初二升初三数学衔接12

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八升九数学衔接课程(培优)

八升九衔接暑期课程数学（培优教材）目录第一讲一元二次方程 (1)第二讲一元二次方程（配方法） (5)第三讲一元二次方程（公式法） (9)第四讲一元二次方程（分解因式法） (13)第五讲判别式和根与系数的关系 (17)第六讲列方程解应用题 (21)第七讲一元二次方程（综合） (25)第八讲一元二次方程检测 (30)第九讲直角三角形与勾股定理 (33)第十讲垂直平分线 (38)第十一讲角平分线定理 (43)第十二讲等腰、等边三角形 (48)第十三讲综合运用 (53)第十四讲二元一次方程（组） (58)第十五讲函数与坐标系 (63)第十六讲一次函数及其图象和性质 (67)第十七讲反比例函数 (71)第一讲一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

初二升初三数学衔接

正比例函数基础知识1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零② x指数为1当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴2、正比例函数专题练习知识点1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式．2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________；当k<0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________．3．正比例函数的图像是经过坐标点和定点__ __两点的一条。

根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．例1、已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值．例2、根据下列条件求函数的解析式①y与x2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．经典练习y=3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（）ah中，中，8题图 9题图9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为123411．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ．12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ．13．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_________ ．14．请写出直线y=6x上的一个点的坐标：_________ ．15．已知正比例函数y=kx（k≠0），且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的k的一个值：_________ ．16．已知正比例函数y=（m﹣1）的图象在第二、第四象限，则m的值为_________ ．17．若p1（x1，y1） p2（x2，y2）是正比例函数y=﹣6x的图象上的两点，且x1＜x2，则y1，y2的大小关系是：y1_________ y2．点A（-5，y1）和点B（-6，y2）都在直线y= -9x的图像上则y1__________y218．正比例函数y=（m﹣2）x m的图象的经过第_________ 象限，y随着x的增大而_________ ．19．函数y=﹣7x的图象在第_________ 象限内，经过点（1，_________ ），y随x 的增大而_________ ．三．解答题（共3小题）20．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．21．已知y+2与x﹣1成正比例，且x=3时y=4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y=1时，求x的值．22．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．x kW h 23. 为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量()与应付饱费y（元)的关系如图所示。

暑假初二升初三数学衔接班教材北师大版

第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可） 2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

八升九数学衔接教程

x 的图象交于 A，C 两点，过 A 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于 B，过 C 点作 y 轴的垂线交 y 轴于 D，连结 AB，BC，CD，AD。求证：当 k 去不同正数时，四边形 ABCD 的面积是常数。
练一练： 1.如图， OAP 和 ABQ 均式等腰三角形，点 P，Q 在函数 y 4 (x 0) 的图象
D. y 1 (x 0) x
练一练：如图 1 所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 AB 和双曲线。直线 AB 与双曲线的一个交点为 C，CD 垂直 x 轴于点 D，OD 2OB 4OA 4 。求一次函数和反比例函数的解析式。
（3）根据实际应用求出例题：近视眼的度数 y（度）与镜片的焦距 x（m）成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为________________。练一练：已知圆柱的侧面积是 6πm2，若圆柱的底面半径为 x（cm)，高为 ycm ).
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2．反比例函数的图象和性质，如下表：
函数
图象
k>0
反比例函数 y＝ k x
（k 0）
k<0
y4
例题 2：反比例函数
x 的图象大致是（）
性质
双曲线，位于第一，三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大二减小，与 x 轴，y 轴无交点
双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大二增大，与 x 轴，y 轴无交点
例题 3：如果函数 y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数 y k 的图 x
象一定在( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限
3．（思考）当两个反比例函数的 k 的符号相同时，k 对函数图象的影响

初二升初三暑期衔接课《圆的四量关系定理及圆周角定理》

第十二讲圆的四量关系定理及圆周角定理一、知识梳理1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；2.圆周角的基本性质及运用：二、课堂精讲：要点一：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 .B 'A '例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么，，；（2）如果OE=OF ，那么，，；（3）如果AB =CD ，那么，，；D【难度分级】 A【随堂演练】【A 类】1．如果两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（）．A ．AB=2ACB ．AB=21AC C ．AB<2AC D ．AB>2ACBA(5) (6)4．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．5.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．6．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．【B 类】7.如图，BC 为⊙O 的直径，OA 是⊙O 的半径，弦BE ∥OA,求证：AC=AE8．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE的度数和EF 的度数．9．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．O要点二：圆周角的性质：（1）直径或半圆所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是 .（2）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角A的，相等的圆周角所对的弧也相等。

初二升初三数学衔接班资料(北师版)

第一章节直角三角形的边角关系第一讲 1.从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重点） 1、正切的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA. 即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A .注：tanA 的值越大，AB 越陡.例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD ,坝顶宽BC 为6m ,坝高为3.2m ,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m ,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i ＝1:2变成i ′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.•求加高后的坝底HD 的长为多少?3、正弦、余弦的定义DCA在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

即sinA=ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。

即cosA=cb=∠斜边的邻边A .锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222c b a =+；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系:sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ba.（其中∠A 的对边为a,∠B 的对边为b,∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

八年级升九年级衔接知识点

八年级升九年级衔接知识点八年级升入九年级，是学生们学业生涯中的一次重要跨越。

为了更好地适应新的学习环境和内容，学生们需要在八年级阶段打下坚实基础，并掌握一些重要的衔接知识点。

一、数学方面在数学学科中，八年级和九年级的重点内容有所不同，但是两个年级的数学知识紧密相连，需要相互衔接。

以下是几个重要的衔接知识点：1.排列组合在八年级数学中，学生们学习了一些基础的概率和排列组合知识，包括全排列、组合数等基本概念。

在九年级数学中，又会出现更深入的排列组合问题，如带重复元素的排列组合、置换群等内容，所以需要学生们对排列组合的基础知识有一个清晰的认识。

2.三角函数在八年级数学中，学生们学习了初步的三角函数知识，包括正弦、余弦、正切等基本概念。

而在九年级数学中，三角函数的学习更深入，学生们需要掌握三角函数的基本性质、反三角函数等相关内容。

3.函数在八年级数学中，学生们学习了简单的函数概念、函数的图像和性质等基础内容。

在九年级数学中，则需要学生们进一步掌握函数的定义、函数的极值和最值、函数的单调性等重要知识点。

二、英语方面在英语学科中，八年级和九年级的语法和语言运用有所不同，但同样需要有一些衔接知识点：1.时态在八年级英语学习中，学生们主要掌握了一些基础的时态知识，如一般现在时、一般过去时等。

在九年级英语中，则会出现更为复杂的时态形式，如进行时、完成时等，需要学生们对各个时态的用法有一个清晰的认识。

2.形容词和副词在八年级英语中，学生们学习了形容词和副词的基本用法和比较级、最高级的形式。

在九年级英语中，则需要学生们掌握不同类型的形容词和副词，如比较级形容词的不规则变化、副词的修饰方式等。

3.被动语态在八年级英语中，被动语态的使用被涉及到，但并没有太多深入的掌握和运用。

在九年级英语中，则需要学生们对被动语态的用法和语态转换的基本规律有一个清晰的认识。

三、历史方面在历史学科中，八年级和九年级的学习内容有所变化，但也有一些需要衔接的知识点：1.中国近现代史在八年级历史中，学生们学习了中国近代史和中国现代史的历史事件和时期，缩略了时间跨度，更注重对事件和人物的概括。

初二升初三数学衔接课程

初中数学暑假衔接课程曲靖状元楼校区第一部分：回顾初二内容第17章反比例函数一．反比例函数的定义形如y ＝kx（k 为常数，且0k ≠）的函数统称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的表达形式还有1(0)y kx k k -=≠是常数，，xy ＝k （k ≠0）。

例题1：（1）已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝8，写出y 与x 的关系式，并求当y ＝－4时，x 的值；（2）已知点（1，-2）在反比例函数ky x =的图象上，则k=____________。

二．反比例函数的图象和性质1．反比例函数的表示方法和一次函数一样，反比例函数有表达式法，列表法，图象法三种，下面主要讲述两个图象。

反比例函数的图象由两条曲线组成，且随着x的增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴。

反比例函数的图象属于双曲线。

2．反比例函数的图象和性质，如下表：函数图象性质反比例函数y＝k x（0k≠）k>0双曲线，位于第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大二减小，与x轴，y轴无交点k<0双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大二增大，与x轴，y轴无交点例题2：反比例函数4yx=-的图象大致是（）例题3：如果函数y=kx-2（k ≠0）的图象不经过第一象限，那么函数ky x=的图象一定在( )A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限 3．（思考）当两个反比例函数的k 的符号相同时，k 对函数图象的影响例题：在下面的平面直角坐标系中画出函数2y x =，4y x =和6y x =的图象，比较这三个函数图象的特点。

例题5：如图是三个反比例函数312,,k k ky y y x x x===，在x 轴上方的图像，由此观察得到k l 、k 2、k 3的大小关系为（）>k 2>k 3 B. k 3>k 2>k 1 C. k 2>k 3>k 1 D. k 3>k 1>k 24．与反比例函数图象有关的图形例题：如图所示，反比例函数4y x=在第一象限的图象上一点P ，过P 点分别作两条直线垂直于x 轴和y 轴，交点分别是A ，B 求四边形OAPB 的面积。

八升九暑期数学衔接资料

⼋升九暑期数学衔接资料说明本套资料是结合现今最新版中学⽣数学教材为主线编纂的⼀套课外数学暑假衔接教材。

共分12讲，主要编排思路是按照“4、7、1模式”进⾏安排，即4次复习，7次预习和1次检测。

除检测之外，其它每⼀讲内容都由知识结构、例题解析和变式练习三部分组成，每⼀讲并配有⼗⼏道相应的同步习题。

暑假时间较长，学⽣对上期所学知识容易遗忘，本套学习资料能够使每⼀位初中⽣将所学旧知识点和新学期要学的新知识点起到有效的衔接作⽤。

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精诚培优初中组⽬录复习部分1 全等三⾓形和轴对称 (1)2 整式乘除和因式分解及分式 (15)3 ⼆次根式和勾股定理 (25)4 平⾏四边形和⼀次函数 (37)预习部分5 ⼀元⼆次⽅程及其解法 (54)6 根的判别式和根与系数的关系及应⽤ (74)7 ⼆次函数的图像与性质⼀ (88)8 ⼆次函数的图像与性质⼆ (98)9 待定系数法求⼆次函数的解析式 (115)10 ⽤函数观点看⼀元⼆次⽅程 (121)11 实际问题与⼆次函数 (132)检测部分12 ⼀元⼆次⽅程和⼆次函数知识检测 (141)复习部分第⼀讲全等三⾓形和轴对称【知识⽹络】【要点梳理】要点⼀、全等三⾓形的判定与性质要点⼆、全等三⾓形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS→→→→→→→→→→找夹⾓已知两边找直⾓找另⼀边边为⾓的对边找任⼀⾓找夹⾓的另⼀边已知⼀边⼀⾓边为⾓的邻边找夹边的另⼀⾓找边的对⾓找夹边已知两⾓找任⼀边⼀般三⾓形直⾓三⾓形判定边⾓边（SAS ）⾓边⾓（ASA ）⾓⾓边（AAS ）边边边（SSS ）两直⾓边对应相等⼀边⼀锐⾓对应相等斜边、直⾓边定理（HL ）性质对应边相等，对应⾓相等（其他对应元素也相等，如对应边上的⾼相等）备注判定三⾓形全等必须有⼀组对应边相等要点三、⾓平分线的性质1.⾓的平分线的性质定理⾓的平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等.2.⾓的平分线的判定定理⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上.3.三⾓形的⾓平分线三⾓形⾓平分线交于⼀点，且到三边的距离相等.4.与⾓平分线有关的辅助线在⾓两边截取相等的线段，构造全等三⾓形；在⾓的平分线上取⼀点向⾓的两边作垂线段.要点四、全等三⾓形证明⽅法全等三⾓形是平⾯⼏何内容的基础，这是因为全等三⾓形是研究特殊三⾓形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有⼒⼯具，是解决与线段、⾓相关问题的⼀个出发点.运⽤全等三⾓形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、⾓相等、两直线位置关系等常见的⼏何问题.可以适当总结证明⽅法.1．证明线段相等的⽅法：(1) 证明两条线段所在的两个三⾓形全等.(2) 利⽤⾓平分线的性质证明⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明⾓相等的⽅法：(1) 利⽤平⾏线的性质进⾏证明.(2) 证明两个⾓所在的两个三⾓形全等.(3) 利⽤⾓平分线的判定进⾏证明.(4) 同⾓（等⾓）的余⾓（补⾓）相等.(5) 对顶⾓相等.3．证明两条线段的位置关系（平⾏、垂直）的⽅法：可通过证明两个三⾓形全等，得到对应⾓相等，再利⽤平⾏线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三⾓形；(2)倍长中线法；(3)作以⾓平分线为对称轴的翻折变换全等三⾓形；(4)利⽤截长(或补短)法作旋转变换的全等三⾓形.5. 证明三⾓形全等的思维⽅法:（1）直接利⽤全等三⾓形判定和证明两条线段或两个⾓相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个⾓所在的两个三⾓形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个⾓所在的三⾓形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三⾓形全等以补⾜条件.（3）如果现有图形中的任何两个三⾓形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三⾓形，通过构造出全等三⾓形来研究平⾯图形的性质.【巩固练习】⼀.选择题1. 下列命题中, 错误的命题是( )A.两边和其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等B.两边和第三边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等C.两边和第三边上的中线对应相等的两个三⾓形全等D.两边和其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等2. 如图, 在∠AOB的两边上截取AO ＝ BO, CO ＝ DO, 连结AD、BC交于点P. 则下列结论正确的是( )①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. ①②③3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三⾓形有( )A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上⼀点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF ＝DF＝CD D．BE＝EC5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6. 根据下列条件能画出唯⼀确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同⼀条直线上.下⾯的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的⾯积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68⼆.填空题9. 在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满⾜条件的E点的坐标．10. 如图，△ABC中，H是⾼AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE 的周长为_________.12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三⾓形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15. △ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC平分线，交BC于点D，且DC：DB＝3:5，则点D 到BA的距离是_______.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的⼀条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝_______.三.解答题17．如图所⽰，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的⾓平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.。

初二升初三数学衔接班资料(北师版)

第一章节直角三角形的边角关系之阿布丰王创作时间：二O 二一年七月二十九日第一讲 1.从梯子的倾斜水平谈起本节内容：正切的界说坡度的界说及暗示（难点）正弦、余弦的界说三角函数的界说（重点）在Rt △ABC 中,如果锐角A 确定,那么A 的对边与邻边的比也随之确定,这个比叫做∠A 的正切,记作tanA.即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A . 注：tanA 的值越年夜,AB 越陡.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）.坡度经常使用字母i 暗示.斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l h a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1,后项可以是小数）；（2）若坡角为a,坡度为a l h i tan ==,坡度越年夜,则a 角越年夜,坡面越陡.3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,而且坚持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,可是背水坡的坡度由原来的i＝1:2酿成i ′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD 的长为几多?在Rt 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA.即sinA=c a =∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA. 即cosA=c b =∠斜边的邻边A . 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数. 例4在△ABC 中,∠C=90°,BC=1,AC=2,求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值.通过计算你有什么发现？请加以证明. 4、三角函数的界说（重点）直角三角形中,除直角外,共5个元素,3条边和2个角,它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222c b a =+；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系:sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a .（其中∠A 的对边为a,∠B 的对边为b,∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边）,就可以利用以上关系求另外3个元素.例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm,CD=6cm 斜立在墙上,其中BE=6cm,DE=2cm,你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由.本节作业：1、∠C=90°,点D 在BC 上,BD=6,AD=BC,cos ∠ADC=53,求CD 的长.2、P 是a 的边OA 上一点,且P 点的坐标为（3,4）,求sina 、tana 的值.3、在△ABC 中,D 是AB 的中点,DC ⊥AC,且tan ∠BCD=31,求tanA 的值.4、在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=125,周长为30,求△ABC 的面积.5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB 的值是几多？第2讲 30°,45°,60°角的三角函数值本节内容：30°,45°,60°角的三角函数值（重点）1、30°,45°,60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的界说,可以获得如下几个经常使用的特殊角的正弦、余弦和正切值.例1求下列各式的值.（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2.本节作业：1、求下列各式的值.（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2；（2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2.(3)6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45° (4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o o o-+-++----2、已知a 为锐角,且tana=5,求a a a a sin cos 2cos 3sin +-的值.3、 △ABC 暗示光华中学的一块三角形空地,为美化校园环境,准备在空地内种植草皮,已知某种草皮每平方米售价为a 元,则购买这种草皮至少花费几多元？4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值即是________.5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒. 6、（2009深圳）（6分）计算：2202(3)( 3.14)8sin45π----+--︒7、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π－3.14)0＋ 1 28＋(－1)3．第3讲锐角三角函数计算的实际应用知识点：1.仰角：当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.俯角：当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角成为俯角.2.方向角：从南南方向线较近的一端起,到目标方向线的夹角,如图所示：射线OA 为北偏东60°,射线OB 为南偏西30°,另外,东、南、西、北四个方向角平分线分别是西南、西北、西南、西北.例1 如图,山脚下有一颗树AB,小华从点B 沿山坡向上走50米达到点D,用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高（精确到0.1m ）（已知,26.015sin ,18.010tan ,98.010cos ,17.010sin ≈≈≈≈ 97.015cos ≈ 27.015tan ≈）.例 2.小刚面对黑板坐在椅子上.若把黑板看做矩形,其上的一个字看作点E,过点E 的该矩形的高为BC,把小刚眼睛看做点A.现测得BC=1.41米,视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°,求AC 与AE 的长（精确到0.1米）.例 3 某校教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,如图.BC//AD,斜坡AB 长22m,坡角∠BAD=68°,为了防止山体滑坡,保证平安,学校决定对土坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超越50°时,可确保山体不滑坡.（1）求改造前坡顶与空中的距离BE 的长；（精确到0.1m ）（2）为确保平安,学校计划改造时,坚持坡脚A 不动,坡顶B 沿BC前进到F 点处,问BF 至少是几多？（精确到0.1m ）（,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）例4如图,矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据,计算车位所占街道的宽度EF.（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）例5要求︒45tan 的值,可构造直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ,则∠ABC=45°,所以145tan ===︒a a BC AC .你能否在此基础上,求出'︒3022tan 的值？例 6 在学习实践科学发展观的活动中,某单元在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE,张明同学站在离办公楼的空中C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°.问张明同学是在离该单元办公楼水平距离多远的处所进行丈量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行,在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上,前进8千米达到B,测得该岛在轮船的北偏东30°方向上,问轮船继续前进几多千米与小岛的距离最近？第4讲船有触礁的危险吗本节内容：方向角的界说解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用（难点）例1某次台风袭击了我国南部海域.如图,台风来临前,我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警,于是指令位于A 的正南方向180海里的救援队B 立即前往施救.已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向,在B 的南偏东63°方向,此时离台风来到C 处还有12小时,如果救援船每小时行驶20海里,试问能否在台风来到之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）解直角三角形（重点）在直角三角形中,由已知一些边、角,求出另一些边、角的过程,叫做解直角三角形.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为c b a 、、.（1）三边之间关系：222c b a =+（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间关系：B b a A B c b A B c a A tan 1tan ,sin cos ,cos sin ====== （4）面积公式：)(2121为斜边上的高h ch ab S ABC ==∆在直角三角形中,除直角的五个量中,若已知其中的两个量（其中至少有一条边）,就可以求出另外三个未知量,有如下四种类型：Rt △ABC 中,∠C=90° 已知选择的边角关系斜边和一直角边a c , 由c a A =sin ,求∠A ；∠B=90°-∠A,22a cb -= 两直角边b a , 由b a A =tan ,求∠A ；∠B=90°-∠A,22b ac += 斜边和一锐角A c ∠, ∠B=90°-∠A ；A c a sin ⋅=；A c b cos ⋅= 一直角边和一锐角 A a ∠, ∠B=90°-∠A ；A a b tan =,A a c sin = 注意：（1）在解直角三角形中,正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边,求寻找已知角的某一个三角函数；②若求角：一般用已知边比已知边,去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不惟一.选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就防止用除法计算.（2）对含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角平分线长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长、面积等等.对这类问题,我们经常使用的解题方法是：将非基本量转化为基本量,或由基本量间关系通过列方程（组）,然后解方程（组）,求出一个或两个基本量,最终达到解直角三角形的目的.（3）在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构成直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的极点作高；对较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造出直角三角形,利用解直角三角形的方法,实现问题的有机转化.例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯,如图.滑梯高度AC=2m,滑梯着地址B 与梯架之间的距离BC=4m.（1）求滑梯AB 的长；（结果精确到0.1m ）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超越45°属于平安范围,请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用（难点）在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用,我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决,具体地说,要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系,这样就可运用解直角三角形的方法了.一般有以下几个步伐：1.审题：认真分析题意,根据题目中的已知条件,画出它的平面图,弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语,如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的,根据边角关系进行计算；若不是直角三角形,应年夜胆检验考试添加辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系,细心推理计算.例 3 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴,有极强的破坏力.根据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心的最年夜风力为12级,每远离台风中心20千米,台风就会弱一级.台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市风力达到或超越4级,则称为受台风影响.（5）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由.（6）若会受到台风影响,那么台风影响该市的继续时间有多长？典范例题：例1在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠ABC=45°,求BC的长.例2如图,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海打鱼.甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿西北方向前进.甲船航行2小时达到C处,此时甲船发现鱼具丢在了乙船上,于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶,结果两船在B处相遇.（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时几多千米？例3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不竭下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上.前进100m 达到B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图）,在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13≈）第5讲丈量物体的高度本节内容：丈量底部可以达到的物体的高度（重点）丈量底部不成以达到的物体的高度（难点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.如图.使用测倾器丈量倾斜角的步伐如下：（1）把支杆竖直拔出空中,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.（2）转动转盘,使度盘的直径瞄准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.此度数就是测点相对被测点的仰角或俯角.说明：（1）所谓“底部可以达到“,就是在空中上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.（2）丈量步伐如图（丈量物体MN 的高度）：①在测点A 处安排测倾器,测得M 的仰角∠MCE=α；②量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l ；③量出测倾器的高度AC=a （即顶线PQ 成水平位置时,它与空中的距离）.（3）物体MN 的高度 = a l +αtan .升到旗杆顶部时,测得该同学视线的仰角为30°,若双眼离空中1.5m,则旗杆有多高？（结果精确到0.1m ）（1）所谓“底部不成以达到”,就是在空中上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.（2）丈量步伐（如图.丈量物体MN 的高度）：①在测点A 处安排测倾器,测得此时M 的仰角∠MCE=α；②在测点A与物体之间的B处拟制测倾器（A、B与N在一条直线上,且A、B之间的距离可以直接测得）,测得此时M的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A、B之间的距离AB=b .（3）物体高度MN=ME+EN=)tantantantan(ab+-⋅αββα米.提示：丈量底部不成以达到的物体的高度,求解时常要解两个直角三角形.例2：如图,从山顶A处看到空中C点的俯角为60°,看到空中D点的俯角为45°,测得CD=3150米,求山高AB.（精确到0.1米,3≈1.732）典范例题：例1如图,两建筑物的水平距离为36m,从A点测得D点的俯角α为36°,测得C点的俯角β为45°,求这两座建筑物的高度.（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保管2位小数）例2如图,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求丈量河对岸一点B到公路的距离,请你设计一个丈量方案.例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与空中的夹角∠BPC的度数为30°,窗户的一部份在教室空中所形成的影长PE为3.5m,窗户的高度AF为2.5m,求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD.（结果精确到0.1m）本章综合测试题一、选择题1．等腰三角形的底角为30°,底边长为23,则腰长为（）A．4B．23C．2D．222．如图1,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,则BD长为（）A．83B．43C．23D．8(1) (2) (3)3．在△ABC中,∠C＝90°,下列式子一定能成立的是（）A4．△ABC中,∠A,∠B均为锐角,则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等腰直角三角形C5A．1D6．如图2,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B,取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米B．500cos55°米 C．500tan55°米D．500tan35°米7．如图在矩形ABCD中,D E⊥AC,垂足为E,设∠ADE且A．3B8．如图4,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B 旋转后,点D落在CB的延长线上的D′处,那么tan∠BAD′即是（）A．1B(4) (5)(6)二、填空题（每小题3分9．在△则cos B的值为．1011．如图5,∠DBC=30°,AB=DB,利用此图求tan75°=．12．如图6,P OA上一点,且P点的坐标为（3,4）,则．13．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m,则他比原来的位置升高了m．14．如图7,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草．(7) (8)(9)15．如图8所示,是某超市自动扶梯的示意图,年夜厅两层之间的距离h =6.5米,自动扶梯的倾角为30°,若自动扶梯运行速度为v =0.5米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 _____秒． 16．如图9,一人乘雪撬沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下,滑下的距离s （米）与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+．若滑到坡底的时间为4秒,则这人下降的高度为．17、如图,已知Rt △ABC 中,AC=3,BC= 4,过直角极点C 作CA 1⊥AB,垂足为A 1,再过A 1作A 1C 1⊥BC,垂足为C 1,过C 1作C 1A 2⊥AB,垂足为A 2,再过A 2作A 2C 2⊥BC,垂足为C 2,…,这样一直做下去,获得了一组线段CA 1,A 1C 1,12C A ,…,则CA 1=,=5554C A A C三、解答题（本年夜题共52分）18. (1)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°；(2)(23tan30°)2007·(22sin45°)200619．（本题10分）如图,为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD =30m,两楼间的距离AC =24m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1m,2≈1.41,3≈1.73）20．（本题12分）为了丈量一棵年夜树的高度AB ,在离树25米的C 处,用高1.4米的测角仪CD 测得树的顶端B 的仰角α＝21°,求树AB 的高．(用21°角的三角函数值暗示即可 )21.如图,在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°,铁塔底部B 的仰角为45°.已知塔高AB ＝20m,观察点E 到空中的距离EF＝35cm,求小山BD 的高.22．如图,PQ 暗示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设计路线图．在点P 测得点Q 在它的南偏东30°的方向,测得另一点A 在它的南偏东60°的方向,取PQ 上另一点B ,在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向．以点A 为圆心,500m 为半径的圆形区域为某居民区,已知PB =400m,通过计算回答：如果不改变修筑方向,高速公路是否会穿过居民区？23．随着科技的发展,机器人的发现早已不是童话,机器人是否可以让我们随心所欲呢？在坐标平面上,根据指令［ss ≥０,0180°）,机器人能完成下列举措：先原地顺时针再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．（1）填空：如图,若机器人在直角坐标系的原点,且面对y 轴的正方向,现要使其移动到点A （2,2）,则给机器人发出的指令应是．（2）机器人在完成上述指令后,发现在点P （6,0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线运动,已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同,若忽略机器人原地旋转所需的时间,请你给机器人发一个指令,使它能尽快截住小球,并求出截住小球时的位置．（角度精确到度,参考数据sin49°≈0.75,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）24、(2009中山)如图所示,A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ）,经丈量,森林呵护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林呵护区的范围在以P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内.. 为什么？25．（2009黄石）如图9,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m,某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°,塔顶D 的仰角为23°,求这人距CD的水平距离AB.（sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364,Sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈0.424）第二部份二次函数讲义第一讲二次函数所描述的关系知识点归纳：函数的界说：一般地,如果是常数. 二次函数具备三个条件,缺一不成：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0. 30° A B F E P45°典范例题：例1、函数y=（m＋2）2x－1是二次函数,则m=．例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套．据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．例4 、如图,正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点,QP⊥AP交DC于Q,如果BP=x,△ADQ的面积为y,用含x的代数式暗示y．训练题:1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a,b,c是常数）,当a时,是二次函数；当a,b时,是一次函数；当a,b,c时,是正比例函数．2．当m时,y=（m－2）3．已知菱形的一条对角线长为a,,用表达式暗示出菱形的面积S与对角线a的关系．4．在物理学内容中,如果某一物体质量为m,它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是2（m为定值）．（1）若物体质量为1,填表暗示物体在v取下列值时,E的取值：（2）若物体的运动速度酿成原来的2倍,则它运动时的能量E扩年夜为原来的几多倍？5.请你分别给a,b,c一个值,,且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限.6.下列不是二次函数的是（）A ．y=3x2＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52 x D ．y=（x ＋1）（x －2）7.函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数,且m ≠0B ．m 、n 为常数,且m ≠nC ．m 、n 为常数,且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8.如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9.如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB方向向点B 以1cm/s 的速度移动,同时,点Q 从点B开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q两点分别达到B 、C 两点停止移动,设运动开始后第t 秒钟时,五边形APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t的函数表达式,并指出自变量t 的取值范围．10.已知：如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E 、F,得四边形DECF ．设DE=x,DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式暗示为：AE=；（2）求y 与x 之间的函数表达式,并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S,求S 与x 之间的函数表达式．第二讲结识抛物线知识点归纳：1、作图“三步取”：一般地,二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同,都是三步：列表、描点、连线. 规律技巧：列表时注意以0为中心,对称取值（一般取3-4组值）.观察图像,可得抛物线的开口方向、对称轴.学习过程：一、作二次函数.二、议一议：1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流.2.图象与x轴有交点吗？如果有,交点的坐标是什么？3.当x<0时,y随着x的增年夜,y的值如何变动？当x>0时呢？4.当x取什么值时,y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？请你找出几并与同伴交流.三、典范例题：例1、求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．例2、已知a＜－1,点（a－1,y1）、（a,y2）、（a＋1,y3）都在函数y=x2的图象上,则（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3训练题：1．函数y=x2的极点坐标为．若点（a,4）在其图象上,则a的值是．2．若点A（3,m）是抛物线y=－x2上一点,则m=．3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称,也可以认为y=－x2,是函数y=x2的图象绕旋转获得．4．若二次函数y=ax2（a≠0）,图象过点P（2,－8）,则函数表达式为．5．点A）是抛物线y=x2上的一点,则b=；点A关于y轴的对称点B是,它在函数上；点A关于原点的对称点C是,它在函数上．6．若a＞1,点（－a－1,y1）、（a,y2）、（a＋1,y3）都在函数y=x2的图象上,判断y1、y2、y3的年夜小关系？7．如图,A、B分别为y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=368、函数y=ax 2(a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ）（1)求a 和b 的值（2）求抛物线y=ax 2的解析式,并求召盘点坐标和对称轴；（3）x 取何值时,二次函数y=ax 2中的y 随x 的增年夜而增年夜？（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及极点所构成的三角形的面积.9、如图,把抛物线2y x =与直线1y =围成的图形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°后,再沿x 轴向右平移1个单元获得图形1111O A B C ，则下列结论毛病的是（）A ．点1O 的坐标是(10)，B ．点1C 的坐标是(21)-， C ．四边形111O BA B 是矩形D ．若连接OC ，则梯形11OCA B 的面积是310、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.(1)在如图3所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上,当水位上升h(米)时,桥下水面的宽度为d(米).试求出将d 暗示为h 的函数解析式；(3)设正常水位时,桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米,求水深超越几多米时就会影响过往船只在桥下顺利航行.第三讲刹车距离与二次函数学习目标:1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象,并能比力它们与y=x 2的异同,理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和极点坐标．O y1O B 1B 1C 1A 11A -（，）11C （，）4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．学习重点:二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质,因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、极点坐标、最年夜（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．学习难点:由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表,（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质,由性质来分析函数图象的形状和位置．学习过程:一、复习：2 2你知道两辆汽车在行驶时为什么要坚持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究标明:汽车在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)汽车的刹车距离晴天时请分别画出这两个函数的图像：三、入手把持、探究：1. 在同一平面内画出函数y=x2、y=2x2和y=3x2的图象.2.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.3.在同一平面内画出函数y=-3x2与y=-3x2-1的图象.比力它们的性质,你可以获得什么结论？典范例题：例1 、已知抛物线y=（m＋1）,求m的值．例2 、k为何值时,y=（k＋2）x的二次函数？例3 、在同一坐标系中,作出函数①y=－3x2,②y=3x2,③2,④y=2的图象,并根据图象回答问题：（1）当x=2时2比y=3x2年夜（或小）几多？（2）当x=－2时,y=2比y=－3x2年夜（或小）几多？例4、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点,且A 点坐标为（－3,m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和极点坐标；（3）x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增年夜而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的极点构成的三角形的面积．例5、如图,已知一抛物线形年夜门,其空中宽度AB＝18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直空中立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该年夜门的高度h.训练题1．抛物线y=－4x2－4的开口向,当x=时,y有最值,y=．2．当m=时,y=（m－1）3m是关于x的二次函数．3．抛物线y=－3x2上两点A（x,－27）,B（2,y）,则x=,y=．4．当m=时,抛物线y=（m＋1）9开口向下,对称轴是．在对称轴左侧,y随x的增年夜而；在对称轴右侧,y随x的增年夜而．5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2,b）,则k=,b=．6．已知抛物线的极点在原点,对称轴为y轴,且经过点（－1,－2）,则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．2B．y=2C．y=－2x2D．y=－x28．抛物线,y=4x2,y=－2x2的图象,开口最年夜的是（）A．2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定9．对抛物线2和y=2在同一坐标系里的位置,下列说法毛病的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称D．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象年夜致为（）11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同,则a的值为（）A．4B．2C12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1,2）；（2）y=ax2与2的开口年夜小相等,开口方向相反；（3）y=ax2与直线＋3交于点（2,m）．13．如图,直线ι经过A（3,0）,B（0,3）两点,且与二次函数y=x2＋1的图象,在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象极点与点A、B组成的三角形的面积．14．有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m,就达到警戒线CD,这时,水面宽度为10m．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时,水位以每小时0．2m的速度上升,从警戒线开始,再继续几多小时才华到拱桥顶？。

中考衔接点12 乘法公式

A. 4 a
B. 2 a
C. a2－1
D. 2
解析：根据拼图可知，拼成的长方形的长为( a ＋1)＋( a －1)＝2 a ，宽为( a ＋1)－
( a －1)＝2，因此面积为2 a ×2＝4 a .
A. 8
B. 4
C. ±4
D. ±8
(2024平顶山期末)下列运算正确的是( A )
A. ( a － b )(－ a － b )＝ b2－ a2
B. (2 a ＋ b )2＝4 a2＋2 ab ＋ b2
C. ( a － b )2＝)( a － b )＝ a2－ b2
C. (－2 a ＋ b )(2 a ＋ b )
D. ( y － x )(－ x － y )
(2024周口期末)若( x ＋ a )2＝ x2－10 x ＋ b ，则 a ， b 的值分别为( D )
A. 2，4
B. 5，－25
C. －2，25
D. －5，25
子题2.1(2024信阳期末)如果 x2＋ mx ＋16是完全平方式，那么 m 的值是( D )
(教材P112习题T7改编)(2024驻马店期末)若 m ＋ n ＝7， mn ＝12，则 m2－ mn ＋ n2的值是( B )
A. 11
B. 13
C. 37
D. 61
解析：∵ m ＋ n ＝7， mn ＝12，∴( m ＋ n )2＝ m2＋2 mn ＋ n2＝49，∴ m2＋ n2＝
25，∴ m2－ mn ＋ n2＝25－12＝13.
解析：该平行四边形的面积为(2 a )2－( a ＋2)2＝4 a2－ a2－4 a －4＝3 a2－4 a －4.
子题5.1(2023濮阳期末)如图，从边长为 a ＋1的正方形纸片中剪去一个边长为 a －1 的正方形( a ＞1)，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，则该长方形的面积是( A )

华东师大版暑假初二升初三数学衔接课程第十二讲因式分解法解一元二次方程

第十二讲因式分解法解一元二次方程学习目标1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程.一、知识讲解课前测评1．（2020·山东全国）若一元二次方程()20ax b ab =>的两个根是31m +与9m -，则b a=________． 2．（2020•日照二模）对于实数p q 、．我们用符号{}min p q ，表示p q 、两数中较小的数，如{12}1min =，，因此{2,min π+ ；若()22{1}4min x x +=，，则x = ． 3．（2020·三江侗族自治县基础教育教学研究中心九年级期中）知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果0a b =，那么0a =或0b =知识迁移Ⅰ．解方程：(1)(2)0x x ++=解：(1)(2)0x x ++=，10x ∴+=或20x +=，∴11x =-或22x =-．Ⅱ．解方程：2670x x +-=，解：2670x x +-=，∴222233370x x +⨯+--=，∴2(3)160x +-=，∴22(3)40x +-=，∴(34)(34)0x x +++-=，∴(7)(1)0x x +-=，∴70x +=或10x -=，∴17x =-或21x =．理解应用（1）解方程：210390x x --=拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80cm ，60cm 的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为15002cm 的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长．知识回顾知识点一：因式分解法解一元二次方程1．解下列方程，并与同伴交流．（1）225x = （2）2810x -=2．点拨：方程（1）由平方根意义可得：5x =±，这种方法叫做直接开平方法．或通过移项得：2250x -=，再由平方差公式得：()()550x x +-=，则有50x +=或50x -=，从而得出方程的解：1255x x ==-，，这种方法叫做因式分解法．方程（2）的解法与上述类似．3．解下列方程：（1）()210x +=（2）29250x -= （3）()()343x x x -=- （4）20x x -=4．解下列方程．（1）2210x x ++= （2）2440x x ++= （3）2690x x -+=（4）21=04x x ++5．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程右边化为；（2）将方程左边分解成两个一次因式的；（3）令每个因式分别为，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．二、例题辨析例1．用因式分解法解下列方程：（1）2320x x +=（2）23x x =（3）(32)6(32)x x x +=+（4）()()2243=251x x +-；变式练习：1．一元二次方程()()232x x x -=-的根是2．（2020•丰泽区校级模拟）给出一种运算：对于函数n y x =，规定1'n y n x =⨯﹣．若函数4y x =，则有3'4y x =⨯，已知函数3y x =，则方程'9y x =的解是3．用因式分解法解下列方程：（1）(23)(4)(32)(15)x x x x -+=-- （2）2326x x x +=+（3）29610x x ++= （4）()()22134230x x --+=例2．利用十字相乘法把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，阅读用十字相乘法因式分解256x x -+．即：256(2)(3)x x x x -+=--试利用十字相乘法解方程（1）2430x x ++=；（2）2560x x +-=．变式练习：1．（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程268=0x x -+的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或42．（2020春•丽水期中）已知菱形ABCD 的一条对角线的长为4，边AB 的长是2560x x -+=的一个根，则菱形ABCD 的周长为．3．解下列一元二次方程：（1）2560x x -+= （2）26160x x +-= （3）()()2312y y --=；例3．用因式分解法解下列方程（1）22320x x +-=（2）231212x x +=-变式练习：1．解下列一元二次方程：（1）23250x x --= （2）23440a a --=例4．解下列一元二次方程：（1）(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-（2）()()22142140x x ++++=变式练习：1．解下列方程：（1）3(21)42x x x +=+（2）()()285860x x +-++=2．已知a b c 、、22|1|(3)0a b c -++++=，求关于x 的方程20ax bx c ++=的根．三、归纳总结要点一：因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.四、拓展延伸例5．（2019秋•綦江区校级月考）阅读理解下列材料，然后回答问题：解方程：232=0x x -+．解：（1）当0x ≥时，原方程化为232=0x x -+，解得：12=2=1x x ，；（2）当0x <时，原方程化为232=0x x ++，解得：1221x x =-=-，；∴原方程的根是1234=2=112x x x x =-=-，，，．请观察上述方程的求解过程，试解方程22|1|1=0x x ---．变式练习：（2020·重庆北碚区·西南大学附中七年级期末）材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：231=0x x -+中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，﹣3，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到2221127x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭．材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如()()22021x x x x --==-+中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如22=0x x --中，x 的取值信息不太明确，但是()()210x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题：（1）材料一中，231=0x x -+到13x x+=的变形成立的前提条件是．（2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为11210x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11210x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的变形过程补充完整．（3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：4322223266=0x x x x +-+⨯+．五、课后作业1．（2020•开福区校级二模）方程()2=3x x x -的解为（）A ．5x =B ．1205x x ==，C ．1220x x =，=D ．1205x x =，=-2．（2020春•丽水期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是（）A ．24或B ．24C ．D ．24或 3．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．4．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(),a b 进入其中时，会得到一个新的实数：21a b +-，例如把(3,2)-放入其中，就会得到23(2)16+--=．现将实数对(,2)m m -放入其中，得到实数2，则m = ．5．解方程：（1）22530x x --= （2）2(3)2(3)0x x x -+-=6．若规定两数a b 、通过“※”运算，得到4ab ，即4a b ab =※，例如2※642648=⨯⨯=（1）求3※5的值；（2）求2240x x x -=+※※※中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a x x =※，求a 的值．。

初二升初三数学衔接

根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．例1、已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值．例2、根据下列条件求函数的解析式①y与x2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．经典练习一．选择题（共10小题）A．y=﹣2x2B．y= C．y= D．y=x﹣2A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5A．±2B．﹣2 C．D．A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系C．y=中，y与x成反比例关系D．y=中，y与x成正比例关系A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米A．3B．﹣3 C．±3D．不能确定A．k=2 B．k≠2C．k=﹣2 D．k≠﹣2A．1B．2C．3D．48题图 9题图9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为1234A．k1＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4 A．B．C．D．11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ．12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ．13．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_________ ．14．请写出直线y=6x上的一个点的坐标：_________ ．15．已知正比例函数y=kx（k≠0），且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的k的一个值：_________ ．16．已知正比例函数y=（m ﹣1）的图象在第二、第四象限，则m 的值为 _________ ． 17．若p 1（x 1，y 1） p 2（x 2，y 2）是正比例函数y=﹣6x 的图象上的两点，且x 1＜x 2，则y 1，y 2的大小关系是：y 1 _________ y 2．点A （-5，y 1）和点B （-6，y 2）都在直线y= -9x 的图像上则y 1__________ y 218．正比例函数y=（m ﹣2）x m的图象的经过第 _________ 象限，y 随着x 的增大而 _________ ．19．函数y=﹣7x 的图象在第 _________ 象限，经过点（1， _________ ），y 随x 的增大而 _________ ．三．解答题（共3小题）20．已知：如图，正比例函数的图象经过点P 和点Q （﹣m ，m+3），求m 的值．21．已知y+2与x ﹣1成正比例，且x=3时y=4．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当y=1时，求x 的值．22．已知y=y 1+y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x=2时y 的值． 23.为缓解用电紧矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量()x kW h 与应付饱费y （元)的关系如图所示。

初二升初三暑假数学练习(12)及答案.doc

数学练习（十二）7．一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成，其中有两个正八边形，那么另一个是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形11．观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20092的个位数字是． 18．已知反比例函数)0m (xmy 1≠=的图像经过点A )1,2(-，正比例函数x y 2=的图像平移后经过点A ，且与反比例函数的图像相交于另一点B (n,2)．（1）分别求出反比例函数和平移后的一次函数解析式；（2）求点B 的坐标；（3）根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．21．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90o,BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB .（1）求证：ΔBFC ≌ΔDFC ；（2）若∠BCD=60°，BC=8，求BE 的长.22．如图，在平面直角坐标系中，图形①与②关于点P 成中心对称.(1)画出对称中心P ，并写出点P 的坐标；(2)将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系.(直接写出结果)解：（1）P （）（2）图形③与图形①的位置关系是 .EFA DBC(F)P BC A L 23．已知，关于x 的一元二次方程03a x )4a (x 2=+---)0a (<．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为21x ,x （其中21x x <），若y 是关于a 的函数，且12x 32x y +=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a 的方程01a y =++的解．25．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足图1的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，图2 给出证明；若不成立，请说明理由．1 2 3 44 3 2 1ay O -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -1E BA CP LQFLF Q (E)PEBCA数学练习（十二）参考答案7．B 11．2,18．解：（1）∵反比例函数)0m (xmy 1≠=的图像经过点A )1,2(-， ∴2m -=． ……………………………………………………………….…1分 ∴x2y 1-= …………………………………………………………………..2分设平移后的一次函数解析式为b x y +=， ∵一次函数的图像经过点A ， ∴b 21+-=，即3b =．∴所求一次函数的解析式为3x y += ………………………………………3分（2）∵一次函数的图像经过B (n,2)，（也可由反比例函数解析式求n ） ∴23n =+，即1n -=．∴)2,1(B - ……………………………………………………………..….4分（3）根据图像可知，当0x 12x <<--<或时，反比例函数的值大于一次函数的值．………………..5分 21．（1）证明：∵CF 平分∠BCD, ∴∠1=∠2. ∵BC=DC ，FC=FC,∴ΔBFC ≌ΔDFC . ……………………………………2分（2）解：延长DF 交BC 于G. ∵AD ∥BC ，DF ∥AB ，∠A=90°, ∴四边形ABGD 是矩形.∴∠BGD=90°………………………………………………………………………………3分. ∵ΔBFC ≌ΔDFC, ∴∠3=∠4. ∵∠BFG=∠DFE,∴∠BGD=∠DEF=90°. ………………………………4分 ∵∠BCD=60°，BC=8,∴BE=BC oSin60⋅=34……………………………….5分22．4321GEFA DB C解：（1）画点P ， ········································· 1分 (15)P ，； ······················································· 2分（2）画图形③， ··········································· 3分图形③与图形①关于点(13)Q ，成中心对称． ········· 4分 23．解：（1）△=)3a (4)4a (2-+-=44a a2+-=2)2a (-∵a<0， ∴0)2a (2>-．∴方程一定有两个不相等的实数根． ·································································· 2分（2）2)2a ()4a (x 2-±-= =2)2a ()4a (-±-∴3a x -=或122a 4a x -=+--=． ………………………………………3分∵a<0，21x x <，∴1x ,3a x 21-=-= ……………………………………4分 ∴12x 32x y +==a23a 32-=-+-)0a (<…………………5分（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出a2y -= )0a (<和1a y --=)0a (<的图像．………………..6分由图像可得当a<0时，方程方程01a y =++的解是2a -=．………………………….7分 25．（本题8分）解：（1）AB AP =；AB AP ⊥．………………………………………………………2分（2）BQ AP =；BQ AP ⊥．………………………………………………………….3分证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=．又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．………………………………………………4分②如图2，延长BQ 交AP 于点M ．①②xyO 1 1QP ③lAB FC Q图2M12 34EPRt Rt BCQ ACP △≌△，12∴∠=∠．在Rt BCQ △中，1390∠+∠=，又34∠=∠，241390∴∠+∠=∠+∠=．90QMA ∴∠=．BQ AP ∴⊥．………………………5分（3）成立．证明：①如图3，45EPF ∠=，45CPQ ∴∠=．又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．…………………………6分在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．……………………………………………7分②如图3，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．Rt Rt BCQ ACP △≌△，BQC APC ∴∠=∠．在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=，90APC PBN ∴∠+∠=．90PNB ∴∠=．QB AP ∴⊥．…………………………………………………………………………………..8分lABQP EF图3N C。

初二升初三暑假作业(12)及答案

数学试卷数学练习（十二）7．一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成，其中有两个正八边形，那么另一个是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形11．观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20092的个位数字是． 18．已知反比例函数)0m (xmy 1≠=的图像经过点A )1,2(-，正比例函数x y 2=的图像平移后经过点A ，且与反比例函数的图像相交于另一点B (n,2)．（1）分别求出反比例函数和平移后的一次函数解析式；（2）求点B 的坐标；（3）根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．21．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90o,BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB .（1）求证：ΔBFC ≌ΔDFC ；（2）若∠BCD=60°，BC=8，求BE 的长.22．如图，在平面直角坐标系中，图形①与②关于点P 成中心对称.(1)画出对称中心P ，并写出点P 的坐标； (2)将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系.(直接写出结果)解：（1）P （）（2）图形③与图形①的位置关系是 .23．已知，关于x 的一元二次方程03a x )4a (x 2=+---)0a (<．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为21x ,x （其中21x x <），若y 是关于a 的函数，且12x 32x y +=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a 的方程01a y =++的解．25．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足图1的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，图2 给出证明；若不成立，请说明理由．数学试卷数学练习（十二）参考答案7．B 11．2,18．解：（1）∵反比例函数)0m (xmy 1≠=的图像经过点A )1,2(-， ∴2m -=． ……………………………………………………………….…1分 ∴x2y 1-= …………………………………………………………………..2分设平移后的一次函数解析式为b x y +=， ∵一次函数的图像经过点A ， ∴b 21+-=，即3b =．∴所求一次函数的解析式为3x y += ………………………………………3分（2）∵一次函数的图像经过B (n,2)，（也可由反比例函数解析式求n ） ∴23n =+，即1n -=．∴)2,1(B - ……………………………………………………………..….4分（3）根据图像可知，当0x 12x <<--<或时，反比例函数的值大于一次函数的值．………………..5分 21．（1）证明：∵CF 平分∠BCD, ∴∠1=∠2. ∵BC=DC ，FC=FC,∴ΔBFC ≌ΔDFC . ……………………………………2分（2）解：延长DF 交BC 于G. ∵AD ∥BC ，DF ∥AB ，∠A=90°, ∴四边形ABGD 是矩形.∴∠BGD=90°………………………………………………………………………………3分. ∵ΔBFC ≌ΔDFC, ∴∠3=∠4. ∵∠BFG=∠DFE,∴∠BGD=∠DEF=90°. ………………………………4分∵∠BCD=60°，BC=8,∴BE=BC o Sin60⋅=34……………………………….5分22．解：（1）画点P ， ·········································· 1分 (15)P ，； ······················································ 2分（2）画图形③， ··········································· 3分图形③与图形①关于点(13)Q ，成中心对称． ········· 4分 23．解：（1）△=)3a (4)4a (2-+-=44a a2+-=2)2a (-∵a<0， ∴0)2a (2>-．∴方程一定有两个不相等的实数根． ····························（2）2)2a ()4a (x 2-±-= =2)2a ()4a (-±-∴3a x -=或122a 4a x -=+--=． ∵a<0，21x x <，∴1x ,3a x 21-=-= ……………………………………4分∴12x 32x y +==a23a 32-=-+-)0a (<…………………5分（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出a2y -= )0a (<和1a y --=)0a (<的图像．………………..6分由图像可得当a<0时，方程方程01a y =++的解是2a -=．………………………….7分 25．（本题8分）解：（1）AB AP =；AB AP ⊥．………………………………………………………2分（2）BQ AP =；BQ AP ⊥．………………………………………………………….3分证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=．又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．lAB FC Q图2M12 34 EP数学试卷在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．………………………………………………4分②如图2，延长BQ 交AP 于点M ．Rt Rt BCQ ACP △≌△，12∴∠=∠．在Rt BCQ △中，1390∠+∠=，又34∠=∠，241390∴∠+∠=∠+∠=．90QMA ∴∠=．BQ AP ∴⊥．………………………5分（3）成立．证明：①如图3，45EPF ∠=，45CPQ ∴∠=．又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．…………………………6分在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．……………………………………………7分②如图3，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．Rt Rt BCQ ACP △≌△，BQC APC ∴∠=∠．在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=，90APC PBN ∴∠+∠=．90PNB ∴∠=．QB AP ∴⊥．…………………………………………………………………………………..8分lABQP EF图3N C。