基本初等函数()

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1.1 初等函数图象及性质

1.1.1 幂函数

1函数(是常数)叫做幂函数。

2幂函数的定义域,要看是什么数而定。

但不论取什么值,幂函数在(0,+ )内总有定义。

3最常见的幂函数图象如下图所示:[如图]

4

2

-551015

-2

-4

-6

4①α>0时,图像都过(0,0)、(1,1

注意α>1与0<α<1的图像与性质的区别.

②α<0时,图像都过(1,1)点,在区间(0

上无限接近y轴,向右无限接近x轴.

③当x>1时,指数大的图像在上方.

1.1.2 指数函数与对数函数

1.指数函数

1函数(a是常数且a>0,a 1)叫做指数函数,它的定义域是区间(- ,+ )。

2因为对于任何实数值x,总有,又,所以指数函数的图形,总在x轴的上方,且通过点(0,1)。

若a>1,指数函数是单调增加的。若0

a>1 0<a<1

(1)定义域:R

(2)值域:(0,+∞)

(3)过点(0,1)

(4)在R上增函数(4)在R上减函数

有理指数幂的意义、幂的运算法则:

①m n m n

a a a+

⋅=;②()m n mn

a a

=;③()n n n

ab a b

=(这时m,n是有理数)

分数指数幂:

n m

n

m

n

n

n m

n

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

1

,

1

,

,

1

=

=

=

=-

-。

2.对数函数

由此可知 ,今后常用关系式 ,

如:

指数函数的反函数,记作 (a 是常数且a>0, a1),叫做对数函数。

它的定义域是区间(0,+ )。

对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称(图1-22)。

的图形总在y 轴上方,且通过点(1,0)。

若a>1,对数函数是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+ )内

函数值为正。

若0

内函数值为负。[如图]

对数函数的图象和性质

a >1

0

图 象

1

1

1

1

性 质

定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即当x =1时,y =0 x ∈(0,1)时y <0 x ∈(1,+∞)时y >0 x ∈(0,1)时y >0 x ∈(1,+∞)时y <0 在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

重要公式:

⑴负数与零没有对数; ⑵log a 1=0,log a a =1

⑶对数恒等式N a

N

a =log

(4) log a a b =b 运算法则

若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log a (MN )=log a M +log a N ;

(2)log a M

N =log a M -log a N ; (3)1

log log ;log log n

n a a a a M n M M M n

==

对数换底公式:

log a N =log m N

log m a

(a >0,a ≠1,m >0 ,m ≠1,N >0)

1.1.3 三角函数与反三角函数 1.三角函数

,奇函数、有界函数、周期函数 ;

,偶函数、有界函数、周期函数

的一切实数,奇函数、

周期函数

的一切实数,奇函数、

周期函数

;;

正弦函数和余弦函数都是以2为周期的周期函数,它们的定义域都是区间(- ,+ ),值域都是必区间[-1,1]。

正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以为周期的周期函数,它们都是奇函数。[如图]

;。

双曲函数与反双曲函数

双曲正弦:,奇函数,单调增函数;

双曲余弦:,偶函数,时,单调减,时,单调增;

双曲正切:,奇函数,单调增函数。

函数的图形见书P27~P28。

下面公式成立

反双曲正弦

反双曲余弦,

反双曲正切

函数图形的变换

平移

①由的图形,作的图形。图形右移,,图形左移。如:由图形作的图形。由的图形作的图形。

②由的图形作的图形。,图形上移,,图形下移。如:由的图形作的图形。

翻转

①由图形作的图形。(以轴为对称轴翻)如:由的图形作的图形。

②由图形作的图形。(以轴为对称轴翻)如:由的图形作的图形。

迭加与放缩(略)

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