第十二章-动能定理
第十二章---动能定理
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
第十二章 动能定理
理论力学东北大学理学院力学系张英杰综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。
动量定理动能定理动量矩定理用矢量法研究动力学问题从能量的角度分析质点(系)的动力学问题—4123力的功质点和质点系的动能功率、功率方程、机械效率动能定理5势力场· 势能· 机械能守恒定律6普遍定理的综合应用（代数量）常力在直线运动中的功：变力在曲线运动中的功：元功θsF力在全路程上作的功等于元功之和：θrd sd 一、功—力在一段路程内所积累的效应s F W⋅=W δ⎰=ssF W 0d cos θsF ⋅=θcos sF d cos ⋅=θM 1M 2FM 单位:J （焦耳） 1 J = 1 N·m M'r Fd ⋅=元功作用力F 在质点从M 1到M 2的运动过程中所作的功：kF j F i F F z y x++=kz j y i x rd d d d ++=rF Wd δ⋅=zF y F x F z y x d d d ++=⎰++=21)d d d (M M z y x z F y F x F 一、功—力在一段路程内所积累的效应（代数量）θrd sd M 1M 2FM M'取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系，为三个坐标轴的单位矢量。
k j i,,⎰=21δ12M M W W 当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。
质点系1、重力的功2z gm1z O yxz M 1M 2—质心始末位置高度差二、常见的功mg F F F z y x -===;0z mgz z d 21-⎰=)(21z z mg -=)(2112i i i z z g m W -∑=∑ii C z m mz ∑=)(21C C z z mg -=⎰++=21)d d d (12M M z y x z F y F x F W 重力作功只与运动始末位置有关,与运动轨迹形状无关弹性力2、弹性力的功二、常见的功r e l r k F)(0--=⎰⋅=21d 12A A rF W⎰⋅--=21d )(0A A r re l r kr r r r e rd d ⋅=⋅)(d 21r r r⋅=)(d 212r r =r d =()[]⎰--=21d 0r r rl r k ])()[(21202201l r l r k ---=)(212221δδ-=k 弹簧刚度系数k(N/m)2δF 1δr e 1r 2r r r d δrd OA 0A 2A 1A l 0弹性力的功)(2222112δδ-=k W 弹性力的功只与弹簧始末的变形量δ有关，而与力作用点A 的轨迹形状无关。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
12：动能定理
设有矢量函数（向量场）：
v v v v F (x , y , z ) = Fx i + Fy j + Fz k
则“对坐标的曲线积分”是( M 1 和 M 2 分别是曲线上 的积分起点和终点)：
òM
M2
1
(Fx dx + Fydy + Fzdz )
它与“对弧长的曲线积分”之间的关系是( (a , b , g ) 是 点 (z , y, z ) 处切线的方向角)：
v v 求证： 2r ?dr
v v d (r r )
证：
v v v v 令 r = xi + yj + zk v v v v 那么：dr = (dx )i + (dy ) j + (dz )k
v v 左边= 2r ?dr 2xdx + 2ydy + 2zdz
d(x 2 + y 2 + z 2 ) = 2xdx + 2ydy + 2zdz
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效 应，力作功的结果使物体的机械能发生变化。
1. 质点上力的功 一、功的一般表达式 定义：元功 W F dr
F cos ds Ftdt
r
O
dr
F
全功
W12 =
蝌 M
1
M2
F ?dr
M2 M1
Fx d x + Fy d y + Fz d z
F
FN
例12-2
均质杆OA＝l，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自 由旋转，初始时，杆垂直，系统静止，设 OA 杆无 初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、 角加速度。 解： 受力分析 运动分析：OA杆定轴 转动，圆盘平动。
理论力学--第十二章 动能定理
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v
A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
12第十二章动能定理
δW FR ' drC MCd
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为
W12
C2 C1
F
'R
drC
2 1
MCd
说明:1.对任何运动的刚体，上述结论都适用;
2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立
3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
于是有
T
1 2
mvC2
1 2
mivr2i
T
1 2
mv
2 A
1 2
mi
vr2i
证毕 对吗？
3、刚体的动能
（1）平动刚体的动能
T
12mivi2
1 2
v2
m i
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
(
1 2
mi
ri
2
2
)
1 2 2
力矩转向与刚体转向一致，力矩做正功；反之，力矩做负功
（4）摩擦力的功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。
摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。
FT
作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：
? δW Fs dr Fs vdt 0
T
1 2
J
2
11
1 2
m2vC2
1 2
J
2
C2
J1
m1R12 , JC
理论力学 第十二章动能定理
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对于转轴的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
18
§12–2
3、平面运动刚体
T
动能
1 I P 2 （P为速度瞬心）I 为瞬轴的转动惯量 P 2
瞬轴：通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴。 它在刚体内的位置不断变化。 2
I P IC md
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 I m ( d ) m v I T （I C md ) C C C 2 2 2 2 2
1
第十二章
§12–1 力的功 §12–2 动能
动能定理
§12–3 动能定理 §12–4 势力场 势能 机械能守恒定律
§12–5 功率和功率方程
§12–6 普遍定理的联合应用
2
第十二章
动能定理
动量动量矩定理是用动量动量矩来度量质点系 的机械运动，用矢量的方法来研究。
而动能定理是用能量法来研究动力学问题。能 量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且 是沟通机械运动和其它形式能量转换的桥梁。从这 方面来说，动能比动量更具广泛性。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和 作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传 递的规律。
6
z2
§12–1 力的功
2、弹性力的功 弹簧原长为 r0 ，在弹性极限内 r F c(r r0 ) r c—弹簧的刚度系数。单位：N/m r dr d (r r ) W F dr c(r r0 ) r dr rdr r 2
2、不变质点系的内力功之和等于零。 3、刚体的内力功之和等于零。 问：什么时候内力功需考虑？
13
§12–1 力的功
七、约束力的功
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学12—动能定理
在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为
δWT T cos d x
cos (20 x) (20 x)2 152
因此T在整个过程中所作的功为
T
A
vA2
(
1 2
l)2
2vA
1 2
l
cosj
vA2
1 4
l 22
lvA
cosj
则杆的动能
A
vA
jl
B
A
j
vA vCA vC
vA
B
T
1 2
mvC2
1 2
JC2
1 2
m(vA2
1 4
l 22
lvA
cosj)
1 2
(
1 12
ml2 )2
1 2
m(vA2
1 3
l
2
2
lvA
cosj)
12.3 动能定理
上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自 重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。
解:链条在初始及终了两状态的动能分 别为
T1 0
T2
1 2
lv22
在运动过程中所有的力所作的功为
l b b
由
W12
gb(l
b)
g(l
b)
1 2
(l
b)
1 2
g(l 2
b2 )
T2 T1 W12
质心转动的动能的和。
牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:
C
vC
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
十二章 动能定理
m r
2
i i
JZ
1 T J Z 2 2
§12-2 质点和质点系的动能 平面运动刚体的动能
点C ——质心，
点P ——某瞬时的瞬心，
ω ——角速度
1 2 2 T J P J P J C mr C 2 1 1 1 2 2 2 2 T ( J C mr ) J m ( r ) C 2 2 C 2 C
因为Ft R等于F对于转轴z的力矩Mz， 于是
W12 1 M Z d
2
如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计
算，其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在轴
上的投影。
§12-2 质点和质点系的动能
一、
质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为 1 mv 2 2 动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为 J（焦耳）。 2. 质点系的动能 质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即
1 2 2 W mg 1 . 2 k ( 1 2 ) 2 1 309.81.2 3000 [02 (2.41.2 2 ) 2 ] 388.4(J ) 2 1 1 2 2 T2 0 T1 30 2.4 2 0 28.80 2 3
1 1
在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则
F Fx i Fy j Fz k
d r d xi d yj d zk
力F从M1到M2的过程所作的功 M2 W12 M1 ( Fx d x Fy d y Fz d z )
§12-1 力的功 三、几种常见力的功 重力 P mg 在直角坐标轴上的投影为 1．重力的功 Fx 0 Fy 0 Fz mg
第十二章 动能定理
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F d rp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
13
§13 - 2 质点和质点系的动能 1 质点的动能
T
2 2
1 2
mv
2
动能是恒正的标量，
单位:
是瞬时量。
2
kg m / s kg m / s m N m J
( mi ri )
2
所以，刚体定轴转动的动能为:
Jz
T
1 2
J z
2
15
(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
C
由定轴转动刚体动能的公式
T
1 2
1
J p
2
rc p
2 C
由平行轴定理，有: 所以:
2
J p JC m r
1 2
2 C 2
T J C m r
m2g
2
d T [] 2vB d vB
Wi m3 g d s
2
vB
ds
m3g
d vB ds 两边同除d t，得: []v m3 g B dt dt m3 所以: a g B []
29
例 3
已知：两相同均质杆, m, l , 水平面光滑。初始静 止，高为h。设杆在铅垂 面内落下。 求：铰链D与地面接触时 的速度。
1
FDy
vo
F
m1g
FDx m2g m3g
2
vB
FN
受力如图。 求加速度可用动能定理的微分形式。
计算一般位置的动能
第12章动能定理
二．势能 在势力场中，任选一点M0令其势能为零，称为零势能点。 则质点从点M 运动到点M0过程中有势力所作的功称为质点在 点M的势能，用Ep 表示。即
Ep
具有相对性。
M0 __
M
F d r ( Fx dx Fy dy Fz dz)
M
__
M0
显然，势能只取决于质点的位置M和零势能点M0的选取，势能 下面计算几种常见的势能。 1. 重力场中的势能 质点： Ep mg( z z0 ) 质点系： Ep mg( zC zC 0 ) z0 − 零势能点的 z 坐标 zC0 −质点系零势能位置质心
作用在转动刚体上的力的功率为：
δW d P Mz Mz dt dt
上式表明：作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴 的矩与角速度的乘积。
功率的单位：瓦特（W）或 千瓦（kW），1W = 1 J/s 。
二．功率方程 将质点系动能定理的微分形式 dT δWi的两边同除以dt 得 Wi dE k Pi dt dt 上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于
§12-4
一．功率
功率 · 功率方程 · 机械效率
单位时间内力所作的功称功率。它是衡量机器工作能力的
一个重要指标。功率是代数量，并有瞬时性。
δW P dt
注意到 δW F d r ，则
δW F d r P F v Ft v dt dt
上式表明：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
z
1
如果刚体上作用的是力偶，则力偶所 作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶 对z 轴的矩。 若Mz = 常量， 则 W12 M z (2 1 )
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的 力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。 首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为
第12章 动能定理
1.2 变力的功
这时可将路程 s 分为无限多个微段 ds，则微段路程 ds 可以近似为直线，且力 F 在位移 dr 中
可视为常力，dr 可视为沿点 M 的切线。力 F 在该微小路径上所做的功称为元功，用W 表示，且
有
W F dr
（12-3）
质点 M 沿曲线由 M1 运动到 M2 的过程中，变力 F 做的功为
迹无关。
1.4 几种常见力的功
3．摩擦力的功
如图 12-6 所示，由于质点受到的滑动摩擦力 F μFN 的方向总是与质点运动的方向相反，所 以滑动摩擦力做功恒为负，且有
W M2 Fds M1
M2 M1
μFNds
（12-10）
式（12-10）为曲线积分，因此，滑动摩擦力的功，不仅与起止位置有关，还与路径有关。
图12-6
02
质点和质点系的动能
质点的动能 质点系的动能 刚体的动能
2.1 质点的动能
动能是指物体由于本身的运动而具有的能量。实践表明，物体动能的大小与物体的质量及 运动速度有关。一切做机械运动的物体，质量越大，运动速度越快，其动能也就越大。因此， 动能是度量物体机械运动强度的物理量。
研究表明，质点的动能等于它的质量 m 与速度 v 平方的乘积的一半，即质点的动能为 mv2 /2 。 动能是一个恒为正值的标量。在国际单位制中，动能的单位与功的单位相同，都为 J。
的单位来决定。在国际单位制中，功的单位是 J。
如果路程用矢量 s 表示，则力 F 的功可以写成
W Fs
（12-2）
图12-1
1.2 变力的功
如图 12-2 所示，设质点 M 在变力 F 作用下，沿曲线从位置 M1 运动到位置 M2 ，现求力 F 在 路径 M1M 2 上做的功。由于从 M1 运动到 M2 的过程中，力 F 的大小和方向在不断变化，因此，力 F 的功不能直接用式（12-1）来计算。
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218 思 考 题
12-1 三个质点质量相同，同时自点A 以大小相同的初速度0v 抛出，但0v
的方向不
同，如图所示。
问这三个质点落到水平面HH 时，三个速度是否相同？为什么？
12-2 图中所示两轮的质量相同，轮A 的质量均匀分布，轮B 的质心C 偏离几何中心。
设两轮以相同的角速度绕中心O 转动，它们的动能是否相同？
12-3 重物质量为m ，悬挂在刚性系数为k 的弹簧上，如图所示。
弹簧与被缠绕在滑轮上的绳子连接。
问重物匀速下降时，重力势能和弹性力势能有无变化？变化了多 少？
12-4 比较质点的动能与刚体定轴转动的动能的计算公式，指出它们的相似地方。
12-5 一质点沿一封闭的曲线运动一周。
若作用于质点的力是有势力，该力作了多少功？若非有势力，该力作功如何计算？
12-6 为什么在计算势能时，一定要预先取定零势能点？
习 题
12-1 图示弹簧原长l ＝10cm ，刚性系数k ＝4.9KN /m, 一端固定在点O ，此点在半径为R ＝10cm 的圆周上。
如弹簧的另一端由点B 拉至点A 和由点A 拉到点D ，分别计算弹性力所作的功。
AC ⊥BC 、OA 和BD 为直径。
12-2 试计算图中各系统的动能。
图（a ）中，设物块A 和B 各重P ，其速度为v
，滑轮
重Q ，其半径为R ，并可视为均质圆盘；滑轮与绳间无相对 滑动。
图（b ）中，设两齿轮为均质圆盘，分别重P 1、P 2，半径分别为1r 、2r ，且轮I 的角速度为1 。
思考题12-3图
H
A
B
思考题12-2图 思考题12-1图 '
'
题12-1图
219
图（c ）中，重为Q ，半径为R 的均质圆柱，在水平轨道上无滑动地滚动。
重物A 重P ，其速度为v 。
小滑轮质量略去不计。
12-3 图示坦克的履带重P ，每个车轮重Q 。
车轮被视为均质圆盘，半径为R ，两
车轮轴间的距离为πR 。
设坦克前进的速度为v
，试计算此质点系的动能。
12-4 图示一物体A 由静止沿倾角为α的斜面下滑，滑过的距离为1s ，接着在平面上滑动，经距离2s 而停止。
如果物体A 与斜面和平面间的摩擦系数都相同，求摩擦系数f '。
12-5 质量为2kg 的物体在弹簧上处于静止，如图所示。
弹簧的刚性系数k 为400N /m 。
现将质量为4kg 的物块B 放置在物块A 上，刚接触就释放它。
求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。
12-6 图示轴Ⅰ和Ⅱ（连同安装在其上的带轮和齿轮等）的转动惯量分别为1J ＝5kg
m 2和2J ＝4kg m 2。
已知齿轮的传动比2
3
21=ωω，作用于轴Ⅰ上的力矩m N M ⋅=501，系
统由静止开始运动。
问Ⅱ轴要经过多少转后，转速能达到2n ＝120r /min ？
12-7 一不变的力矩M 作用在绞车的鼓轮上，使轮转动，如图所示。
轮的半径为r ，质量为1m 。
缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为2m 的重物，使其沿倾角为α斜面上升。
重物对斜面的滑动摩擦系数为f ',绳子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。
开始时，此系统处于静止。
求鼓轮转过ϕ角时的角速度和角加速度。
( a )
( b ) ( c )
题 12-2 图
题 12-3 图
题 12-4 图
220 12-8 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中1M 重P ，2M 重Q 。
定滑轮1o 的半径为r 1 重W 1；动滑轮2o 的半径为r 2，重W 2。
两轮都视为均质圆盘。
如绳重和摩擦略去不计，并设22W Q P ->，求重物1M 由静止下降距离h 时的速度。
12-9 两个重Q 的物体用绳连接，此绳跨过滑轮O ，如图所示。
在左方物体上放有一带孔的薄圆板，而在右方物体 上放有两个相同的圆板，圆板均重P 。
此质点系由静止开始运动，当右方重物P Q 2+落下距离1x 时，重物Q 通过一固定圆环板，而其上重2P 的薄板被搁住。
如该重物Q 下降了距离2x ，然后停止，求2x 与1x 的比。
摩擦和滑轮质量不计。
12-10 用动能定理重作11-19题 。
12-11 A 、B 两圆盘的质量都是10kg ，半径r 都等于0.3m ，用绳子连结如图示。
设正在旋转的B 盘的角速度ω＝20rad /s ，求当B 盘角速度减到4rad /s 时，A 盘上升的距离。
12-12 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。
已知动齿轮半径为r ，重P 可看成为均质圆盘；曲柄OA 重Q ，可看成为均质杆；定齿轮半径为R 。
今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M ，使此机构由静止开始运动。
求曲柄转过ϕ角后的角速度和角加速度。
12-13 椭圆规位于水平面内，由曲柄OC 带动规尺AB 运动，如图所示。
曲柄和椭圆规尺都是均质杆，重量分别为P 和2P ，且OC ＝AC ＝BC ＝l ，滑块A 和B 重量均为Q。
Ⅱ题 12-5 图 题 12-6 图 题 12-7 图
2
题 12-8 图
题 12-9 图
题 12-11 图
221
如作用在曲柄上的力矩为M ，设ϕ＝0时系统静止，忽略摩擦，求曲柄的角速度（以转角ϕ的函数表示）和角加速度。
12-14 如图所示，测定机器功率的动力计，由胶带ACDB 和杠杆BF 组成。
胶带具有铅直的两端AC 和BD ，并套住机器的滑轮E 的下半部，而杠杆则搁在支点O 上。
借升高或降低支点O ，可以变更胶带的张力，同时变更轮与胶带间摩擦力。
挂一重锤重P ＝20N ，使杠杆BF 处于水平的平衡位置，如力臂l ＝50cm ，发动机转速n ＝240r /min ，求发动机的功率。
12-15 重物M 悬挂在弹簧上，弹簧另一端则固定在位于铅垂平面内一圆环的最高点A 处。
重物不受摩擦地沿圆环滑下。
已知圆环的半径为20cm ，重物重5kg ，在初瞬时AM 0＝20cm ，且为弹簧的原长，重物初速度为零。
试问：欲使重物在最低点时对圆环的压力等于零，弹簧刚性系数k 应多大？
12-16 图示均质直杆OA ，杆长为l ，重为P ，在常力偶的作用下在水平面内从静止开始绕z 轴转动，设力偶矩为M 。
求：(1)经过时间t 后杆的动量、对z 轴的动量矩和动能的变化；（2）轴承的动反力。
12-17 图示打桩机支架的质量m 1＝2t ，重心为C ，支架底宽a ＝4m ，高h ＝10m ，又b ＝1m 。
打桩锤质量为m 2＝0.7t 。
铰车转筒半径r ＝0.2m ，质量m 3＝0.5t ，回转半径ρ＝0.2m 。
拉索与水平夹角α＝60º。
在铰盘上作用一转矩M ＝1962Nm 。
求支座A 、B 的约束反力。
滑车D 的尺寸和质量均可不计。
题 12-12 图 题 12-13 图 题 12-14 图
Ⅱ
题 12-16 图
题 12-15 图
题 12-17 图
222 12-18 如图所示，轮A 和B 可视为均质圆盘，半径都为R ，重为Q 。
绕在两轮上的绳索中间连着物块C ，设物块C 重为P ，且放在理想光滑的水平面上。
今在轮A 上作用一不变的力矩M 。
求轮A 与物块之间绳索的张力。
绳的重量不计。
12-19 如图所示为高炉上料卷扬机，卷筒绕O 1轴动，转动惯量为J ，半径为R ，
其上作用有力矩M 0。
料斗车重P ，运动时受到阻力，阻力系数为μ（N μ为阻力，N
为正压力）。
滑轮和钢绳质量以及轴承摩擦均不计。
求：（1）当料斗走过距离S 时的速度和加速度；（2）轴承O 1的动反力和钢绳的拉力。
12-20 均质圆柱质量M ＝4.1kg ，半径r ＝1cm ，在如图位置由静止滚下。
弹簧原长
0l ＝7cm ，弹簧系数k ＝30Ncm ,其它尺寸如图示。
求圆柱运动到水平位置时柱心的速度。
12-21 鼓轮质量为m ，对于中心轴的回转半径为ρ，置于摩擦系数为f 的粗糙水
平面上，并与光滑铅直墙接触，如图所示。
重物A 的质量为m 2，求A 的加速度和鼓轮所受的约束反力。
12-22 一弹簧两端各系一重物A 和B ，放置在光滑面上，如图所示。
A 的质量为m 1，B 的质量为m 2，若弹簧的弹簧系数为k ，原长为0l ，今将弹簧拉到l ，然后无初速地释放。
问当弹簧回到原来长度时，A 、B 两物体的速度各为多少？
12-23 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA 绕水平轴O 作匀角速度转动，角速度为0ω，已知曲柄OA 重P ，OA ＝r ，滑槽BC 重P 2（重心在点D ）。
滑块A 的重量和各处摩擦不计。
求当曲柄转至图示位置时，滑槽BC 的加速度、轴承O 的动反力以及作用在曲柄上的力矩M 。
题12-18图
题 12-19 图
题 12-20 图 题 12-21 图
题12-22 图
题12-23 图。