二节初等函数与多元函数PPT课件
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第二节多元函数
z
M(x, y, z)
{(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形 这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形 该几何图形通常是一张曲面. 该几何图形通常是一张曲面 正是这曲面在Oxy 而定义域 D 正是这曲面在 平面上的投影. 平面上的投影
(x, y)
2
2
2
y→0
y→0
xy2 例 求极限 ( x, ylim0,0) 2 2 ; )→( x +y xy 1 2 2 ) 解 由x + y ≥ 2 xy 知 2 2 ≤ (有界量 x +y 2
xy2 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 lim 2 2 = 0 x→0 x + y y→0
lim arcsin x2 + y2 (2) lim xy +1 1. 例 求极限(1) x→0 x→0 xy 1 y→0
0.00 -0.72 -0.92 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.72 0.92 0.00 -0.60 0.60 0.00
处的极限不存在. 函数 f (x, y)在 (0,0)处的极限不存在
x2 y2 例 证明函数 f (x, y) = 2 在 (0,0)处的极限不 2 x +y 存在.
y→0
2.二元函数的连续性 定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域内 有定义, 若 在点P0(x0, y0)处连续. 定义 若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时,函数随之取得增量△z,即
x→x0 , y→y0
lim
f (x, y) = f (x0, y0 ), 则称函数 f (x, y)
M(x, y, z)
{(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形 这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形 该几何图形通常是一张曲面. 该几何图形通常是一张曲面 正是这曲面在Oxy 而定义域 D 正是这曲面在 平面上的投影. 平面上的投影
(x, y)
2
2
2
y→0
y→0
xy2 例 求极限 ( x, ylim0,0) 2 2 ; )→( x +y xy 1 2 2 ) 解 由x + y ≥ 2 xy 知 2 2 ≤ (有界量 x +y 2
xy2 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 lim 2 2 = 0 x→0 x + y y→0
lim arcsin x2 + y2 (2) lim xy +1 1. 例 求极限(1) x→0 x→0 xy 1 y→0
0.00 -0.72 -0.92 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.72 0.92 0.00 -0.60 0.60 0.00
处的极限不存在. 函数 f (x, y)在 (0,0)处的极限不存在
x2 y2 例 证明函数 f (x, y) = 2 在 (0,0)处的极限不 2 x +y 存在.
y→0
2.二元函数的连续性 定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域内 有定义, 若 在点P0(x0, y0)处连续. 定义 若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时,函数随之取得增量△z,即
x→x0 , y→y0
lim
f (x, y) = f (x0, y0 ), 则称函数 f (x, y)
高等数学初等函数ppt课件
无限地接近,向右与x轴无限地接近.
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
《高数教学课件》第二节多元函数的基本概念
04
多元函数的极值与最值
Part
定义
设$D$是平面或空间的一个区域，$f(x,y)$是定义在$D$上的二元函数。如果对于点$P_0(x_0,y_0)$的某个邻域内的所有点$(x,y)$都有$f(x,y) leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$取得极大值（或极小值）。
偏导数的定义
偏导数描述了函数在某一点处沿某一方向的变化率，具有连续性、可加性和可微性等性质。
偏导数的性质
在二维空间中，偏导数可以解释为函数图像在该点的切线的斜率；在三维空间中，偏导数可以解释为函数图像在该点的切面的法线斜率。
偏导数的几何意义
偏导数的概念与性质
全微分的定义
如果一个多元函数在某点的各个方向的偏导数都存在，并且存在一个与这些偏导数相对应的线性组合，使得该线性组合在任意点都等于该点的函数值，则称该线性组合为该函数在该点的全微分。
求解方法
通过极值定理，将多维问题转化为多个一维问题求解。
应用
在解决实际问题时，常常需要找到函数在某个区域上的最大值或最小值，以便了解该问题的最优解或最劣解。
01
02
03
多元函数的最值
联系
最值和极值都是函数在某个点或区域的取值特性，它们都反映了函数在某个特定点或区域附近的取值情况。极值是局部的概念，而最值是全局的概念。在某些情况下，极值点可能就是最值点，但最值点不一定都是极值点。
判定方法
一阶条件（偏导数等于零的点）、二阶条件（海森矩阵的判别式小于零的点）。
应用
解决实际问题时，常常需要找到函数的极值点，因为这些点往往对应着最优解或最劣解。
多元函数的极值
多元函数的极值与最值
Part
定义
设$D$是平面或空间的一个区域，$f(x,y)$是定义在$D$上的二元函数。如果对于点$P_0(x_0,y_0)$的某个邻域内的所有点$(x,y)$都有$f(x,y) leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$取得极大值（或极小值）。
偏导数的定义
偏导数描述了函数在某一点处沿某一方向的变化率，具有连续性、可加性和可微性等性质。
偏导数的性质
在二维空间中，偏导数可以解释为函数图像在该点的切线的斜率；在三维空间中，偏导数可以解释为函数图像在该点的切面的法线斜率。
偏导数的几何意义
偏导数的概念与性质
全微分的定义
如果一个多元函数在某点的各个方向的偏导数都存在，并且存在一个与这些偏导数相对应的线性组合，使得该线性组合在任意点都等于该点的函数值，则称该线性组合为该函数在该点的全微分。
求解方法
通过极值定理，将多维问题转化为多个一维问题求解。
应用
在解决实际问题时，常常需要找到函数在某个区域上的最大值或最小值，以便了解该问题的最优解或最劣解。
01
02
03
多元函数的最值
联系
最值和极值都是函数在某个点或区域的取值特性，它们都反映了函数在某个特定点或区域附近的取值情况。极值是局部的概念，而最值是全局的概念。在某些情况下，极值点可能就是最值点，但最值点不一定都是极值点。
判定方法
一阶条件（偏导数等于零的点）、二阶条件（海森矩阵的判别式小于零的点）。
应用
解决实际问题时，常常需要找到函数的极值点，因为这些点往往对应着最优解或最劣解。
多元函数的极值
多元函数的基本概念课件
曲线积分的计算公式为：∫L f(x,y,z) ds， 其中L是积分曲线。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数的概念ppt课件
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，
即 AP K
对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如，
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
当P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
三、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
利用点函数的形式有n元函数的极限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数f (P )
课件(PPT版)2.3_初等函数
六、反双曲函数
定义 反双曲正弦函数 Arsh z Ln (z z2 1 );
P 44
反双曲余弦函数 Arch z Ln (z z2 1 );
反双曲正切函数 Arth z 1 Ln 1 z ; 2 1 z
反双曲余切函数 Arcoth z 1 Ln z 1 . 2 z1
i Lni
i ( i2kπi)
2
( 2kπ)
2
,
(k 0, 1, 2,) .
可见，i i是正实数，它的主值是
e
2
.
例 求 1 2 的值。
解 1 2 e 2 Ln1 e 2[0i(02k )] e2 2kπi
cos (2 2 kπ) i sin (2 2 kπ) , (k 0, 1, 2,).
(w)
一、指数函数
性质 (7) 映射关系： 由 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y , 有
|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
(k 0, 1, 2,)
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
How beautiful the sea is!
u ln r ln| z|,
v
Arg z .
由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。
即 w Ln z ln| z | i Arg z
ln| z | i arg z 2kπi , (k 0, 1, 2,).
其中，m 与 n 为互质的整数，且 n 1.
此时，za 除原点与负实轴外处处解析， 且 (za ) a za 1.
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
上一页 下一页 返 回
• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
第二节初等函数-
ycoxt
正割函数 ysexc
ysexc
余割函数 ycsxc
ycsxc
5、反三角函数
反正弦 y函 ar数 cxsin
yarcsxin
反余弦y函 ar数 ccxos
yarcxcos
反正切y函 ar数 ctxan
yarctxan
反余切y 函 arc数 coxt
yarccoxt
练习题答案
一 、 1、 基 本 初 等 函 数 ； 2、 [e,e 3 ]；
3 、 y e ； x 2
4 、 y sin u , u ln v , v 2 x ；
5 、 [ - 1 , 1 ] , [ 2 k , 2 k ] , [ a ,1 a ],
[
a
,1
a] 0 a a1 2
1 2
.
1, x 0
三、
f [ g ( x )]
0,
x
0
；
1 , x 0
e, x 1
g[
f ( x )]
1,
x
1
.
1
,
x
1
e
0 x20 四 、 y 0.2x,2 0x50
1 00.3(x5)0x , 50
练习 题
1、幂函数，指数对函数数函，数，三角函数
反三角函数_统 __称 ___.___
2、函 f(x)的 数定[义 1， 3]， 域则 为 f(函 lx n ) 数 的定_义 __域 _._为 _____
3、由y函 eu， 数 ux2复合而成 __ 的 _._ 函 __ 数
正割函数 ysexc
ysexc
余割函数 ycsxc
ycsxc
5、反三角函数
反正弦 y函 ar数 cxsin
yarcsxin
反余弦y函 ar数 ccxos
yarcxcos
反正切y函 ar数 ctxan
yarctxan
反余切y 函 arc数 coxt
yarccoxt
练习题答案
一 、 1、 基 本 初 等 函 数 ； 2、 [e,e 3 ]；
3 、 y e ； x 2
4 、 y sin u , u ln v , v 2 x ；
5 、 [ - 1 , 1 ] , [ 2 k , 2 k ] , [ a ,1 a ],
[
a
,1
a] 0 a a1 2
1 2
.
1, x 0
三、
f [ g ( x )]
0,
x
0
；
1 , x 0
e, x 1
g[
f ( x )]
1,
x
1
.
1
,
x
1
e
0 x20 四 、 y 0.2x,2 0x50
1 00.3(x5)0x , 50
练习 题
1、幂函数，指数对函数数函，数，三角函数
反三角函数_统 __称 ___.___
2、函 f(x)的 数定[义 1， 3]， 域则 为 f(函 lx n ) 数 的定_义 __域 _._为 _____
3、由y函 eu， 数 ux2复合而成 __ 的 _._ 函 __ 数
高数第二节多元函数的基本概念精品PPT课件
x0
y0
xy 0 xy 0
证：
f (x, y) 0
x sin
1 y
y sin
1 x
要证
x y 2 x2 y2 ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
f (x, y) 0 2 x2 y2 2δ ε
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
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解: 要使函数 f (x, y) 4 x2 y2 有意义， y
对于点 (x, y) 必须满足
4 x2 y2 0
于是所求定义域为
0 2x
D {(x, y) | x2 y2 4}.
在xOy平面上D表示圆周 x2 y2以 及4 圆周内的全部点的 平面集合。
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如果存在
lim f (P) f (P0 )
P P0
则称 n 元函数 f (P) 在点P0 连续, 否则称为不连续, 此时 P0 称为间断点 .
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
连续.
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例如, 函数
f
(
x,
y)
x
xy 2y
2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0 ,δ ) , 都有 f (P) - A ε ,则称 A 为函数
f (P)当P P0 时的极限，记作 lim f (P) A (也称为 n 重极限)
P P0
当 n =2 时, 记 PP0 (x x0 )2 ( y y0 )2
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3 ≤ y ≤ 3 ,
所以函数的定义域 D 是以 x = ± 2 , y = ± 3 为边界的矩 形闭区域.
2021/3/7
y 3
2
O
2x
3
17
(2) 因为要使函数
z 4x2y2
1
y
x2y21
11
三、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 定义 1 设有三个变量 x , y 和 z , 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时. 变量 z 按 照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则 称 z 是 x , y 的二元函数， 记为
zf(x,y),
2021/3/7
12
其中 x, y 称为自变量， z 称为因变量．自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 .
问题转化为求 y = f (x) = (x 1)2 与 j (x) = 2x 1 的 复合函数 f [j (x)] , 因此
f( 2 x 1 ) [2 x ( 1 ) 1 ] 2 4 (x 1 ) 2 .
2021/3/7
6
例 4 指 y 出 (3 x 5 )1,0 ylo a(g sx i 2 n x) 是由哪些函数复合而成的.
这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的
复合函数, 记为
yF[j(x)],
其中变量 u 称为中间变量.
2021/3/7
3
例 1 试求函 yu数 2与ucoxs构成的 合函 . 数
解 将ucoxs代入 yu2中即， 为所求的复 合函数
yco2sx,
其定义域为 (, ) .
反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ；
等五类函数统称为基本初等函数 .
2021/3/7
2
2.复合函数
若函数 y = F(u), 定义域为 U1 , 函数 u = j (x) 的值
域为 U2, 其U 中 2U1,则 y 通过变量 u 成为 x 的函数,
2021/3/7
4
例 2 设f(x) 1 , j(x) sinx,
1x
f[j(x)j ][,f(x)].
求
解 1 求 f [j (x)] 时, 应将 f (x) 中的 x 视为j (x),
因此
f[j(x)] 1
1 sinx
j j 2 求 [f(x )时 ],应 (x ) 将 中 x 视 的 f(x ) 为 ,
第二模块 函数、极限、连续
第二节 初等函数与多元函数
一、初等函数 二、建立函数关系举例 三、多元函数的概念
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一、初等函数
1.基本初等函数
幂函数 y xa(a为任意实);数 指数函数 yax(a0, 且a1);
对数函数 三角函数
yloga x (a0,且a1);
y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ；
y B
y=x
O
x1
y=2x
C 2x
解 设阴影部分的面积为 A ，当 x [0, 1) 时，
A 1 x2.
2
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y
当 x ∈ [1, 2] 时，
B
A11(2x)2.
y=x
2
所以
O
y = 2x
C
1x
2x
A
1 2
x2
, x [0, 1)，
2 x
1 2
x2
1,
x
[1,
2]
.
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解 y(3x5)1是 0 y由 u10和 u3x5复合 而成 . 的
y loag(sixn2x) 是y由 u,uloav g , vsix n 2x复 合.而 成 的
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3.初等函数
由基本初等函数及常数 经过有限次四则运算和 有限次复合构成,并且可以用一个数学式子表示的 函数, 叫做初等函数.例如
yln 5x3xsi2x n ， y32xta3x n x2sixn 2x
等等, 都是初等函数 .
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二、建立函数关系举例
例 5 设有一块边
x
长为 a 的正方形薄板， 将它的四角剪去边
x
长相等的小正方形
制作一只无盖盒子，
a 2x
试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数.
解 设剪去的小正方形的边长为 x, 盒子的体积为V.
则盒子的底面积为 (a 2x)2 ，高为 x， 因此所求的函
数关系为
Vx(a2x)2,x0,a. 2
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例 6 由直线 y = x， y = 2 x 及 x 轴所围的等 腰三角形 OBC ，在 底 边 上任取一点 x [0, 2]. 过 x 作垂直 x 轴的直线， 将图上阴影部分的面积表 示成 x 的函数 .
二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为
z , z xx0 yy0
(x0,y0)
或 f(x0,y0).
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例 7 设zsinx()y 1y2, 求 z ( ,1) 2
解
z( 2,1 ） si 2 n 1 ) ( 1 1 2 1 2 ,
类似地，可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 以及 n 元函数 u = f (x1 , x2 , ···, xn)，多于一个自变量的函 数统称为多元函数.
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2. 二元函数的定义域
二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线 所围成的区域，用 D 表示. 围成区域的曲线称为 区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 连 同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以 被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内， 则称此区域为有界区域.
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例 8 求下列函数的定义域 D，并画出 D 的图形：
(1)za rc sxina rc sy;in
2
3
(2)z 4x2y2 1 . x2y21
解 (1因 ) 为要z 使 ar函 cxsi数 a nrcysin
2
3
有意 , 应义 有
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x
2 ≤ 1 ,
y ≤1,
3
即
2≤ x≤ 2,
因此
j[f(x)] sin 1 .
1x
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例 3 设f(x1)x2, 求f(2x1). 解 方法一 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2, 再将 u = 2x 1 代入, 即得复合函数
f(2x1)[(2x1)1]2 4(x1)2.
方法二 因为 f (x 1) = x2 = [(x 1) + 1]2, 于 是