关于网络流量自相似特性的研究

条件3-对X进行堆叠，堆叠产生的时间序列为
X(m)＝(Xk(m)：k＝1,2,3 …)，其中
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Xk(m)
＝1/m(Xkm-m+1＋
…＋Xkm)，k＝1,
2,
3,
…
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自相似的数学描述
自相似(Exactly second order) self-similar
X(m)的自相关函数r(m)满足：r(m)(k)＝r(k)，对所 有m＝1, 2, … (k＝1, 2, 3, …)
时间尺度—几十毫秒、秒、分钟、小时
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自相似的数学描述
数学定义
假设前提—平稳随机过程，即统计特性（均 值、方差、相关等）不随时间推移而变化。 一阶平稳（均值为常数），二阶平稳（均值 和方差为常数，任意两时间点之间的协方差 只取决于时间间隔，又称之为广义平稳）
关于网络流量自相似特性的研究
马皓 北大网络实验室
2002年10月31日
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提纲
问题提出 自相似的数学描述 产生自相似的原因 自相似对网络性能的影响 国内相关工作 可能的研究方向
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问题提出
研究起源
Will Leland, Murad Taqqu, Walter Willinger, and Daniel Wilson, On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic (Extended Version), IEEE/ACM Transactions on Networking, February 1994.(Bellcore 510 citations)
J. Beran, R. Sherman, M. S. Taqqu, and W. Willinger, "Long-Range Dependence in Variable-Bit-Rate Video Traffic", IEEE Transactions on Communications, February/March/April, 1995. (193 citations)
时间t与过去时间t-s，若s足够大，则t与t-s时的业务量 是不相关的，即仅考虑s较小时业务到达间的相关性， 称之为短时相关Short Range Dependence—SRD模型
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自相似的数学描述
网络流量模型
时间序列，表示每单位时间到达的字节数或 数据包数量
自相似的物理描述
网络流量在很宽的时间尺度内存在突发现象， “Burst”
自相关函Xt+k－μ)]/E[(Xt－μ)2]
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自相似的数学描述
自相似
条件1—针对一个平稳随机过程
X＝(Xt: t＝0,1,2,3…)
条件2—其自相关函数满足r(k) ～ k－βL1(k)，当 k→∞，其中0＜β＜1，L1是慢变函数，即对所 有 x ＞ 0 ， limt→∞L1(tx)/L1(t) ＝ 1 （ 常 见 的 慢 变 函 数，如L1(t)＝常数，L1(t)＝㏒(t)）
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问题提出
意义
开拓了全新的研究领域，经典的理论分析依据（如泊 松过程和马尔可夫模型），不在适合网络流量的分析 和建模。
“…..the (r)evolution of the Internet is impacting the world of mathematics in the small as well as in the large -- both on how mathematics is done, and, for understanding the network itself, on what sort of mathematics is done --- and why this, in turn, makes Internet engineering a gold mine for new, exciting and challenging research opportunities in the mathematical sciences.” by Walter Willinger and Vern Paxson in “Where Mathematics meets the Internet”
渐进自相似(Asymptotically second order) self-
similar
X(m)的自相关函数r(m)满足： r(m)(1)→21－β－1，当m→∞ r(m)(k)→1/2δ2(k2－β)，当m→∞ (k＝2, 3, …)
δ2 表 示 一 个 算 子 符 ， 其 作 用 于 函 数 f(k) 表 示
2021/3/7 “Goodbye Poisson” & “Hello Fractal” !
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问题提出
什么是自相似？ 为什么研究自相似？ 产生自相似的原因？
泊松过程—随机变量(单位时间呼叫到达的次数)是独 立的、且服从相似分布，即
P[Xk＝n]＝e－λ△t(λ△t)n/n! (n≥0)
马尔可夫模型—对过去具有有限记忆，即在已经知道 “现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”
δ2(f(k))＝f(k＋1)－2f(k)＋f(k－1)
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自相似的数学描述
自相似参数H
H＝1－β/2 r(k)～k－(2-2H)L1(k)，当k→∞
渐进自相似(asymptotically self-similar)
r(k)＝1/2[(k＋1)2H－2k2H＋(k－1)2H]
Vern Paxson, Sally Floyd, Wide-Area Traffic: The Failure of Poisson Modeling, IEEE/ACM Transactions on Networking,3(3), June 1995. (Lawrence Berkeley Lab. 408 citations, FTP & Telnet)