2020年高考数学第二轮复习专题05平面向量(文理合卷)

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2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)

在 △ ABC 中， AC＝ 1，∠ ABC＝ 60°.
根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．
作 △ ABC 的外接圆，当 BC 为圆的直径时， |a|最大，
8
此时 |a|＝BC ＝ 1 ＝2 3 ； sin 60 ° 3
当 B， C 无限接近时， |a|＝ BC→0.
故 |a|的取值范围是
23 0,
3
A．9
B．3
C. 109
D． 3 10
【解析】向量 a＝ (2，－ 4)， b＝ (－ 3， x)， c＝ (1，－ 1)，∴ 2a＋b＝ (1， x－ 8)，
由 (2a＋ b)⊥ c，可得 1＋8－ x＝ 0，解得 x＝9.则 |b|＝－ 3 2＋ 92＝ 3 10.故选 D.
【答案】 B
如图，设 M (－ 1， 3)，则 O→A＋ O→B＝O→M ，取 N(1，－ 3)，
∴ O→M＝－ O→N.由 |C→D |＝ 1，可知点 D 在以 C 为圆心，半径 r ＝ 1 的圆上， ∴ O→A＋ O→B＋O→D ＝ O→D －O→N＝ N→D ，
∴ |O→A＋
O→B＋
O→D
|＝
→ |ND
|，∴
D． [ 7－ 1， 7＋ 1]
【解析】法一：设出点 D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求
7
解．
设 D(x， y)，则由 |C→D |＝1， C(3,0)，得 (x－ 3)2＋ y2＝ 1.
又∵ O→A＋ O→B＋ O→D ＝ (x－ 1，y＋ 3) ，
∴ |O→A＋ O→B＋ O→D |＝ x－ 1 2＋ y＋ 3 2.
B．2 3
C．2
D．－ 3
( ) 【解析】

2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.7.3平面向量Word版含答案

平面向量一、选择题1．已知向量 a ＝ (1 ， m ) ， b ＝ ( m,2) ，若 a ∥ b ，则实数 m 等于 ( )A ．－ 2 B. 2 C ．－ 2或 2D.022或 m ＝ 2. 分析：由于 a ∥ b ，所以 m ＝ 2，解得 m ＝－答案： C2．设向量 a ， b 知足 | a ＋ b | ＝ 10， | a －b | ＝ 6，则 a ·b ＝ ( )A ． 1B.2C.3D.522分析：∵ | a ＋ b | ＝ 10，∴ a ＋ 2a · b ＋ b ＝ 10. ①①－②，得 4a · b ＝ 4，即 a · b ＝1. 答案： A3．(2019 ·西安三模 ) 已知向量＝ (2,1 )，＝( ， )，若a ＋b 与 a 垂直，则 x 的值为 ( )a b1 xA ． 7B.－711 C. 2D.－ 2分析： a ＋b ＝(3 ， x ＋ 1) ，∵ a ＋b 与 a 垂直，∴ ( a ＋b ) · a ＝ 6＋x ＋ 1＝ 0，∴ x ＝－ 7. 答案： B→()4．已知点 A (1,3) ，B (4 ，－ 1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为A.3 4 B.4 35，－55，－5C. 3 4D. 4 3－，5－， 555分析：∵ (1,3)， (4，－ 1)，∴ →＝(3，－ 4) ．ABAB→→→3 4AB又∵ | AB | ＝ 5，∴与 AB 同向的单位向量为→ ＝ 5，－5 .| AB |答案： A5．如图，在△中，→＝ 1→ ，是上的一点，若 →＝ →＋ 2→ ，则实数的值为 ()ABC AN 3NC P BNAP mAB 9ACm11 A. 9 B. 3 C.1D.3→ 1→ → →分析：由题意可知， AN ＝ 3NC ，所以 AC ＝ 4AN .→ → 2→ → → 8→又AP ＝ mAB＋9AC ，即 AP ＝ mAB ＋ 9AN ，81由于 B ， P ， N 三点共线，所以 m ＋ 9＝ 1，解得 m ＝9. 答案： A6．若两个非零向量 a ，b 知足 | a ＋ b | ＝ | a － b | ＝ 2| a | ，则向量 a ＋ b 与 a －b 的夹角为 ()ππ A. 6 B. 3C. 5π2π6D.3分析：由 | a ＋ b | ＝| a － b |→ →→ → 可知 a ⊥ b ，设 AB ＝ b ，AD ＝ a ，作矩形 ABCD ，可知 AC ＝a ＋ b ，BD ＝ a － b ，设与的交点为，联合题意可知＝＝，AC BDOOA OD AD∴∠＝π，∴∠＝2π. 又向量 a ＋ b 与 a －的夹角为 →与→的夹角，故所求夹角为2π.AOD 3DOC3b AC BD3答案： D7．(2019 ·沙坪坝区校级期中 ) 向量 a ， b ， c 在正方形网格中的地点如下图．若向量c ＝λa ＋ b ，则实数 λ＝ ( )A ．－ 2 B.－1 C.1D.2分析：如下图，成立直角坐标系．取小正方形的边长为1，则 a ＝(1,1) ，b ＝ (0 ，－ 1) ，c＝ (2,1) ．∵向量 c ＝ λa ＋ b ，∴ (2,1) ＝ λ (1,1) ＋ (0 ，－ 1) ，∴ 2＝ λ，1＝λ－ 1，实数 λ＝ 2.答案： D8．已知点 A ( － 1,1) ，B (1,2) ，C ( －2，－ 1) ，D (3,4)→ →，则向量 AB 在CD 方向上的投影为 () 3 2 3 15 A. 2B.23 2D.－ 3 15C ．－22分析：∵ A ( －1,1) ， B (1,2) ， C ( － 2，－ 1) ，D (3,4)→ →，∴ AB ＝ (2,1) ， CD ＝ (5,5) ，所以 cos→ → → → → →→ → → AB ·CD3 10 〈AB ，CD 〉＝ → → ＝10 ，∴向量 AB 在CD 方向上的投影为| AB | ·cos 〈 AB ，CD 〉＝ 5 | AB | ·| CD |3 10 3 2×10 ＝.2答案： A9．设向量 a ＝ (1 ， cos θ) 与 b ＝( － 1,2cosθ) 垂直，则 cos 2 θ 等于 ()21 A.2 B. 2C ． 0D.－ 1分析：∵ a ⊥ b ，∴ 1×( － 1) ＋ cos θ·2cosθ＝ 0，即 2cos 2 θ－1＝ 0. ∴ cos 2 θ＝2cos 2 θ－ 1＝ 0.答案： C10．已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60°的随意愿量，则对随意的正实数t ， | t a － b | 的最小值是 ( )A ． 01B.23C. 2D.1分析：∵ · ＝ |a || |cos 601| ，°＝ |a b b 2 a∴| t a － b | ＝ t 2a 2－ 2t a · b ＋ b 2＝ t 2a 2－ t | a | ＋ 1.设 x ＝ t | a | ，x >0，2123 3 3 3 ∴| t a － b | ＝ x － x ＋1 ＝ x －2＋4≥ 4＝ 2 . 故 | t a － b | 的最小值为2.答案： Cx 1＋ y 111．已知平面向量a ＝ ( x 1， y 1) ，b ＝ ( x 2， y 2) ，若 | a | ＝ 2， | b | ＝ 3， a · b ＝－ 6，则 x 2＋ y 2的值为()22 A. 3B. － 355 C. 6D.－ 6分析：由已知得向量 a ＝ ( x 1，y 1) 与 b ＝ ( x 2， y 2) 反向，则 3a ＋2b ＝ 0，即 3( x 1，y 1) ＋ 2( x 2，y 2) ＝(0,0)2 2 x 1＋ y 12，解得 x 1＝－ x 2， y 1＝－ y 2，故x ＋ y ＝－ .3 3 232答案： B12．在△中，已知 | → ＋ → |＝|→ －→| ，＝2，＝1，，为边的三平分点，则→· →ABCAB ACAB AC ABACE FBCAE AF＝()810 A. 9 B. 9C. 25269D.9→→→→| ，所以 → 2＋ → 2 →→→2 → 2→ →→ →分析：由于| ＋| ＝ |－AB＋ 2 · ＝＋－2 · ，即有·ACAB ACAB ACACAB AC AB AC AB ACAB ＝，由于，为边→→→→→→→1→→1→E FBCAE AF ( AC CE ) AB BF )3 3211 2→2 2→ 2 5→ → 210→→→→2＋＝ AC ＋ AB · AC ＋ AB ＝＋ · ＝ ×(1＋4) ＋0＝ .3 3339AC 9AB 9AB AC 99答案： B二、填空题13．已知向量 a ＝ ( － 4,3) ， b ＝(6 ， m ) ，且 a ⊥ b ，则 m ＝ __________.分析：由向量 a ＝ ( － 4,3) ， b ＝(6 ， m ) ，且 a ⊥ b ，得 a · b ＝－ 24＋ 3m ＝0，∴ m ＝8. 答案： 814．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a ＝ ( － 2，－ 6) ， | b | ＝ 10，则 a · b ＝ .分析：由 a ＝( －2，－ 6) ，得 | a | ＝－2 2＋－6 2＝2 10，∴a ·＝ | a || b |cos 〈，〉＝b a b2 10× 10×cos 60 °＝ 10.答案： 1015．已知向量 a ， b 夹角为 45°，且 | a | ＝1， |2a－ | ＝ 10，则 | b | ＝.b分析：∵ a ， b 的夹角为 45°， | a | ＝ 1，2∴a · b ＝ | a | ·|b |cos 45 °＝ 2 | b | ，|2 a － b | 2＝ 4－4×22| b | ＋ | b | 2＝ 10，∴ | b | ＝32.答案：3216．已知菱形ABCD 的边长为2，∠ BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ， DC 上， BC ＝ 3BE ， DC→ →.＝λ DF . 若AE · AF ＝ 1，则 λ 的值为→→→→1→分析：如图， AE ＝ AB ＋BE ＝ AB ＋3BC ，→→→→ 1 → → 1 →AF ＝ AD ＋ DF ＝AD ＋ λDC ＝BC ＋ λAB ，→ →→ 1→→1→1→ →1 →2 1 → 2 1 所以 AE · AF ＝ AB ＋ 3BC · BC ＋λAB ＝ 1＋ 3λ AB · BC ＋ λ AB ＋3 BC ＝1＋3λ×2×2×cos 120 °＋ 4 4λ ＋＝1，解得 λ＝ 2.3答案： 2。

2020届高考数学(文)二轮高分冲刺专题五：平面向量(2)平面向量的概念及其线性运算(B)+Word版含答案

平面向量（2）平面向量的概念及其线性运算（B ）1、下列命题正确的是( )A.若,a b r r 都是单位向量,则a b =r rB.若AB DC =u u u r u u u r,则,,,A B C D 四点构成平行四边形C.若两向量,a b rr 相等,则它们是起点、终点都相同的向量D. AB u u u r 与BA u u u r是两平行向量2、下列说法正确的是( )A.若a r 与b r 共线,则a b =r r 或者a b =-r rB.若a b a c ⋅=⋅r r r r,则b c =r rC.若ABC ∆中,点P 满足2AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r,则点P 为BC 中点 D.若12,e e u r u u r 为单位向量,则12e e =u r u u r3、下列说法正确的是( )A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫作相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量4、若向量a r 与向量b r 不相等,则a r 与b r一定( )A.不共线B.长度不相等C.不都是单位向量D.不都是零向量 1. 5、若非零向量下列说法中正确的是满足a b a b +=-r rr r ,则( ) A.a b ⊥r r B.//a b r rC.a b =r rD.a b ≥r r6、在四边形ABCD 中, AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r,则四边形ABCD 是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形7、如图,已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r u u u r u u u r u u u r r r ,用,a b rr 表示AD u u u r ,则AD =u u u r ( )A. 34a b +r rB. 1344a b +r rC. 1144a b +r rD.3144a b +r r 8、设P 是ABC ∆所在平面内的一点, 2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r,则( ) A. 0PA PB +=u u u r u u u rB. 0PC PA +=u u u r u u u rC. 0PB PC +=u u u r u u u rD. 0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r9、ABC ∆中,点D 在边AB 上, CD 平分ACB ∠.若CB a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,1a =r,2b =r ,则CD =u u u r( )A. 1233a b +r rB. 2133a b +r rC. 3455a b +r rD.4355a b +r r 10、已知边长为1的菱形ABCD 中,60BAD ∠=°,点E 满足2BE EC =u u u r u u u r,则AE BD ⋅u u u r u u u r 的值是( ) A.13-B.12-C.14-D.16-11、在矩形ABCD 中，||2AB =uuu r ，||4BC =u u u r ，则||CB CA DC +-=u u u r u u u r u u u r___________12、设D 为△ABC 所在平面内一点, 1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ,若()R BC DC λλ=∈uu u r uuu r ,则λ=__________13、如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为_____.14、已知向量(1,)a k =r,(9,6)b k =-r .若//a b r r,则实数是k =______________.15、下列四个式子,不能化简为AD u u u r的序号是__________.①()AB CD CB +-u u u r u u u r u u u r ;②()()AD BM BC MC -+-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ;③OC OA CD -+u u u r u u u r u u u r ;④MB AD BM +-u u u r u u u r u u u u r.16、已知平面内有一点P 及一个ABC ∆,若,PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r则下列说法正确的是________.(填序号)①点P 在ABC ∆外部;②点P 在线段AB 上;③点P 在线段BC 上;④点P 在线段AC 上.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：A.单位向量长度相等,但方向不一定相同,故A 不对; B. ,,,A B C D 四点可能共线,故B 不对;C.只要方向相同且长度相等,则这两个向量就相等,与始点、终点无关,故C 不对;D.因AB u u u r 和BA u u u r方向相反,是平行向量,故D 对.故选D.2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：A 解析：方向相同或相反的非零向量是平行向量,错误;对B,零向量是0,正确;对C,方向相同且长度相等的向量叫作相等向量,错误;对D,共线向量所在直线可能平行,也可能重合,错误.故选B.4答案及解析：答案：D解析：若向量a r 与向量b r 不相等,则说明向量a r与向量b r 的方向或长度至少有一个不同,所以a r 与b r 有可能共线,有可能长度相等,也可能都是单位向量,故A,B,C 都错误,但a r 与b r 一定不都是零向量.5答案及解析：答案：A 解析：6答案及解析：答案：D 解析：7答案及解析：答案：B解析：,,3AB a AC b BD DC ===u u u r u u u r u u u r u u u r r r ,用,a b rr 表示AD u u u r ,则1344AD a b =+u u u r r r ,选B.8答案及解析：答案：B 解析：∵2BC BA BP+=u u u r u u u r u u u r ∴0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r,即()()0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r,∴0PC PA +=u u u r u u u r.故选B.9答案及解析：答案：B解析：如图所示, 12∠=∠,∴12CB BD CA DA ==, ∴13BD BA =u u u ru u u r ()()1133CA CB b a -=-u u u r u u u r r r, ∴()121333CD CB BD a b a a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r .10答案及解析：答案：D解析：方法一：如图，由2BE EC =u u u ru u u r知2233BE BC AD ==u u u r u u u r u u u r ,所以23AE AB BE AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r依题意知1cos 2AB AD AB AD BAD ⋅=∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故2()()3AE BD AB AD AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AB AD AD AB =⋅+--u u u u r u u u u r u u u r u u u r 22221333AB AD AD AB AB AD ⋅=-+⋅u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 211113326=-+⨯=-.方法二:如图，以AD 所在直线为x 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,则1333(,),(,)22D C ，又2BE EC =u u u r u u u r ，则73(,)6E ，故73(,)6AE =u u u r ，13(,)2BD =-u u u r ，故7311246AE BD ⋅=-=-u u u r u u u r .11答案及解析：答案：45解析：在矩形ABCD 中. 2CB CA DC CB CA CD CA +-=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，||2||5CB CA DC CA +-==u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：4512答案及解析：答案：-3解析：∵D 为△ABC 所在平面内一点, 1433AD AB AC =-+u u u ru u ur u u u r , ,,B C D ∴三点共线.若()R BC DC λλ=∈uu u r uuu r,AC AB AC AD λλ∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,化为: 11AD AB ACλλλ-=+u u u r u u u r u u u r ,与1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ,比较可得:113λ=-,解得3λ=-.13答案及解析：答案：0 解析：14答案及解析：答案：34-解析：因为//a b r r ,所以1(6)90k k ⨯--=,解得34k =-.15答案及解析：答案：④解析：①原式=()AB CD CB AB BD AD +-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r;②原式=()AD BC BM MC AD BC BC AD +-++=-=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r;③原式AC CD AD =+=u u u r u u u r u u u r;④原式=MB AD MB AD ++≠u u u r u u u r u u u r u u u r,∴只有④不能化为AD u u u r.16答案及解析：答案：,PA PB PC PB PA ++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴20.PA PC +=u u u r u u u r如图,易知P 在线段AC 上.解析：。

2020高考数学考前冲刺练习专题05 平面向量(解析版)

5 8
,1
D．
0,
1 8
1 4
,
5 8
【解析】 f x
2 s i n
x
π 4
,
π π 0
T 2π π, 0 2 , 故 {
4
2π π π
π π π
,或{
4
2π π 0
4
4
,解得
1 5 或 0 1 .故选 D.
4
8
8
8. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】
【解析】
.故选 C.
10. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】
在
中，，，
，则
()
A．
B． C．
D．
【答案】C 【解析】如图所示，
∵= =
，
∴
，
∴•= 故答案为：
=
=﹣ ．
11. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】
平行四边形中，
，
，点在边上，则
A．
B．
C．0 D．2
所以
BE
AB
1 3
AC
7 9
AB
AB
1
AC AB 7
2
AB
1
AC
3
9
3
AB
cosBAC 7
2
AB
9
1 2 3cos60 7 32 6 ．
3
9
故选 D．
法二：在 ACD 中，由余弦定理得 CD 3 ，则 AD2 CD2 AC2 ，
所以 CD AB ，以 D 为原点，建立如图直角坐标系：
4
4
M
、P、N

2020高考数学平面向量(二)pdf

平面向量（三）平面向量的基本定理及坐标表示第1页平面向量（三）平面向量的基本定理及坐标表示一、平面向量的基本定理1.内容：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ、μ，使a = λe 1+ μe 2。

2.我们把不共线的向量e 1和e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

二、向量的夹角 1.表示：已知两个非零向量a 和b .如图，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角（通常记作 <a ，b >）.2. θ=0°，两向量同向，θ=180°，两向量反向，θ=90°，两向量垂直，记作a ⊥b . 三、向量的坐标表示和运算1.a =（x ，y ）在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得：a =(x,y)，我们把(x,y)叫做向量a 的（直角）坐标。

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

2.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.3.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如：在平面直角坐标系中A （1，2）B （3，4）；则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3-1，4-2）=（2，2）.四、平面向量共线的坐标表示1. 向量平行（共线）定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa.2.设a =（x ，y ），b =（m ，n ），其中b ≠0，则a ∥b ⟺xn-ym=0.五、基础练习1.若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4），则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A.（4，6） B.（-4，-6） C.（-2，-2） D.（2，2）2.若不共线向量a 和b 中满足2x a +（3-y ）b =x b +（3y+1）a ，则x+y=（）A.1B.2C.3D.43.已知向量a =（2，4），b =（1，0），c =（3，4）.若λ是一个实数，（a +λb ）∥c ，则λ=（）A.14B.12 C.1 D.2 4.已知向量a =（√3，1），b =（0，-1），c =（k ，√3）.若a-2b 与c 共线，则k=___________.5.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k ，12），OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，5），OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-k ，10），且A,B,C 三点共线，则实数k=_______.6.设O,A,B 为平面内不共线的三点，点P 在直线AB 上，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m+n=（）A.0B.-1C.1D.不能确定平面向量（三）平面向量的基本定理及坐标表示基础练习参考答案1.A2.C3.B4.15.-23，由题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ （λ≠0）. 6.C 由平面向量的基本定理得，m+n=1.拓展：证明三点共线时，可利用第6小题的条件与结论：若O,A,B 为平面内不共线的三点，且OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m+n=1，则P ,A,B 三点共线（或P 在AB 上）.。

2020年高考数学二轮专题训练—平面向量

平面向量一、选择题：本大题共15题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则AB =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） 2 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为A.－13B. －15C. 15D. 133、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （） A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 4、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r （）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r 6、平面向量a r ，b r 共线的充要条件是（） A. a r ，b r 方向相同 B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r7、在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 8、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为135︒，则||1a b λ+>r r 的充要条件是A.2)λ∈B.(2,0)λ∈-C.(,0)(2,)λ∈-∞+∞UD.(,2)(2,)λ∈-∞+∞U9、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r , 则BC =u u u r （）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）10、已知平面向量，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--11、设a r =(1，－2), b r =(－3,4),c=(3,2)，则(2)a b c +⋅r r r =A.(15,12)-B.0C.－3D.－1112、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（）A. －1B. 1C. －2D. 2 13、设平面向量(3,5),(2,1),2______==--=则a b a bA ．(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 14、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ-r r 互相垂直的充要条件是（） A ．3λ=3λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数二．填空题：本大题共7小题。

2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(5)平面向量

（5）平面向量1、在ABC △中,记π,,2,4AB a AC b AB BC ABC ====∠=,AD 是边BC 的高线O 是线段AD 的中点,则AO =( ) A.1123a b + B.1132a b +C.1134a b +D.1136a b +2、如图,正方形ABCD 中, M N 、分别是BC CD 、的中点,若AC AM BN λμ=+,则λμ+=（）A. 2B. 83C.65 D. 853、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a bλμ=+(,R)λμ∈,则λμ=（）A ．2B ．4C ．12D ．12-4、已知M 是ABC △内一点,11,34AM AB AC =+则ABM △ABC △的面积之比为（）A.14B.13C.12D.235、如图，在ABC △中，π3ABC ∠=,2AD DB =u u ur u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+uu u r uuu r uu u r ，若ABC △的面积为||AP uu u r的最小值为( )B.3 D.436、如图，ABC △中，,,AD DB AE EC CD ==与BF 交于,F 设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则(,)x y 为 ( )A.11(,)22B.22(,)33C.11(,)33D.21(,)327、在ABC △中,已知D 是AB 边上的一点,若,12,3AD DB CD CA CB λ==+,则λ=( ) A.23B.13C.13-D.23-8、向量(0,2),(3,1)m n =-=,则与2m n +共线的向量可以是()A 1)-B ．(-C ．(1)-D ．(-9、在Rt ABC △中，90C ∠︒＝，3AC ＝，则AB AC ⋅等于( ) A ．－3B ．－6C ．9D ．610、已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC △内一点，则()PA PB PC ⋅+u u ru u ru u u r的最小值是（） A.32- B.2- C.43-D.1-11、已知向量()(),,1,2a m n b ==-,若()||25,0a a b λλ==<,则m n -=__________. 12、已知点O 在ABC ∆所在平面内,且4AB =,3AO =,()0OA OB AC +⋅=则AB AC ⋅取得最大值时线段BC 的长度是__________.13、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ⋅=u u r u u r，则PC uu u r 的取值范围是。

专题05 平面向量-备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析(解析版)

《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第五章平面向量1.平面向量是高考考查的重点、热点，五年五考.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.近几年浙江卷涉及模的最值问题，五年四考！同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏难.一．选择题1．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件可知，，，所以，故与的夹角为．故选：．2．【浙江省台州市2019届高三4月调研】若平面向量满足：，，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设向量的夹角为，因为，所以，，所以，，因为，所以的取值范围是故选：B.3．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，，所以.易得，，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选C.4．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在平面上，，是方向相反的单位向量，||＝2 ，(-) •(-) ＝0 ，则|-|的最大值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【解析】由题意(-) •(-) ＝0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，所以有，即||＝1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：|-|的最大值为1+2=3，故选D.5．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.6．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知向量，满足：，，，且，则的最小值为A． B．4 C． D．【答案】A【解析】由题意可知，把看作，，，则可表示为，点B在直线上，设，，，，，，，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出，设，由，解得，，则，故的最小值为．故选：A．7．【浙江省宁波市2019届高三上期末】在空间直角坐标系中，为坐标原点，满足，则下列结论中不正确的是（）A．的最小值为-6 B．的最大值为10C．最大值为 D．最小值为1【答案】B【解析】根据题意可设；则；当时，；当时，.另一方面，当时可以取到最大值，进一步变形上式，令，则，当时取等号，即最小值为1，综上可得，选B.8.【浙江省嘉兴市2019 届高三上期末】已知向量，满足，，则的取值范围是( ) A ． B ．C ．[D ．[【答案】D 【解析】设点M ，为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M 的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即.故答案为：D.9．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，2BA BC +=uu r uu ur ，且233B ππ≤≤，则BA BC u u u v u u u v ⋅的取值范围是（） A ．[2,1)- B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，以,BC BA 为邻边作平行四边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD +=u u u r u u u r u u u r ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥u u u r u u u r,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ⋂=，2BA BC +=uu r uu u r ，所以=21BD BO ⇒=u u u r，在Rt BOA ∆中，1coscos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos2ABCy BA BC ABC ABC ABC ∠=⋅=⋅∠=∠+∠u u u v u u u v ，设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈-Q ，所以当11[,]22x ∈- 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈-，因此本题选D.10. 【浙江省2019届高考模拟卷（三)】如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，连接CB，则CB AC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，取最大值，设D在OE的投影为N，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又OM=cosθ, ∴cosθ，∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，∴ 的最大值为.故选A.11.【浙江省2019届高考模拟卷（一)】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A． B． C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D.12.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】若平面向量满足，，，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设向量的夹角为θ，则，∴，．于是可设，令，则，由题意得，表示点在以为圆心，半径为的圆上．又，∴，表示圆上的点与点间的距离，∴的最大值为．故选D ．13.【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意，的最小值为,的最小值为，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得则故选B.14.【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末】设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，记2222123412341324(,,,)f a a a a a a a a a a a a =+++++，则()1234,,,f a a a a 的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．23 【答案】B【解析】设()()221234,,,||m a a n a a f m n m n ==⇒=++⋅r r r r r r，记cos m n m nθ⋅=r rr r ，则214231111sin 1cos 2222S m n m n a a a a θθ∆==-==-=⇒r r L r r 12cos 23sin sin sin m n f m n m n θθθθ=⇒≥+⋅=+≥r r r r r r （利用三角函数的有界性）15.【浙北四校2019届高三12月模拟考数学试题】已知向量，满足，，则的最小值是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】A【解析】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.16.【浙江省镇海中学2019届高三上期中】已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，注意到，从而，故即，故，.又，解得，代入双曲线方程，则有，，故选C.17.【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于（）A ．3B ．C ．4D ．【答案】A 【解析】因为而，所以因为，，，是单位向量，且，所以不共线，所以，故选A.二.填空题18.【浙江省镇海中学2019届高三上期中考试数学试题】已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________.【答案】【解析】因为两非零向量满足,,设向量夹角为，由于非零向量以及构成一个三角形，设，则由余弦定理可得，解得，当且仅当时，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.19. 【浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考】已知ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BC BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 .【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，所以c a AB BA AB BC CA AB BC CA ==∴-⊥∴=-⋅,),(,0)(,2BA BC +=uu r uu u r,所以2222222||2||||cos 4,22cos 4,1cos BA BC BA BC BA BC B c c B c B+=++⋅=∴+=∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21cos BBC BA ⋅u u u r u u u r∈+==1cos 12cos 2BB c 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20.【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末】在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =u u u v u u u v，当点E 在射线AD（不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则()221λμ++ 的取值范围为__________．【答案】()1,+∞【解析】因为点E 在射线AD （不含点A ）上，设,0AE k AD k =<u u u v u u u u v，又34BD BC =u u u v u u u v ，所以()()33444k k AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以4{ 34kk λμ== ， ()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()221λμ++的取值范围()1,+∞.21. 【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知向量，满足，，则的取值范围为______．【答案】【解析】，，又，，，又，设为向量，的夹角，，又，，，，故答案为22.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】设是抛物线上相异的两点，则的最小值是____．【答案】-16【解析】由题意直线的斜率存在，设，由消去整理得，且．设，中点为，则，∴，∴，∴，∴，又．∴，当时等号成立，∴的最小值是．故答案为．23.【浙江省七彩联盟2019届高三上期中】已知量面，满足，，若对任意实数x都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P在直线BC上，线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．故答案为：．24．【浙江省宁波市2019届高三上期末】在中，为边中点，经过中点的直线交线段于点，若，则_____；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形与四边形面积之比的最小值是_______.【答案】4【解析】∵ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，∴，∵，∴，∴，同理∵与共线，∴存在实数，使（），即，∴，解得，，∴；∵，∵，∴，当且仅当时取等号，此时有最小值，则有M，N分别为AB，AC的中点，取得最小值，故答案为4，．25．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】若等边的边长为，平面内一点满足，则________【答案】-2 【解析】以点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.26．【浙江省金华十校2019届高考模拟】已知平面向量a r ，m v ，n v，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大．3【解析】设a r，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r ，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r ，由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m v的终点M 在以(2,0)3为半径的圆上，同理n v的终点N 在以(2,0)3为半径的圆上．显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v的夹角最大．设圆心为A ，则3AM =221OM OA AM =-=，3sin MOA ∠=60MOA ∠=︒，设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =， ∴322sin 213MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯=3．27.【浙江省台州市2019届高三上期末】设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆，圆上，则的最大值为____．【答案】【解析】以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．则，，令，，所以所以，令，则，所以当时，有最大值，填．28.【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为_ ．【答案】【解析】设，，则于是，同理，于是我们可以得到.即，所以Q点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以29.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】设是抛物线上相异的两点，则的最小值是____．【答案】-16【解析】由题意直线的斜率存在，设，由消去整理得，且．设，中点为，则，∴，∴，∴，∴，又．∴，当时等号成立，∴的最小值是．故答案为．30.【2018年11月浙江省学考】如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A，B同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中，的最大值是_______.【答案】2【解析】设，根据题意得，，且，依题意得，∴，当且仅当时，等号成立．故答案为：231.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则__________．【答案】-3【解析】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.。

2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量(附解析)

2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量（附解析）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则三角形法则（1）向量0()≠a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得λ=b a．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1λ，2λ，使12λλ=+a e e．其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11(,)x y=a，22(,)x y=b，则1212(,)x x y y+=++a b，1212(,)x x y y-=--a b，11(,)x yλλλ=a，||=a3．平面向量共线的坐标表示设11(,)x y=a，22(,)x y=b，其中0≠b．1221//0x y x y=-=a b．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos θa b 叫做向量a 和b 的数量积，记作||||cos θ⋅=a b a b ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：||cos ,<>a a b 叫做向量a 在b 方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则（1）1212x x y y ⋅=+a b（2）121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b （3）cos ,<>=a b1．在△ABC 中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r等于（）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 2．已知点(1,2)A -，若向量||AB uuu r 与(2,3)=a同向，||AB =u u u rB 的坐标为________．3．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且(2)⊥+a a b ，则a 与b 的夹角是（）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π4．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点满足OP OA λ=+u u u r u u u r()(0)||sin ||sin AB AC AB B AC Cλ+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的（）P 经典常规题（45分钟）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1．在△ABC中，AB =u u u r ，(3,0)BC =u u u r，则角B 的大小为．2．已知||=a ||3=b ，a ，b 的夹角为45︒，当向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角时，求实数的取值范围．1．已知平面向量2(3,)3=a ，(,2)m =b ，且//a b ，则32-=a b （） A ． (2,9)-- B ．(9,2)-- C ．(9,2) D ．(2,9)2．已知向量(AB =u u u r，AC =u u u r，则BAC ∠=（）A ．45︒B ．120︒C ．30︒D ．60︒3．已知等边△ABC 内接于O e ，D 为线段OA 的靠近点A 的三等分点，则BD =u u u r（）A ． 2136BA BC +u u u r u u u r B ．2139BA BC +u u u r u u u r C ．7196BA BC +u u u r u u u r D ．7199BA BC +u uu r u u u r4．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a ，|2|2-=a b ，则||b 等于（）A．4 C ．2 D．5．给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 与OB uuu r，它们的夹角为120︒，如图所示，已知OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中,x y ∈R ，且满足12x y +=，则||OC u u u r 的最小值为（） λ精准预测题高频易错题A ．14 B ．12 C．2 D ．16．已知e 为单位向量，||2=a ，a 与e 的夹角为56π，则a 在e 方向上的投影为．7．已知(1,2)=a，=b ，若λ+a b 与λ-a b 垂直，则λ= ． 8．如图所示，若四边形ABCD 为正方形，且边长为2，E 为AB 边上的动点．（1）若2AE EB =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，试用a ，b 表示CE u u u r ，DE u u u r，并求出CE DE ⋅u u u r u u u r的值；（2）求DE CB ⋅u u u r u u u r的值；（3）求DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值．2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量（解析）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则三角形法则（1）向量0()≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得λ=b a ．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使12λλ=+a e e ．其中，不共线的非零向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y +=++a b ，1212(,)x x y y -=--a b ，11(,)x y λλλ=a，||=a3．平面向量共线的坐标表示设11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，其中0≠b ．1221//0x y x y =-=a b ．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos θa b 叫做向量a 和b 的数量积，记作||||cos θ⋅=a b a b ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：||cos ,<>a a b 叫做向量a 在b 方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则（1）1212x x y y ⋅=+a b（2）121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b(3)cos ,<>=a b1．在△ABC 中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r等于（）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 【答案】A【解析】如图，2221()3333AD AB BD BC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r c c b c b c ．经典常规题2．已知点(1,2)A -，若向量||AB uuu r 与(2,3)=a同向，||AB =u u u rB 的坐标为________．【答案】(5,4)【解析】∵向量||AB uuu r 与a 同向，∴设(2,3)(0)AB t t t =>u u u r，由||AB =u u u r，∴2249413t t +=⨯，∴24t =．∵0t >，∴2t =，∴(4,6)AB =u u u r．设B 为(,)x y ，∴1426x y -=⎧⎨+=⎩，∴54x y =⎧⎨=⎩，故B 的坐标为(5,4)．3．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且(2)⊥+a a b ，则a 与b 的夹角是（）A ． 3πB ．2πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】因为(2)⊥+a a b ，所以2(2)20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以2||||cos 2||θ=-a b a ，又||4||=b a ，所以1cos 2θ=-，∴23πθ=，故选C ． 4．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点满足OP OA λ=+u u u r u u u r()(0)||sin ||sin AB AC AB B AC Cλ+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心【答案】DP【解析】作出如图所示的图形，AD BC ⊥，由于||sin ||sin ||AB B AC C AD ==u u u r u u u r u u u r，∴()()||sin ||sin ||AB AC OP OA OA AB AC AB B AC C AD λλ=++=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()OP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此P 在三角形的中线上，故动点P 的轨迹一定过△ABC 的重心，故答案为D ．1．在△ABC中，AB =u u u r ，(3,0)BC =u u u r，则角B 的大小为．【答案】23π 【解析】根据向量夹角的定义，向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角应是角B 补角，所以31cos()232||||AB BC B AB BC π⋅-===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，又(0,)B ππ-∈，所以3B ππ-=，从而23B π=． 2．已知||=a ||3=b ，a ，b 的夹角为45︒，当向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角时，求实数的取值范围．【答案】5(,1)(1,)12-+∞Uλ高频易错题（45分钟）【解析】||||cos 453⋅=︒=a b a b ，因为向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角，所以()()0λ+⋅+>a b a b ，由22()()(1)1250λλλλ+⋅+=++⋅+=+>a b a b a a b b ，得512λ>-，当向量λ+a b 与λ+a b 方向相同时，1λ=，即当1λ=时，虽然()()0λ+⋅+>a b a b ，但向量λ+a b 与+a b 夹角为0︒，所以λ的取值范围是5(,1)(1,)12-+∞U ．1．已知平面向量2(3,)3=a ，(,2)m =b ，且//a b ，则32-=a b （） A ． (2,9)-- B ．(9,2)-- C ．(9,2) D ．(2,9) 【答案】B【解析】∵//a b ，∴2323m ⨯=，得9m =， ∴(9,2)=b ，3(9,2)=a ，2(18,4)=b ，∴32(9,2)-=--a b ．2．已知向量(AB =u u u r，AC =u u u r，则BAC ∠=（）A ．45︒B ．120︒C ．30︒D ．60︒ 【答案】D【解析】由题意得1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴60BAC ∠=︒．精准预测题3．已知等边△ABC 内接于O e ，D 为线段OA 的靠近点A 的三等分点，则BD =u u u r（）A ． 2136BA BC +u u u r u u u r B ．2139BA BC +u u u r u u u r C ．7196BA BC +u u u r u u u r D ．7199BA BC +u uu r u u u r【答案】D【解析】如图所示，延长AO 交线段BC 于E ，可知E 为BC 中点，则112333BD BA AD BA AO BA AE=+=+=+⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222171()999299BA AB BE BA BA BC BA BC =++=-+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D ．4．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a ，|2|2-=a b ，则||b 等于（）A ．4 C ．2 D ．【答案】C【解析】∵向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a |2|2-=a b ，∴2|2|4-=a b ，即224||||44+-⋅=a b a b ，∴242||4||cos 454⨯+-⋅︒=b b ，28||4||4+-=b b ，即2||4||40-+=b b ，解得||2=b ．5．给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 与OB uuu r，它们的夹角为120︒，如图所示，已知OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中,x y ∈R ，且满足12x y +=，则||OC u u u r 的最小值为（）A ． 14B ．12 C．2 D ．1【答案】B【解析】如下图所示，以O 为平面直角坐标原点，OA 方向为x 的正方向，与OA 垂直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0)A，(B -，(2)OC xOA yOB x y =+=-u u u r u u u r u u u r． ∵12x y +=，∴1(3,)22OC x =-u u u r ，222213||9333126144OC x x x x x x =-+++-=-+u u u r ，当14x =时，2||OC u u u r 有最小值为11112611644⨯-⨯+=，∴||OC u u u r 的最小值为12．6．已知e 为单位向量，||2=a ，a 与e 的夹角为56π，则a 在e 方向上的投影为．【答案】【解析】依题意有a 在e 方向上的投影为5||cos ,2cos 6π⋅<>==a a e ．7．已知(1,2)=a ，=b ，若λ+a b 与λ-a b 垂直，则λ= ．或【解析】(2λλλ+=-a b ，(1,2)λ-=a b ，∵λ+a b 与λ-a b 垂直，∴()(2)0λλ+++=，20λ+=，解得2λ=或 8．如图所示，若四边形ABCD 为正方形，且边长为2，E 为AB 边上的动点．（1）若2AE EB =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，试用a ，b 表示CE u u u r ，DE u u u r，并求出CE DE ⋅u u u r u u u r的值；（2）求DE CB ⋅u u u r u u u r的值；（3）求DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值．【答案】（1）13CE =--u u u r b a ，23DE =-+u u u r b a ，289CE DE ⋅=u u u r u u u r ；（2）4；（3）4．【解析】（1）1133CE CB BE AD EB AD AB =+=--=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ，DE DA AE AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r 2233AE AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u u rb a ，221212828()()||||4333999CE DE ⋅=--⋅-+=-⋅-=-=u u u r u u u r b a b a b a b a ．（2）设AE AB λ=u u u r u u u r，则2()()()()||4DE CB AE AD AD AB AD AD AB AD AD λλ⋅=-⋅-=-⋅-=-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（3）设AE AB λ=u u u r u u u r，则22()()||||4DE DC AE AD AB AB AD AB AB AB AD AB λλλλ⋅=-⋅=-⋅=-⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵E 在线段AB 上，∴01λ≤≤，故当1λ=时，DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值为4．。

高考数学平面向量专题复习含答案

高考数学平面向量专题复习含答案The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202020年高考数学平面向量专题练习一、选择题1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）A. B. C. D.2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或13、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．44、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）A．B． C．D．5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）A. B. C. D.6、已知向量，且，则（）A. B. C. D.7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( )A. C. D. 38、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为A． B． C．5 D．109、下列命题中正确的个数是（）⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则A．0 B．1 C．2 D．310、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题11、已知向量与的夹角为120°,且,则____.12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.15、已知向量与的夹角为120°，，，则________.16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则__________．17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。

若(λ，µ∈R)，则λ＋µ的值为。

专题05 平面向量(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)

三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题5 平面向量十年树木，百年树人，十年磨一剑。

本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。

三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。

（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：平面向量的基本定理及其坐标表示（2017新课标I 卷T13文科）已知向量=（﹣1，2），=（m ，1），若向量+与垂直，则m= ．（2016新课标I 卷T13文科）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .（2011新课标I 卷T13文科）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量+与向量k ﹣垂直，则k= ．一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122λλ+=a e e .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标. 三、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB u u u r =（x 2－x 1，y 2－y 1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），|a ，|a ＋b3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA u u u r =a ，OB uuu r=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . *平面向量的坐标运算1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． *向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB u u u r 与AC u u ur 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变二、考向题型研究二：平面向量的数量积(2019新课标I 卷T7理科)．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a–b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3 D ．5π6（2016新课标I 卷T13理科）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ．（2017新课标I 卷T13理科）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=（2012新课标I 卷T15文科）已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |= .(2013新课标Ⅰ卷T13理科)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB u u u r的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ；③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c .二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b .（2）模：2211||x y =⋅=+a a a（3）夹角：cos ||||θ⋅==a ba b 121212122222x y x y +⋅+ .（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b .（5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔121212222212||x x y y x y x y +≤++.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0()=≠0b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b=,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a或||||AB AB ==u u ur,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. *平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.（3）当题中出现一个向量式子的模长时，例如b a 2+，可以先对整个式子进行平方，向量的平方就相当于模长的平方，带入数量积公式，即可求解 *平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． (2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． (3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.三、考向题型研究三：平面向量的几何表示（2015新课标I 卷T2文科）已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量(BC =u u u r)A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)（2015新课标I 卷T7理科）设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r （B ）1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r （D ）4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r(2014新课标Ⅰ卷T15理科)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（4）平面向量进行运算时，如果是正三角形，直角梯形，圆，正方形，长方形，间距相等的表格等时，应该建立直角坐标方程系，把每个点的坐标表示出来，带入进行计算，如果这些图形的长度未知时，可以设立参数表示，表达出相关关系式子，可以求解四、考向题型研究四：平面向量的综合应用（2018新课标I卷T6理科）在△ABC中，AD为BC边上的中线，为AD的中点，则EB⃑⃑⃑⃑⃑ =A. 34AB⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC⃑⃑⃑⃑⃑ B. 14AB⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC⃑⃑⃑⃑⃑C. 34AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ D. 14AB⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC⃑⃑⃑⃑⃑（2011新课标I卷T10理科）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P41．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式： (1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r 或1()3PG PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r (其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r ，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rHC HA ⋅u u u r u u u r ，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r .反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅u u u r u u r u u u r||IB AB IC +⋅=0u u r u u u r u u r ，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 或||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r .反之，若||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC △的外心.。

2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(5)平面向量

2020高考数学分项汇编专项05平面向量(含解析)理

(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编专项05 平面向量（含解析）理1. 【2005高考北京理第3题】| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，那么向量a 与b 的夹角为〔〕A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°【答案】 C考点：数量积公式。

2. 【2006高考北京理第2题】假设a 与b c 都是非零向量，那么〝a b a c 〞是〝()a b c 〞的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】 C3. 【2007高考北京理第4题】O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ，那么〔〕Ａ．AO OD Ｂ．2AO OD Ｃ．3AO OD Ｄ．2AO OD4. 【2018高考北京理第2题】向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ，那么〔〕 A、1k 且c 与d 同向 B 、1k 且c 与d 反向 C 、1k 且c 与d 同向 D 、1k 且c 与d 反向【答案】 D考点：向量的共线〔平行〕、向量的加减法.5. 【2018高考北京理第6题】a ，b 为非零向量．〝a ⊥b 〞是〝函数f (x )＝(xa ＋b )·（xb －a )为一次函数〞的( ) A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】 B考点：充分必要条件;向量的数量积.6. 【2006高考北京理第11题】假设三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab 共线，那么11a b 的值等于【答案】_______127. 【2018高考北京理第10题】向量a 与b 的夹角为120，且4a b ，那么(2)b a b 的值为．【答案】0考点：向量运算的几何意义8. 【2018高考北京理第10题】向量(3,1)a ，(0,1)b ，(,3)k c ，假设2a b 与c 共线，那么k ________.【答案】19. 【2019高考北京理第13题】正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么CB DE 的值为________，DC DE 的最大值为______。

专题05平面向量(文理合卷)

2020年高考数学压轴必刷题专题05平面向量(文理合卷)1．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．2．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A．1B．1C．2D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．3．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．4．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．5．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．6．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．7．【2016年天津理科07】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•．故选：C．8．【2014年浙江理科08】记max{x，y}，min{x，y}，设，为平面向量，则（）A．min{||，||}≤min{||，||}B．min{||，||}≥min{||，||}C．max{||2，||2}≤||2+||2D．max{||2，||2}≥||2+||2【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{||，||}＝0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{||2，||2}＝||2＝4，而不等式右边＝||2+||2＝2，故C不成立，D选项正确．故选：D．9．【2014年天津理科08】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，λ，μ，若•1，•，则λ+μ＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得若•（）•（）＝2×2×cos120°λ•λ•μ2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，∴4λ+4μ﹣2λμ＝3①．••（）（1﹣λ）•（1﹣μ）（1﹣λ）•（1﹣μ）＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2），即﹣λ﹣μ+λμ②．由①②求得λ+μ，故选：C．10．【2013年上海理科18】在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（）•（）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m＝0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M＝0D．m＜0，M＜0【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（）•（）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选：D．11．【2012年天津理科07】已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB＝2∴λ（1﹣λ）＝2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°＝2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，＝﹣2λ2+2λ﹣2∵∴4λ2﹣4λ+1＝0∴（2λ﹣1）2＝0∴故选：A．12．【2011年上海理科17】设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0B．1C．5D．10【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若成立，得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y），则有x，y；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选：B．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：15．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．16．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．17．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．18．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．19．【2016年江苏13】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•4，•1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴，，3，3，∴•22＝﹣1，•922＝4，∴2，2，又∵2，2，∴•422，故答案为：20．【2016年浙江理科15】已知向量，，||＝1，||＝2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|，则•的最大值是．【解答】解：由绝对值不等式得|•|+|•|≥|••|＝|（）•|，于是对任意的单位向量，均有|（）•|，∵|（）|2＝||2+||2+2•5+2•，∴|（）|，因此|（）•|的最大值，则•，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|＝|••|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|＝|••|，此时||2＝||2+||2﹣2•5﹣1＝4，此时||＝2于是|•|+|•|＝|••|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设，则|•|+|•|＝||+||≥|||＝||＝||，∵|•|+|•|，∴||，即（）2≤6，即||2+||2+2•6，∵||＝1，||＝2，∴•，即•的最大值是．法三：设，，，则，，|•|+|•|＝||+||＝||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（）2取得最大值6，由于||2+||）2＝2（||2+||2）＝10，于是（）2取得最小值4，则•，•的最大值是．故答案为：．21．【2016年上海理科12】在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，则•的取值范围是．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴（1，1），（cosα，sinα+1），cosα+sinα+1，∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．22．【2015年浙江理科15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，1（x0，y0∈R），则x0＝，y0＝，|＝．【解答】解：∵•||||cos•cos•，∴•，不妨设（，，0），（1，0，0），（m，n，t），则由题意可知m n＝2，m，解得m，n，∴（，，t），∵（）＝（x﹣y，，t），∴|（）|2＝（x﹣y）2+（）2+t2＝x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7＝（x）2（y﹣2）2+t2，由题意当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x）2（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2＝1，故2故答案为：1；2；223．【2015年上海理科14】在锐角三角形ABC中，tan A，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和4．过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则•．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tan A，∴，联立sin2A+cos2A＝1，得，cos A．由，得．则．∴•．故答案为：．24．【2015年天津理科14】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E 和F分别在线段BC和DC上，且λ，，则•的最小值为．【解答】解：由题意，得到AD＝BC＝CD＝1，所以•（）•（）＝（）•（）2×1×cos60°+λ1×1×cos60°2×11×1×cos120°＝1（当且仅当时等号成立）；故答案为：．25．【2014年江苏12】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，3，2，则的值是．【解答】解：∵3，∴，，又∵AB＝8，AD＝5，∴•（）•（）＝||2•||2＝25•12＝2，故•22，故答案为：22．26．【2013年江苏10】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD AB，BE BC，若λ1λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【解答】解：由题意结合向量的运算可得，又由题意可知若λ1λ2，故可得λ1，λ2，所以λ1+λ2故答案为：27．【2013年浙江理科17】设、为单位向量，非零向量x y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴1×1×cos30°．∵非零向量x y，∴||，∴，故当时，取得最大值为2，故答案为2．28．【2012年上海理科12】在平行四边形ABCD中，∠A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设λ，λ∈[0，1]，M（2），N（），所以（2）•（）＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．29．【2011年浙江理科14】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是．【解答】解：∵||||sinθ∴sinθ，∵||＝1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，30．【2011年天津理科14】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC 上的动点，则|3|的最小值为．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则（2，﹣b），（1，a﹣b），∴（5，3a﹣4b）∴5．故答案为5．31．【2010年浙江理科16】已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是．【解答】解：令用、，如下图所示：则由，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC＝60°又由AC由正弦定理得：||∴||∈（0，]故||的取值范围是（0，]故答案：（0，]1．【2018年天津文科08】在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，则的值为（）A．﹣15B．﹣9C．﹣6D．0【解答】解：解法Ⅰ，由题意，2，2，∴2，∴BC∥MN，且BC＝3MN，又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（）＝7，∴MN；∴BC＝3，∴cos∠OMN，∴•||×||cos（π﹣∠OMN）＝31×（）＝﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，知3333，∴（﹣33）•＝﹣33•＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故选：C．2．【2016年天津文科07】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•．故选：C．3．【2012年天津文科08】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若2，则λ＝（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意可得0，由于（）•（）＝[]•[]＝0﹣（1﹣λ）λ0＝（λ﹣1）4﹣λ×1＝﹣2，解得λ，故选：B．4．【2010年天津文科09】如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则（）A．B．C．D．【解答】解：故选：D．5．【2019年天津文科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．6．【2017年天津文科14】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．7．【2015年天津文科13】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则•的值为．【解答】解：∵AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴BG，CD＝2﹣1＝1，∠BCD＝120°，∵，，∴•（）•（）＝（）•（）••••＝2×1×cos60°2×1×cos0°1×1×cos60°1×1×cos120°＝1，故答案为：8．【2014年天津文科13】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC ＝3BE，DC＝λDF，若•1，则λ的值为．【解答】解：∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴，，，，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，•2×2×cos120°＝﹣2，∵•1，∴（）•（）（1）•1，即44﹣2（1）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案为：2．9．【2013年北京文科14】已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：310．【2011年天津文科14】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则（2，﹣b），（1，a﹣b），∴（5，3a﹣4b）∴5．故答案为5．。

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