概率与数理统计第四章

的数学期望存在，且
E(Z ) E[ g ( X , Y )]


g x, y f x, y dxdy
例 4.1.13 设随机变量 X , Y 的联合密度函数为
12 y 2 f x, y 0 0 y x 1 其它
求 E XY ．
E ( Z ) zf ( x, y )dxdy
R2
x y
zf ( x, y)dxdy zf ( x, y)dxdy
x y
dx (3x 1) f ( x, y)dy dy 6 y f ( x, y)dx
0 0 0 0

x

y
27 1 4 2
E( X1 ) 0 0.2 1 0.2 2 0.6 1.4
E( X 2 ) 0 0.1 1 0.5 2 0.4 1.3
由于
E( X1 ) E( X 2 )
故甲的成绩强于乙的成绩.
例4.1.2 设随机变量X服从参数为p的0-1分布， 试求X 的数学期望.
当 g ( X , Y ) X 时，由定理 4.1.2 可得
E( X )




xf ( x, y)dxdy
类似的还有
因而甲期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于
3 1 100 0 75(元). 4 4
即, X 的可能值与其概率之积的累加.
2.2.2 数学期望的定义
定义 2.2.1 设离散型随机变量 X 的分布律是 pi P( X xi ) , i 1, 2, , n, 如果 xi pi 收敛，则称随机变量的数学期望存在， 并称 xi pi 为随机变量 X 的数学期望， 简称期望 或
分析：假设继续赌两局, 用A和B分别表示甲和乙 获胜，则结果有以下四种情况: AA AB BA BB
把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合,即 甲和乙 赌完五局, 前三局: 后二局: 甲胜2局乙胜1局 AA AB 甲胜 BA BB 乙胜
故有, 在赌技相同的情况下,甲、乙 最终获胜的 可能性大小之比为3:1. 即甲 应获得赌金的3/4，而 乙 只能获得赌金的1/4. 因此, 甲 能“期望”得到的数目应为
P{Y 2000 } P{1 X 2} F (2) F (1) 0.0861
P{Y 2500 } P{2 X 3} F (3) F (2) 0.0779
P{Y 3000 } P{X 3} 1 F (3) 0.7408
所以


xf ( x)dx

绝对收敛,则称 xf ( x)dx 的值为 X 的数学期望,记为 E(X),即有
E( X )

xf ( x)dx
数学期望简称为期望,又称为均值.
例4.1.5 设 X ~ U [a, b],求 E ( X )
解 由于 X 的概率密度为
1 , f ( x) b a 0,
E (Y ) 1500 0.0952 2000 0.0861 2500 0.0779 300 0.7408 2732 .15
即平均一台收费2732.15元
例4.1.4 设X服从参数为 的泊松分布,求 X 的数学 期望. 解 由于X的分布律为 故
P( X k )

k
0.3
0.2
求 E( X 2 ) ．
解 由定理4.1.1，得
E ( X ) 2 0.1 02 0.4 12 0.3 42 0.2 3.9
2 2
例 4.1.10 设随机变量 X ~ U 0,1 ，求 E (e ) ．
X
解 由定理2.2.1，得
E (e )
解 由题意知X的分布律为
X
0
1 p
P 1 p
故
E( X ) 0 (1 p) 1 p p
例4.1.3 某商店对某种家用电器的销售采用先使 用后付款的方法,记使用寿命为X(以年计),规定 X 1, 一台付款1500元;
1 X 2, 一台付款2000元;
2 X 3, 一台付款2500元;
X

e f x dx e 1dx e 1
x x 0
1
例4.1.11 设某种商品每周的需求量X服从区间 [10,30]上的均匀分布,而经销商进货数为区间[10,30] 中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元; 若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100 元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位仅 获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280,试 确定最小的进货量. 解 设进货数为a,则利润为 500a ( X a)300, a X 30 Ya g ( X ) 500 X (a X )100, 10 X a
X 3, 一台付款3000元; 设寿命X服从参数为0.1的指数分布,试求该商店一 台收费Y的数学期望.
解 由题意, X的分布函数为
F ( x) 1 e
x 10
( x 0)
Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且
P{Y 1500 } P{X 1} F (1) 1 e0.1 0.0952
第四章 随机变量的数字特征
上传 snr5aliu(刘景波) 仅用于学习交流
§4.1 数学期望
引例1 分赌本问题(产生背景)
甲、乙 两人赌技相同, 各出 赌金50元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 100 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
解 因为 X , Y 相互独立且均服从参数为 的指数 分布，所以 X , Y 的联合密度函数为
2e x y f ( x, y) 0
E ( Z ) zf ( x, y )dxdy
R2wk.baidu.comx y
x 0, y 0 其它
x y
zf ( x, y)dxdy zf ( x, y)dxdy
k!
e

k 0,1, 2,
E( X ) k
k 0
k
k!
x
e

e


(k 1)! e
k 1
k 1

e

x x e k 0 k ! k 1 ( k 1)!
k k 1
定义2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x) , 若积分

30
E(Ya ) 7.5a2 350a 5250
依题意,有
7.5a 350a 5250 9280
2

7.5a 350a 4030 0
2

2 20 a 26 3
故利润期望值不少于9280元的最少进货 量为21单位
定理 4.1.2
（ 1 ）如果 X , Y 是二维离散型随机变量，联合分布律 为
设 Z g X , Y 是二维随机变量 X , Y 的已知函数

PX xi , Y y j pij ， i, j 1,2, ,则当 g xi , y j pij
时， Z g X , Y 的数学期望存在，且
i 1 j 1
3 1 100 0 75(元), 4 4
而乙 能“期望”得到的数目, 则为
1 3 100 0 25(元). 4 4
若设随机变量 X 为:在甲胜2局乙胜1局的前提 下, 继续赌下去甲最终所得的赌金. 则X 的分布列为:
100 0 3 / 4 1/ 4
解
E XY



xyf x, y dxdy
dx xy 12 y 2dy
0 0
1
x
1 3 x dx 0 2
1 5
例 4.1.14 设随机变量 X , Y 独立同分布，均服从 参数为 的指数分布．令 3 X 1 X Y Z X Y 6Y 求 E (Z )
P( X xk ) pk , k 1,2, ， 则 当
g x p
i 1 i

i
时 ，
Y g X 的数学期望存在，且
i 1
E (Y ) E[ g ( X )] g xi pi
（ 2 ）如果 X 是连续型随机变量，且其密度函数是
故

a xb else
b
x E ( X ) xf ( x)dx dx ba a
1 1 2 ab x ba 2 2 a
b
例4.1.6 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布, 求 E ( X ). 解
e x , x 0 f ( x) else 0,
1 2



( u )e
du 2
du
u2 2
2

ue
u2 2


e
du
例4.1.9 柯西分布的数学期望不存在 设随机变量 X 服从柯西分布，则其概率密度为
1 f ( x) , x 2 1 x
由于
1
1 | x | 1 x 2 dx
E( X )

xf x dx
0
x e
x
dx
1

例4.1.7 设随机变量 X ~ N (, ) ,求E(X).
2
解 则
1 E( X ) x e 2

( x )2 2
2
dx
x 令u
u2 2
E( X )
i 1

i 1
均值，记作 E ( X ) ．即
E ( X ) xi pi
i 1

例4.1.1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为 X1 , X 2 , 它们的分布律分别为 X1 X2 0 0 1 2 1 2
pk 0.2 0.2 0.6
pk 0.1 0.5 0.4
试评定他们成绩的好坏. 解 甲乙两个人得分的数学期望分别为

1
故 E(X) 不存在.
4.1.3 随机变量函数的数学期望
在很多实际问题中，经常遇到求 随机变量函数的数学期望问题．下 面两个定理给出了求随机变量函数 的数学期望的简便方法．利用这二 个定理可以省略求随机变量函数的 分布．
定理 4.1.1
设 Y g X 是随机变量 X 的一个已知函数 （1）如果 X 是离散型随机变量，且其分布律是
i 1 j 1
E (Z ) E[ g ( X , Y )] g xi , y j pij
（2）如果 X , Y 是二维连续型随机变量，且其联合密度函数 是 f x, y ，则当



g x, y f x, y dxdy 时， Z g X , Y
300X 200a, a X 30 600X 100a, 10 X a
而由题意知,X的概率密度为
1 , 10 x 30 f ( x) 20 其它 0,
故期望利润为
1 E(Ya ) Eg ( X ) g ( x) f ( x)dx g ( x)dx 20 10 a 30 1 1 (600 x 100a)dx (300 x 200a)dx 20 10 20 a 7.5a 2 350a 5250
f x ，则当
望存在，且

g x f x dx 时，Y g X 的数学期

E(Y ) E[ g ( X )]
g x f x dx
例 4.1.9 设随机变量 X 的分布律是 0 1 4 X -2
P
0.1
0.4