基本初等函数()
初等基本函数知识点总结
初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。
这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。
在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。
常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。
在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。
一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。
4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。
基本初等函数
基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
基本初等函数16个公式
基本初等函数16个公式1.幂函数公式：a^m*a^n=a^(m+n)幂函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数。
2.幂函数公式：(a^m)^n=a^(m*n)该公式表示对一个幂函数求幂。
3.倒数公式：1/a*a=1任何数的倒数乘以它本身等于14. 对数公式：log(a^n) = n * log(a)对数函数是幂函数的逆函数，将指数与底数互换。
5. 对数公式：log(a*b) = log(a) + log(b)对数函数在乘法上的性质。
6. 对数公式：log(a/b) = log(a) - log(b)对数函数在除法上的性质。
7. 对数公式：log(1) = 0对数函数中底数为1时，其结果为0。
8.指数函数公式：a^0=1任何常数的0次方等于19.指数函数公式：a^(-n)=1/(a^n)任何常数的负指数等于其正指数的倒数。
10. 三角函数公式：sin(-x) = -sin(x)正弦函数对称的性质。
11. 三角函数公式：cos(-x) = cos(x)余弦函数对称的性质。
12. 三角函数公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)正切函数定义。
13. 三角函数公式：sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x),cot(x) = 1/tan(x)余切、正割和余割函数的定义。
14. 双曲函数公式：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲余弦函数的定义。
15. 双曲函数公式：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲正弦函数的定义。
16. 双曲函数公式：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲正切函数的定义。
这些基本初等函数的公式是数学中非常重要的，它们在计算和应用中经常被使用。
通过理解并熟练掌握这些公式，我们可以更好地解决各种数学问题。
2初等函数、经济中的常用函数
反正切函数的图象有何特性？
?
反正切函数图象关于原点对称，是奇函数； 是单调增函数；
arctan x ，是有界函数。
2
经济数学
1.基本初等函数 (6) 反三角函数
反余切函数：y arc cot x
反余切函数的图象有何特性？
?
是单调减函数；
0 arccot x ，是有界函数。
解：（1）y ln cos x
（2）y arctan x （3） y sin2 (ex ) （4） y tan(arcsin(x3 1))
经济数学
2. 复合函数 (3) 分解
例4 指出下列复合函数的复合过程
（1） y cos x2 ； （3） y e arccot x ；
（2） y arctan x ； （4） y ln arccos 1 x 。
解：（1） y cosu，u x2
（2）y arctan u ，u x （3）y eu，u v ，v arccot x （4）y ln u ，u arccos v，v w ，w 1 x
线性供应函数 Q c dp (c 0, d 0) 二次供应函数 Q a bp cp2 (a 0,b 0, c 0) 指数供应函数 Q Aebp ( A 0,b 0)
经济数学
2.3 经济中常用的函数
1.需求函数与供应函数 (1) 需求函数
市场对某种商品的需求量，主要受到该商品的价格的影响， 通常降低商品的价格会使需求量增加，提高商品的价格会使需求 量减少．在假定其它因素不变的条件下，市场需求量 Q 可视为该
反函数图象关于原点对称，是奇函数； 是单调增函数；
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
基本初等函数(选择题第一部分)
基本初等函数（选择题第一部分）1. 已知函数)(x f 是定义R 上的奇函数且)2()(+-=x f x f ，当10≤≤x 时，2)(x x f =,那么使21)(-=x f 成立的x 的集合为 A.},2|{Z n n x x ∈= B.},12|{Z n n x x ∈-= C.},14|{Z n n x x ∈-= D.},14|{Z n n x x ∈+=2. 设奇函数f (x )在[-1,1]上是增函数，且f (-1)= -1，若函数f (x )≤t 2-2at+1对所有的x ∈[-1，1]都成立，则当a ∈[-1，1]时，t 的取值范围是A.t ≥2或t ≤-2或t=0B.-2≤t ≤2C.21t 21≤≤-D.0t 21t 21t =-≤≥或或 3. 已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为A.,1,2B.2,1,3C. 1,2,3D. 3,2,14. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=； 当a b <时，a b b ⊕=2。
则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A.-1B.1C.6D.125. 若0<a <b <1,则在a b ,b a ,log a b,log b a 这四个数中,最大的一个是A.a bB.b aC.log a bD.log b a6. 函数f (x)=|ax 2+bx +c |（a ≠0）的定义域分成四个单调区间的充要条件是 02ab -D. 04C.b 02a b -B. 040.22<>->>->ac ac b a A 且 7. 某集镇近20年来的常住人口y(千人)与时间x(年)的函数如右图,考虑下列说法: ①前16年的常住人口是逐年增加的;②第16年后常住人口实现零增长; ③前8年的人口增长率大于1；④第8年到第16年的人口增长率小于1. 在上述说法中,只有一种说法是错误的,这个错误的说法是A.①B.②C.③ D ④8. 设集合A 和B 都是自然数集合N,映射f:B A →把集合A 中的元素n,映射到集合B 中的元n n +2,则在映射 f 下,象20的原象是A .4B .3C .2D . 5X(年)9. 已知g (x 2+1)=x 4+x 2-6,那么g (x 2+1)的最小值是D.g(1) 41C.g(1) 41-B.g(1) )0(.+g A 10. 函数y =|x -3|-|x +1|的值域是A.[0，4]B.[-4，0]C.[-4，4]D.（0，+∞）11. ,0)0(),22(2)()(,)(≠-•+=+f b a b a f b f a f b a x f 且都有对任意实数已知函数则f(x)是 A 奇函数 B 偶函数 C .既是奇函数也是偶函数 D . 既非奇函数又非偶函数12. 的单调递增区间是那么已知)(),1()(,28)(2x g x f x g x x x f -=-+=A.(-∞,1〕B. (-∞,0〕C.[-3,0]D.[0,3]13. 之间的那么上单调递增在区间已知偶函数)41(log ),2(),(,],0[ )(2f f f x f πππ--大小关系是)41(log )2()(. )2()41(log )(.22f f f B f f f A >->-->>-ππππ )()2()41(log )()41(log )2(.22ππππ->->->>-f f Df f f f C 14. 函数y=f(x)在区间(0，2)上是增函数，函数y=f(x +2)是偶函数，则下列结论正确的是)1()25()27(. )27()25()1(.f f f B f f f A <<<< )27()1()25(. )25()1()27(.f f f D f f f C <<<< 15. 已知y=f(x)有反函数，那么方程f(x)=a （a 为常数）A .无实数根B .只有一个实数根C .无实数根或只有一个实数根D .至少有二个实数根16. 已知奇函数f(x)有反函数f -1(x ),那么下结论中正确的是A. f -1(x )也是奇函数B . f(x)在定义域上是单调函数C . f -1(x )与f(x)图象关于直线y=x 成轴对称D .设f(x)的定义域是M ,值域是G ,若f(x)在M 上是单调增函数,那么f -1(x )在G 上也是单调函数17. 下列四个命题:①函数y=f -1(x )的反函数是y=f (x );②若点M(a,b )在y=f (x )的图象上,则点M'(b,a )一定在其反函数y=f -1(x )的图象上;③关于直线y=x 成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数图象;④因为函数y=f (x )与其反函数y=f -1(x )的图象关于直线y=x 对称,所以y=f (x )与y=f -1(x )的图象不能相交.其中错误的命题的个数为A.1B.2C.3D.418. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )= -f (x +2),当时 10≤≤x 时f (x )=x ,则 f (7.5)=A .7.5B .-1.5C .0.5D .-0.519. 设f(x)是定义在R 上的任意一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F -1(x )必是A .增函数且奇函数B .增函数且偶函数C .减函数且奇函数D .减函数且偶函数20. 已知c>b>a >0,那么下列不等式成立的是a cbc c b c a c a c b b c a c B A )1()1()1()1.( .ππππππππ<<<<<< c a c b b c a c a c b c c b c a C ππππππππ1111log log log D.log log log log log .<<<>>> 21. 设函数y=f (x )的定义域是R,则函数y=f (x -1)与y=f (1-x )的图象关于A .直线x =1对称B .直线x =0对称C .直线y =1对称D .直线y =0对称22. 函数f (x )的图象无论经过平移或沿直线翻折后仍不可能与y=log 2 x -1的图象重合,则f (x )是A .y =2 -xB .y =2log 4 xC .y =log 2(x +1)D .y =2 2x +123. 函数y =|2 x -2|A.在(-∞,+∞)上单调递增B.在（-∞,1]上是减函数，在［１，＋∞）上是增函数C.在（-∞,1]上是增函数，在［１，＋∞）上是减函数D.在（-∞,０]上是减函数，在［０，＋∞）上是减函数24. 已知函数f 1(x )的图象（不过原点的曲线）与f 2(x )的图象关于y 轴对称，f 3(x )与f 4(x )的图象关于x 轴对称，那么f 1(x )与f 4(x )的图象关于Ａ.原点对称 Ｂ.x 轴对称 Ｃ.直线y = -x 对称 Ｄ.y 轴对称25. 已知定义域为Ｒ的偶函数y=f (x )的一个单调递增区间是(2,6),则函数y=f (2-x )图象A.对称轴为x = -2,且一个单调减区间是(4,8)B.对称轴为x = -2,且一个单调减区间是(0,4)C.对称轴为x = 2,且一个单调增区间是(4,8)D.对称轴为x = 2,且一个单调增区间是(0,4)26. 的值是则已知函数 )]41f[f( 0)(x 30)(x log )(x 2⎩⎨⎧≤>=x x f 91-D. 9-C. 91B. 9.A27. 函数y=f (x )和函数y=g(x)的图象如下图所示，则y=f(x)·g(x)的图象可能是28. 已知y=f(x)是(0,+∞)上的增函数,且方程f(x)+x=p 与f -1(x )+x=p (p >0)的解分别是x 1,x 2,则x 1+x 2等于A.0.5pB.2pC.pD.无法确定29. 函数f(x)是定义在[a ，b ]（a<b ）上的单调减函数，则它的反函数是A.在[f (a ) , f (b )]上的增函数B.在[f (a ) , f (b )]上的减函数C.在[f (b ) , f (a )]上的增函数D.在[f (b ) , f (a )]上的减函数30. 在100个学生中,有篮球爱好者60人,足球爱好者65人,则既爱好篮球又爱好足球人数的最小值,最大值分别是A.0、60B.25、60C.35、65D.25、6531. 设函数y=f (x )为奇函数,把y=f (x )的图象沿x 轴正向平移2个单位得到图象c,又设图象c 1与c 关于原点对称，则c 1所对应的函数是A.y = -f (x -2)B.y=f (x -2)C.y = -f (x +2)D.y =f (x +2)32. 方程f (x,y )=0的曲线如图,那么方程f (2-x,y )=0的曲线是33. 经过变换得到曲线将曲线1 =x y A.向左平移2个单位，向上平移3个单位； B.向左平移2个单位，向下平移3个单位；C.向右平移2个单位，向上平移3个单位；D.向右平移2个单位，向下平移3个单位.34. 如果函数：f (x )=x 2-ax +3≥x 对一切实数x 恒成立, 则132)32(1-D. 3232-C. 32-1B. )321(.A -≤≤+≤≤+>+-<a a a a35. 已知f (x )=(x-a )(x-b )-2,并且m,n 是方程f (x )=0的两根,实数a,b,m,n 的大小可能是A .n<a<b<mB .a<n<m<bC .a<n<b<mD .n<a<m<b36. 已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点，那么｜f (x +1)｜＜1的解集是A.(1，4)B.(-1,2)C.(-∞,1)∪［4,+∞)D.(-∞,-1］∪［2,+∞)37. 的值是则且如果)2001()2002()5()6()3()4()1()2(,2)1(),()()(f f f f f f f f f y f x f y x f ++++==+ A.1999 B.2000 C.2001 D.200238. 已知不恒为零的函数f (x )对任意实数x,y 都满足f (x+y )+f (x-y )=2[f (x )+f (y )],则f (x )是A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数39. 的大小关系是则的图象如图所示设函数 ,,,)(2c b a cx b ax x f ++= A.a >b >c B.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b40. 对某种产品市场销量情况如图所示，其中：l 1表示产品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销售情况，下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； (3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量，你认为较合理的叙述的是A.(1)(2)(3)B.(1)(3)C.(2)D.(2)(3)41. 设函数,2)2(),0()4()0(2)0( )(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为A.1B.2C.3D.442. 函数()()log 11a y x a =+>的大致图像是. A 2yx 2y x -2y x -2y x B C Dl 2l 1O y(万吨)x(年份)43. 已知函数f(x)满足f(x+2)=21)2(),()(1)(1=∈-+f R x x f x f ，则f (2004)等于. A.21 B.1 C.2 D.3 44. 对于函数a ax y +-=1的图象C ，有下列命题：① C 关于l ：x －y ＝0对称；② C 关于l ：x ＋y ＝2a 对称；③C 关于A (a ，a )对称；④ C 关于B (－a ，－a )对称 其中假命题是A.①B.②C.③D.④45. 已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则 A.0<λ B.0=λ C.10<<λ D.1≥λ 46. 是那么是有理数是无理数已知函数)( )(x 1)(x 0)(x f x f ⎩⎨⎧=A.奇函数且为周期函数B.偶函数且为周期函数C.非奇非偶函数且非周期函数D.偶函数且非周期函数 47. 的图象分别是函数 1)(,1,1)(,1)(4321x x f x f x x f x x f +=+=-=-=点集C 1,C 2,C 3,C 4,这些图象关于直线x =0的对称曲线分别是点集D 1,D 2,D 3,D 4，现给出下列四个命题：①D 1⊆D 2;②D 1∪D 3=D 2∪D 4;③D 4⊆D 3;④D 1∩D 3=D 2∩D 4.其中,正确命题的序号是A.①③B.①②C.③④D.②④48. 已知f(x)的定义域为R,对任意x 都有f (1-x )=f (1+x ),且当x ∈(-3,-1)时f(x)=3x -2;则当x ∈(3,5)时f(x)的解析式为A.3x-8B.3x-1C.1-3xD.4-3x49. 如果函数使得存在常数对任意实数,,)(M x x f 不等式个函下面有为有界泛涵那么就称函数恒成立4,)(,)(x f x M x f ≤数：①1)(=x f ； ②2)(x x f =；③x x x x f )cos (sin )(+=； ④1)(2++=x x xx f ．其中有两个属于有界泛涵，它们是．A.①，②B.③，④C.①，③D.②，④50. 如右图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长2的等边三角形，设直线l ：x=t （0≤t ≤2），截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数s =f （t ）的图象只可能是O x y O x y -1 O 1 xy-1 O 1 x y AB51.的表达式为则已知)(,)11(x f x x x f =+-1x 2x D. 1x -1C. 1-x 1x B. 11.+++-+x x x A 52. f (x )是定义在区间[-c,c ]上的奇函数，其图象如图所示。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质定义域 (),-∞+∞对称轴2b x a=-顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数函数名称 指数函数定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =y(0,1)1y =x a y =y(0,1)1y =（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． (6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法x yO(1,0)1x =log a y x =xyO (1,0)1x =log a y x=①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式例1. 抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D. ()2312y x =-+-例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1--222x mx m -++例4.已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15； （3）()0f x =的两根立方和等于17 求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -=例10. 讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11. 计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ）A、12 C、—12例12.等于（ ） A 、 B 、 C 、 D 、例13. 若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P（ ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)4416a 8a 4a 2a例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、 C D 例21.2log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+ B、2log y =C 、21log y x = D、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称例23.函数)()lgf x x =是 （奇、偶）函数。
基本初等函数(选择题第二部分)
1 2
C.-2
D.2
10. 已知 f (1, 1) 1, f (m, n) N (m . n N ) ，且对任何 m. n N 都有： ① f (m, n 1) f (m, n) 2 ；② f (m 1, n) 2 f (m, n) ，给出以下三个结论： （1） f (1, 5) 9 （2） f (5, 1) 16 （3） f (5, 6) 26 ，其中正确的个数为 A.3
1 2 8. 已知 f ( x) 在 R 上是减函数，且它的反函数为 f 1 ( x) ，如果 A（－2，1）与 B（2，－3） 1 x 1 ) | 2 的解集是 是 y f ( x) 图像上的两点，则不等式 | f ( x 1 1 A. { x | x } B. { x | 0 x } C. {x | x 0} D. 4 4 3 9. 设函数 f(x)的图象关于点（1， ）对称，且存在反函数 f 1 ( x )，若 f（3） = 0，则 f 1 2
B. a
1 5
C. a 1或a
1 5
D. a 1
21. 二次函数 y ax b 与一次函数 y ax b(a b) 在同一个直角坐标系的图像为
y
y
O
y x
O
y x
O
x
O
x
C D
22. 定义 ，其中
A
x R，n N * ，例如 M
4 4
B
n Mx x( x 1)( x 2)( x 3) „( x
3 3 14. 定义的 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2 )－f(x)＝0，且函数 y＝f(x－4 )为奇函数，给出下列命 3 题：①f(x)的周期是2 ； 3 ②y＝f(x)的图象关于点（－4 ，0）对称； 其中真命题的个数是 D.0
基本初等函数有哪些
基本初等函数有哪些
基本初等函数有：
(1)常数函数y = c( c 是一个常数)
(2)幂函数y = x^a( a 是一个常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1，真数x>0)
(5)三角函数与反三角函数(比如正弦函数：y =sinx 反正弦函数：y = arcsin x等。
)
初等函数的性质是什么
幂函数
像y=x^a功能，在哪里？a是一个真正的常数。
指数函数
像y=a^x功能，在哪里？a不等于1正常数。
对数函数
手指数函数反函数，记录为y=loga a x，在哪里？a不等于1正常数。
在指数函数和对数函数之间关系，loga ax=x。
三角函数
正弦函数y=sinx ，余弦函数y=cosx ，正切函数y=tanx，余切
函数y=cotx ，割线函数y=secx，余割功能y=cscx(看见三角学)。
反三角函数
三角函数反函数——反正弦函数y = arc sinx ，后面超过字符串函数 y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函数0≤y≤π) ，后面只是切功能 y=arc tanx ，反余切函数 y = arc cotx(-∞<x<+∞，θ<y<π）等。
这些函数通常被称为基本初等函数。
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
五类基本初等函数
五类基本初等函数一元函数一元函数是数学里一种最基本的函数形式，它只含有一个变元。
即只有一个自变量，根据这个自变量计算出一个固定的值，例如：y=1/x，函数的定义域和值域为实数集合。
一元函数可以用来表示单纯的变换，即每一个函数值只具有一个变量的特性。
二元函数二元函数是一类常用的函数，它描述的是一个函数的定义域的双变量的关系，即每一个函数值拥有两个变量的特性。
例如，函数f（x，y）=x2+y2表示点（x，y）在直角坐标系上的变化。
二元函数也常常用来描述现实世界中物体之间的变化关系，例如，热量、动量、电势差以及力等。
三元函数三元函数是指有三个变元的函数，它和二元函数类似，但是拥有三个变量，例如，三元函数f(x,y,z)=x2+y2+z2是表示空间中某个点的到原点的距离的函数。
三元函数可以被用来描述三维物体之间的相互变化关系，常常被多学科用来描述不同物理量之间的变化，比如大气压、温度、斜率等等。
高次函数高次函数是指变元个数大于三个，并且大于三元函数的函数。
它可以是有一定定义域或ROI范围的多元函数，根据这些自变量的多维空间变量计算出固定的值，例如：函数f（x1，x2，x3，x4）= x1 + x2 + x3 + x4。
复合函数复合函数通常是将多种基本函数组合使用，以达到不同的目的。
例如，有的函数是将平方、高次函数等基本函数组合而成的。
我们常常可以看到这样的函数形式：f(x)= a*xb + y，这就是一个复合函数。
这类函数可以用来描述较复杂的现实形势，例如，它可以用来描述物理现象、生物特征及经济形势等多种情况。
综上所述，初等函数是数学中非常基础但又十分重要的概念，它们通常有一元函数、二元函数、三元函数、高次函数以及复合函数等。
它们可以用来描述各种不同的情况，被广泛应用于各个领域。
因此，弄清楚这些基本函数的正确使用方法非常有必要，不仅可以拓展人们的数学视野，而且能给我们的学习与研究带来更大的便利。
基本初等函数知识点
基本初等函数中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。
什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。
力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。
一、一次函数初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。
解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。
那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……画出以下解析式的图像：要求快（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根据以下条件，设出一次函数的解析式：(1)直线经过(1,2)点(2)直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。
因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。
二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。
十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。
二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．1、二次函数的三种表示形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式．Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1.∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a.∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7∴4－2(15＋a)a＝7，∴a ＝－6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX ：函数y=x 2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0进阶Eg ：(建议一做)：已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0≤x ≤1时有最大值2, 求m 的值 (1)若(2b x a =-<=0) (2)若(0<2b x a =-<1) (3)若(2bx a=->=1) key:m=-1 or m=2 解析：每种情况分别画出草图。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的概念：函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。
其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。
函数可以用来描述不同变量之间的关系或者用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。
二、函数的表示法：函数可以用不同的表示法来表示。
最常见的表示法有解析式表示法、图像表示法和表格表示法。
例如，一元一次函数y=ax+b就是一个常见的初等函数。
三、函数的性质：1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的因变量的可能取值范围。
2.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立，则函数具有偶性；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立，则函数具有奇性。
3.单调性：如果对于任意x1>x2，有f(x1)>f(x2)成立，则函数为递增函数；如果对于任意x1>x2，有f(x1)<f(x2)成立，则函数为递减函数。
4.周期性：如果对于任意x，有f(x+T)=f(x)成立，则函数具有周期T。
四、常见初等函数的性质和图像：1.常数函数：f(x)=c（c为常数），图像为平行于x轴的一条直线。
2. 一次函数：f(x) = ax + b（a和b为常数），图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，b为与y轴交点的纵坐标。
3.幂函数：f(x)=x^n（n为常数），图像的形状与n的奇偶性以及正负有关，例如，当n为正奇数时，图像的右上和左下部分都在x轴上方。
4.指数函数：f(x)=a^x（a为常数且大于0且不等于1），图像呈现出一种快速增长的趋势。
5. 对数函数：f(x) = loga(x)（a为常数且大于0且不等于1），图像为一条光滑的上升曲线，a决定了函数增长的速度。
五、初等函数的运算：1.四则运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以进行加减乘除运算，得到新的初等函数。
2.复合运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以将g(x)的值代入f(x)进行运算，得到新的初等函数。
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．小结：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x 为何值,y 总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a ＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增. 幂函数(a 为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
函数知识及基本初等函数知识总结
函数知识及基本初等函数知识总结
函数是数学中重要的概念，它是建立在实際对象之间的一对一的对应关系，具有某种规律的集合各分量的顺序数组，包括几何图形、代数表达式和函数图像。
一般来说，函数可以分为两种：初等函数和非初等函数。
（1）初等函数
初等函数指由乘法、连加、幂等、乘方、根号及其组合而成的函数，常见的初等函数有常数函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
（2）指数函数
指数函数是指函数中变量作为指数项的函数。
指数函数y=ax，其中a是常数，x是变量。
它是当变量为1时，函数值等于a来定义的。
指数函数y = ax 的导函数为y'= axln a。
（5）根号函数
根号函数是指上限可以达到无穷的幂函数。
函数y=x^(1/n)，其中n是常数，x是变量。
根号函数y=x^(1/n)的导数为y'= 1/nx^((1/n)-1)。
以上就是初等函数的简介，初等函数包含常数函数，指数函数，对数函数，幂函数，根号函数这五类基本函数，其中又以指数函数、对数函数和幂函数最为常用。
初等函数是由乘法、连加、幂等、乘方、根号及其组合而成的函数，它们满足变换群的性质，可以通过函数变换求解问题，是应用数学中的重要内容。
基本初等函数
正增负减，
0 1
指大图高；
1
0
奇偶一致，
负双正抛.
0
1
x
知识梳理
7．几类函数模型及其增长差异
几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 反比例函数模型
二次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b 为常数，a≠0) f(x)＝k＋b (k，b 为常数且 k≠0)
x f(x)＝ax2＋bx＋c
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题型一 函数性质综合考察
例3.求下列函数的单调递增 区间
(1) y 2x2 , x2 (2)y ( 1 )x2 x2 2
( 3 ) 三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是 ()
A. 0.76< log0.76 < 60.7 B. 0.76 < 60.7< log0.76
质
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数； (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在R上是减函数
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
知识梳理
5.指数函数与对数函数对比
y 0.5x
y 10x
x
1.定义域：(,)
性 2. 值域： (0,)
质 3.过点 (0,1) ,即x=0时,y=1
4.在R上是 函数 在R上是 函数
知识梳理
（4）指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图像规律
一元函数微分学1.3 初等函数(初等函数的概念)
常用字母u, v 等表示）替代，若所得函数是基本初等函数或常数与基本初等函数和、差、积、商形成的函数，则解成立. 例 1 分解下列复合函数
（1） y 2x x2 .
解 令2x x2 u ，得 y u ，
因此 y 2x x2 可分解成 y u,u 2x x2.
因为u 2x 1的值域是(,) 没有包含在 y u 的定义域为 [0, ) 中.
但当 x 1 时， y u 与u 2x 1可以复合为 y 2x 1. 2
研究复合函数时，常常需要知道一个复合是由哪些函数复合而成，这就 是复合函数的分解.
数学中，我们通常是将复合函数分解成基本初等函数或常数与基本初等 函数和、差、积、商形成的函数.
x 0， x0
（5） y x x2 x3 .
微积分主要是研究初等函数.
注意：只有u (x)的值域包含在 y f (u)的定义域内，函数 y f (u)与u (x)才能复合成复合函数．
例如， 函数 y sin u与u 2x 1可以复合成函数 y sin(2x 1). 因 为 函 数 u 2x 1 值 域 (,) 包 含 在 函 数 y sin u 的 定 义 域 (,)中. 函数 y u 与u 2x 1是不能复合的.
二. 初等函数 1. 复合函数
实 例 某 企 业 的 利 润 随 收 入 的 变 化 规 律 为 L 100 e 2 R ，而 收 入 随销量的变化规律为R 2x，试找出其利润随销量的变化规律.
利润随销量的变化规律应为 L 100 e4x.
定义 设 y f (u)是u 的函数，u (x)是 x的函数．如果u (x) 的值域包含在 y f (u)的定义域内，则称函数 y f ( (x))叫由函数 y f (u)与u (x)复合而成的复合函数，简称复合函数.其中，x是 自变量，u 称作中间变量．
基本初等函数基础题汇总(解析版)
基本初等函数基础题汇总(解析版)基本初等函数基础题汇总(解析版)基本初等函数是数学中的重要概念，对于学习和理解其他数学领域，如微积分和代数等，都具有重要意义。
本文将对基本初等函数中的一些常见题目进行汇总，并提供解析，帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质和应用。
一、线性函数线性函数是最基本的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，斜率为k，截距为b。
例题1：已知直线y = 2x + 3，在x轴上的截距为多少？解析：由于直线截距在x轴上时，y坐标为0，即当y = 0时，2x +3 = 0。
解得x = -1.5，因此直线在x轴上的截距为-1.5。
例题2：已知直线过点A(2, 5)和B(4, 7)，求直线的斜率。
解析：根据斜率的定义，斜率k等于直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
代入点A(2, 5)和B(4, 7)，得到k = (7 - 5) / (4 - 2) = 1。
二、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其表达式为y = a * e^(kx)，其中a和k为常数。
指数函数的图像为开口向上或向下的曲线。
例题3：已知指数函数y = 2 * e^x，求函数的值当x = 0时的值。
解析：当x = 0时，y = 2 * e^0 = 2。
例题4：已知指数函数过点A(1, 4)和B(2, 8)，求函数的底数。
解析：代入点A(1, 4)，得到4 = a * e^k。
代入点B(2, 8)，得到8 = a * e^(2k)。
将第一个等式除以第二个等式，消去a后得到0.5 = e^(-k)，即e^k = 2。
因此函数的底数为2。
三、对数函数对数函数是指以某个正数a为底的对数运算的逆运算函数，其表达式为y = logₐx，其中a为正数，且a ≠ 1。
对数函数的图像为一条曲线。
例题5：已知对数函数y = log₄16，求函数的值。
解析：对于对数函数，y的值表示底数a对应的幂次方，即4^y = 16。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。
当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。
当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。
当b等于0时，函数图像经过原点。
二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。
一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。
2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。
3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
-Δ/4a)。
当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。
-b/2a)上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。
-b/2a]上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。
三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。
2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。
四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。
2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。
正数的负分数指数幂没有意义。
非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。
对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。
六种基本初等函数(elementary function)
六种基本初等函数(elementary function)
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
目前有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。
1分类方法
2幂函数定义性质
3指数函数定义性质
4对数函数
5三角函数
6反三角函数
7常数函数定义性质
分类方法
高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
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1.1 初等函数图象及性质
1.1.1 幂函数
1函数（是常数）叫做幂函数。
2幂函数的定义域，要看是什么数而定。
但不论取什么值，幂函数在(0,+ )内总有定义。
3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]
4
2
-551015
-2
-4
-6
4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1
注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.
②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0
上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图像在上方.
1.1.2 指数函数与对数函数
1．指数函数
1函数（a是常数且a>0,a 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(- ,+ )。
2因为对于任何实数值x，总有，又，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数是单调增加的。
若0<a<1，指数函数是单调减少的。
a＞1 0＜a＜1
图
象
性
质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点(0，1)
(4)在R上增函数(4)在R上减函数
有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①m n m n
a a a+
⋅=；②()m n mn
a a
=；③()n n n
ab a b
=（这时m,n是有理数）
分数指数幂：
n m
n
m
n
n
n m
n
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
,
1
,
,
1
=
=
=
=-
-。
2．对数函数
由此可知 ，今后常用关系式 ，
如：
指数函数的反函数，记作 （a 是常数且a>0， a1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+ )。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称（图1-22）。
的图形总在y 轴上方，且通过点(1,0)。
若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+ )内
函数值为正。
若0<a<1，对数函数是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+ )
内函数值为负。
[如图]
对数函数的图象和性质
a >1
0<a <1
图 象
1
1
1
1
性 质
定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x ＝1时，y ＝0 x ∈（0，1）时y ＜0 x ∈（1，＋∞）时y ＞0 x ∈（0，1）时y ＞0 x ∈（1，＋∞）时y ＜0 在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1＝0，log a a ＝1
⑶对数恒等式N a
N
a =log
(4) log a a b ＝b 运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；
(2)log a M
N ＝log a M －log a N ； (3)1
log log ;log log n
n a a a a M n M M M n
==
对数换底公式：
log a N ＝log m N
log m a
(a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0)
1.1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数
，奇函数、有界函数、周期函数 ；
，偶函数、有界函数、周期函数
；
，
的一切实数，奇函数、
周期函数
，
的一切实数，奇函数、
周期函数
；
，
；；
正弦函数和余弦函数都是以2为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(- ,+ )，值域都是必区间[-1,1]。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以为周期的周期函数，它们都是奇函数。
[如图]
；。
双曲函数与反双曲函数
双曲正弦：，奇函数，单调增函数；
双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增；
双曲正切：，奇函数，单调增函数。
函数的图形见书P27~P28。
下面公式成立
，
，
，。
反双曲正弦
反双曲余弦，
反双曲正切
函数图形的变换
平移
①由的图形，作的图形。
图形右移，，图形左移。
如：由图形作的图形。
由的图形作的图形。
②由的图形作的图形。
，图形上移，，图形下移。
如：由的图形作的图形。
翻转
①由图形作的图形。
（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。
②由图形作的图形。
（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。
迭加与放缩（略）。