2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷(有答案解析)

2020 年上海市浦东新区高考数学三模试卷
题号 一
二
三
总分
得分
、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0分）
的图象，关于函数 g （ x ），下列说法正确的是
定义：在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），则 d （P ，Q ）=|x 1-x 2|+|y 1-y 2| 叫做 P 、Q 两点的“垂直距离”，已知点 ax+by+c=0 上一动点，则 M 、N 两点的
7. 抛物线 y=2x 2
的准线方程为 _ ．
8. 若圆柱的高为 π，体积为 π2，则其侧面展开图的周长为
9. 三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，则 x= ________
1. 设 x> 0，则“ a=1”是“
恒成立”的
）条件
A. 充分不必
要 C. B . 必要不充分 既不充分也不必要
2.
已知函数 ，把函数 f （ x ）
的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g （x ）
3. A.
B. C.
D.
在 [ ， ]上是增函数 其图象关于直线 x=- 对称
函数 g （ x ）是奇函数 当 x ∈[0， ]时，函数 g （ x ）的值域是 [-1， 2] 时，
若关于 的方
6 个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
M
（x
0，y 0）是直线 ax+by+c=0外一定点，点 N 是直线 垂直距离”的最小值为（ ）
5. 6. A. B. 12小题，共 36.0
分） C. 、填空题（本大题共 已知集合 A={x|x 2+4x+3≥0，} B={ x|2x <1} ，
则 A ∩B=
设复数 ，其中 i 为虚数单位，则 Imz = D. |ax 0+by 0+c|
4.
已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当
10.现有 10个数，它们能构成一个以 1 为首项， -3 为公比的等比数列，若从这 10个数中随机抽取
一个数，则它小于 8 的概率是_
11.在展开式中， x4项的系数为____________ （结果用数值表示）
12.设无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，则公比 q的取值
范围是____
13.已知平面上的线段 1及点 P，任取 1上的一点 Q，线段 PQ长度的最小值称为点 P 到线段 1的距
离，记为 d（P，l）．设 A（-3，1），B（0，1），C（-3，-1），D（2，-1）， L1=AB，L2=CD，
若 P（ x， y）满足 d（P，L1）=d（P，L2），则 y 关于 x的函数解析式为圆 O 的半径为 1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为 1的正方形（实
14.
线所示，正方形的顶点 A与点 P重合）沿圆周逆时针滚动，点 A
第一次回到点 P的位置，则点 A 走过的路径的长度为．
15.已知数列 {a n}满足：a1=a<0，，n∈N*，数列{ a n}有最大值 M 和最小值m，
则的取值范围为___
16.凸四边形就是没有角度数大于 180 °的四边形，把四边形的任何
一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样
的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中， AB=1，
，
AC⊥CD ，
AC=CD ，当∠ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0分）
17.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC 侧面 PAB⊥底面
ABCD， PA=AD=AB=2，BC=4．
（ 1）若 PB 中点为 E．求证： AE∥平面 PCD ；
（ 2）若∠PAB=60°，求直线 BD与平面 PCD 所成角的正弦值．
18.上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行 3千米， 3千米以后按每千米按
2.5元计价，
可再行 12千米，以后每千米都按 3.8 元计价，假如忽略因交通拥挤而等待的时间．（ 1）请建立车费 y（元）和行车里程 x（千米）之间的函数关系式；
（ 2）注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长 8.91千米）须付车费 31 元，走路线二（路线二总长 8.71千米）也须付车费 31元，将上述函数解析式进行修正（符号 [x]表示不大于 x的最大整数，符号 { x}表示不小于 x的最小整数），并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62 千米）
19.函数 f（ x） =mx|x-a|-|x|+1
（ 1）若 m=1，a=0，试讨论函数 f（ x）的单调性；（ 2）若 a=1 ，试讨论 f（ x）的零点的个数．
20.曲线（a>b>0）的左右焦点分别为 F1（-1，0）、 F2（1，0），短轴长为，点
在曲线Γ上，点 Q在直线 l：x=-4 上，且 PF1⊥QF1．
（ 1）求曲线Γ的标准方程；
（ 2）试通过计算判断直线 PQ 与曲线Γ公共点的个数．
（3）若点A（x1，y1）、 B（ x2， y2）在都以线段 F1F2为直径的圆上，且，试求 x2 的取值范围．
21.已知数列 { a n}满足，n∈N*，且 0<a1<1．
（ 1）求证： 0< a n< 1；
（ 2）令 b n=lg（1-a n），且，试求无穷数列的所有项和；
3）求证：n∈N*，当 n≥2时，
1. 答案： A 解析： 解： ∵x> 0，若 a ≥1，则 x+ ≥2 ≥2恒成立，
若“ x+ ≥2恒成立，即 x 2
-2x+a ≥0恒成立，
22
设 f （x ）=x 2-2x+a ，则 △=（ -2） 2-4a ≤0，或 ，
解得： a ≥1，
故“ a=1”是“ x+ ≥2“恒成立的充分不必要条件， 故选： A ．
先求命题“对任意的正数 x ，不等式 x+ ≥2成立”的充要条件， 再利用集合法判断两命题间的充分必 要关系
本题考查了命题充要条件的判断方法，求命题充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化 归的思想方法．
2. 答案： D
解析： 解：把函数 f （ x ）=2sin （ 2x+ ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位， + ]=2cos2 x 的图象，
显然，函数 g （ x ）是偶函数，故排除 C ．
当 x ∈[ ， ]， 2x ∈[ ，π，]函数 g （x ）为减函数，故排除 A ．
当 x=- 时， g （ x ）=0，故 g （ x ）的图象不关于直线 x=- 对称，故排除 B ．
当 x ∈[0， ]时， 2x ∈[0， ]， cos2x ∈[- ， 1] ，函数 g （ x ）的值域是 [-1，2]， 故选： D ．
由条件利用函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律求得 g （x ）的解析式， 再利用余弦函数的图象性质， 得出结论．
本题主要考查函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题． 3. 答案： C
解析： 【分析】
本题主要考查分段函数的应用，利用换元法结合函数奇偶性
的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．
根据函数的奇偶性作出函数 f （ x ）的图象，利用换元法判断
答案与解析
得到函数 g （ x ）=2sin[2
（ x+ ）
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函数 t=f（ x）的根的个数，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出函数 f（ x）的图象如图：则 f（ x）在（ -∞， -2）和（ 0， 2）上递增，在（ -2， 0）和（ 2， +∞）上递减，
当 x=±2 时，函数取得极
f（2）=
大值当 x=0 时，取得极
小值 0．
要使关于 x的方程 [f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有 6个不同实数根，设 t= f （ x），则当 t<0，方程 t=f（x），有 0 个根，
当 t=0，方程 t=f（x），有 1 个根，
当 0<t≤1或 t= ，方程 t=f（x），有 2 个根，
当 1<t< ，方程 t=f（x），有 4 个根，
当 t> ，方程 t=f （x），有 0 个根．
则 t2+at+b=0 必有两个根 t1、 t2，
则有两种情况符合题意：
①t1= ，且 t2∈（ 1，），
此时 -a=t1+t2，
则 a∈（ - ， - ）；
②t1∈（0，1] ，t2∈（1，），
此时同理可得 a∈（ - ，-1），
综上可得 a 的范围是（ - ， - ）∪（ - ， -1），故选： C．
4.答案： A 解析：解：∵点M（x0，y0）是直线 ax+by+c=0 外一定点，点 N 是直线ax+by+c=0 上一动点，
∴设 N（ - ， - ），
M、N两点的“垂直距离”为：
| |+|- |
∴M、 N两点的“垂直距离”的最小值为
故选： A ．
此能求出 M 、N 两点的“垂直距离”的最小值． 本题考查考查两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力．
5. 答案： {x|-1≤x< 0，或 x ≤-3} 解析： 解： A={ x|x ≤-3，或 x ≥-1} ，B={ x|x< 0} ； ∴A ∩B={x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 故答案为： {x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 可求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．
6. 答案： 1 解析： 解： ∵ ∴Imz=1． 故答案为： 1．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7.答案：
解析： 解：抛物线的方程可变为 x 2= y 故 p= 其准线方程为 故答案为
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可． 本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 马虎导致错误．
8.答案： 6π 解析： 解：设圆柱的底面半径为 r ，且圆柱的高为 h=π， 则体积为
V=πr 2h=πr 2?π=π2
， r=1，
∴侧面展开图的周长为 2× 2r π+2π =6．π 故答案为： 6π．
设圆柱的底面半径为 r ，利用圆柱的体积求出 r 的值，再计算侧面展开图的周长． 本题考查了圆柱展开图与体积的应用问题，是基础题．
9.答案： 5
解析： 解： ∵三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，
∴（-1）3× =-6+3 x=9， 解得 x=5 ． 故答案为： 5．
由代数余子式的定义得（ -1）3
× =-6+3 x=9 ，由此能求出 x 的值．
本题考查实数值的求法，考查代数余子子的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.答案：
解析： 解：由题意成等比数列的 10个数为： 1，-3，（ -3） 2，（ -3）3⋯（ -3） 9 其中小于 8的项有： 1，-3，（-3）3，（-3）5，（-3）7，（-3）9共 6个数 这 10个数中随机抽
设 N （ - ，- ），则 M 、N 两点的“垂直距离”为： ．由
p=1，因看错方程形式 + - |= + ≤
取一个数，则它小于8 的概率是 P=
故答案为：
先由题意写出成等比数列的 10 个数为，然后找出小于 8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题
11.答案： 180
解析：解：式子表示 10 个因式（ 2+ - ）的乘积，
故有 8 个因式取，其余的 2 个因式取 2，可得含 x4项，故 x4项的系数 ? ?22=180，
故答案为： 180．
式子表示 10个因式（2+ - ）的乘积，其中有 8个因式取，其余的 2个因式取 2，可得
含 x4项，从而得到 x4项的系数．
本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．
12.答案：
解析：解：无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，可
得 >2a1，并且 |q|< 1，
可得，并且 |q|< 1，
故答案
利用数列极值的运算法则化简求解即可．
本题考查数列的极限，数列极限运算法则的应用，考查计算能力．
13.答案：
解析：解：根据题意画出线段 AB 与线段 CD，
∵P（x，y）满足 d（P，L1）=d（P， L2），∴
点P满足到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距
离，当 x≤0时， x 轴上的点到线段 AB 的距
离等于到线段 CD 的距离，故 y=0（ x≤0），
当 0<x≤2时，点 P 到线段 AB的距离即为到点
B 的距离，到点 B的距离等于到直线 CD 的距
离相等的点的轨迹为抛物线，
根据抛物线的定义可知点 B是抛物线的焦点，
准线，则 =1，∴x2=4y，即 y= x2，（ 0< x≤2），当 x>2时，满足到线段 AB的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，在平面内到两定点距离相等的点即为线段 BD 的垂直平分线，
∴点 P的轨迹为 y=x-1（x> 2），
∴y关于 x 的函数解析
式为：
故答案为：
该题就是寻找平面内到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离相等的点的轨迹，当 x≤0时，x轴上的点到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 0<x≤2时，点 P到线段 AB的距离即为到点 B的距离，到点 B 的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，当
x>2 时，满足到线段 AB 的
距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，从而求出 y关于 x的函数解析式．本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题．
解析： 解：由图可知： ∵圆 O 的半径 r=1，正方形 ABCD 的边长 a=1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， ∴当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 设第
i 次滚动，点 A 的路程为 A i ， 则 A 1=
×|AB|= ，A 4=0，
∴点 A 所走过的路径的长度为 3（A 1+A 2+A 3+ A 4） = ． 故答案为： ．
由图可知：圆 O 的半径 r =1，正方形 ABCD 的边长 a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为 ，正 方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 3圈共
12 次，分别算出转 4次的长度，即可得出．
本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想 方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题． 15.答案： [-5 ，-2） 解析： 解：由 a 1=a< 0，
，n ∈N *，
∴a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=a+（3a 2-3a ）+（3a 3-3a 2）+⋯⋯ +（3a n -3a n-1）=3a n -2a ． ∴a 2k =3a 2k -2a>0， a 2k-1=3a 2k-1-2a ． ① -1<a<0时， M=a 2=3a 2-2a ，N=3a-2a=a ． ∴ =
=3a-2 ∈（ -5， -2）．
② a=-1 时， a 2k =5 ，a 2k-1=-3+2=-1 ． M=5，N=-1．
③ a<-1 时，不满足数列 {a n }有最大值 M 和最小值 m 的条件，舍去． ∴ 的取值范围为 [-5 ，-2）． 故答案为： [-5， -2）．
*n
由 a
1=a<0， ，n ∈N *，可得 a
n =a 1+（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+⋯⋯ +（a n -a n-1）
=3a n -2a
．分
3 圈共 12 次，
类讨论 a2k=3a2k-2a> 0， a2k-1=3a2k-1-2a．利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：设∠ABC =α，∠ACB=β，则由余弦定理得， -=24 cos α；
所以BD
2=3+ （ 4-2 cos α）-2 × ××cos（ 90° +）β
=7-2 cos α +2 sin α
=7+2 sin（α-45 °），
所以α=135°时， BD 取得最大值为=1+ ．
故答案为： 1+ ．
解析：设∠ABC=α，∠ACB=β，利用余弦定理求出 AC，再利用正弦定理求出 sin β，利用余弦定理求得对角线 BD，根据三角恒等变换求出 BD 的最大值．本题考查了余弦定理、正弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．
∴AE∥DF ，且 AE? 平面 PCD ， DF ? 平面 PCD；∴AE∥平面 PCD ；
（2）
∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取 AB 中点 O，连接 PO；则 PO ⊥AB；又侧面 PAB⊥底面 ABCD ，平面 PAB∩平面 ABCD =AB；∴PO⊥平面 ABCD ；
根据已知条件可求得 PO= ，S△BCD=4， PD =CD= ， PC=2 ，；
设点 B到平面 PCD 的距离为 h；
连结 DF ，
EF ；
V P-BCD =V B-PCD；
解析： （1）取 PC 中点 F ，并连接 DF ，FE ，根据已知条件容易说明四边形 ADFE 为平行四边形，
从而有 AE ∥DF ，根据线面平行的判定定理即得到 AE ∥平面 PCD ； （2）设 B 到平面 PCD 的距离为 h ，从而直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值便可表示为 ，BD 根
据已知条件容易求出，而求 h 可通过 V P-BCD =V B- PCD 求出：取 AB 中点 O ，连接 PO ，可以说明 PO ⊥平 面 ABCD ，而根据已知条件能够求出 S △BCD ， S △PCD ，从而求出 h ，从而求得答
案． 考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂 直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．
18. 答案： 解：（ 1）当 3< x ≤ 15时， y=16+2.5（x-3）=2.5x+8.5， 当 x>15 时， y=16+12×2.5+3.8（x-15） =3.8x-11． ．
．
2)y= 故当 x=31.62 时， y=3.8×32-11=110.6≈110元． 故应付车费 110 元．
解析： （1）讨论 x 的范围，得出 y 与 x 的函数关系式； （2）根据条件修正函数解析式，再计算车费． 本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数的函数值的计算，属于中档题．
19. 答案： 解：（ 1）若 m=1， a=0， 则 f （ x ）=x|x|-|x|+1，
① x ≥0时， f （ x ）=x 2-x+1， 对称轴 x= ，开口向上，
∴f （x ）在 [0， ）递减，在（ ，+∞）递增； ②x<0 时， f （ x ） =- x 2+ x+1 ， 对称轴 x= ，开口向下， ∴f （x ）在（ -∞， 0）递增；
综上： f （ x ）在（ -∞， 0）递增，在 [0， ）递减，在（ ， +∞）递增．
（ 2） a=1 时， f （ x ）=mx|x-1|-|x|+1，
①x<0 时， f （x ）=mx （1-x ）+x+1=-mx 2
+（m+1）x+1，
△=（ m+1） 2+4 m=m 2+6m+1 ，令 m 2
+6m+1=0 ，则 m=-3 ±2 ， 根据函数 f （ x ）在（ 0，+∞）上的图象知，
当-3+2 <m<0时，有 2 个零点； 当 m< -3+2 时，没有零点；
∴直线 BD 与平面 PCD 所成角 ∴车费 y 与行车里程 x 的关系为： θ的正
当 m=-3+2 或 m> 0 时，有 1 个零点；
② 0≤x ≤1时， f （ x ） = mx （ 1-x ） -x+1=-mx 2
+（m-1）x+1， 根据 f （ x ）的图象知，在 [0， 1]上，
当 m ≤-1时，函数有 1个零点； m>-1 时，函数无零点；
③ x>1 时， f （x ）=mx （x-1）-x+1=mx 2
-（m+1）x+1， 根据 f （x ）的图象知，在（ 1， +∞）上，
0<m<1 时，函数有 1 个零点； m ≥1或 m<=0 时，函数无零点． 综上，当 -3+2 <m ≤1时， f （ x ）有两个零点；
当 m ≤-1，或 m> 1，或 m=-3+2 时， f （x ）有 1 个零点； 当-1<m<-3+2 时， f （ x ）无零点．
解析： （1）将 m=1，a=0 代入函数表达式，通过讨论 x 的范围，结合二次函数的性质，从而求出函 数的单调性；
（2）将 a=1 代入函数的表达式，通过讨论 x 的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的 个数．
本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．
20.
答案： 解：（ 1）∵曲线 （a>b>0）的左右焦点分别为
F 1（-1，0）、 F 2（1，0）， 短轴长为 ． ∴
， c=1，则 a=
2
）将 P
（ - ）代入： + =1
解得 y
0=± ，不妨取 y 0= ，则 P （ - ， ）， 设 Q （ -4， t ），因为 F 1（ -1，0），
又过 P （ x 0，y 0）的椭圆的切线方程为
+ =1，即
+ =1 ，将 Q （ -4， 2 -6）代入满足，
所以直线 PQ 与椭圆相切，公共点的个数为 1．
（ 3）依题意得 x 1 x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+ x 2-x 1x 2， 两边平方得： y 12y 22=x 12+x 22
+ x 12x 22+2x 1x 2=2x 12x 2-2x 1x 22， ∴（ 1-x 12）（ 1-x 22） =x 12+x 22+x 12x 22+2x 1x 2-2x 12x 2-2x 1x 22
，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴1-x 1 -x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 +x 1 x 2 +2x 1x 2-2x 1 x 2-2x 1x 2 ，
∴2x 12+2x 22+2x 1x 2-2x 1x 22-2x 12x 2-1=0， 2（1-x 2） x 12+2x 1（ x 2-x 22）+2x 22-1=0， ∴△=[2x 2（1-x 2）]2-8（1-x 2）（ 2x 22-1）≥0， ∴（ 1-x 2）（ -x 23-3x 22+2）≥0， ∴（ 1-x 2）（ x 2+1）
（ -x 22-2x 2+2）≥0， ∵-1≤x 1≤1，-1≤x 2≤1， ∴-x 22-2x 2+2≥0， ∴x 22
+2x 2-2≤0，
（x 2+1）2
≤3， ∴- ≤x 2+1≤ ， ∴- -1 ≤x 2≤ -1， 又 x 2 ≥-1 ， ∴-1≤x 2≤ -1．
∴曲线 Γ的标准方
∴2- =- ，解得 t=2 ， ∵PF 1⊥QF 1，
∴k
解析： （1）c=1，b= ? a=2可得；
（2）由 PF 1⊥QF 1．得斜率乘积为 -1，根据斜率公式可得 Q 的纵坐标，又过 P （x 0，y 0）的椭圆的切 线方程为 + =1? + =1过 Q 点，所以直线 PQ 为椭圆的切线，只有一个公共点； （ 3
）依题意得 x
1x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+x 2-x 1x 2，两边平方后消去 y 12y 22后整理成关于 x
1的二次 方程，由判别式大于等于 0 解关于 x 2的不等式可得．
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，是难题．
21. 答案： 解：（ 1）当 n=1 时， 0<a 1<1 成立；
假设当 n=k 时， 0< a k <1，
当 n=k+1 时， a k+1=1-（ 1-a k ） 2，由 0<a k <1，可得 0<a k+1<1， 即 n=k+1 时，不等式成立．
综上可得对 n ∈N* 时， 0<a n <1； （2）b n =lg （1-a n ），且 ，
由 1-a n =（1-a n-1） 2，可得 lg （ 1-a n ）=2lg （1-a n-1）， 即 b
n =2b n -1，
可得 b n =b 1?2n-1=-2 n-1， =- ，
即有无穷数列 的所有项和为 S= =-2 ；
（ 3）证明： a n-13+a n 3-a n-12a n -1=（ a n-1-a n ） a n-12+（ a n 3-1），
由 a
n -a n-1=a n-1（ 1-a n-1）> 0，可得 a n-1-a n <0， a n 3
-1<0，
可得 a n-13+a n 3-a n-12a n < 1， 3 3 2 3
a
n
+a 1 -a n a 1-1=a 1（a 1-a n ）（ a 1+ a n ） +a n -1< 0， 可得 a n 3+a 13-a n 2a 1< 1， 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
a
1 +a
2 -a 1 a 2<1，a 2 +a
3 -a 2 a 3< 1，⋯， a n-1 +a n -a n-1 a n <1，a n +a 1 -a n a 1<1， 上面各式
相加可得
n ∈N *
，当 n ≥2时，
．
解析： （ 1）运用数学归纳法证明，注意由 n=k 推得 n=k+1 也成立；
（ 2）推得 1-a n =（1-a n-1）2
，两边取对数，结合等比数列的定义和通项公式，以及无穷等比数列的求 和公式，计算可得；
（ 3）运用数列的单调性和（ 1）的结论推得 a n-13+a n 3-a n-12a n <1，a n 3+a 13-a n 2a 1< 1，再由累加法，可 得证明．
本题考查了数列递推关系、等比数列的定义和通项公式，以及累加法，考查了推理能力与计算能力， 属于难题．
由 则。