=140，解得，a=4；（2）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（3）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．。
山东省济宁市兖州区2023-2024学年高三上学期期中考试 数学含解析
2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A .M N⋃ B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A .n ∀∈N ，22nn ≤ B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n < D.n ∃∈N ，22n n <3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1iz =+ D.z 的虚部为1-10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b ba a+<+12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．18.已知a 、b是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b -．19.已知()1f x a b =⋅- ，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n nS .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min.（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cossin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A.M N ⋃B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð【答案】D 【解析】【分析】由题意作出Venn 图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，绘制Venn 图，如下：对于A ：M N N ⋃=，A 错误；对于B ：()()U UUN M M =痧，B 错误；对于C ：()U M N ðU ⊂，C 错误；对于D ：()U N M U ⋃=ð，D 正确.故选：D.2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A.n ∀∈N ，22n n ≤B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n <D.n ∃∈N ，22nn <【答案】C 【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p 的否定形式.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p 的否定应该为n ∀∈N ，22n n <．故选：C ．3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.【详解】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y =在定义域上递增，故()f x =3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=- ，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳【答案】D 【解析】【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解 1.5 4.810M E +=,进而可求解.【详解】由题意可设lg E M λμ=+，则()()1013lg 6.3104lg 6.3106λμλμ⎧⨯=+⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得 1.54.8λμ=⎧⎨=⎩，所以lg 1.5 4.8E M =+，所以 1.5 4.810M E +=，所以当 5.5M =时， 1.55.54.813.050.05131310101010 1.110E ⨯+===⨯≈⨯焦耳.故选:D.6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.【详解】()21y f x =-为奇函数，即()()21210f x f x -+--=，所以()f x 关于()1,0-中心对称，则()(2)f x f x =---，()1y f x =+为偶函数，即()()1()1(2)f x f x f x f x +=-+⇒-=，所以(2)(2)(2)(2)(4)()f x f x f x f x f x f x -=---⇒+=--⇒+=-，故()()()84f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为8的周期函数，所以()()()()1948242201f f f f =⨯+===，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】因为()f x 在()0,πω内恰好有4个零点，所以35π022T T ω<-≤，即3π5ππωωω<≤，所以235ω<≤，又N ω+∈，所以2ω=，所以()()sin 22f x x =+，()()2cos 22f x x '=+，所以()()()22f x f x x ϕ'+=++≤πtan 20,2ϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1i z =+ D.z 的虚部为1-【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数的概念可判断D 选项.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-.对于A 选项，z =A 对；对于B 选项，z 在复平面上对应点的坐标为()1,1-，位于第四象限，B 错；对于C 选项，1i z =+，C 对；对于D 选项，z 的虚部为1-，D 对.故选：ACD.10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由基底的定义分析判断，对于B ，由AB DC =可求出点D 的坐标，对于C ，由向量夹角的定义分析判断，对于D ，由数量积的几何意义分析判断.【详解】对于A ，因为()1,2a =r ，()3,1b = ，且满足1231≠，所以,a b 不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，所以A 正确，对于B ，设(,)D x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以(6,8)(1,2)x y -=--，解得7,6x y ==-，所以顶点D 的坐标为(7,6)-，所以B 正确，对于C ，因为ABC 是等边三角形，所以32π,AB BC = ，所以C 错误，对于D ，因为向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，所以b 在a上的投影向量的坐标为cos ,4(2,2)2a b a b a⋅=⨯=，所以D 正确，故选：ABD11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b > B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b b a a+<+【答案】ABD【解析】【分析】A.由0,0a b <>判断；B.由0b =判断；C.作差法判断；D 作差法判断.【详解】A.若0,0a b <>得不到11a b>，故错误；B.若0b =时，不成立，故错误；C.因为01a <<，所以()()3110a a a a a -=+-<，故正确；D.()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，所以11b b a a+>+，故错误；故选：ABD.12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥【答案】BC【解析】【分析】特殊值法可排除A 项，利用函数的对称性可判定B ，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C ，利用导函数非负结合判别式可判定D .【详解】对于A ，当0b =时，32()1f x x ax =-+，2()32f x x ax '=-，若0a =时，2()30f x x '=≥，则()f x 在定义域内单调递增，无极值点，故A 错误；对于B ，当0a =时，3()1f x x bx =++，3()1f x x bx -=--+，则()()2f x f x +-=，所以()f x 的图象关于()0,1中心对称，故B 正确；对于C 项，当24a b =时，232()14a f x x ax x =-++，22()323462a a a f x x ax x x '⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取4a -<<-，即36454a -<<-时，此时62a a >，所以当2a x <时，()0f x '>，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当26a a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6a x >时，()0f x '>，所以()f x 在,6a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数极小值为310654a a f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，函数极大值为102a f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即026a a f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，又因为325()1042a f a =+<-<，()39104a f a -=-+>，所以()f x 在,6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，即当4a -<<-时，()f x 有三个零点，故C 正确；对于D 项，若()f x 在定义域R 上是单调函数，则2()320f x x ax b '=-+≥恒成立，所以2Δ4120a b =-≤，解得23a b ≤，所以D 错误，故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题C 项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）【答案】2a b +##2b a+【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，求出22log 3,log 5a b ==，结合对数的运算法则化简，即可得答案.【详解】因为23,25a b ==，所以22log 3,log 5a b ==，故2222log 45log 59log 52log 322b a a b =⨯=+=+=+，故答案为：2a b+14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.【答案】π4【解析】【分析】结合图形，可得1tan 3α=，1tan 2β=，利用正切的和角公式,即可得出答案.【详解】由图得：1tan 3α=，1tan 2β=，所以1132tan()111132αβ++==-⨯，又因为,αβ为锐角，从而π4αβ+=.故答案为：π4.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅ 的最小值为__________．【答案】5-【解析】【分析】建立直角坐标系，设(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，利用坐标运算求出PC PD ⋅ ，再利用辅助角公式即可求解.【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，则(2,2)C ，(0,2)D ，由题意可设：(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，则(2cos ,2sin )PC θθ=-- ，(cos ,2sin )PD θθ=-- ，PC PD ⋅ 2cos (2cos )(2sin )θθθ=--+-2cos 4sin 5θθ=--+5)θφ=-+，其中1tan 2φ=，∴PC PD ⋅ 的最小值为5-.故答案为：5-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(]2,3A B ⋃=-（2）{|3a a ≤-或}2a ≥【解析】【分析】（1）可得出[],1,2A a a a =+=时，可得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据[],1,(2,2)A a a B =+=-，并且A B ⋂=∅即可得出12a +≤-或2a ≥，从而可得出a 的取值范围．【小问1详解】2a =时，2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得23x ≤≤，[]2,3A =，且(2,2)B =-，∴(]2,3A B =- ；【小问2详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得1a x a ≤≤+，[],1A a a =+，(2,2)B =-，且A B ⋂=∅，12a ∴+≤-或2a ≥，3a ∴≤-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为{|3a a ≤-或}2a ≥．18.已知a 、b 是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b - ．【答案】（1）6π（2）【解析】【分析】（1）依题意可得()0a a b ⋅-= ，根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据cos a b a b θ⋅=⋅ 计算可得；（2）根据32a b -= 及数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为()a a b ⊥- ，所以()0a a b ⋅-= ，即20a a b -⋅= ，即212a b a ⋅== ，所以cos 2a b a b θ⋅⋅=== ，因为[]0,θπ∈，所以6πθ=；【小问2详解】解：32a b -====19.已知()1f x a b =⋅-，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈ ,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.【答案】（1）最小正周期为π，最小值为2-.（2）2或6．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积化简()f x 的解析式，进而可得()f x 的最小正周期和最小值；（2）先由4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得π3A =，再利用余弦定理列方程，即可求得边长c 的值.【详解】（1）()1f x a b =⋅-(sin 2,2cos ))1x x x =⋅-2π22cos 12cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期2ππ2T ==，最小值为2-.（2）ππ2sin 22sin 64426A A A f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，则ππ2π6632A <+<，故32ππ6A +=，解之得π3A=又a =，8b=，由余弦定理得(22218282c c =+-⨯⨯，即28120c c -+=，解之得2c =或6c =.经检验，均符合题意.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n n S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）32n a n =-（2）1【解析】【分析】（1）首先求得1a 的值，然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后用裂项法求得n T ，再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．【小问1详解】当1n =时，由111a S ==；当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为32n a n =-.【小问2详解】由32n a n =-，可得()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12...n n T b b b =+++1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列，所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min .（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cos sin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）【答案】（1）45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈（2）π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30h ∈；45m 【解析】【分析】（1）设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，根据所给条件求出A 、B 、ω、ϕ；（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，即可得到19πππ5π45sin sin 152156h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由和差化积公式得到π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30t ∈，最后根据余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，则2ππ15T ω==，令0=t 时，sin 1ϕ=-，π2ϕ=-，又100451055A B A A B B +==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]0,30t ∈.【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3.不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，则145sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，9πππ45sin 551523H t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以高度19πππ5π45sin 55sin 55152156h H H t ⎛⎫⎛⎫=-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ5π45sin sin 152156t t ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由参考公式得，上式为π2πππ2π90cos sin 45cos 1536153t t ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，从而高度差为π2π45cos 153h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈；当π2πcos 1153t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π2ππ153t k -=，N k ∈，解得1015t k =+，N k ∈，又[]0,30t ∈，所以10t =min 或25t =min ，此时高度差h 的最大值为45m.22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1xh x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.。
济宁市兖州区2019-2020学年高一上期中数学试卷(有答案)
2019-2020学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣56．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）=．12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）=．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a=．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？2019-2020学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴∁U A={3}；∴B∪∁U A={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】直接由对数式的真数大于0求解分式不等式得答案．【解答】解：根据题意得，解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤4故f（x）=（x+1）的定义域是（﹣1，1）∪（1，4]．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图像变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的性质以及函数与图象之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，则排除A．D．∵f（x）=21﹣|x|的≤=21=2，∴当x=0时，函数取得最大值，故排除B，选C，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质判断函数的图象是解决本题的关键．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】阅读型．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．6．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称【考点】换底公式的应用；指数函数的单调性与特殊点；指数函数与对数函数的关系．【专题】综合题．【分析】由x＜0，判断A和C不成立；由y=（）﹣x是R上的减函数，判断B不成立；指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．【解答】解：当x＜0时，3x＜2x，故A不成立；y=（）﹣x=是R上的减函数，故B不成立；当x＜0时，2log2x不存在，故C不成立．指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．故选D．【点评】本题考查对数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1），结合f（﹣1）＞f（4），即可判断．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣1）=f（1），又f（4）＞f（1），∴f（4）＞f（﹣1），即f（﹣1）＜f（4），故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由f（4）＞f（1）错误的认为f（x）在（0，6）上单调递增，从而出错．8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=1和x=log2代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=0，f（f（1））=f（0）=2，f（log2）=3+1=4，故f（f（1））+f（log2）=6，故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，对数的运算性质，难度中档．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中符号[x]表示不超过x的最大整数，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+0+1+2=﹣1，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数求值，对数的运算性质，估算出每个式子的近似值是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据对数的运算法则进行计算；【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（）=（）（+）=×=，故答案为：．【点评】此题主要考查对数的运算性质，比较简单，是一道基础题；12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可．【解答】解：由题意f（3）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（9）=故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a=0或±1．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合关系，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2=1}={1，﹣1}，∵A∪B=A，∴B⊆A，若a=0，则B=∅，满足条件．若a≠0，则B={]，则此时=±1，解得a=±1，综上a=0或±1，故答案为：a=0或±1【点评】本题主要考查集合关系的应用，注意要对a进行分类讨论．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为{k|k≤40，或k≥160}．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴x=﹣，要求f（x）在〔5，20〕上具有单调性，只要对称轴x≤5，或x≥20，即可，从而求出k的范围；【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=﹣=﹣=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在〔5，20〕上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤5，或x=≥20∴≤5或，∴k≤40，或k≥160∴k∈（﹣∞，40〕∪〔160，+∞），故答案为：{k|k≤40，或k≥160}【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，f（x）在（5，20）上具有单调性的条件，此题是一道基础题．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为（0，）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出函数的单调性，结合f（）=0，可将不等式f（）＜0转化为＜，或＞，进而根据对数的性质解得答案．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，又∵f（）=0，∴f（﹣）=0，若f（）＜0则＜，或＞解得x＞2，或0＜x＜故答案为：（0，）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中由已知分析出函数的单调性，进而将抽象不等式具体化是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）由A与B，求出两集合的并集即可；（2）由全集R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（3）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；（2）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴∁R A={x|x＜3或x≥10}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3}；（3）∵A={x|3≤x＜10}，C={x|x＜a}，且A∩C≠∅，∴a＞3．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用根式和分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0=22×33+（）﹣4×（）﹣1﹣﹣1=4×27+2﹣7﹣2﹣1=100．（2）∵lg2=m，lg3=n，∴log512===．【点评】本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．【考点】对数函数的图像与性质；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由t=log2x，t=log2x，可得log4x=t，1≤t≤3，代入可得y关于t的函数关系式；（2）根据二次函数的图象和性质，可得函数的最值，进而得到函数的值域．【解答】解：（1）∵2≤x≤8，t=log2x，∴1≤t≤3，则log4x=log2x=，故函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣）=（t﹣2）•（﹣）=，1≤t≤3，（2）由函数y=的图象是开口朝上，且以直线t=为对称轴的抛物线，故1≤t≤3时，函数y=在[1，]上为减函数，在[，3]上为增函数；故当t=时，函数取最小值，当t=3时，函数取最大值1，故函数的值域为[，1]【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，是二次函数与对数函数的综合应用，难度中档．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x﹣2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1∴令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2，令x=4，y=2，则f（8）=f（4）+f（2）=2+1=3（Ⅱ）∵f（x）+f（x﹣2）＞3，∴f（x（x﹣2））＞f（8），又∵f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，，解得x＞4，∴不等式的解集为（4，+∞）．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x1＜x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论；（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2，则=．∵x1＜x2，∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，∴f（0）=0，即．解得．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，由（Ⅰ）知，f（x）为增函数，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．∵，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意，100•﹣60=140，从而求a的值；（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=﹣15×35+640=115，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．【解答】解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•﹣60=140，解得，a=4；（2）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（3）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．。
山东省济宁市兖州区2019-2020学年高一上学期期中检测数学试题
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2022-2022学年山东省济宁市高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2022学年山东省济宁市高一上学期期中数学试题(解析版)第1页共13页2022-2022学年山东省济宁市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U=，集合{1,2,4,6}A=，集合{1,5}B=，则()UAB=（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义，求解即可得答案.【详解】由题意得{2,3,4,6}UB=，所以(){2,4,6}UAB=，故选：B2．若aR∈，则“21a=”是“1a=”的（）A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．充要条件【答案】B【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】由21a=可得1a=±，所以充分性不成立；由1a=，可得21a=，必要性成立，所以“21a=”是“1a=”的必要条件.故选：B.3．已知函数2()26f某某k某=--在区间(,5]-∞上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．{20}B．[20，60]C．(,20]-∞D．[20,)+∞【答案】D【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，找到()f某的单调区间，即可求出k的取值范围.【详解】解：函数2()26f某某k某=--开口向上，对称轴为4k，第2页共13页所以函数()f某在,4k-∞上单调递减，在,4k+∞上单调递增，又函数()f某在区间(,5]-∞上单调递减，所以54k≥，即20k≥.故选：D.【点睛】结论点睛：（1）二次函数开口向上，对称轴左侧为递减区间，右侧为递增区间；（2）二次函数开口向下，对称轴左侧为递增区间，右侧为递减区间；4．若21,0,()2,0,某某某f某某-<=≥，则((1))ff-等于（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【分析】根据自变量范围，代入对应解析式，即可求得答案.【详解】由题意得2(1)(1)1f-=-=，所以0((1))(1)21fff-===，故选：A5．设0.30.6a=，0.30.3b=，0.60.3c=则a，b，c的大小关系为（）A．bac<<B．bca<<C．abc<<D．cba<<【答案】D【分析】根据指数函数0.3某y=和幂函数0.3y某=的单调性，代入数据，即可得答案.【详解】因为指数函数0.3某y=在R上为单调递减函数，所以0.30.60.30.3>，即b>c，又幂函数0.3y某=在[0,)+∞上为增函数，所以0.30.30.60.3>，即a>b，所以a>b>c.故选：D6．已知ab>，则下列不等式中总成立的是（）A．11ba>B．||||ab>C．22ab>D．33ab>【答案】D【分析】根据不等式的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：当1,1ab==-时，11ab>，此时A不成立；对于B：当1,2ab=-=-，ab<，此时B不成立；第3页共13页对于C：当1,2ab=-=-，22ab<，此时C不成立；对于D：当ab>时，33ab>恒成立，故D正确.故选：D7．某单位为节约成本，进行了技术更新，可以把细颗粒物进行处理.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量某（吨）之间的函数关系可近似地表示为21100800002y某某=-+，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（）A．100元B．200元C．300元D．400元【答案】C【分析】求得每吨细颗粒物的平均处理成本为1+100,[300,600]280000y某某某某=-∈，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得每吨细颗粒物的平均处理成本为21100,[300,600]2110080000800002y某某某某某某某==+-∈-+，所以1100100380000020y某某某=+-≥=（元），当且仅当1800002某某=，即400某=时，等号成立，故选：C8．下列四个结论中，正确结论的个数为（）个（1）函数()f某某=与函数()g某=（2）若函数()某f某aa=-（0a>且1a≠）的图象没有经过第二象限，则1a>；（3）关于某的不等式240某m某++≥在R上恒成立，则实数m的取值范围为44m-≤≤；（4）若函数22()11某f某某=++的最大值为M，最小值为m，则2Mm+=.A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】（1）由函数相等的概念即可判断；（2）根据指数函数的图像即可判断；（3）根据2160m=-≤即可判断；（4）根据函数奇偶性即可判断第4页共13页【详解】对于（1）两个函数的定义域相同，但()g某某==，则两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以（1）错误；对于（2）由指数函数的图像可知，当1a>时，函数()某f某aa=-（0a>且1a≠）的图像必不经过第二象限，所以（2）正确；对于（3），不等式240某m某++≥在R上恒成立，则2160m=-≤，解得44m-≤≤，所以（3）正确；对于（4），()2211某f某某=++，令22()()1某g某某R某=∈+，因为2222()()()11某某g某g某某某--==-=--++，所以()g某为奇函数，所以ma某min()()0g某g某+=，所以ma某min()1()12Mmg某g某+=+++=，所以（4）正确.故选：C.二、多选题9．下列命题中，是真命题的是（）A．某R∈，2104某某-+≥B．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°C．某R∈，2320某某++=D．至少有一个实数某，使310某+=【答案】ACD【分析】逐一分析各个选项，即可求得答案.【详解】对于A：2211()042某某某-+=-≥，故A为真命题；对于B：对于平面内任意的四边形，其内角和都为360°，故B为假命题；对于C：232(1)(2)0某某某某++=++=，解得某=-1或某=-2，故C为真命题；对于D：310某+=，解得某=-1，故D为真命题.故选：ACD10．已知函数()y某Rαα=∈的图象过点（3，27），下列说法正确的是（）A．函数y某α=的图象过原点B．函数y某α=是奇函数第5页共13页C．函数y某α=是单调减函数D．函数y某α=的值域为R【答案】ABD【分析】利用代入法，结合幂函数的性质进行判断即可.【详解】因为函数()y某Rαα=∈的图象过点（3，27），所以()33273log273f某某αα====，A：因为(0)0f=，所以函数3y某=的图象过原点，因此本说法正确；B：因为33()()()f某某某f某-=-=-=-，所以函数3y某=是奇函数，因此本说法正确；C：因为3y某=是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D：因为3y某=的值域是全体实数集，所以本说法正确.故选：ABD11．给出下列命题，其中是真命题的是（）A．若函数()f某的定义域为[0，2]，则函数(2)f某的定义域为[0，1]；B．函数1()f某某=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞；C．若定义在R上的奇函数()f某在区间(,0)-∞上是单调递增，则()f某在区间(0,)+∞上也是单调递增的；D．()f某定义域内存在两个值1某，2某，且12某某<，若()()12f某f某>，则()f某是减函数.【答案】AC【分析】根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.【详解】解：对于A，若函数()f某的定义域为[]0,2，则函数()2f某的定义域为[]0,1，故A正确；对于B，函数()1f某某=的单调递减区间是(),0-∞和()0,∞+，故B错误；对于C，若定义在R上的奇函数()f某在区间(],0-∞上是单调增函数，则在区间()0,∞+上也是单调增函数，故C正确；对于D，应该是任意，不能是存在，故D错误.故答案为：AC.第6页共13页12．已知关于某的不等式230a某b某++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式230a某b某++>的解集可以是{}3某某>B．不等式230a某b某++>的解集可以是RC．不等式230a某b某++>的解集可以是D．不等式230a某b某++>的解集可以是{}13某某-<<【答案】BD【分析】选项A先假设结论成立，再得到不等式为30某-+>并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当1a=，0b=时，不等式230某+>恒成立，判断选项B正确；选项C当0某=时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得12ab=-=，符合题意，判断选项D正确；【详解】解：选项A：假设结论成立，则0330ab=+=，解得01ab==-，则不等式为30某-+>，解得3某<，与解集是{}3某某>矛盾，故选项A错误；选项B：当1a=，0b=时，不等式230某+>恒成立，则解集是R，故选项B正确；选项C：当0某=时，不等式2330a某b某++=>，则解集不可能为，故选项C错误；选项D：假设结论成立，则0309330aabab<-+=++=，解得12ab=-=，符合题意，故选项D正确；故选：BD【点睛】本题考查一元二次不等式的解集问题，是基础题.三、填空题13．若2(1)2f某某+=+，则()f某=________.【答案】223某某-+【分析】利用换元法，令1某t，代入方程，化简整理，即可得答案.【详解】设1某t，tR∈，则1某t=-，第7页共13页所以22(1)()(1)223f某ftttt+==-+=-+，tR∈，令某=t，所以2()23,f某某某某R=-+∈，故答案为：223某某-+14．不等式221431122某某-->的解集为________.【答案】5{1}2某某-<<【分析】根据1()2某y=的单调性，可得22143某某-<-，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.【详解】因为1()2某y=在R上为单调递减函数，且221431122某某-->所以22143某某-<-，解得512某-<<，故答案为：5{1}2某某-<<15．函数4()21f某某=+在[-4，-2]上的值域是________.【答案】44[,]37--【分析】利用反比例型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数4()21f某某=+在1(,)2-∞-上是单调递减函数，所以当[4,2]某∈--时，函数4()21f某某=+也是单调递减函数，因此有：(4)()(2)ff某f-≥≥-，即44()37 f某-≤≤-，所以函数4()21f某某=+在[-4，-2]上的值域是44[,]37 --.故答案为：44[,]37--四、双空题16．已知某、yR∈，在实数集R中定义一种运算1某y某y某y⊕=++-，则24⊕=________，函数()422某某f某=⊕的最小值为________.【答案】137【分析】利用题中定义可求得24⊕的值，利用题中定义求得函数()f 某的解析式，利第8页共13页用基本不等式可求得()f某的最小值.【详解】已知某、yR∈，在实数集R中定义一种运算1某y某y某y⊕=++-，则242424113⊕=++-=，()44442221232222某某某某某某某某f某=⊕=++-=++，20某>，由基本不等式可得()423372某某f某=++≥=，当且仅当1某=时，等号成立，即函数()422某某f某=⊕的最小值为7.故答案为：13；7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.五、解答题17．（1）计算：()12223092739.6482-----+；（2）已知11223aa-+=，求22112aaaa--++++的值.【答案】（1）12（2）163【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可.（2）根据完全平方式计算即可求出.【详解】解：（1）()12223092739.6482-----+3441299=--+12=（2）11223aa-+=，所以21112227aaaa--+=+-=第9页共13页()2122111148162293aaaaaaaa----+-++===++++18．已知集合{3}A某a某a=≤≤+∣，{2B某某=≤-∣或6}某≥.（1）若AB=，求a的取值范围；（2）若ABB=，求a的取值范围.【答案】（1）23a-<<；（2）5a≤-或6a≥.【分析】（1）根据题意及AB=，可得236aa>-+<，即可求得答案；（2）由ABB=，可得AB，由题意得A≠，所以32a+≤-或6a≥，即可解得答案.【详解】（1）因为集合{3}A某a某a=≤≤+∣，{2B某某=≤-∣或6}某≥，且AB=，所以236aa>-+<，解得23a-<<；（2）因为ABB=，所以AB，因为3aa<+恒成立，所以A≠，所以32a+≤-或6a≥，解得5a≤-或6a≥.【点睛】解题的关键是根据ABB=，可得集合的包含关系AB，且A集合含有参数，需分析A集合是否为空集，再进行求解，属基础题.19．已知函数2()(3)2f某a某a某=+-+（其中aR∈），（1）当1a=-时，解关于某的不等式()0f某>；（2）若()1f某≥-的解集为R，求实数a的取值范围.【答案】（1）(2)；（2）9-+.【分析】（1）当1a=-时，由()0f某>可得2420某某+-<，解此不等式即可得解；（2）由题意可知，不等式()2330a某a某+-+≥对任意的某∈R恒成立，分0a=和0a≠两种情况讨论，可得出关于实数a的不等式组，由此可求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a=-时，由()0f某>得，2420某某--+>，所以2420某某+-<，解得22某<<，第10页共13页因此，原不等式的解集为(62,62)---；（2）因为()1f某≥-解集为R，所以()2330a某a某+-+≥在R恒成立.当0a=时，得330某-+≥，解得1某≤，不合题意；当0a≠时，由()2330a某a某+-+≥在R恒成立，得()203120aaa>--≤，解得962962a-+≤≤.因此，实数a的取值范围是962,962-+.20．函数()[]f某某某=-，[1,2)某∈-，其中[]某表示不超过某的最大整数，例[3.05]4-=-，[2.1]2=.（1）写出()f某的解析式；（2）作出相应函数的图象；（3）根据图象写出函数的值域.【答案】（1）1,-10(),011,12某某f某某某某某+≤<=≤<-≤<；（2）图象见解析；（3）[0,1).【分析】（1）根据题意，分别求出-10某≤<，01某≤<，12某≤<时的[]某，代入解析式即可得答案；（2）根据解析式，作出图象即可；（3）根据图象，直接可得到()f某的值域.【详解】（1）当-10某≤<时，[]1某=-，所以()1f某某=+，当01某≤<时，[]0某=，所以()f某某=，当12某≤<时，[]1某=，所以()1f某某，第11页共13页综上1,-10(),011,12某某f某某某某某+≤<=≤<-≤<；（2）()f某图象如图所示：；（3）由图象可得()f某的值域为[0,1)21．南康某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用(04)某某≤≤万元满足131m某=-+.已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用某万元的函数；（2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大？【答案】（1）1656([0,4])1y某某某=--∈+；（2）3万元.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值.【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+，8162(816)816mymm某m某m+∴=-++=+-181631某某=+--+16561某某=--+([0,4])某∈；（2）由1616165657(1)572(1)49111y某某某某某某=--=-++≤-+=+++，当且仅当1611某某=++，即3某=时取等号.故该服装厂2022年的促销费用投入3万元时，利润最大.【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及用基本不等式求最值，属综合基础题.第12页共13页22．已知定义域为R的函数3()3某某af某a-=+是奇函数.（1）求a的值；（2）判断()f某在(,)-∞+∞上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式()2(3)0f某某f某++-<.【答案】（1）1a=；（2）该函数为减函数，证明见解析；（3）{|3某某<-或1}某>.【分析】（1）由1(0)=01afa-=+可得解；（2）由2()131某f某=-+结合指数函数的单调性可判断单调性，利用单调性的定义可证明；（3）结合函数的奇偶性和单调性可得()2(3)f某某f某+<-，从而得23某某某+>-，进而得解.【详解】（1）函数3()3某某af某a-=+是R上的奇函数，所以1(0)=01afa-=+，解得：1a=，经检验满足题意；（2）由（1）值132()13131某某某f某-==-++，可判断该函数为减函数，证明如下：设120某某<<，211212某某某某某某某某某(33)()()1131313131(31)(31)某某某某某某某某f某f某--=---=-=++++++，∵120某某<<，211233,310,310某某某某∴>+>+>，所以12())0(f某f某->，12()()f某f某>，()f某单调递减；（3）因为()f某是R上的奇函数，且单调递减，所以()()22(3)0(3)(3)f某某f某f某某f某f某++-<+<--=-，所以23某某某+>-，解得3某<-或1某>，所以解集为{|3某某<-或1}某>.【点睛】关键点点睛：本题指数型复合函数的奇偶性和单调性．函数的单调性的证明基本方法是单调性定义，步骤：（1）设12某某<，（2）作差12()()f某f某-，（3）判断差的正负，（4）得结论．第13页共13页。
2024-2025学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中质量检测数学试题(含答案)
2024-2025学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={x∈Z||x|<2}，则C U A=( )A. {−1,0,1}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,2}D. {−2,0,3}2.函数y=1−x2+1x3的定义域是( )A. (−∞,1]、B. (−1,0)⋃(0,1)C. [−1,0)⋃(0,1]D. (0,1]3.已知命题p：∀x≥0，x3≥x，命题q：∃x<0，x2+1>0，则( )A. ¬p：∃x<0，x3<xB. ¬p：∃x≥0，x3<xC. ¬q：∀x≥0，x2+1≤0D. ¬q：∃x<0，x2+1≤04.下列四组函数中，不是同一个函数的一组是( )A. f(x)=|x|与g(x)=x2B. f(x)=x2+1与g(t)=t2+1C. f(x)=|x|x 与g(x)={1,x>0−1,x<0 D. f(x)=(x)2与g(x)=x25.若函数f(x)={x2−x,x>0−x2−x,x<0，若f(a)<f(−a)，则实数a的取值范围是( )A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6.若正实数x，y，满足x+y+3=xy，则xy的最小值是( )A. 1B. 3C. 9D. 187.某市一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是()．A. B.C. D.8.定义在[1,3]的函数y =f(x)的图像位于x 轴上方，且是连续不断的.若y =f(x)的图像关于点(2,3)对称，则1f(x)+1f(4−x)的最小值为( )A. 23B. 1C. 4D. 6二、多选题：本题共3小题，共18分。
人教A版数学必修一山东省济宁市兖州区高一(上)期中试卷(解析版).docx
2015-2016学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4] 3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣56．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）=．12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）=．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a=．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？2015-2016学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴∁U A={3}；∴B∪∁U A={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．2．f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】直接由对数式的真数大于0求解分式不等式得答案．【解答】解：根据题意得，解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤4故f（x）=（x+1）的定义域是（﹣1，1）∪（1，4]．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．3．函数f（x）=21﹣|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图像变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的性质以及函数与图象之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，则排除A．D．∵f（x）=21﹣|x|的≤=21=2，∴当x=0时，函数取得最大值，故排除B，选C，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质判断函数的图象是解决本题的关键．4．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3f （x） 6.1 2.9 ﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】阅读型．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．5．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．6．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数；C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称【考点】换底公式的应用；指数函数的单调性与特殊点；指数函数与对数函数的关系．【专题】综合题．【分析】由x＜0，判断A和C不成立；由y=（）﹣x是R上的减函数，判断B不成立；指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．【解答】解：当x＜0时，3x＜2x，故A不成立；y=（）﹣x=是R上的减函数，故B不成立；当x＜0时，2log2x不存在，故C不成立．指数函数和对数函数互为反函数，故D成立．故选D．【点评】本题考查对数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（4）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（4）＞f（3）C．f（2）＞f（0）D．f（﹣1）＜f（4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1），结合f（﹣1）＞f（4），即可判断．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣1）=f（1），又f（4）＞f（1），∴f（4）＞f（﹣1），即f（﹣1）＜f（4），故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由f（4）＞f（1）错误的认为f（x）在（0，6）上单调递增，从而出错．8．已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log2）的值是（）A．6 B．5 C．D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=1和x=log2代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=0，f（f（1））=f（0）=2，f（log2）=3+1=4，故f（f（1））+f（log2）=6，故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，对数的运算性质，难度中档．9．该试题已被管理员删除10．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2），则[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中符号[x]表示不超过x的最大整数，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：[log2]+[log2]+[log21]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+0+1+2=﹣1，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数求值，对数的运算性质，估算出每个式子的近似值是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上11．化简（log43+log83）（log32+log92）=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据对数的运算法则进行计算；【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（）=（）（+）=×=，故答案为：．【点评】此题主要考查对数的运算性质，比较简单，是一道基础题；12．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点，则f（9）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可．【解答】解：由题意f（3）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（9）=故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．13．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a=0或±1．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合关系，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2=1}={1，﹣1}，∵A∪B=A，∴B⊆A，若a=0，则B=∅，满足条件．若a≠0，则B={]，则此时=±1，解得a=±1，综上a=0或±1，故答案为：a=0或±1【点评】本题主要考查集合关系的应用，注意要对a进行分类讨论．14．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为{k|k≤40，或k≥160}．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴x=﹣，要求f（x）在〔5，20〕上具有单调性，只要对称轴x≤5，或x≥20，即可，从而求出k的范围；【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=﹣=﹣=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在〔5，20〕上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤5，或x=≥20∴≤5或，∴k≤40，或k≥160∴k∈（﹣∞，40〕∪〔160，+∞），故答案为：{k|k≤40，或k≥160}【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，f（x）在（5，20）上具有单调性的条件，此题是一道基础题．15．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为（0，）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出函数的单调性，结合f（）=0，可将不等式f（）＜0转化为＜，或＞，进而根据对数的性质解得答案．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，又∵f（）=0，∴f（﹣）=0，若f（）＜0则＜，或＞解得x＞2，或0＜x＜故答案为：（0，）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中由已知分析出函数的单调性，进而将抽象不等式具体化是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）由A与B，求出两集合的并集即可；（2）由全集R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（3）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；（2）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴∁R A={x|x＜3或x≥10}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3}；（3）∵A={x|3≤x＜10}，C={x|x＜a}，且A∩C≠∅，∴a＞3．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（1）计算（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0（2）已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示log512．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用根式和分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）（×）6+﹣4﹣×80.25﹣（﹣2014）0=22×33+（）﹣4×（）﹣1﹣﹣1=4×27+2﹣7﹣2﹣1=100．（2）∵lg2=m，lg3=n，∴log512===．【点评】本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．18．已知函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣），2≤x≤8．（1）令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域．【考点】对数函数的图像与性质；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由t=log2x，t=log2x，可得log4x=t，1≤t≤3，代入可得y关于t的函数关系式；（2）根据二次函数的图象和性质，可得函数的最值，进而得到函数的值域．【解答】解：（1）∵2≤x≤8，t=log2x，∴1≤t≤3，则log4x=log2x=，故函数y=（log2x﹣2）•（log4x﹣）=（t﹣2）•（﹣）=，1≤t≤3，（2）由函数y=的图象是开口朝上，且以直线t=为对称轴的抛物线，故1≤t≤3时，函数y=在[1，]上为减函数，在[，3]上为增函数；故当t=时，函数取最小值，当t=3时，函数取最大值1，故函数的值域为[，1]【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，是二次函数与对数函数的综合应用，难度中档．19．已知f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（8）；（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x﹣2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1∴令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2，令x=4，y=2，则f（8）=f（4）+f（2）=2+1=3（Ⅱ）∵f（x）+f（x﹣2）＞3，∴f（x（x﹣2））＞f（8），又∵f（x）是定义在（0，+∞）内的增函数，，解得x＞4，∴不等式的解集为（4，+∞）．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．20．已知函数，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x1＜x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论；（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2，则=．∵x1＜x2，∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，∴f（0）=0，即．解得．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，由（Ⅰ）知，f（x）为增函数，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．∵，∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为．【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．21．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意，100•﹣60=140，从而求a的值；（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=﹣15×35+640=115，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．【解答】解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•﹣60=140，解得，a=4；（2）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（3）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．。
山东省兖州市10-11学年高一数学上学期期中考试(扫描版)
高一数学答案1、A {},8,7,6,5,4,3,2,1=U {}8,6,5,1=B C U 则{}6,5,1=B C A U . 2、D x x y ==2，()02≠==x x x x y ,C 为对数函数，x a y x a ==log .3、B 当40≤≤x 时，[]2,22-∈-=x y ，[]2,2-不是集合B 的子集.4、D 函数()()a x a x x f +-+=12图象的对称轴为：21a x -=，故221≤-a即3-≥a 5、A()x f x x x x x f -=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111222则()01=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 6、C x y 2=是指数函数，不是幂函数.7、A 法Ⅰ：利用x y a log =和x y b log =的图象；法Ⅱ：⇒<<⇒>>b a b a lg lg 00lg 2lg lg 2lg b a <<18、C ()x f 是偶函数，在[)+∞,0上是减函数， 则由()()1|lg |f x f > 得1lg <x 即1lg 1<<-x ，解得10101<<x . 9、B ()=---+-=-m x m x x f ()x f m x m x -=+-- 10、D 112=-x 即1=x 时111log )1(=+=a f11、B 5494)()(2121=-=-+=---x x x x 则51±=--x x ，于是=--22x x =-+--))((11x x x x 53± 12、A (),0331ln 63<-=-=f ()033ln 105>-=f二、填空题13、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>1,32|x x x 且 14、a 6- 15、1 16、-2613、()⎪⎩⎪⎨⎧≠>⇒⎩⎨⎧≠->-132023log 0233x x x x 故定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>1,32|x x x 且 14、原式=a b a 623431313132-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯---+ 15、,10log 2=a ,10log 5=b 则2lg 1=a ，5lg 1=b 故110lg 5lg 2lg 11==+=+b a 16、()8333335----=-b a f ，()8333335-++=b a f 则()()1633-=+-f f ，故()263-=f三、解答题17、解：B B A =B A ⊆∴又{}{}4,004|2-==+=x x x A ，(){}0112|22=-+++=a x a x x B {}4,0-==∴A B所以方程()011222=-+++a x a x 有两个不等根0，-4， 2分 6分则有：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=->--+=∆01181601014142222a a a a a 解得：1=a18、解：（1）当0<x 时，0>-x()()()11-=--=-x x x x x f又由于函数()xf 则此时()()(--=--=x x x f x f 故()((⎩⎨⎧+--=1x x x x x f （2）（图略） 函数为增函数. 19、证明：设211x x <<- ()()()()(()()()()111112121221122112211121++-=++++-++=++=-x x x x x x x x x x x x x f x f又由211x x <<-知012>-x x ，1x 于是()()021>-x f x f 即()()21x f x f >所以函数()12++=x x x f 在()+∞-,120、解：（1）在()()()y f x f y x f +=+中，令0==y x得()()()0000f f f +=+即()0=f 再令x y -=()()()x f x f x x f -+=-即()()=-+x f x f 所以()()x f x f -=-，故()x f （2）在()()()y f x f y x f +=+中，令x y =得()()x f x f 22=于是()()()()421161824428=⎪⎭⎫ ⎝⎛====f f f f f 得4121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f所以412121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f21、解：由题意知： 8分10分 12分()[]()()()()13log 8log 6log log 24log 22233233232-+=++=+++=+=x x x xx x f x f y 令x t 3log =，由[]9,1∈x 得[2,0∈t 于是()[]2,0,132∈-+=t t y 所以， 当2=t 即9=x 时，y 当0=t 即1=x 时，8min =y22、解：（1）月产量为x 由题意知：当4000≤≤x 当400>x 时，()=x f 80000()x 10020000+-=x 10060000- 综上：()⎪⎩⎪⎨⎧∈>-∈≤≤-+-=N x x x x x x x x f 且且400,100600004000,20000300212（2）当4000≤≤x 时，()()25000300212+--=x x f所以，当300=x 时，()25000max =x f ； 当400>x 时，()=x f x 10060000-所以，()2500040010060000<⨯-<x f 综上可见，当300=x 时，()max =x f 即每月生产3004分 6分。
高中山东省济宁市实验中学高一上学期期中数学试题
山东省济宁市实验中学【精品】高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U A B =（ ）A ．{}23，B ．{}145，，C ．{}45，D ．{}15， 2．若命题2000:,220p x x x ∃∈++<R ，则命题p 的否定是（ ）A ．2000,220x x x ∃∈++≥RB ．2,220x x x ∀∈++>RC ．2,220x x x ∀∈++≥RD ．2,220x x x ∀∈++<R3．若a b >，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．11a b <B ．22ac bc >C ．33a b <D ．33a b > 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x =B ．||1y x =+C ．x y e -=D ．2y x 5．若关于x 的不等式230ax x b -+<的解集为{}|12x x <<，则实数,a b 的值是（ ） A ．1,2a b == B ．2,1a b == C ．1,2a b =-=D ．2,1a b ==- 6．已知30.730.7,log 0.7,3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<7．要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米30元， 侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A ．120元 B ．160元 C ．200元 D ．240元 8．已知R a ∈，则“1a >”是“11a <”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件9．函数2ln(2)y x x =-的单调递增区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞10．已知lg lg 0a b +=(01,01)a a b b >≠>≠且且，则函数()x f x a -=与函数()log b g x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数,1()(3)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩ 满足：12,x x R ∀∈，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[2,3)C ．(2,3)D ．(1,3)12．已知函数22()log ||f x x x =+，且2(log )(1)f m f >，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,2)2C ．(2,)+∞D ．1(0,)(2,)2+∞二、填空题 13．已知函数ln ,1()4,1x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩,则(f f =______. 14．函数y =的定义域为______.15．已知函数())1f x x =+，若()2f a =，则()f a -=_____.16．已知正数,a b 满足4a b ab +=，则+a b 的最小值为______.三、解答题17．已知3log 2a =，b =，求2111333422a b a b ---⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.18．已知函数3()(),f x g x x x =+∈R 为奇函数.（Ⅰ）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）若0x <时，()3x g x =. 当0x >时，求函数()f x 的解析式.19．已知函数222,0()|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩（Ⅰ）画出函数()f x 的图象，并写出其单调递减区间(不需证明)；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x m m =-有4个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 20．已知全集U =R ，集合{}{}2|lg(2),|(1)0A x y x B x x a x a ==-=-++<. （Ⅰ）若3a =，求集合()U A B ；（Ⅱ）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.21．小李大学毕业后选择自主创业，开发了一种新型电子产品.【精品】9月1日投入市场销售，在9月份的30天内，前20天每件售价P （元）与时间x （天，*x ∈N ）满足一次函数关系，其中第一天每件售价为63元，第10天每件售价为90元；后10天每件售价均为120元.已知日销售量Q （件）与时间x （天）之间的函数关系是50()Q x x =-+∈*N .（1）写出该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；（2）9月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额.(日销售金额=每件售价⨯日销售量).22．已知函数2()( 2.71828)1x f x a e e =-=+. （Ⅰ）判断并证明()f x 的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当(0,)x ∈+∞时，()xmf x e ≤恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B【分析】求出集合A ∩B ，然后求出它的补集即可．【详解】集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}所以A ∩B ＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}；∁U （A ∩B ）＝{1，4，5}；故选B ．【点睛】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型．2．C【分析】根据命题p 的否定是￢p ，结合全称命题与特称命题的关系，可以直接写出答案来．【详解】根据命题p 的否定是￢p ，∴命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0﹣2<0，命题p 的否定是：2,220x x x ∀∈++≥R ．故选C ．【点睛】本题考查了特称命题的否定是全称命题的问题，注意“改量词，否结论”，是基础题． 3．D【分析】直接利用举反例和配方法求出结果．【详解】对于选项A ：当a ＝0或b ＝0时，不等式无意义．对于选项B ：当c ＝0时，不等式不成立．对于选项C ：∵3x y =是单增的，∴当a b >时，33a b >，故C 不成立对于选项D ：当a ﹣b ＞0时，a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝（a ﹣b ）[223()24b b a ++]＞0， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．D【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【详解】A 中，y 1x=为奇函数，故排除A ； B 中， y ＝|x |+1是偶函数，当x >0时，y ＝|x |+1＝x+1为增函数，不满足条件，故排除B ； C 中，y ＝e ﹣x 为非奇非偶函数， 故排除C ；D 中， y ＝x ﹣2是偶函数，开口向上，图象关于y 轴对称，（0，+∞）上单调递减，故D 对． 故选：D ．【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．5．A【分析】由不等式ax 2﹣3x +b <0的解集为{}|12x x <<，可得312120a b a a ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪>⎪⎪⎩解出即可． 【详解】∵不等式ax 2﹣3x +b <0的解集为{}|12x x <<，∴312120a b a a ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪>⎪⎪⎩解得a ＝1，b ＝2．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题． 6．B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【详解】∵0＜a ＝30.7＜0.70＝1，b ＝3log 0.7＜3log 1＝0，c ＝0.73＞03＝1，∴b ＜a ＜c ．故选B ．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．7．C【分析】设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．【详解】设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，则∵长方形容器的容器为4m 3，高为1m ，∴底面面积S＝ab＝4，y＝30S+10[2（a+b）]＝20（a+b）+120，∵a+b 4，∴当a＝b＝2时，y取最小值200，即该容器的最低总造价是200元，故选C．【点睛】本题以长方形的体积为载体，考查了基本不等式，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．8．A【分析】“a＞1”⇒“11a＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．9．A【分析】先求出函数的定义域，然后把函数y＝ln（2x﹣x2）分解为y＝lnt和t＝2x﹣x2，根据两函数单调性及复合函数单调性的判断方法可得答案．【详解】由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2，所以函数y＝ln（2x﹣x2）的定义域为（0，2），y＝ln（2x﹣x2）是由y＝ln t和t＝2x﹣x2复合而成的，t＝2x﹣x2在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，且y＝lnt递增，所以y＝ln（2x﹣x2）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，故选：A．【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，正确理解“同增异减”是解决复合函数单调性的关键．10．B【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案．【详解】lga+lgb＝0，即为lg（ab）＝0，即有ab＝1，当a＞1时，0＜b＜1，函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x在同一坐标系中的图象不可能是C，而A显然不成立，对数函数图象不可能在y轴的左边；D是0＜a＜1，0＜b＜1,不满足ab＝1；当0＜a＜1时，b＞1，函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x在同一坐标系中的图象可能是B，故选B．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图象的画法，考查对数的运算性质，属于基础题．11．B【分析】由题意，函数f （x ）()()()1311x a x a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＞在定义域R 上是增函数，故可得到13031a a a a⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞，解出即可．【详解】∵对任意x 1，x 2∈R （x 1≠x 2），恒有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，∴函数f （x ）()()()1311x a x a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩＞在定义域R 上是增函数， ∴13031a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞，解得，2≤a ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，注意断点处要保证增，属于中档题．12．D【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|log 2m |>1，即log 2m <﹣1或log 2m>1，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，22()log ||f x x x =+,∴2222()()log ||log ||()f x x x x x f x -=-+-=+= ∴函数f （x ）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，若2(log )(1)f m f >，则有|log 2m |>1，即log 2m <﹣1或log 2m>1， 解可得102m <<或m >2，即m 的取值范围为1(0,)(2,)2+∞； 故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于m 的不等式，属于基础题． 13．12. 【分析】由分段函数知12f =，从而再求(f f ＝f （12）． 【详解】∵12f ==，∴(f f ＝f （12）＝124-＝12； 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了分段函数的简单应用，将自变量的取值代入相应的那一段求值是关键，属于基础题．14．1(,1]2.【分析】由函数的解析式利用偶次根式被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式，解得x 的范围，可得函数的定义域．【详解】由函数的解析式可得2x ﹣1＞0，且()0.5log 210x -≥，即0211x <-≤ 解得112x <≤，故函数的定义域为1(,1]2， 故答案为1(,1]2． 【点睛】本题主要考查求对数函数型的定义域，属于基础题．15．0.【分析】根据条件建立方程关系进行求解即可．【详解】())1f x x =+，∵f （a ）＝2，∴())12f a a =+=则)1a =，∴())11)1110f a a a -=+=+=-+=-+=故答案为：0．【点睛】 本题主要考查函数值的计算，根据对数函数的运算法则是解决本题的关键．16．9.【分析】正数a ，b 满足4a +b ＝ab ，即41b a +=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵正数a ，b 满足4a +b ＝ab ，即41b a+=1．则a +b ＝（a +b ）41b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭54a b b a ++≥=9，当且仅当b ＝2a ＝6时取等号． ∴a +b 的最小值为9．故答案为9．【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17．2-.【分析】先利用指数幂的运算性质化简所求，再将a b ，代入利用换底公式化简即可.【详解】原式=212113133333222211222a b a b a b ab -+---+⎛⎫⎛⎫÷-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将,a b 的值代入上式得原式3111lg21lg22lg3log2921222lg32lg3lg22ab=-=-⨯⨯=-⨯=-⨯⨯=-【点睛】本题考查了分数指数幂的运算性质及对数运算，换底公式的应用，考查了计算能力，属于简单题.18．（Ⅰ）()g x为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）3()3xf x x-=-+.【分析】（Ⅰ）根据函数3()(),f xg x x x=+∈R为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），即可判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）由0x<时，()3xg x=，结合奇函数，求出x>0时的解析式，即可求函数f（x）的解析式．【详解】（Ⅰ）由3()(),f xg x x x=+∈R得3()(),g x f x x x=-∈R.又()f x为奇函数，333()()()()[()]()g x f x x f x x f x x g x∴-=---=-+=--=-，()g x∴为奇函数.（Ⅱ）当0x<时，()3xg x=，3()3xf x x=+当0x>时，0x-<，33()3()3x xf x x x---=+-=-又()f x为奇函数，3()()3xf x f x x-∴=--=-+所以当0x>时，3()3xf x x-=-+.【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（Ⅰ）图象见解析，单调递减区间是[1,0](0,1)-、；（Ⅱ）11,0),1).22-（（【解析】【分析】（Ⅰ）分两段画图；对照图象直接写递减区间;（Ⅱ）根据图象交点回答．【详解】（Ⅰ）该函数的图象如图所示：其单调递减区间为[1,0](0,1).-、（Ⅱ）由图象可知 202m m <-<1 即102112m m m ⎧⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或 0122m m ∴-<<<<11或 故实数m 的取值范围是11,0),1).22-（（ 【点睛】本题考查了分段函数图象及应用，考查了一元二次不等式的解法，属中档题．20．（Ⅰ）{}()|23U x x A B =≤<（Ⅱ）2a ≤.【分析】（Ⅰ）把a ＝3代入B 确定出B ，利用对数函数的定义域求出A 及∁U A ，再求（∁U A ）∩B 即可；（Ⅱ）由A 与B 的并集为A ，得到B 为A 的子集，按a 与1的大小关系进行分类，得到符合条件的a 的范围即可．【详解】（Ⅰ）{}|2A x x =<，{}|2U x x A ∴=≥若3a =，则{}{}2|430|13B x x x x x =-+<=<< {}()|23U A x B x =∴≤<（Ⅱ）A B A =,B A ∴⊆，{}|(1)()0B x x x a =--<，方程(1)()0x x a --=的根为1,a①当1a >时， {}|1B x x a =<<， B A ⊆ 12a ∴<≤②当1a =时， B =∅，符合B A ⊆， 1a③当1a <时， {}|1B x a x =<<，符合B A ⊆， 1a ∴<综上，实数a 的取值范围是2a ≤.【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（1）**360,(120,)120,(2130,).x x x N P x x N ⎧+≤≤∈=⎨≤≤∈⎩； （2）9月份第10天的日销售金额最大，最大为3675元.【分析】（1）设前20天每件售价P （元）与时间x （天，x ∈N +）的解析式为P ＝kx +b ，由条件列出方程，解方程可得k ，b ，进而运用分段函数的解析式可得所求；（2）运用分段函数的形式写出9月份日销售金额的解析式，再由二次函数和一次函数的性质，即可得到所求最大值．【详解】（1）设前20天每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为(0)P kx b k =+≠.由题意得 631090,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得 3,60.k b ==故该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为**360,(120,)120,(2130,).x x x N P x x N ⎧+≤≤∈=⎨≤≤∈⎩（2）设9月份日销售金额为y 元，则有**(360)(50),(120,)120(50),(2130,).x x x x N y x x x N ⎧+-+≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩ ①当120x ≤≤时，(360)(50)y x x =+-+的对称轴为15x =.(360)(50)y x x ∴=+-+在[1,15]上为增函数，在[15,20]上为减函数.∴当15x =时，max 3675.y =②当2130x ≤≤时，120(50)y x =-+为减函数.∴当21x =时，max 3480.y =综上所述，9月份第10天的日销售金额最大，最大为3675元.【点睛】本题考查分段函数的应用题的解法，注意运用方程的思想和二次函数和一次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）()f x 在R 上为增函数；（Ⅱ）1a =时,()f x 是R 上的奇函数，证明见解析；（Ⅲ）(,3]-∞.【分析】（Ⅰ）直接由函数单调性的定义加以证明；（Ⅱ）由奇函数的性质得f （0）＝0，求得a 的值，然后利用奇函数的定义证明a ＝1时函数f （x ）为奇函数．（Ⅲ）由题意将m 进行参数分离，得到(1)1x x x e e m e ⋅+≤-，利用换元法求得不等式右边的最小值即可.【详解】（Ⅰ）任取12,x x R ∈，且12x x <，则121221*********()()()()()1111(1)(1)x x x x x x x x e e f x f x a a e e e e e e --=---=-=++++++ 1212x x x x e e <∴<，，即120x x e e -<又110x e +>，210x e +>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <()f x ∴在R 上为增函数（Ⅱ）假设存在实数a ，使函数()f x 为奇函数,x ∈R ,2(0)011f a ∴=-=+，即1a =. 21()1=11x x x e f x e e -∴=-++ 11()=()11x xx x e e f x f x e e----∴-==-++ 1a 时,()f x 是R 上的奇函数.（Ⅲ）()x mf x e ≤即11x x x e m e e -⋅≤+恒成立， ∵(0,)x ∈+∞，∴e 1x >，即10.x e -> ∴(1)1x x x e e m e ⋅+≤-（0x >）恒成立， 设1xt e =-（0t >），则2(1)(2)3223t t t t m t t t t +⋅+++≤==++2333t t ++≥=当且仅当2t t=，即t =时等号成立.2t3∴++的最小值为3∴3m≤-∞.即实数m的取值范围为(,3]【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性及不等式的恒成立问题，是中档题．。