2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题(解析版)

2020届金太阳高三4月联考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合{

}

2

230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个

【答案】C

【解析】解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】

由{}{}

{}2

230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元

素，

因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 【点睛】

本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题．

2．已知i 是虚数单位，则化简2020

11i i +⎛⎫ ⎪

-⎝⎭

的结果为（ ）

A ．i

B ．i -

C ．1-

D ．1

【答案】D 【解析】计算出11i

i i

+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 【详解】

()()()2

1121112i i

i i i i i ++===--+Q ，又41i =，()

2020

505

20204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭

.

故选：D. 【点睛】

本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()n

i n N *

∈的周期性的应用，

考查计算能力，属于基础题.

3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）

A ．4500元

B ．5000元

C ．5500元

D ．6000元

【答案】B

【解析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果. 【详解】

刚退休时就医费用为400015%600⨯=元，现在的就医费用为600100500-=元，占退休金的10%，

因此，目前该教师的月退休金为500

50000.1

=元. 故选：B ． 【点睛】

本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属简单题．

4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27

B ．

37

C ．

17

D ．

314

【答案】B

【解析】分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】

①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；

②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2

510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2

510C =种方法．

所以满足条件的概率为254833

7

C C =，

故选：B ． 【点睛】

本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．

5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F

和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM

等于（ ）

A ．1:2

B ．1:3

C ．1:4

D

．【答案】C

【解析】求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM

的值.

【详解】

抛物线的焦点为()1,0F

，所以31

FM k =

=-

由)

241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213

x =，2121113214323

p

x FN MN x x p ++

∴===++++，

故选：C ． 【点睛】

本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ） A

．

10

B

．

20

C

．

20

D

．

10

【答案】C

【解析】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值.

【详解】

设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，连接EF ， 以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：

则点()1,0,0A -、()

3,0B

、()1,0,1D 、()0,0,0E 、()

13,2B ，

()1,0,1ED =u u u r

，(

)13,2EB =u u u r ，()

3,0AB =u u u r ，

设平面1B DE 的法向量为(),,n x y z =r

，

由100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得0320x z z +=⎧⎪+=，取3z =3x =2y =，3,2,3n ∴=-r

，

设直线AB 与平面1B DE 所成角为θ，

则33330

sin cos ,210AB n AB n AB n θ⋅=<>===⨯⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，则

2130

cos 1sin θθ=-=

故选：C. 【点睛】

本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．