1-3冲激信号性质重点
冲激函数
一冲激函数的定义在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。
对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。
1 单位冲激函数的普通数学定义定义有多种方式，其中定义1设有一函数P(t)当n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。
这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。
定义2 狄拉克（Dirac）定义上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。
2 单位冲激函数的广义定义选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。
根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。
按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。
如将(1)式中的函数看做广义函数，则有：当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得比较以上两式，得按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如:δ(t)=高斯钟形函数δ(t)=取样函数δ(t)=双边指数函数等等而对于离散的δ[n]定义很简单:δ[n]=1,(n=0)δ[n]=0,(n 0)二 冲激函数的性质 1.微分性质冲激函数δ(t)的一阶导数可定义为:通常称δ‘(t )为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示冲激偶信号两个重要性质n 阶导数为:由于选好了性能良好的检验函数空间中，广义函数的各阶导数存在并属于缓增广义函数空间中，广义函数的求导运算和求极限运算可以交换次序，这就摆脱了普通函数求导求极限运算的限制，分析更加灵活简便。
冲激函数的性质
e(t )
r (t )
r(t ) = e(t τ )
�
δ 为了信号分析的需要, 函数, 为了信号分析的需要,人们构造了 (t ) 函数,它属于广 t 而言 δ 义函数.就时间 而言, (t ) 可以当作时域连续信号处 义函数. ,
理,因为它符合时域连续信号运算的某些规则.但由于 因为它符合时域连续信号运算的某些规则. δ (t ) 是一个广义函数,它有一些特殊的性质. 是一个广义函数,它有一些特殊的性质.
e1(t ) e2 (t ) r (t ) e1(t )
∑
e2 (t )
r (t )
r(t ) = e1(t ) + e2 (t ) r(t ) = e1(t ) e2 (t )
2.乘法器 2.乘法器
e1(t ) e2 (t )
r (t )
注意: 与公式中的卷积符号相区别,没有卷积器. 注意: 与公式中的卷积符号相区别,没有卷积器. 3.标量乘法器(数乘器,比例器) 3.标量乘法器(数乘器,比例器) 标量乘法器
∞
④ f (t )δ ′(t) = f (0)δ ′(t) f ′(0)δ (t ) ,
不同) (与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t ) 不同)
X
∞
冲激函数的性质总结
(1)抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
(5)冲激偶 δ ′(t ) = δ ′(t )
∫
+∞
s(t )
1
δ (t )
∞
(1)
τ 1 τ
τ τ o τ
s′(t )
1
τ
t
O
t
τ →0
δ ′(t )
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
1.3_冲激函数
1
方法二： 0 0 1 f t(2t+2)反折 f (-2t+2)] .5 压缩 平移 f (t+2)
1
平移
2
t
另外应该还
方法三： f (t 方法一： 2) 压缩 f (2t) f (-2t)平移 f [-2(t-1)] 压缩 f (2t) 反折 1 f (2t 2) 平移 f [2(t+1)] 反折 f (-2t+2)
折叠信号的平移
f (t )
1
0
f (-t-1)= f [-(t+1)]将 已知 ff(t) 求 f (-t-1) (-t) 的波形向左移动 1。
f (t ) f (t 1)
平移
反折
1
平移
t
1
0
t
2
1
0
t
f (t 1)
1
0
反折
1
2
t
13
第一章第2讲
信号的平移与折叠
折叠信号的平移
任何偶函数的导数为奇函数。
第一章第2讲 5
举 例 1
下列各表达式中错误的是______ C 。
( A) ( B) (C ) ( D) (C )
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t t0 )dt f (0) f (t t0 ) (t )dt
1
0
平移 请同学们自己思考绘出图形。
1
0
t
0.5 0
第一章第2讲
第一章 信号与系统概论(2)
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有
总复习(信号与线性系统必过知识点)
( t0，t0 +T )
2）指数函数集 ejnt n 0,1,2, ,
( t0，t0 +T )
3.2 周期信号的傅里叶级数展开
（1） f(t)为奇函数 正弦分量
（2） f(t)为偶函数 （3） f(t)为奇谐函数 （4） f(t)为偶谐函数
余弦分量+直流分量 奇次谐波 偶次谐波+直流分量
rzi (0 ), r 'zi (0 ), rz(in1) (0 )
4） 将初值带入rzi(t)的通解表达式，求出待定系数。
例1：已知某系统激励为零，初始值r(0)=2， r’(0)=1，r”(0)=0，描述系统的传
输算子为 解：
H(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
当激励e(t)=3 ε(t) ，初始状态保持不变时，响应 r2(t)=(8e-2t -7e-3t) ε(t)。
求：（1）激励e(t)=0，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应 r3(t)=？ （2）激励e(t)=2 ε(t)，初始状态为零时的响应r4(t)=？
解:
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时， 响应
2
2
2
例2：计算
4
(2 4t)(t 2)dt
1
解：4 (2 4t)(t 2)dt 1
4 1 (t 1)(t 2)dt 0
14
2
注意积 分区间
1. 2 信号的运算
1）折叠：y(t)=f (-t) 2）时移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：y(t)=-f (t) 4）展缩：y(t)=f (at) 其中：a>0
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
绪论阶跃信号冲激信号-PPT
0
t
信号与系统 第一章 绪论
延时得单位阶跃信号
0
u(t t0 ) 1
1 2
u(t-t0) 1
t t0 t t0
t t0
0
t0
t
信号与系统 第一章 绪论
(2)矩形脉冲信号
u(t) 1 1 0u(t-t0)
0
t0
1
0
t0
G(t) u(t) u(t t0 )
G (t ) t
1
t
0
2
2
t
G
(t
)
u
(t
2
)
u
(t
2
)
t
信号与系统 第一章 绪论
物理背景
1V
e(t)
负载
t＝0时开关闭合 e(t)=u(t)
t=t0时开关闭合e(t)=u(t-t0) t=0时闭合,作用一段时间后在t=t0时打开
e(t)=u(t)－u(t-t0) 三种情况表示实际中得理想化模型
信号与系统 第一章 绪论
(t)
lim 0
1
2
t
e
f (t) 1 2
(t
)
lim0 1
e
(t
)2
f (t) 1
0
t
0
t
信号与系统 第一章 绪论
Sa(t)信号(抽样信号)演变为冲激函数
(t)
lim
k
k
Sa(kt)
f (t) k
k
k
0
t
K越大,函数得振幅越大,且离开原点时函数振荡越快,衰
减越迅速。曲线下得净面积保持１。当k时,得到冲
dt
A、冲激函数使得不连续点处得导数存在,冲激强调 大小等于跳变量,冲激点在跳变点处
信号分析1-3主阶跃信号和冲激信号
f (t)
0t 其它
K
O
t 0 t 0
(t=0时为0)
O
t
k k f( t ) t [ ( t ) ( t )] t(t)( t )
t
二．单位冲激信号
1.定义： (t ) (Dirac)函数
o
由门函数求极限定义冲激函数
1 1 p ( t ) g ( t ) t t 2 2
0过程中
面积始终为1； 脉宽↓
则窄脉冲集中于 t=0 处。
1
p( t )
2
O
2
t
脉冲高度↑；
p (t )
1
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷 t 0 ★ 幅度 0 t 0
t
对三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函 数在取0极限时，都可以认为是冲激函数。
1 ( t ) lim p ( t ) lim t t 0 0 2 2
g t 3 t 2 t 4 2
2
2
O
2
t
f ( t ) cos t ( t 2 ) ( t 5 ) cos tg ( t 3 . 5 ) 3
2
f( t ) g t信号表示门内的函数部分。 t ) ( 0
2. 延迟的单位阶跃信号
0 ( t t ) 0 1
1 1 t 0 点无定义或 2 O
(t t 0 )
冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击图1-2强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
1-3冲激信号性质重点
4.应用 (t)和 (t)的抽样性计算
4 t2 (1 t)dt 4
et sin t (t 1)dt
0
2
X
第
复合函数形式的冲激信号（了解）
8
页
形式 : f (t)
设f (t) 0有n个互不相等的实根ti (i 1,2, n)
则:
n
f (t)
f (t) (t)d t f (0)
(t)d t 0
（2）奇偶性 (t) (t)
t
(t)d t (t)
（3）尺度变换
(at) 1 t
f (t) (t)d t f (0)
a （4）微积分性质
ti 1
f
1 (ti )
(t
ti )
说明 : f (t)表明在位于各个ti处,
有强度为 1 的n个冲激信号组成的序列 f (ti )
例题 计算： (9t 2 1)
(4t 2 1)dt
X
第
总结： r(t), (t), (t), (t)之间的关系
9
页
j t
3) f (t) e 2 (t)
4) f (t) [cos(2t )]2
3
5)
f
(t )
cos t sin t
t 0 t 0
2 : 判断信号是功率信号还是能量信号?因果性如何?
1) f (t) 5cos8t
2) f (t) 8e2t (t)
3
2 1
2 (t) sin 2t dt
t
－1 0
1.冲激信号及其特性
➢ 抽样特性
f (t) (t) dt f (0)
f (t) (t t0 ) dt f (t0 )
➢ 单位冲激信号与阶跃信号的关系
t
u(t) ( )d
jtxhyxt126com信息科学与工程学院单位冲激信号及其特性主要学习内容单位冲激信号的应用背景1单位冲激信号的极限模型2单位冲激信号的定义3单位冲激信号的性质4单位冲激信号的应用背景?有一类特殊物理现象
信号与系统
任课老师：杜青松 Email: jt_xhyxt@
信息科学与工程学院
单位冲激信号及其特性
➢ 单位冲激信号是偶函数、奇函数还是非奇 非偶函数？
➢ 一个连续信号与单位冲激信号相乘，结果 是什么？
➢ 一个连续信号与单位冲激信号相乘后，在 整个时间轴上积分，结果是什么？
➢ 单位冲激信号与阶跃信号之间有什么关系？
单位冲激信号的性质
➢ 单位冲激信号为偶函数
(t) (t)
➢ 筛选特性
主要学习内容
1 单位冲激信号的应用背景 2 单位冲激信号的极限模型 3 单位冲激信号的定义 4 单位冲激信号的性质
单位冲激信号的应用背景
❖有一类特殊物理现象：
➢作用时间极短
➢瞬间某个物理量取值极大
例如
❖需要用一个合适的抽象数学模型来描述此 类物理现象。
❖单位冲激信号即是这样一种数学模型。
单位冲激信号的极限模型
n (t) 1
1 2
n
u (t ) 1
-1 0
1
t
n
n
0
冲激函数及其性质
可以使用`title`和`xlabel`等函数为图形添加标题和坐标轴标签，以便更好地描述图 形。
计算卷积结果并展示图形
在MATLAB中，可以使用`conv` 函数计算两个序列的卷积结果。
将冲激信号与另一个信号进行卷 积运算，可以得到卷积后的结果
2023
PART 02
冲激函数性质分析
REPORTING
筛选性质
筛选性质定义
01
冲激函数具有筛选性质，即与任何函数相乘的结果都等于该函
数在冲激点的取值。
数学表达式
02
对于任意函数f(t)，有f(t)*δ(t) = f(0)*δ(t)。
应用举例
03
在信号处理中，冲激函数可用于从复杂信号中提取特定时刻的
2023
冲激函数及其性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
连续信号处理
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
线性叠加原理
2020年冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim)(ktSaktkπδ（1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为tttasin)(S=（1-3）其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t,1/t随t的增大而减小，sint是周(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
《信号与系统》知识点归纳
《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平2009.60. 前言本文的目的是帮助《信号与系统》课程学习者整理知识。
它适合于对《信号与系统》已经建立起一定的框架，但可能对某些问题感到模糊或困惑的人阅读。
本文也试图对一些类型的计算题给出机械的标准化的解法。
过于容易，或不太可能被考试题考察的知识点在此省略。
知识点基本上按照章来组织和编号。
但是如果不同的章有相类似的知识点，我将把它们合并成一个，然后用字母M (mixed)开头编号。
另外大家要注意将本文和教材结合起来看。
它的目的是整理思路，因此不能对它期望过多。
符号*表示卷积，而不是乘法。
1. 第1章1.1 能量信号和功率信号请阅读教材第4页。
1.2 系统的线性和非线性，时不变和时变，因果和非因果请阅读教材相关内容。
这里，我对系统的线性和非线性给出我的一点个人看法。
严格地说来，系统是否线性指的是系统的输出对输入满足齐次性和叠加性。
按照这个标准，如果系统的输出和某个系统的“初始状态”有关，即其不能视为一个线性系统。
但是，很多教材都从实用的角度出发，将线性的定义放宽为允许将初始状态看做一种特殊的输入，因而很多按照原来定义不是线性的系统成为了线性系统。
在第3章我还要对此问题作进一步的阐述。
2. 第2章2.1 冲激信号的性质筛选特性、抽样特性、展缩特性，即教材中公式（2-21），（2-22），（2-23）必须在理解的基础上记忆。
冲激信号δ（t）不是一般意义上的信号，而是一种理想化的“信号”，在数学上它是一广义函数。
我们无法离开冲激信号因为它为我们的推导和思维提供了很多方便。
冲激信号虽然在物理上不存在，但如果一个物理信号取到非0值的时间集中在某个瞬时，就可用冲激信号近似。
不过要注意脉冲信号δ[k]却是完完全全的一般意义上的信号。
2.2 信号的尺度变换、翻转与时移图示解题方法对这种类型的题目。
针对信号是连续或离散应采用不同的解题步骤。
对于连续信号，大家应仔细阅读教材中的例子，特别是例2-6。
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2: 判 信 是 率 号 是 量 号 因 性 何? 断 号 功 信 还 能 信 ? 果 如 1 f (t) = 5cos8πt ) ∗3) f (t) = 3g2 (t −1 ) ∗5) f (t) = x[sin( t)] 2) f (t) = 8e−2tε(t) ∗4) f (t) = sgn t 6) f (t) = e jw0t
n
1 n 冲 信 组 的 列 有 度 强 为 的个 激 号 成 序 f ′(ti )
例题 计 ： (9t −1 算 δ )
2
∫
δ(4t −1 dt ) −∞
2
∞
X
第
总结：
r(t)
r(t),ε (t),δ (t),δ ′(t) 之间的关系
ε(t)
9 页
δ (t)
∞
(1)
t
O
δ ′(t )
1
O
1 t 1
－1 0
2 1 2
sin 2t ∫−∞ 2δ (t ) t dt
df (t ) 3. 波形， 并写出表达式。 已知信号 f (t )波形，画出信号 y (t ) = 并写出表达式。 dt t 并思考： 的波形和表达式。 并思考： y ( )的波形和表达式。 2
X
第
2)尺度变换性
1 ∗δ (at) = δ (t) a 第四组: 第四组 1 ∫−∞ f (t)δ(at)dt = a f (0)
X
第
例题1－ － 例题 －3－2
1 .计算： 计算： ∫ 2 .练习： 练习： t ∫− ∞ [ 2 + cos 3t )δ ( 2 ) dt
t ∞ −∞
7 页
t ( 2 + cos 3t )δ ( ) dt 2
∫
∞
−∞
2 ( t 3 + 4 )δ (1 − t ) dt
自学思考题
4.应 δ(t)和 ′(t)的 样 计 用 抽 性 算 δ
f (t)δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t)
δ (t) =
（6）卷积性质 f (t) ∗δ (t ) = f (t ) ∫−∞δ (τ)dτ = ε(t)
X
第
归纳与总结
1.信号的分类 信号的分类 周期性、因果性 、连续和离散、能量和功率信号 周期性、 连续和离散、 2.常见信号 复指数信号，抽样信号）及复数运算 常见信号(复指数信号 常见信号 复指数信号，抽样信号） 3.特殊信号 特殊信号ε(t) 、δ(t)及 δ′(t)及其关系 特殊信号 及 及其关系 阶跃信号的作用
∫
4
−4
t δ′(1−t)dt
2
∫
∞
0
e sin
−t
π
2
tδ(t +1 dt )
X
第
了解） 复合函数形式的冲激信号（了解）
8 页
式 形 : δ[ f (t)] f n 互 相 的 根 , 设 (t) = 0有 个 不 等 实 ti (i = 1 2,⋯n) 1 δ[ f (t)] = ∑ δ(t − ti ) 则: ti = f ′(ti ) 1 明 位 各 ti , 说 : δ[ f (t)]表 在 于 个处 明
O
(∞)
t
O
t
r(t) ↑ 求 ↓ ε(t) ↑ 导 ↓ δ(t) ↓ ↑ δ'(t)
(-∞) 积 分
积分上下限是
﹣∞～ｔ ～ｔ
X
第
冲激函数的性质总结
（1）抽样性 f (t)δ (t) = f (0)δ (t) （5）冲激偶 δ ′(−t) = −δ ′(t)
+∞
10 页
∫
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
4 页
∫ ∫
∞
−∞ ∞
f (t)δ ′(t)dt = − f ′ (0) f (t)δ
(n)
−∞
(t) dt = (−1 f )
n
(n)
(0)
右移位时： 右移位时：
1. f (t)δ ′(t −t0 ) = f (t0 )δ ′(t −t0 ) − f ′(t0 )δ(t −t0 ) 2.∫ f (t)δ ′(t −t0 )dt = − f ′ (t0 )
−∞ ∞ ∞
3.∫ f (t)δ (n)(t −t0 )dt = (−1)n f (n) (t0 )
−∞
X
第
例题1－ － 例题 －3－1
1.计算： (2t + sin 2t )δ ′(t )dt 计算： ∫
−∞ ∞
5 页
2.练习： 练习：
∫
∞
−∞ ∞
[2t + 2 cos
π
3
(t − 1)]δ (t − 2)dt
1 页
X
第
自学思考题
1.判 信 的 期 断 号 周 性 1 f (t) = cos10 −cos30 ) t t 3 f (t) = e )
j
2 页
2) f (t) = e j(πt−1)
π
2
t
ε(t)
t ∗4) f (t) =[cos(2 − t <0 t ≥0
π
3
)]2
cost ) ∗5 f (t) = si nt
3. 知 数 (t) = (1− )[ε(t +1 −ε(t −1 ]， 已 函 f ) ) 2 试 出 (t)和 ′(t)的 形 并 析 示 ′(t)。 画 f f 波 ， 解 表 f
XtΒιβλιοθήκη 第一 冲激（或冲激偶）信号的性质 1）抽样性(筛选性 ）抽样性 筛选性 筛选性)
第一组: 第一组
f (t)
3 页
∫ ∫
（2）奇偶性 δ (−t ) = δ (t) （3）尺度变换 1 δ (at) = δ (t ) a （4）微积分性质 dε(t) t
dt
注:积分 积分 上下限
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞ t
∞
δ ′(t)dt = δ (t) −∞
f (t)δ ′(t)dt = − f ′(0)
∫
∞
−∞
∗δ (t) f (t) = f (0)δ (t)
f (0)
(1 ) t
∫
∞
−∞
δ(t) f (t)dt = f (0)
o
f (t)δ(t −t 0) = f (t0 )δ(t − t0 )
∫
∞
−∞
δ (t −t0 ) f (t)dt = f (t0 )
X
第
第二组 ∗ f (t)δ′(t) = f (0)δ′(t) − f ′(0)δ (t)
∞
3）奇偶性
∗δ(−t) =δ(t) ∗δ′(−t) = −δ′(t)
6 页
δ (n) (−t) = (−1)(n)δ (n) (t)
1 1 ′ ′ 第五组: 第五组: ∗δ (at) = a a δ (t)
δ
(n)
1 1 (n) (at) = δ (t) n a a
*第六组 δ (at − t ) = δ a(t − t0 ) = 1 δ (t − t0 ) 第六组: 第六组 0 a a a