草原生态系统建模问题

草原生态系统建模问题
一．问题重述
草原生态系统由黄羊，草，狼组成。

黄羊吃草，黄羊的过度繁殖会导致草场退化；草场面积过小也会抑制羊群的繁殖。

狼吃黄羊，直接影响黄羊的种群数量，也间接地影响草场的生长；而当羊群种群数量太小时，狼群总体的繁殖率也会下降。

草场，黄羊，狼群之间相互作用，共同维持草原生态系统的稳定。

现需要根据草场，黄羊，狼群之间满足的一系列条件建立草原“草场--黄羊--狼”的生态模型，并研究此生态系统的稳定性。

二．模型的假设及约定
（一）草场基本假定
1.草场总面积1000平方公里。

2.每平方公里在供养50只以下黄羊情况下，草场不退化，
且以每年百分之0.08的速度恢复。

3.当黄羊数量平均每平方公里超过50只时，草场面积减小
率与黄羊超过50只的数量成正比，比例系数0.0001 。

4.草场恢复到1000平方公里后不再增加(容量封顶)。

（二）黄羊种群基本假定
1.当前黄羊种群数量60000只
2.草场充足,没有狼群情况下，黄羊群净增长率0.1
3.草场不充足会导致种群繁殖率下降，下降率与每平方公里平均黄羊数量减50长比例，比例系数为0.07
4.狼群存在会减少黄羊的数量
5.草场完全退化后，黄羊次年灭绝
（三）狼群基本假定
1.当前狼群种数50只。

2.黄羊种群数量与狼种群数量之比超过300:1时，狼群净增长率0.01。

3.羊与狼的数量之比低于300:1时，会导致狼群繁殖率下降，下降与狼群总量与黄羊总量值比成比例，比例系数为α。

4.每只狼平均每年吃掉20只黄羊。

5.黄羊灭绝次年，狼群灭绝。

三．研究问题
1.建模并分析α=5时，200年后生态系统的状态；
2.回答这种情况下生态系统的最终状态；
3. [1,10]之间，讨论它的变化对生态系统的影响。

四．模型的建立
1.草场建模
X (1)=1000
X (n +1)={
min⁡{1000,1.008X （n ）},Y(n)X(n)<50max⁡{0,[1−0.0001(Y (n )X (n )−50)]X(n)},Y(n)X(n)≥50
2.黄羊建模
Y(n)=60000
Y(n +1){ ⁡⁡⁡⁡max {1.1Y (n )−20Z (n ),0}⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Y(n)X(n)<50max⁡{[1.1−0.07(Y (n )X (n )−50)]Y (n ),0}0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡X (n )=0
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Y(n)X(n)≥50⁡
3.狼群建模
Z （1）=50
Y(n +1){ 1.1Z(n)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
Y(n)Z(n)>300[1.1−αZ(n)Y(n)]⁡⁡⁡0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Y (n )=0
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Y(n)Z(n)⋞300⁡
五．模型求解
（一）利用matlab 编程进行求解a=5时生态系统的变化，并画出随着年份的增加草场，黄羊和狼的种群数量的变化，得到结果如下：
1.草场的变化结果：
2.黄羊的变化结果
3.狼群的变化结果：
从表中可以看出，200年后生态系统草场维持在999.9到1000亩之间，黄羊数量约为50000头，狼群数量约为165头，整个生态系统良好。

如果没有人为或者重大自然灾害的干预，最终生态系统应处于动态平衡状态。

（二）为分析α∋[1,10]之间的变化对生态系统的影响，取α为奇数（α=1,3,5,7,9）时生态系统的变化作为对比进行
分析。

（α=5时的图见（一）中）
1.当α=1时
2.当α=3时
3.当α=7时
4.当α=9时
由以上可知，惩罚因子α越大时，生态系统越稳定，波动越小。

这告诉我们，在现实生活建模中，脆弱的生态系统
如沙漠系统建模时就应该选择较小的α，而稳定的生态系统就应该选择较大的α。

这样才能减小建模的偏差，实现较好的预测效果。