《工程光学》物理光学参考问题详解3

物理光学作业参考答案

[13-1] 波长nm 500=λ的单色光垂直入射到边长3cm 的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直孔平面）附近离孔z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致围。 解：夫琅和费衍射条件为：

π<<+z

y x k

2)(max

2121 即： m nm y x z 900109.0500

)1015()1015()(122626max

2121=⨯=⨯+⨯=+>>

λ

[13-3]平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为

2

0)sin (sin )]sin (sin sin[⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=i a i a I I θλπθλπ 式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图）。 证明：（1

缝上任意点Q 的位矢：

单逢上光场的复振幅为：

因此，观察面上的夫琅和费衍射场为： （其中： ）

)

cos ,0,(sin i i k k =

)0,,(11y x r = 1sin 1)(~x i ik r

k i Ae Ae x E ⋅⋅== )

sin (sin )]sin (sin sin[)(~1)(~)2(1

1

22)sin (sin )2(11sin 22

sin )2(11221)2(1121

12

11

112111

121i a i a ae z A dx e e z i A dx e e e z i A dx e x E e z i x E z x z ik a a

x i ik z x z ik x ik a a x i ik z x z ik x z x ik a a

z x z ik --====+---+⋅--⋅+--+⎰

⎰⎰

θλ

πθλπλλλλθθθsin 1≈z x

所以，观察面上的光强分布为：

式中：

（2）第一暗点位置：

[13-4]在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。问细丝直径是多少？ 解：

根据互补屏衍射原理，不透明细丝的夫琅和费衍射图样与相同宽度单缝的夫琅和费衍射图样除中心点之外是相同的，而衍射图样中暗条纹的间距等于中央亮纹宽度的一半，因此，有：

mm

mm f x a f

a

f x 013.0102656.1305

.1108.63226

≈⨯=⨯⨯=∆==

⋅∆=∆--λλ

θ 即细丝直径是0.013mm.

[13-6]导出外径和径分别为a 和b 的圆环（见图）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。（注：144.31=Z ）

解：半径为a 的圆孔在衍射场P 点产生的振幅为： θ

θθθka ka J ca ka ka J E E a )

(2)(21210

==

其中c 为比例系数，因为场中心振幅0E 正比于圆孔的面积2

a π。圆孔中的圆屏使P 点的振幅减小：

2

0*})sin (sin )]

sin (sin sin[{)(~)(~i a i a I x E x E I --==θλπθλπ2

10)

(a z A I λ=π

θλπ=-)sin (sin i a

a i λθ=-∴sin sin a i i λθθ=-⋅+2sin 2cos 2 i a i cos λ

θθ=

-=∆∴

θ

θkb kb J cb

E b )

(212

=

因此，圆环在P 点产生的振幅为：

])

()([

21212θ

θθθkb kb J b ka ka J a c E E E b a h -=-= 圆环在P 点产生的强度为：

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==221111222

22

142111422)()(2)()(4Z Z J Z Z J b

a Z Z J

b Z Z J a

c E I h h 式中，θθkb Z ka Z ==21,。对于衍射场中心，021==Z Z ，相应的强度为：

2

22222442

0)(2444)(b a c b a b a c I h -=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+= 当b=a/2时，

（1） 4

22

2

2201692)(a c a a c I h =⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎭

⎫

⎝⎛-= 所以，圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比：

()()169169424

20

==a

c a

c I I a h （2）圆环衍射强度的第一个零值满足:

0)

()(1212=-θ

θθθkb kb J b ka ka J a 即 )2

1

(2)()(111θθθka J a kb bJ ka aJ == 利用贝塞耳函数表解上方程，得到： 144.31==θka Z

因此，圆环衍射强度的第一个零点的角半径为： a

a λ

πλθ51.02144

.3==

[13-7] 不透明屏幕上有一孔径∑，用一个向P 点会聚的球面波照明，P 点位于孔径后面与孔径相距z 的平行平面上，如图所示。

(1)求出孔径平面上入射球面波的傍轴近似，设P 点分别位于Z 轴上和轴外(0，y1)点两种情形。

(2)假设孔径面到观察面之间为菲涅耳衍射区，证明在上述两种情形下，观察到的强度分布是孔径∑的夫琅和费衍射，且分布中心在P 点。