第十二章-动能定理

218 思 考 题

12-1 三个质点质量相同，同时自点A 以大小相同的初速度0v 抛出，但0v

的方向不

同，如图所示。问这三个质点落到水平面HH 时，三个速度是否相同？为什么？

12-2 图中所示两轮的质量相同，轮A 的质量均匀分布，轮B 的质心C 偏离几何中心。设两轮以相同的角速度绕中心O 转动，它们的动能是否相同？

12-3 重物质量为m ，悬挂在刚性系数为k 的弹簧上，如图所示。弹簧与被缠绕在滑轮上的绳子连接。问重物匀速下降时，重力势能和弹性力势能有无变化？变化了多 少？

12-4 比较质点的动能与刚体定轴转动的动能的计算公式，指出它们的相似地方。 12-5 一质点沿一封闭的曲线运动一周。若作用于质点的力是有势力，该力作了多少功？若非有势力，该力作功如何计算？

12-6 为什么在计算势能时，一定要预先取定零势能点？

习 题

12-1 图示弹簧原长l ＝10cm ，刚性系数k ＝4.9KN /m, 一端固定在点O ，此点在半径为R ＝10cm 的圆周上。如弹簧的另一端由点B 拉至点A 和由点A 拉到点D ，分别计算弹性力所作的功。AC ⊥BC 、OA 和BD 为直径。

12-2 试计算图中各系统的动能。

图（a ）中，设物块A 和B 各重P ，其速度为v

，滑轮

重Q ，其半径为R ，并可视为均质圆盘；滑轮与绳间无相对 滑动。

图（b ）中，设两齿轮为均质圆盘，分别重P 1、P 2，半径分别为1r 、2r ，且轮I 的角速度为1 。

思考题12-3图

H

A

B

思考题12-2图 思考题12-1图 '

'

题12-1图

219

图（c ）中，重为Q ，半径为R 的均质圆柱，在水平轨道上无滑动地滚动。重物A 重P ，其速度为v 。小滑轮质量略去不计。

12-3 图示坦克的履带重P ，每个车轮重Q 。车轮被视为均质圆盘，半径为R ，两

车轮轴间的距离为πR 。设坦克前进的速度为v

，试计算此质点系的动能。

12-4 图示一物体A 由静止沿倾角为α的斜面下滑，滑过的距离为1s ，接着在平面上滑动，经距离2s 而停止。如果物体A 与斜面和平面间的摩擦系数都相同，求摩擦系数f '。

12-5 质量为2kg 的物体在弹簧上处于静止，如图所示。弹簧的刚性系数k 为400N /m 。现将质量为4kg 的物块B 放置在物块A 上，刚接触就释放它。求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。

12-6 图示轴Ⅰ和Ⅱ（连同安装在其上的带轮和齿轮等）的转动惯量分别为1J ＝5kg

m 2和2J ＝4kg m 2。已知齿轮的传动比2

3

21=ωω，作用于轴Ⅰ上的力矩m N M ⋅=501，系

统由静止开始运动。问Ⅱ轴要经过多少转后，转速能达到2n ＝120r /min ？

12-7 一不变的力矩M 作用在绞车的鼓轮上，使轮转动，如图所示。轮的半径为r ，质量为1m 。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为2m 的重物，使其沿倾角为α斜面上升。重物对斜面的滑动摩擦系数为f ',绳子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。开始时，此系统处于静止。求鼓轮转过ϕ角时的角速度和角加速度。

( a )

( b ) ( c )

题 12-2 图

题 12-3 图

题 12-4 图

220 12-8 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中1M 重P ，2M 重Q 。定滑轮1o 的半径为r 1 重W 1；动滑轮2o 的半径为r 2，重W 2。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设22W Q P ->，求重物1M 由静止下降距离h 时的速度。

12-9 两个重Q 的物体用绳连接，此绳跨过滑轮O ，如图所示。在左方物体上放有一带孔的薄圆板，而在右方物体 上放有两个相同的圆板，圆板均重P 。此质点系由静止开始运动，当右方重物P Q 2+落下距离1x 时，重物Q 通过一固定圆环板，而其上重2P 的薄板被搁住。如该重物Q 下降了距离2x ，然后停止，求2x 与1x 的比。摩擦和滑轮质量不计。

12-10 用动能定理重作11-19题 。

12-11 A 、B 两圆盘的质量都是10kg ，半径r 都等于0.3m ，用绳子连结如图示。设正在旋转的B 盘的角速度ω＝20rad /s ，求当B 盘角速度减到4rad /s 时，A 盘上升的距离。

12-12 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为r ，重P 可看成为均质圆盘；曲柄OA 重Q ，可看成为均质杆；定齿轮半径为R 。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M ，使此机构由静止开始运动。求曲柄转过ϕ角后的角速度和角加速度。

12-13 椭圆规位于水平面内，由曲柄OC 带动规尺AB 运动，如图所示。曲柄和椭圆规尺都是均质杆，重量分别为P 和2P ，且OC ＝AC ＝BC ＝l ，滑块A 和B 重量均为Q

。

Ⅱ题 12-5 图 题 12-6 图 题 12-7 图

2

题 12-8 图

题 12-9 图

题 12-11 图

221

如作用在曲柄上的力矩为M ，设ϕ＝0时系统静止，忽略摩擦，求曲柄的角速度（以转角ϕ的函数表示）和角加速度。

12-14 如图所示，测定机器功率的动力计，由胶带ACDB 和杠杆BF 组成。胶带具有铅直的两端AC 和BD ，并套住机器的滑轮E 的下半部，而杠杆则搁在支点O 上。借升高或降低支点O ，可以变更胶带的张力，同时变更轮与胶带间摩擦力。挂一重锤重P ＝20N ，使杠杆BF 处于水平的平衡位置，如力臂l ＝50cm ，发动机转速n ＝240r /min ，求发动机的功率。

12-15 重物M 悬挂在弹簧上，弹簧另一端则固定在位于铅垂平面内一圆环的最高点A 处。重物不受摩擦地沿圆环滑下。已知圆环的半径为20cm ，重物重5kg ，在初瞬时AM 0＝20cm ，且为弹簧的原长，重物初速度为零。试问：欲使重物在最低点时对圆环的压力等于零，弹簧刚性系数k 应多大？

12-16 图示均质直杆OA ，杆长为l ，重为P ，在常力偶的作用下在水平面内从静止开始绕z 轴转动，设力偶矩为M 。求：(1)经过时间t 后杆的动量、对z 轴的动量矩和动能的变化；（2）轴承的动反力。

12-17 图示打桩机支架的质量m 1＝2t ，重心为C ，支架底宽a ＝4m ，高h ＝10m ，又b ＝1m 。打桩锤质量为m 2＝0.7t 。铰车转筒半径r ＝0.2m ，质量m 3＝0.5t ，回转半径ρ＝0.2m 。拉索与水平夹角α＝60º。在铰盘上作用一转矩M ＝1962Nm 。求支座A 、B 的约束反力。滑车D 的尺寸和质量均可不计。

题 12-12 图 题 12-13 图 题 12-14 图

Ⅱ

题 12-16 图

题 12-15 图

题 12-17 图