《数学分析选讲》第三次作业大题
西南大学网络与继续教育学院 高等数学选讲 第三次作业答案
高等数学选讲第三次作业答案1：[论述题]1．计算下列二重积分：(p.103：习题9-2 1. (1)；(2))(1) ，其中D是矩形闭区域：；(2) ，其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域.参考答案：解：(1)(2) D可表示为：，2：[论述题]2.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：(p.184：习题10-3 4.(2))参考答案：解：故被积式是函数的全微分，从而题设线积分与路径无关，且3：[论述题]3.利用格林公式，计算下列曲线积分：(p.184：习题10-3 ,5.(1))，其中L为三顶点分别为、和的三角形正向边界.解：原式4：[论述题]4.求下列幂级数的收敛区间：(p.263：习题11-3 1.(2))参考答案：解：；当时，数值级数的绝对值级数为：由级数的收敛性，知上列级数收敛，从而幂级数在也收敛，收敛区间为。
5：[论述题]5．将数展开成的幂级数。
(p.275：习题11-4 6.)参考答案：解：其中即由，故上述幂级数的收敛区间为。
6：[论述题]6. 求下列微分方程的通解：(p.333：习题12-2 1.(8))解：7：[论述题]7．求下列微分方程的通解：(p.348：习题12-4 1.(7))参考答案：解：8：[论述题8．求下列微分方程的通解：(p.394：习题12-10 1. (1))参考答案：解：特征方程：特征根：∴自由项，属型，这里（为常数），是零次多项式，其同次多项式也是常数，设；这里不是特征根，在中取，于是设特解且代入原方程，得∴，。
数学分析三试卷及答案
音乐集训时间管理引言音乐集训是每一个音乐学习者都必经的阶段。
在这个阶段，学习者需要投入大量的时间和精力来练习和磨炼自己的音乐技能。
然而，对于许多音乐学习者来说，管理好集训时间却是一项挑战。
本文将探讨一些有效的音乐集训时间管理的方法和技巧，帮助音乐学习者更好地利用时间，提高训练效果。
制定明确的学习目标在进行音乐集训之前，首先需要制定明确的学习目标。
目标可以分为短期目标和长期目标。
短期目标可以是每天或每周的小目标，如学习一段乐曲的特定技巧或完成一项练习。
长期目标可以是一个演奏会、比赛或考级的准备。
制定明确的学习目标可以帮助学习者更加有条理地安排学习计划，提高效率。
制定合理的学习计划制定合理的学习计划是有效管理音乐集训时间的关键。
学习计划应该包括每天、每周和每月的具体安排。
首先，每天的学习时间应该有固定的起止时间，并且要合理分配时间来进行不同方面的练习，如技巧训练、曲目练习和音乐理论等。
其次，每周的学习计划可以安排具体的练习内容和复习内容，以巩固之前学习的知识和技能。
最后，每月的学习计划可以安排大项目的准备和总结，以检验自己的学习成果。
制定效果评估机制为了更好地管理音乐集训时间，学习者还应该制定一个效果评估机制。
效果评估可以通过录音、视频或请老师和同学评价等方式进行。
通过评估自己的演奏和表现，学习者可以及时发现问题和不足，并进行调整和改进。
效果评估也可以帮助学习者建立自信和动力，努力提高自己的演奏水平和技巧。
分解任务，有针对性地训练音乐集训通常包含很多不同的技巧和知识点，因此学习者需要将集训任务分解成更小的任务，有针对性地进行训练。
例如，对于一个乐曲，学习者可以先从简单的部分开始练习，然后逐渐增加难度，直到完整地掌握整个曲目。
这样的分解任务和有针对性地训练可以帮助学习者更加高效地学习和提高。
利用碎片时间进行练习除了规划好的学习时间之外，学习者还可以利用碎片时间进行练习。
碎片时间是指日常生活中零散的时间段，如排队、坐车和等待等。
数学分析刘三阳第三讲习题解答!
习题3-1 1. 设定义在[,]a b 上的函数()f x 在(,)a b 内连续内连续,,且lim ()x a f x +®和lim ()x bf x -®存在(有限有限).).).问问()f x 在[,]a b 上是否有界上是否有界??是否能取得最值是否能取得最值? ? 解 在闭区间[,]a b 上构造辅助函数ïîïíì==Î=-+. ),(, ,)(),,( ),()(b x b f a x a f b a x x f x g则)(x g 在[,]a b 上连续，从而)(x g 在[,]a b 上有界. 由于)( )()(b x a x f x g <<=，故)(x f 在(,)a b 上也有界，即存在01>M ，使得 ),( ,)(1b a x M x f Σ.令{})( ,)(max ,1b f a f M M =，则有 ],[ ,)(b a x M x f Σ.条件同上，但()f x 在[,]a b 上却不一定能取得极值上却不一定能取得极值. . 例如： 2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理. .证明 （1）用确界存在原理证. 设)({x f x E =在],[x a 上有界.]},[b a x Î，则E 非空且有上界，由确界存在原理，存在E sup =b . 下面要证 b =b 并且E b Î，以使],[b a E =，即()f x 在[,]a b 上有界反证法。
若b <b ，由连续函数的局部有界性，)( ,00x f >$d 在 ),(00d b d b +-内有界，即存在b >0x ，使E x Î0，这与E sup =b 相矛盾，所以b =b .再证()f x 在[,]a b 上有界上有界. . 因为()f x 在点b 连续，所以存在0>d ，使()f x 在],(b b d -上有界；再由E b sup =可知()f x 在]2,[d-b a 上有界，于是()f x 在[,]a b 上有界有界. .（2）用有限覆盖定理证用有限覆盖定理证. . 已知)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上每一点0x 的极限存在，因此存在点0x 的邻域),(0d o x ，使)(x f 在该邻域内有界，M x f £)(，这里的正数d 及M 与点0x 有关有关..由于],[b a 上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间），这些开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了],[b a . 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有有限个开区间覆盖],[b a ，记这有限个开区间为) ,(,), ,( ), ,(22221111k k k k x x x x x x d d d d d d +-+-+- ，相应的M 分别记为k MM M ,,,21. 令},,max{~21k M M M M =，则有 ],[ , ~)(b a x M x f Σ. 注：对于区间端点a 和b ，可以用延拓的方法将),[d +a a 及],(b b d ¢-换为开区间),(d d +-a a 及),(d d ¢+¢-b b ， 并考虑函数îïíì¢+<<££<<-=d d b x b b f b x a x f a x a a f x g ),( ),( ),()(3. 设()f x 是[0,)+¥上的连续正值函数,若lim(())x f f x ®+¥=+¥.证明l i m ()x f x ®+¥=+¥.证明 反证法反证法. . 假定结论不成立，则n X ">$ ,0有n x n >，使得 X x f n £<)(0.因为)(x f 连续，所以)(x f 在],0[X 上有界，从而0>$M ，使得X x f £)(时，有.))((M x f f £由此可知，n x n n >$",，使 M x f f n £))((，这与l i m(())x f f x ®+¥=+¥矛盾矛盾. .4. 设()f x 在(,)-¥+¥内连续内连续,,且lim ()x f x ®±¥=+¥.证明()f x 在(,)-¥+¥内可取得最小值取得最小值. .证明 因为+¥=±¥®)(lim x f x ，故),(0+¥-¥Î$x 有0)(0>x f ，且0>$X ，当X x >时，时，有有 )()(0x f x f >. 由于()f x 在[-X [-X，，X]X]上连续，上连续，上连续，故可取得最小故可取得最小值，从而()f x 在),(+¥-¥内可取得最小值内可取得最小值. .5. 设()f x 在[,]a b 上连续上连续,,若开区间(,)a b 内任一点均非()f x 的极值点的极值点..证明()f x 在[,]a b 上单调上单调. .证明 容易知道，()f x 的最大、最小值点不在(,)a b 内，因此不妨假定)(a f 是最小值，)(b f 是最大值，此时()f x 是递增的是递增的..事实上，若存在2121),,(,x x b a x x <Î，使得)()(21x f x f >，则)(1x f 是],[21x x 上的最大值，)(2x f 是最小值是最小值. . 而在],[1x a 上，则)(1x f 是最大值，)(a f 是最小值是最小值. . 由此得出1x 是()f x 的极大值点，矛盾的极大值点，矛盾..6. 设()f x 在[,]a b 上连续,且对任意[,]x a b Î总存在[,]y a b Î使1()()2f y f x £.证明()f x 在[,]a b 上存在零点上存在零点. .证明 由于()f x 在[,]a b 上连续，故)(x f 在[,]a b 上也连续，设)(0x f 为其最小值为其最小值. .又依题设，存在],[0b a yÎ，使得 2)()(00xf y f £，这只有0)()(00==y f x f .7. 用有界性定理证明最值存在定理用有界性定理证明最值存在定理. .证明 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以有界，从而存在上、下确界M 、m .现证],[0b a x Î$使M x f =)(0（对m 类似可证）类似可证）..假若不存在这样的0x，则对],[b a x Î有0)(>-x f M .令)(1)(x f M x F -=，易知)(x F 在[,]a b 上连续，从而有界.不妨设],[,)(b a x M x F Σ但因M是()f x 的上确界，故存在],[b a x ΢使M x f M x F MM x f >¢-=¢->¢)(1)(,1)( 矛盾矛盾. .习题3-2 . 1 . 设设1a ,2a ,30a >,123b b b <<.证明证明::方程3121230a a a x b x b x b ++=---在12(,)b b 和23(,)b b 内恰好各有一个实根内恰好各有一个实根. .证明 令 332211)(b x a b x ab x a x f -+-+-=，则)(x f 在12(,)b b 和23(,)b b 内连续，321,,b b b 是)(x f 的无穷型间断点的无穷型间断点. .由-¥=-+¥=--+®®221121lim,lim b x a b x a b x b x ， 则有 +¥=÷÷øöççèæ-+-+-=++®®33221111lim )(lim b x a b x a b x a x f b x b x ，-¥=÷÷øöççèæ-+-+-=--®®33221122lim )(lim b x a b x a b x a x f b x b x . 从而必存在)(,221121b x x b x x <<<，使0)( ,0)(21<>x f x f . 对)(x f 在],[21x x上应用零点定理，则)(x f 在),(),(2121b b x x Ì内至少存在一个根内至少存在一个根..又由于0)(<¢x f ，故)(x f 在12(,)b b 内单调减，所以恰有一个实根内单调减，所以恰有一个实根. . 类似证明)(x f 在),(32b b 内也恰有一个实根内也恰有一个实根.. 2. 闭区间[,]a b 上具有介值性的函数是否一定在[,]a b 上连续上连续? ? 解 如果一个函数可以取到它的任何两个函数值之间的一切值，则称此函数具有介值性质则称此函数具有介值性质..闭区间上的连续函数具有介值性，但反之不真不真. . 例如îíì<£---££-=.01 ,1,10 ,1)(x x x x x f 具有介值性，但在0=x 不连续不连续. . 又例如.11 , ,)(££-îíì-=x x x x x x f 为无理数，为有理数， 虽然)(x f 取介于1)1(,1)1(=-=-f f 之间的所有数作为其函数值，但是)(x f 在]1,1[-上并不连续上并不连续. .3. 设函数()f x 在开区间（,a b ）上连续，且(0)f a +和(0)f b -存在，证明：()f x 可取到介于(0)f a +和(0)f b -之间的一切值之间的一切值. .证明 作辅助函数 . ),0( ),( ),0()(ïîïíì=-<<=+=b x b f b x a x f a x a f x g )(x g 在[,]a b 上连续，当),(b a x Î时，)()(x f x g =.4. 设()f x 在[,]a b 上连续上连续, , [,]nx a b Î,lim ()n n f x A ®¥=.证明存在[,]a b x Î使()f A x =.证法1 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以存在最大值M 和最小值m ，且使M x f m n ££)(，从而有M x f A m n n £=£¥®)(lim .由介值定理知],[b a Î$x ，使()f A x =.证法2 因为{}nx 有界，所以存在收敛子列)( ],[¥®Î®k b a x kn x.而()f x 在[,]a b 上连续，故有A x f x f f n n n k k ===¥®¥®)(lim )(lim )(x .5. 设()f x 在[,]a b 上连续上连续, , ()()f a f b =.证明：存在,[,]c d a b Î,2b ad c --=使得()()f c f d =.证明 设 )()2()(x f a b x f x F --+=，则)()2()(a f ba f a F -+=， )2()()2(b a f b f b a F +-=+. 因为)()(b f a f =，所以)()2(a F b a F -=+，故存在]2 ,[b a a +Îx ，使得 0)()2()(=--+=x x x f a b f F ，即)()2(x x f ab f =-+.令 2 ,a b d c -+==x x ，则 )()( ,2c fd f a b c d =-=-. 6. 设()f x 在[0,1]上连续上连续, , n 是任一自然数是任一自然数. .(1) 若(0)(1)f f =.证明存在1,,01,na b a b b a £<£-=,使()()f f a b =；(2) 若(0)0,(1)1f f ==.证明存在(0,1)n x Î使11()()n n f f n n x x +=+.证明 (1) 作)()1()(x f nx f x F -+=，则有).11()1()11(),21()11()21( ),1()2()1(),0()1()0(nf f n F n f n f n F nf n f n F f n f F --=----=--=-=由此，相加得0)0()1()11()1()0(=-=-+++f f nF nF F)(a 若有)1,,2,1,0( -=n k k ，使得 0)(=nkF ，则取n k n k1,+==b a ，即得所证.)(b 若对一切1,,2,1,0-=n k 均有0)(¹nk f ，则必存在21,k k ，使0)( ,0)(21<>n k F n kF ，从而可知在n k 1与nk2之间存在x ，使得 )()1()(0x x x f n f F -+==因此，取n1,+==x b x a 即可得证即可得证. . (2) 作 n x f n x f x F 1)()1()(--+=，证法同，证法同(1). (1). 习题3-3 1. 判断下列函数的一致连续性判断下列函数的一致连续性. . (1)2()sin f x x =,[0,)x Î+¥; (2) 2()f x x =,(,)x Î-¥+¥;(3) 1()sin f x x=,(0,1)x Î; (4) 3()f x x =,[0,)x Î+¥.解 (1) 因为21212122122sin sin sin sin sin sin x x x x x x x x -£+-=- 所以 ,0>"e 只要取2ed =，则),0[,21+¥Î"x x ，当d<-21x x 时，就有 e <-2212sin sin x x故()f x 在),0[+¥上是一致连续的上是一致连续的. . (2)(3) 取21=e . 任给0>d ，取221 ,21p p p+=¢¢=¢n x n x n n ，,)22(4pp p p+=¢¢-¢n n x x n n 当n 充分大时，有d <¢¢-¢nn x x ， 但是 211)22sin()2sin(=>=+-e pp p n n故()f x 在区间1) ,0(非一致连续非一致连续. .(4)2. 设()f x ,()g x 在有限开区间(,)a b 内均一致连续内均一致连续..证明()()f x g x ×也在(,)a b 内一致连续若(,)a b 换为无限区间换为无限区间,,结论还成立吗结论还成立吗??证明 易知()f x ,()g x 在(,)a b 有界，设21)( ,)(M x g M x f ££，则),(,b a x x ΢¢¢"有)()()()( )()( )()()( )()()()()(12x g x g M x f x f M x g x g x f x f x f x g x g x f x g x f ¢-¢¢+¢-¢¢£¢-¢¢¢+¢-¢¢¢¢£¢¢-¢¢¢¢由此可知，()()f x g x ×在(,)a b 内一致连续内一致连续. .若(,)a b 换为无限区间换为无限区间,,结论不一定成立结论不一定成立. . 例如x x g x f ==)()(在),1[+¥一致连续，而2)()(x x g x f =×在),1[+¥不一致连续不一致连续. . 又如),[,sin )(,)(+¥Î==a x x x g x x f .3. 设()f x 在有限开区间(,)a b 内连续内连续. . 证明()f x 在(,)a b 内一致连续的充要条件是充要条件是::极限lim ()x a f x +®和lim ()x bf x -®均存在均存在..证明 必要性必要性. . 由()f x 在(,)a b 内一致连续可知，0>"e ，0>$d ，当),(,, b a x x x x ΢¢¢<¢¢-¢d 时，e <¢¢-¢)()(x f x f . 于是，对(,)a b 中满足 2 ,2dd <-¢¢<-¢a x a x 的任意两点，可知 d <-¢¢+-¢£¢¢-¢a x a x x x ， 从而有e <¢¢-¢)()(xf x f .根据柯西收敛准则，极限lim ()x a f x +®存在存在. . 类似证明 lim ()x bf x -®存在存在. . 充分性充分性. . 作函数 ïîïíì=+Î=+=. ),(),,( ),(, ),()(b x b f b a x x f a x a f x F 显然，)(x F 在],[b a 上连续，由康托定理)(x F 在],[b a 上一致连续，当然在(,)a b 内也一致连续内也一致连续..又因为),(),()(b a x x f x F κ，所以()f x 在(,)a b 内一致连续致连续. .4. 设()f x 在有限开区间(,)a b 内一致连续内一致连续..证明()f x 在(,)a b 内有界内有界. .证明 由3题直接可得题直接可得. .5. 设()f x 在有限区间I 上有定义上有定义,,证明()f x 在I 上一致连续的充要条件是()f x 把柯西列映射成柯西列把柯西列映射成柯西列,,即对任何柯西列{}n x I Ì,{}()n f x 也是柯西列柯西列. .证明 必要性必要性. . 设()f x 在I 上一致连续，则0,0>$>"d e ，使得 I x x x x x f x f ΢¢¢<¢¢-¢<¢¢-¢, , ,)()(d e . 设{}{}n, x x n¢¢¢ 满足0)(lim =¢¢-¢¥®nnn x x ，于是对上述d ，d <¢¢-¢>"$nn x x N n N ,,， 从而有 e <¢¢-¢)()(nn x f x f . 充分性 反证法.假若()f x 在I 上不一致连续，于是{}{}nx x I x x nn n n 1,,,00<¢¢-¢Ì¢¢¢>$e ，。
福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案
福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
本复习题页码标注所用教材为：教材名称 单价 作者版本 出版社 数学分析41华东师范大学数学系第三版高等教育出版社如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案一一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）： 1. 与lim n n x a →∞=的定义等价的是：（ ）A 、0,ε∀> 总有n x a ε-<；B 、0,ε∀> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外；C 、存在自然数N ，对0,ε∀>当n N >，有n x a ε-<；D 、0(01),εε∀><<存在自然数N ，对,n N ∀>有n x a ε-<； 答案：B,D2．下列命题中正确的是：（ ）A 、若函数()f x 在[,]a b 内无界，则()f x 在[,]a b 上不可积；B 、若函数()f x 在[,]a b 上不连续，则()f x 在[,]a b 上不可积；C 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则[()]()xaf t dt f x '=⎰;D 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积，反之不然. 答案：AD3.函数()f x 在[a,b]上可积的必要条件是( )A 、有界B 、连续C 、单调D 、存在原函数 答案：A二、填空题：（共10分，每题2分）1.设21(1)nn x∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= 。
考核知识点：级数的收敛性。
参见教材（下册）P1-5 提示：利用P3页的推论进行计算。
2.(,)limx y →= 。
考核知识点：二元函数的极限。
参见教材（下册）P93-96.提示：)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlimlim1x y x y x y xy→→→==3.设3()sin F x x '=，则()F x = 。
西南大学《数学分析选讲》网上作业及参考答案
===================================================================================================1：[论述题]《数学分析选讲》第一次主观题作业答案一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、C7、D8、D三、计算题解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x 2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3、解：因2n ≤++≤+1n n==， 故 21n n →∞++=+。
4、 当0x <时，有221()lim lim 11x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。
所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题===================================================================================================证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。
(2021年整理)数学分析(3)试卷及答案
祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）数学分析(3)试卷及答案的全部内容。
数学分析（3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项:1. 考试时间：120分钟。
2. 试卷含三大题,共100分.3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分）1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
5、 设L 是从点(0，0）到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题（每题8分，共56分）1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xyy x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sine 02⎰∞+---。
提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22.5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
数学分析Ⅲ练习答案
练习一答案： 一、填空题1、平面点集{}22(,)|01E x y x y =<+<的内部为 ,边界为 . 解 {}{}222222int (,)|01,(,)|01E x y x y E x y x y x y =<+<∂=+=+=或2、平面点集11,,E n m n m ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为整数的聚点集为 .解 {}(0,0)3、设(,)f x y =,则函数(,)f x y 的定义域为 .解(){}222,014x y xy y x <+<≤且4、设2222),(y x y x y x f +-=则00limlim (,)x y f x y →→= ,),(lim lim 00y x f x y →→= . 解 222200000limlim (,)limlim lim11x y x y x x y f x y x y →→→→→-===+()222200000limlim (,)limlim lim 11y x y x x x y f x y x y →→→→→-==-=-+ 5、函数1(,)sin sin f x y x y =的间断点集为 .解(){},,,x y x k y l k l ππ==∈Z 或二、选择题1、函数f x y x y (,)=-+-1122的定义域是( D ) A 、闭区域 B 、开区域 C 、开集 D 、闭集解 f x y x y (,)=-+-1122的定义域是(){},1,1E x y x y =≤≥E 是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.2、函数y x z -=的定义域是( C )A 、有界开集B 、有界闭集C 、无界闭集D 、无界开集 解 y x z -=的定义域是(){}2,0E x y y x =≤≤E 是无界闭集.3、以下说法中正确的是( A ) A 、开区域必为开集 B 、闭区域必为有界闭集 C 、开集必为开区域 D 、闭集必为闭区域 解 开区域是连通的开集,故开区域必为开集.4、下列命题中正确的是( A )A 、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B 、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C 、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;D 、如果二重极限存在,则累次极限一定存在. 解 课本P158定理1.5、下列说法正确的是( A )A 、有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列;B 、二元函数),(y x f 在D 上关于x ,y 均连续,则),(y x f 在D 上连续;C 、函数),(y x f 在有界区域D 上连续,则),(y x f 在D 上有界;D 、函数),(y x f 定义在点集2R D ⊂上,D P ∈0,且0P 是D 的孤立点,则()f x 在0P 处连续. 解 由课本P151定理6知,有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列. 三、求下列极限1、222200lim x y x y x y →→+解 当(,)(0,0)x y ¹时2222222220x y y xx x y x y ?祝++,而200lim 0x y x →→=所以222200lim 0x y x y x y →→=+. 2、2200x y →→解 因为())2222221111x y x y +==++-所以)22000lim12x x y y ==.四、用ε-δ定义证明22200lim 0.x y x yx y →→=+ 证明 由于当(,)(0,0)x y ≠时2222||0||22x y x y x x x y xy -≤=≤+ 故0,,(,):0|0|,0|0|,x y x y εδεδδ∀>∃=∀<-<<-<有2220||x yx x y ε-≤<+故22200lim 0.x y x yx y →→=+练习二答案： 一、填空题 1、设xy e z =,则z x ∂=∂ ,z y∂=∂ . 解,xy xy z zye xe x y∂∂==∂∂ 2、设000000(,)0,(,)4,(,)5x y f x y f x y f x y ''===,则000(,)limx f x x y x ∆→+∆=∆ ,000(,)lim y f x y y y∆→+∆=∆ .解 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)4x x x f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)5y y y f x y y f x y y f x y f x y y y∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 3、设ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则(1,1)dz = .解 21111,()11z z x x x x x y x y y y y x y y y ⎛⎫∂∂=⋅==⋅-=- ⎪∂+∂+⎝⎭++(1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂∴==-∂∂ (1,1)111()222dz dx dy dx dy ∴=-=- 4、设2sin()z x y =,则dz = .解 2222cos(),cos()z zxy x y x x y x y ∂∂==∂∂ ()22222c o s ()c o s ()c o s ()2d z x y x y d x x x y d y x x y y d x x d y∴=+=+ 5、求曲面arctany z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为 ,法线方程 .解 2222,x yy xz z x y x y ⅱ=-=++ 11(1,1),(1,1)22x y z z ⅱ\=-=故曲面arctan y z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为11(1)(1)422z x y π-=--+-,即202x y z π-+-=法线方程为11411122z x y π---==--,即202204x y x z π+-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 二、选择题1、设),(y x f 在点(,)a b 处偏导数存在,则lim (,)(,)x f a x b f a x b x→+--0=( C )A 、(,)x f a b 'B 、(2,)x f a b 'C 、2(,)x f a b 'D 、1(,)2x f a b ' 解 [][]xb a f b x a f b a f b x a f x b x a f b x a f x x ),(),(),(),(lim ),(),(lim00----+=--+→→ [][]000(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim (,)(,)2(,)x x x x x x f a x b f a b f a x b f a b xf a x b f a b f a x b f a b x x f a b f a b f a b →→→+----=+---=+-''=+'=2、设),(y x f 在点00(,)x y 处存在关于x 的偏导数,则00(,)(,)x y f x y x ∂=∂( A )A 、x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 B 、xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C 、x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000D 、xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000解 0000000(,)(,)(,)(,)limx x y f x x y f x y f x y x x∆→+∆-∂=∂∆ 3、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000在点(0,0)处有( D )A 、连续且偏导数存在B 、连续但偏导数不存在C 、不连续且偏导数不存在D 、不连续但偏导数存在 解 当(,)x y 沿y x =趋于(0,0)时22200001lim (,)lim (,)lim 2x x x y x f x y f x x x x →→→→===+ 当(,)x y 沿0y =趋于(0,0)时00lim (,)lim (,0)lim 00x x x y f x y f x →→→→===故00lim (,)x y f x y →→不存在,于是函数),(y x f 在点(0,0)处不连续.000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)0l i ml i m 0,l i m l i m 0x x y x f x f f y f x x yy ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在原点存在偏导数且(0,0)0,(0,0)0x y f f ''==4、在点00(,)x y 处的某邻域内偏导数存在且连续是),(y x f 在该点可微的( B ) A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件 解 P175定理25、下面命题正确的是( C )A 、若),(y x f 在00(,)x y 连续,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;B 、若),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处连续;C 、若),(y x f 在00(,)x y 可微,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;D 、若),(y x f 在00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处可微. 解 P172定理1三、讨论函数2222222,0(,)0,0x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在原点附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解 2221(,)(0,0)02x y x y xx y ≠≤≤+ 当时，且001lim 02x y x →→=. 2220000lim (,)lim 0(0,0)x x y y x yf x y f x y →→→→∴===+(,)f x y ∴在点(0,0)的连续.0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00lim lim 0,lim lim 0x x y y f x f f y f x x y y ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆(,)f x y ∴在点(0,0)存在偏导数且(0,0)(0,0)0x y f f ''==.[]()22223222(,)(0,0)(0,0)(0,0)x y x yf x y f f x f y z dzx yxyρ∆∆⎡⎤''∆∆--∆+∆∆-∆∆===∆+∆当(,)x y ∆∆沿y x ∆=∆趋于(0,0)时()23300222limlimlim x x y z dzx yxyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆+∆ 当(,)x y ∆∆沿0y ∆=趋于(0,0)时()2330222limlimlim0x x y z dzx yx xyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆∆+∆故极限()230222limx y x yxy∆→∆→∆∆∆+∆不存在,从而极限0limz dzρρ→∆-不存在,即(,)f x y 在点(0,0)不可微.一、求下列复合函数的偏导数或导数1、2ln ,,32,u z x y x y u v v ===-求,.z zu v∂∂∂∂解 22ln 3z z x z y x y x u x u y u v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 222l n 2z z x z y u x y x v x v y v v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--∂∂∂∂∂2、,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭求,,.u u ux y z ∂∂∂∂∂∂解 令,x y s t y z ==,则函数,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭由函数(,),,x yu f s t s t y z ===复合而成,记12,u u f f s t∂∂''==∂∂,则11222211, , .u u s u u s u t x u u t y f f f f x s x y y s y t y y z z t z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂''''=⋅==⋅+⋅=-+=⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求22(,,)f x y z x xy z =-+在点0(1,0,1)P 沿(2,1,2)l =- 的方向导数. 解 由于l 的方向余弦为212cos , cos , cos 333αβγ====-==()0000()22, ()1, ()22x y P z P P f P x y f P xf P z'''=-==-=-==所以()000212()cos ()cos ()cos 123333x y z f f P f P f P l αβγ∂⎛⎫++⋅+-⋅-+⋅= ⎪∂⎝⎭==2. 2、求u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB上的方向导数.解 由于(4,3,12)AB =,故它的方向余弦为4312cos , cos , cos 131313αβγ====()2,()10,()5x y Az A A f A yz f A zxf A xy '''======所以000431298()cos ()cos ()cos 10513131313x y z f f P f P f P l αβγ∂++⋅+⋅+⋅=∂==2一、填空题1、如果 ,则有0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 解 如果函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的某邻域G 内存在二个混合偏导数(,)xy f x y ''与(,)yx f x y '',并且它们在点00(,)P x y 连续,则0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 2、设24z x y =,则2zx y ∂=∂∂ .解 2432,8z z xy xy x x y∂∂==∂∂∂ 3、二元函数xy y x y x f ++=),(在点)2,1(的泰勒公式为 .解 222221,1,0,1,0,0(2)n m n m f f f f f fy x n m x y x x y y x y+∂∂∂∂∂∂=+=+====+>∂∂∂∂∂∂∂∂22()(1,2)3,(1,2)2,(1,2)0,(1,2)1,(1,2)0,(1,2)0(2)m nm n x y xy x y x yf f f f f f n m +''''''''∴======+> (,)f x y x y x y ∴=++在点)2,1(的泰勒公式为 (,)f x y x y x y =++ 1(1,2)(1,2)(1)(1,2)(2)1!x y f f x f y ''⎡⎤=+-+-⎣⎦ 22221(1,2)(1)2(1,2)(1)(2)(1,2)(2)2!xy x y f x f x y f y ⎡⎤''''''+-+--+-⎣⎦ 53(1)2(2)(1)(x y x y =+-+-+-- 4、函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点 处取得极大值,且极大值是 .解 令(,)420(,)420xy f x y x f x y y ⎧'=-=⎪⎨'=--=⎪⎩得稳定点(2,2)-.由于22(,)2, (,)0, (,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''=-==-2(2,2)20, (2,2)0,(2,2)2, 4x x x y y y A f B f C f B A C ''''''=-=-<=-==-=-∆=-=-<故函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点(2,2)-取得极大值,且极大值是(2,2)8f -=.5、设),(),(00y x y x f z 在=存在偏导数,且在),(00y x 处取得极值,则必有 .解 0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩二、选择题1、二元函数3322339z x y x y x =+++-在点M 处取得极小值,则点M 的坐标是( A ) A 、(1,0) B 、(1,2) C 、(-3,0) D 、(-3,2) 解 令22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧'=+-=⎪⎨'=+=⎪⎩得稳定点(1,0),(3,0),(1,2),(3,2)----.由于(,)66, (,)0, (,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y ''''''=+==+ 在点(1,0),2120, 0, 6, 720A B C B AC =>==∆=-=-<在点(3,0)-,212, 0, 6, 720A B C B AC =-==∆=-=> 在点(1,2)-,212, 0, 6, 720A B C B AC ===-∆=-=>在点(3,2)--,2120, 0, 6, 720A B C B AC =-<==-∆=-=-<故函数3322339z x y x y x =+++-在点(1,2)-,(3,0)-不取得极值,在点(1,0)取得极小值, 在点(3,2)--取得极大值.2、二元函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 的极小值点是( C ) A 、(-1,-1) B 、(0,0) C 、(1,1) D 、(2,2) 解 令(,)4220(,)220xy f x y x y f x y y x ⎧'=--=⎪⎨'=-=⎪⎩得稳定点(1,1).由于(,)4, (,)2, (,)2xx xy yy f x y f x y f x y ''''''==-= 240, 2, 2, 40A B C B A C =>=-=∆=-=-< 故函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 在点(1,1)取得极小值. 3、关于二元函数下列论断①(,)f x y 在),(00y x 取得极值,则),(00y x 是(,)f x y 的稳定点;②),(00y x 是(,)f x y 的稳定点,则(,)f x y 在),(00y x 取得极值; ③(,)f x y 在),(00y x 不存在偏导数,则(,)f x y 在),(00y x 不会取得极值; ④)0,0(以xy z =为极小值点. 其中正确的个数是( A )A 、0B 、1C 、2D 、3解 ①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)取得极小值,但点(0,0)不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点(1,2)-是稳定点,但却不是极值点. ③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)的偏导数不存在,但点(0,0)是该函数的极小点.④错误: 令00xy z y z x ⎧'==⎪⎨'==⎪⎩得稳定点(0,0).由于(,)0, (,)1, (,)0xx xy yy z x y z x y z x y ''''''===20, 1, 0, 10A B C B A C ===∆=-=> 故函数z xy =在点(0,0)不取得极值.4、如果点()00,x y 为(,)f x y 的极值点且()()0000,,,x y f x y f x y ''存在,则它是(,)f x y 的( B ) A 、最大值点 B 、稳定点 C 、连续点 D 、最小值点 解 P200定理35、下列命题中,正确的是( D )A 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点,则它一定是(,)f x y 极值点;B 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的极值点,则它一定是(,)f x y 稳定点;C 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆=,则它不是(,)f x y 极值点;D 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆>,则它不是(,)f x y 极值点. 解 P201定理4 三、求解下列各题1、求函数333(0)z axy x y a =-->的极值.解 令22330330xy z ay x z ax y ì¢ï=-=ïí¢ï=-=ïî 得稳定点(0,0)和(,)a a .6, 3, x x x y y y z x z a z y ⅱ =-==- 对于点(0,0),220, 3, 0, 90A B a C B AC a ===D =-=>故点(0,0)不是极值点.对于点(,)a a ,2260, 3, 6, 270A a B a C a B AC a =-<==-D =-=-< 故点(,)a a 是极大点,极大值为3(,)z a a a =.2、在xy 平面上求一点,使它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和最小. 解 设(,)x y 为平面上任一点,则它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和为()222216(,)5x y S x y x y +-=++于是问题转化为求函数()222216(,)5x y S x y x y +-=++在2R 上的最小值.令()()22162054216205x y x y S x x y S y ì+-ïï¢=+=ïïïíï+-ï¢ï=+=ïïî得(,)S x y 在2R 上的唯一稳定点816,55⎛⎫⎪⎝⎭.12418, , 555x x x y y yS S S ⅱⅱⅱ=== 2124180, , , 80555A B C B A C =>==D =-=-< 故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭是极小点.根据问题实际意义,函数(,)S x y 在2R 上一定存在最小值,而(,)S x y 在2R 上只有唯一一个极小点,故(,)S x y 在点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最小值.即平面点816,55⎛⎫⎪⎝⎭到三直线0,0x y ==,2160x y +-=的距离平方和最小.练习五答案： 一、填空题1、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定隐函数()y f x =,则dxdy= . 解法一 令2(,)sin x F x y y e xy =+-,则2(,), (,)cos 2x x y F x y e y F x y y xy ''=-=-于是22(,)(,)cos 2cos 2x x x x dy F x y e y y e dx F x y y xy y xy'--=-=-='-- 解法二 方程两边对x 求导得2c o s 20x d y d y y e y x y d x d x ⎛⎫⋅+-+⋅= ⎪⎝⎭ 2cos 2xdy y e dx y xy-=- 2、设方程0z e xyz -=确定隐函数(,)z f x y =,则z x ∂=∂ ,zy∂=∂ .解法一 令(,,)z F x y z e xyz =-,则(,,), (,,), (,,)zx y z F x y z y z F x y z x z F x y z e x y '''=-=-=- 于是(,,)(,,)(,,)(,,)x z z y z z z F x y z yzx F x y z e xyF x y z z xz y F x y z e xy'∂=-='∂-'∂=-='∂-解法二 方程两边分别对,x y 求偏导得00z z z z e y z x x x z z e x z y y y ∂∂⎧⎛⎫⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂⎪⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩于是,z z z yz z xzx e xy y e xy∂∂==∂-∂-.3、设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r φθφθφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .解2(,,)sin (,,)x y z r r φθφ∂=∂说明：原来给的是“设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r θφθφφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .”结果是不一样的！4、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x s t y y s t ==均有连续的偏导数,且(,)(,)14,(,)(,)2u v x y x y s t ∂∂==∂∂,则(,)(,)u v s t ∂=∂ .解(,)(,)(,)142(,)(,)(,)2u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅=⨯=∂∂∂ 5、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数且(,)2(,)u v x y ∂=∂,则(,)(,)x y u v ∂=∂ .解(,)11(,)(,)2(,)x y x y u v u v ∂==∂∂∂ 二、证明方程ln 1(0,1,1)xz xy z y e ++=在点的某领域内能确定隐函数(,),x x y z =并求,x xy z∂∂∂∂. 解 令(,,)ln 1,xz F x y z xy z y e =++-则(1) (,,),F x y z (,,),xz x F x y z y ze '=+(,,),y zF x y z x y'=+(,,)ln xz z F x y z y xe '=+都在(0,1,1)的某邻域内连续;(2) (0,1,1)0F =; (3) (0,1,1)20x F '=≠.故方程可确定隐函数(,)x f y z =.2(,,)(,,)y xz xzx z x F x y z x xy z yy y ze y yze F x y z +'∂+=-=-=-∂++' (,,)ln (,,)xzz xzx x F x y z y xe z y ze F x y z '∂+=-=-∂+' 三、设方程组⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==,求,u vx x ∂∂∂∂. 解 方程组关于x 求偏导得12020u v u y x x v u v u x x x ì抖ïï--=ï抖ïíï抖ï---=ïï抖ïî解此方程组得24u v uy x uv xy ?=?,224v u x x xy uv?=?练习六答案： 一、填空题1、二元函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的存在 (极小值/极大值),其极大(小)值为 .解 由2(1)f xy x x x x ==-=-,令120f x '=-=得稳定点12x =;又由于20f ''=-<,故函数在12x =取得极大值111,224f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2、平面曲线09)(233=-+xy y x 在点(2,1)处的切线方程为 ,法线方程为 . 解 令33(,)2()9F x y x y xy =+-,则22(,)69, (,)69x y F x y x y F x y y x ''=-=-22(,)69(,)69x y d y F x y xyd x F x y y x'-=-=-'- (2,1)54dy k dx == 故所求的切线方程为51(2)4y x -=-,即5460x y --=. 法线方程为41(2)5y x -=--,即45130x y +-=. 3、空间曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线方程为 ,法平面方程为 .解 由于21,2,3x y t z t '''===,则(1)1,(1)2,(1)3x y z '''===,故所求的切线方程为111123x y z ---== 法平面方程为(1)2(1)3(1)x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=. 4、空间曲面236222x y z ++=在点()1,1,1P 处的切平面方程为 , 法线方程为 .解 由于222(,,)236F x y z x y z =++-,则(,,)4, (,,)6, (,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,1,1)4, (1,1,1)6, (1,1,1)2x y z F F F '''===故所求的切平面方程为4(1)6(1)2(1)x yz -+-+-=,即2360x y z ++-= 法线方程为111462x y z ---==,即11123x y z --==-. 5、曲面2132222=++z y x 在点 的切平面与平面460x y z ++=平行. 解 设所求的点为000(,,)x y z ,由于222(,,)2321F x y z x y z =++-,则(,,)2, (,,)4, (,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000000000(,,)2, (,,)4, (,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===由已知有0002220002461462321x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 解方程得000122x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或000122x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故所求的点为(1,2,2),(1,2,2)---.二、选择题1、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中与平面24x y z ++=平行的切线( B ) A 、只有一条 B 、只有二条 C 、至少有三条 D 、不存在 解 设曲线在0t t =处的切线与平面24x y z ++=平行,由于21,2,3x y t z t '''==-= 则200000()1,()2,()3x t y t t z t t '''==-= 由已知可得2001430t t -+=于是013t =或01t =,故曲线上有两点的切线与平面24x y z ++=平行的点.2、曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线平行于( C )A 、xoy 平面B 、yoz 平面C 、zox 平面D 、平面0x y z ++= 解法一：令22212(,,)6,(,,)F x y z x y z F x y z x y z =++-=++,则11122211122211122222(,)2(),11(,)22(,)2()11(,)22(,)2()11(,)F F x y x y F F x y F F x y x yF F y z y z F F y z F F y z yzF F z x F F z xz x F F z x z x∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂ 121212(,)(,)(,)6,6,0(,)(,)(,)M M MF F F F F F x y y z z x ∂∂∂==-=∂∂∂故曲线在点(1,2,1)M -处的切线为121606x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩该直线平行于xoz 平面.解法二：方程组22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩对x 求导数得：22200x y y z z x y z ìⅱ+??ïïíïⅱ++=ïî，解得xz x y y z -¢=-，xy xz z y-¢=- 所以(1,2,1)0y ¢-=，(1,2,1)1z ¢-=-所以切线的法向量为(1,0,1)-，切线方程为121101x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩.三、求解下列题1、求表面积一定而体积最大的长方体.解 设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,表面积为()20,a a >则问题转换为求函数(),,,f x y z xyz =在条件()22xy yz xz a ++=下的最大值.设()2,,,[2()]L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-,令()()()()220202020x y zL yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩解得x y z === 根据问题实际意义,体积最大的长方体一定存在,且稳定点只有一个,故表面积一定的长方体中正方体的体积最大.2、求曲线2222222393x y z z x yìï++=ïíï=+ïî在点(1,1,2)-的切线与法平面方程. 解法一：设222222(,,)239,(,,)3F x y z x y z G x y z z x y =++-=--,在点(1,1,2)-处有4,6,4x y z F F F ⅱ ==-=,6,2,4x y zG G G ⅱ =-== (,)(,)(,)32,40,28(,)(,)(,)F G F G F G y z z x x y 抖 =-=-=-抖所以切线的切向量为(8,10,7),切线方程为1128107x y z -+-== 法平面方程为8(1)10(1)7(2)0x y z -+++-=或8107120x y z ++-=解法二：方程组2222222393x y z z x y ìï++=ïíï=+ïî对x 求导数得：4620262x y y z z z z x y y ìⅱ+??ïïíïⅱ?+ ïî，解得54xy y ¢=-，74x z z ¢=所以5(1,1,2)4y ¢-=，7(1,1,2)8z ¢-= 所以切线的切向量为57(1,,)48，切线方程为11257148x y z -+-==，即1128107x y z -+-==练习七答案： 一、填空题1、=++⎰+∞0284x x dx. 解 ()222000(2)1212lim lim arctan lim arctan 4822224822AA A A A dx d x x A x x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞+++⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ 2、20x xe dx +∞-=⎰= .解()()22222000111limlim lim 1222AA x x x A A A A xe dx xe dx e d x e +∞----→+∞→+∞→+∞==--=--=⎰⎰⎰ 3、无穷积分dxx p 1+∞⎰在 时收敛,在 时发散. 解 无穷积分dxx p1+∞⎰在1p >时收敛,在1p ≤时发散(课本p263例3).4、无穷积分1(,0)1mnxdx m n x ∞≥+⎰在 时收敛,在 时发散. 解 由于lim lim 111m n n mn n x x x x x x x -→+∞→+∞⋅==++,故无穷积分⎰∞≥+0)0,(1n m dx xx n m在1n m ->时收敛,在1n m -≤时发散.5、无穷积分1sin pxdx x +∞⎰在 时绝对收敛,在 时条件收敛. 解 无穷积分1sin p xdx x+∞⎰在1p >时绝对收敛,在1p ≤时条件收敛. 二、选择题1、f x dx ()-∞+∞⎰收敛是f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛的( B )A 、无关条件B 、充要条件C 、充分条件D 、必要条件解 如果f x dx ()-∞+∞⎰收敛,则f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛,反之也成立. 2、设()0f x >且⎰+∞)(dx x f 收敛,则e f x dx x -+∞⎰()0( C )A 、可能收敛B 、可能发散C 、一定收敛D 、一定发散解 当0x ≥时,()()xe f x f x -≤,而⎰+∞0)(dx x f 收敛,由比较判别法知e f x dx x -+∞⎰()0收敛.3、设)(x f 在[,)a +∞连续且c a <,则下列结论中错误的是( D )A 、如果 )(dx x f a ⎰+∞收敛,则 )(dx x f c ⎰+∞必收敛. B 、如果 )(dx x f a ⎰+∞发散,则 )(dx x f c⎰+∞必发散.C 、 )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.D 、 )(dx x f a⎰+∞收敛, )(dx x f c⎰+∞不一定收敛.解 ,A a ∀>由于)(x f 在[,)a +∞连续,故()f x 在[,],[,]a A a c 上连续从而在[,],[,]a A a c 上可积.又由于()()()Ac Aaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰故l i m ()()l i m (A cAaacA A f x dx f x dx f x dx →+∞→+∞=+⎰⎰⎰即 )(dx x f a⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.4、设在[,)a +∞上恒有()()0f x g x ≥>,则( A ) A 、⎰+∞a dx x f )(收敛,⎰+∞a dx x g )(也收敛B 、()af x dx +∞⎰发散,()ag x dx +∞⎰也发散C 、⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散D 、无法判断解 由于0()()g x f x <≤,由比较判别法知当⎰+∞adx x f )(收敛时,⎰+∞adx x g )(也收敛(P270定理7).5、⎰∞+adx x f )(收敛是⎰∞+adx x f )(收敛的( C )A 、充分必要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、既不是充分也不是必要条件解 由于无穷积分性质知,果⎰∞+adx x f )(收敛,则⎰∞+adx x f )(也收敛(P267推论2).但逆命题不成立.例如无穷积分sin a xdx x +∞⎰收敛,但无穷积分sin a x dx x+∞⎰发散(P275,例11).三、讨论下列无穷限积分的敛散性(1)+∞⎰(2) 0+∞⎰ (3) 31arctan 1x x dx x +∞+⎰ (4) 11x xdx e +∞-⎰ 解 (1) 由于434lim 1,1,13x x d λ→+∞==>=故无穷积分+∞⎰收敛.(2) 由于121lim 1,,1,12x x d λ→+∞==<= 故无穷积分+∞⎰.(3) 由于23arctan lim ,21,122x x x x d x ππλ→+∞⋅==>=+ 故无穷积分31arctan 1x xdx x+∞+⎰收敛. (4) 由于2lim 0,21,01x x xx d e λ→+∞⋅==>=- 故无穷积分11x xdx e +∞-⎰收敛. 四、讨论下列广义积分的绝对收敛性和条件收敛性(1) ()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰ (2) 0100xdx x+∞+⎰ 解 (1) 由于()22sgn sin 111x x x≤++,而2011dx x +∞+⎰收敛,故()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰绝对收敛.(2) 令()()cos f x g x x ==,由于()f x '= 故当100x >时,()0f x '<.于是()f x 在[100,)+∞上单调递减且lim ()lim0x x f x →+∞→+∞==又由于0()()cos sin A A F A g x dx xdx A ===⎰⎰,()1F A ≤,故由狄里克雷判别法知无穷积分⎰收敛.另一方面)1cos 212(100)2x x +=≥==+⎣⎦可证0⎰发散,而0⎰收敛,故0dx ⎰发散,原积分条件收敛. 五、证明题若无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,则无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.证明 由于函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,故0,[,)M x a ∃>∀∈+∞有 ()f x M ≤ 从而()()()f x x M f x ϕ≤ 由于无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,故()af x dx +∞⎰收敛.由比较判别法知,无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.练习八答案： 一、填空题1、1=⎰ .解由于1lim x -→=∞,故1x =为瑕点,由瑕积分定义知()11120000001lim lim 1lim 2x εεεεεε+++---→→→==--=-⎰⎰⎰0lim11ε+→⎤=-=⎦ 2、10ln xdx =⎰= .解 由于0lim ln x x +→=-∞,故0x =为瑕点,由瑕积分定义知1111110000ln lim ln lim ln ln lim ln xdx xdx x x xd x x x dx εεεεεεεε+++→→→⎡⎤⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ []0l i m l n (1)1εεεε+→=---=- 3、 是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 解 0lim1,lim sin sin x x x x x xπ+-→→==∞ x π∴=是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 4、瑕积分10(0)q dxq x >⎰在 时收敛,在 时发散.解 瑕积分dxx q 01⎰在01q <<时收敛,在1q ≥时发散(P280例3).5、瑕积分201cos (0)mxdx m x π->⎰在 时收敛,在 时发散. 解 0x = 是积分201cos (0)m xdx m xπ->⎰的瑕点且 22001cos 1cos 1limlim 2m m x x x x x x x ++-→→--⋅== ∴瑕积分201cos (0)m xdx m x π->⎰在03m <<时收敛,在3m ≥时发散. 二、选择题1、瑕积分⎰-112xdx( D ) A 、收敛且其值为-2 B 、收敛且其值为2C 、收敛且其值为0D 、发散解 101222110dx dx dx x x x--=+⎰⎰⎰因为11122000011lim lim lim 1dx dx x x x εεεεεε+++→→→⎡⎤⎛⎫==-=-=∞⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰，发散，所以原积分发散. 2、下列积分中不是瑕积分的是( B )A 、⎰e xx dx1lnB 、⎰--12xdxC 、⎰-11x edx D 、⎰2cos πxdx解⎰ex x dx 1ln ,⎰-101x e dx ,⎰20cos πxdx 是瑕积分. 3、下列瑕积分中,发散的是( C )A、0⎰ B 、11211--⎰x dxC 、2211ln dx x x⎰D、1⎰解对于积分0⎰,0x =为瑕点,由于0lim 1sin x x +→=故瑕积分10sin dx x⎰收敛.对于积分11211--⎰x dx ,1x =±为瑕点且12111211lim(1)lim lim (1)lim x x x x x x --++→→→-→--==+==故瑕积分010,-⎰⎰均收敛,故原积分收敛;对于积分2211ln dx x x⎰,1x =为瑕点且22222111111(1)2(1)2lim(1)lim lim lim lim 12ln 2ln ln ln 2ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+++++→→→→→---⋅=====+++ 故该积分发散;对于积分10⎰,0x =为瑕点且120lim(0)1x x +→-= 故该积分收敛.4、若瑕积分⎰badx x f )(收敛(a 为瑕点),则下列结论中成立的是( B )A 、()baf x dx ⎰收敛B 、⎰badx x f )(收敛C 、⎰badx x f )(2收敛D 、⎰badx x f )(2发散解 若瑕积分⎰badx x f )(收敛,则()b af x dx ⎰不一定收敛,例如1011sin dx x x⎰收敛,但111sin dx x x⎰发散(P287例10). 若瑕积分⎰b adx x f )(收敛,则⎰badx x f )(2可能收敛也可能发散,例如取()f x =,则瑕积分⎰b a dx x f )(收敛,⎰b a dx x f )(2发散;取()f x =,则瑕积分⎰b a dxx f )(收敛,⎰b adx x f )(2也收敛.5、当 ( A )时,广义积分10(0)1px dx p x <+⎰收敛. A 、 10p -<< B 、1-≤p C 、0<pD 、1-<p解 当0p <时,⎰+101dx x x p为瑕积分,0x =为瑕点且 001lim lim 111p px x x x x x ++-→→⋅==++ 故当1p -<时,即当10p -<<时,广义积分⎰+101dx x xp 收敛. 三、讨论下列假积分的敛散性(1) 302sin x dx x π⎰ (2)1⎰ (3) 10ln 1x dx x -⎰ (4)130arctan 1xdx x -⎰解 (1)0x =为瑕点且123002sin sin lim(0)lim 1x x x x x xx ++→→-⋅== 故该积分收敛.(2)0,1x =为瑕点,10.5100=+⎰⎰⎰,由于1200111lim(0)lim 0ln lim(1lim 1x x x x x x x ++--→→→→-==-==-于是积分0.50⎰收敛,而1⎰发散,故原积分发散.(3)由于01ln ln lim,lim 111x x x xx x+-→→=∞=---,故0x =为瑕点.又由于1200ln lim(0)lim 01x x x x x ++→→-⋅==- 故积分10ln 1xdx x-⎰收敛. (4)1x =为瑕点.由于3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π--→→-⋅==-++ 故积分130arctan 1xdx x -⎰发散.1、⎰→100sin lim dy x xyx = . 解 11100000sin sin 1lim lim 2x x xy xy dy dy ydy x x →→===⎰⎰⎰ 2、=-⎰dx x xx a b 10ln .)0(>>a b 解 11100011lnln 11b a b b b y ya a a x xb dx dx x dy dy x dx dy x y a -+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 二、选择题1、21ln()d xy dy dx ⎰=( B )A 、0B 、x1C 、xD 、不存在解 []22221111111ln()ln()d d xy dy xy dy dy dy dx dx x x x ====⎰⎰⎰⎰ 2、⎰+∞-→022lim dy e y x x =( B )A 、2B 、41C 、21 D 、 4解 2[1,3],x yyx ee --∀∈≤,而无穷积分0y e dy +∞-⎰收敛,故含参变量无穷积分2x y e dy +∞-⎰在{}(,)13,0R x y x y =≤≤≤<+∞上一致收敛.又由二元初等函数的连续性知2x y e -在R 上连续,故2240221lim lim 4x yx yy x x edy edy e dy +∞+∞+∞---→→===⎰⎰⎰3、2x e dx +∞-=⎰( )A 、πB 、πC 、2πD 、2π解2x e dx +∞-=⎰(课本P316例13)解 令x =则1111111222220001111(1)(1)(1),2222n n n n x dx t t t dt B ----+⎛⎫-=-=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰三、证明下列含参量无穷积分在所指定的区间上一致收敛.(1) 0sin ,(0)txe xdx a t a +∞-≤<+∞>⎰ (2) 230cos ,110t tx dx t x t +∞≤≤+⎰ 证明 (1) 由于s i n ,t x a x e x e a t --≤≤<+∞ 而无穷积分0ax e dx +∞-⎰收敛,故含参变量积分0sin tx e xdx +∞-⎰在[,)a +∞上一致收敛.(2) 由于232c o s 10,1101t t x t x t x ≤≤≤++ 而无穷积分2011dx x +∞+⎰收敛,故含参变量积分230cos t tx dx x t +∞+⎰在[1,10]上一致收敛.1、2sin y xdy dx xππππ-=⎰⎰ . 解 2000sin sin sin cos 2x y x x dy dx dx dy xdx x x x πππππππππ+-===-=⎰⎰⎰⎰⎰. 1、211y xdx e dy -=⎰⎰ .解 交换积分次序,得()22221111111122yy yyyxdx edy dy edx yedy e e e----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2、Ddxdy =⎰⎰ , 其中D 为椭圆19422=+y x 所围区域. 解Ddxdy ⎰⎰表示区域D 的面积,故6Ddxdy π=⎰⎰.3、()22Df x y dxdy '+=⎰⎰ , 其中D 为圆222x y R +=所围区域.解 作极坐标变换,则()()222D Df x y dxdy f r rdrd θ''+=⎰⎰⎰⎰()()()222220012R R d f r rdr d f r d r ππθθ''==⎰⎰⎰⎰ ()()()()22201002f R f d f R f πθπ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦⎰ 4、将二重积分化为累次积分：221x y fdxdy +≤⎰⎰= .解22111x y fdxdy dx fdy -+≤=⎰⎰⎰5、改变累次积分的顺序: 2420222(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰= .解242220222(,)(,)(,)y x y y xdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、选择题1、函数(,)f x y 在有界闭域D 上连续是二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰存在的( B )A 、充要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、无关条件解 连续一定可积,但可积不一定连续.2、设(,)f x y 是有界闭域222:a y x D ≤+上的连续函数,则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰=( B )A 、不存在B 、(0,0)fC 、(1,1)fD 、(1,0)f解 由积分中值定理知,(,)D ξη∃∈,使2(,)(,)(,)D Df x y d x d y f S a f ξηπξη=⋅=⎰⎰故 22200011lim(,)lim(,)lim (,)(0,0)a a a Df x y dxdy a f f f a a πξηξηππ→→→=⋅==⎰⎰.3、若(,)f x y 在区域{}41),(22≤+≤=y x y x D 上恒等于1,则二重积分f x y dxdy D(,)⎰⎰=( D )A 、0B 、πC 、2πD 、3π解22(,)213DDDf x y dxdy dxdy Sπππ===⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰.4、设⎰⎰+=D dxdy y x I 22sin ,{}22224),(ππ≤+≤=y x y x D },则I =( B )A 、26πB 、26π-C 、0D 、6π-解 作极坐标变换,则sin DDI r rdrd θ==⎰⎰⎰⎰2220sin 6d r rdr πππθπ==-⎰⎰5、设D 由曲线1,2,,4xy xy y x y x ====所围成,作坐标变换,yu xy v x==,则二重积分22Dxy dxdy ⎰⎰可化为( B )A 、24211du u dv⎰⎰B 、2241112u du dv v ⎰⎰C 、42211du u dv ⎰⎰D 、2421112u du dv v ⎰⎰ 解 由于 2(,)1111(,)2(,)2(,)1x y u v y y xu v v x y xy x x∂====∂∂∂- 且坐标变换后积分区域为{}(,)12,14D u v u v '=≤≤≤≤,于是224221112Du x y dxdy du dv v =⎰⎰⎰⎰. 三、求解下列各题1、求sin Dxdxdy x ⎰⎰,其中D 由直线,,y x y x πππ===+所围成.解 :0y x D x πππ≤≤+⎧⎨≤≤⎩∴sin Dxdxdy x =⎰⎰0sin x x dx dy x πππ+=⎰⎰0sin xdx π=⎰0cos 2x π-=.2、求2Dxy dxdy ⎰⎰,其中D 由直线224x y +=及y 所围成右半闭区域.解0:22x D y ⎧⎪≤≤⎨-≤≤⎪⎩∴2Dxy dxdy =⎰⎰2220dy dx -=⎰⎰22221(4)2y y dy --=⎰23521416423515y y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 注：也可以用极坐标变换来求解.3、求22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰,其中D 由曲线221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.解 令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，则01:02r D πθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩∴22ln(1)Dx y dxdy ++=⎰⎰2ln(1)Dr rdrd θ+=⎰⎰122ln(1)d r rdr πθ+=⎰⎰12201ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰。
西南大学网络学习数学分析选讲网上在线第三次作业答案
西南大学网络学习数学分析选讲网上在线第三次作业答案题目：幂级数的收敛区间必然是闭区间正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：任何有限集都有聚点正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：不绝对收敛的级数一定条件收敛正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：设f在(a,b)内可导,且其导数单调,则其导数在(a,b)内连续正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：有限区间上两个一致连续函数的积必一致连续正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。
正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：条件收敛级数一定含有无穷多个不同符号的项。
正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：收敛级数一定绝对收敛正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：在级数的前面加上或去掉有限项不影响级数的收敛性正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：设f是(a,b)内可导的凸函数,则其导函数在(a,b)内递增正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：实数集R上的连续周期函数必有最大值和最小值正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：闭区间[a,b]的所有聚点的集合是[a,b] 正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：收敛级数任意加括号后仍收敛正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10。
西南大学《数学分析选讲》网上作业题及答案
（0088）《数学分析选讲》网上作业题答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[判断题]两个无穷小量的和一定是无穷小量参考答案：正确1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。
2：[判断题]两个无穷大量的和一定是无穷大量参考答案：错误1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。
3：[单选题]设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x))A：都是奇函数B：都是偶函数C：一是奇函数，一是偶函数D：都是非奇、非偶函数参考答案：A社会实践是检验认识是否具有真理性的唯一标准，这是由真理的本性和实践的特点所决定的。
第一，真理的本性是主观同客观相符合。
要判明认识是否具有真理性的标准，只能通过一种能够把主观同客观联系、沟通起来的桥梁，这就是人们的社会实践，舍此别无它路。
它成为“实践是检验真理的唯一标准”的内在根据。
第二，实践的过程是一个主体能动地使自己的目的物化或对象化的过程，因而它具有直接现实性。
因此实践可以使主观与客观相对照，从而直接检验出主观认识是否与客观相符合以及符合的程度。
4：[判断题]闭区间上的连续函数是一致连续的参考答案：正确1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。
5：[单选题]设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn}A：收敛B：发散C：是无穷大D：可能收敛也可能发散参考答案：D马克思主义认为，劳动创造了人本身，同时也就创造了人类社会。
因此，只有实践，才是社会生活的真正本质。
说实践是社会的本质，主要理由是：首先，实践是社会关系的发祥地。
其次，实践构成了社会生活的基本领域。
最后，实践构成了社会发展的动力。
6：[判断题]最大值若存在必是上确界参考答案：正确1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。
7：[判断题]若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。
2013年春西南大学《数学分析选讲》1、2、3次客观题答案(已整理)
2013年春西南大学《数学分析选讲》1、2、3次客观题答案（已整理）第一次作业客观题【判断题】狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数错【选择题】设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} D【判断题】收敛数列必有界对【判断题】两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量对【判断题】若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在错【选择题】设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的A【选择题】设f在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上D【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的对【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛错【判断题】有上界的非空数集必有上确界对【判断题】两个无穷小量的商一定是无穷小量错【选择题】若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则f B【选择题】一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的C【判断题】若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。
错【判断题】区间上的连续函数必有最大值错【判断题】两个收敛数列的商不一定收敛对【选择题】设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限B【选择题】定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数B【选择题】y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c))处存在切线的A【判断题】最大值若存在必是上确界对【选择题】设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x)) A【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量错【选择题】函数f在c处存在左、右导数，则f在c点B【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续对【判断题】若f(x)在[a,b]上有定义，且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0 错第二次作业客观题【判断题】若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。
对【判断题】不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。
20年6月西南大学课程考试[0088]《数学分析选讲》 大作业(完整答案)
![20年6月西南大学课程考试[0088]《数学分析选讲》 大作业(完整答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/9347057658fb770bf78a555e.png)
西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年春季课程名称【编号】： 数学分析选讲【0088】 A 卷考试类别:大作业 满分：100 分一、 判断下列命题的正误（每小题2分，共16分）1. 函数()3sin 2cos f x x x =- 既不是奇函数，也不是偶函数. ( √ ) 2．有界的非空数集必有上确界. ( × ) 3．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 也收敛. ( × ) 4．若数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y +发散． ( √ ) 5．任一实系数奇次方程至少有一个实根． ( √ ) 6．若()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处一定可导． ( × ) 7．若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处的左导数与右导数都存在． ( × ) 8．若函数()f x 在[,]a b 上有无限多个间断点，则()f x 在[,]a b 上一定不可积. ( × )二、选择题（每小题 5分，共30分）1．设21,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩， 则 (1)f =( C ) .A 1- ；B 0 ；C 1 ；D 2 2．设()f x 在[,]a b 上无界，且()f x 不等于0，则1()f x 在[,]a b 上 （ B ） A 无界 ； B 有界；C 有上界或有下界 ；D 可能有界，也可能无界 3．定义域为[,]a b ，值域为(1,1)-的连续函数（ C ）A 存在；B 可能存在；C 不存在；D 存在且唯一4．设f 可导，则 2(cos )d f x = （ B ）A 2(cos )f x dx '； B 2(cos )sin 2f x x dx '-； C 22(cos )cos f x xdx '； D 22(cos )sin f x xdx '5．15411x x dx --=⎰( A )A 0 ；B 1- ；C 1 ；D 2 6．2x xe dx +∞-=⎰( C )A 1 ；B 12 ；C 0 ；D 12-三、计算题（每小题9分，共45分）1．求极限11lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪-⎝⎭．2．设22()2ln(2)f x x x x =+-++，求()f x '．3．求函数543551y x x x =-++在区间[1,2]-上的最大值与最小值．4．求不定积分arctan x dx⎰．5．求定积分⎰10dx e x． `四、证明题(9分)证明：若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可导，且()(),()()f x g x f a g a ''>=，则在(,]a b 内有()()f x g x >.答：证明：设辅助函数F (x )=f (x )-g(x )，则F (x )在区间[a ，b ]上可导，且F ¢(x )=f ¢(x )-g(x )>0，故F (x )在区间[a ，b ]上是增函数，因此，当x Î(a ，b )时，F (x )>F (a )，而F (a )=f (a )-g (a )=0，即F (x )>0，f (x )-g (x )>0，∴ f (x )>g (x )。
数学分析三习题答案
数学分析三习题答案数学分析三习题答案数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是函数、极限、连续等概念和性质。
在学习数学分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固和加深对知识的理解。
下面是一些数学分析三的习题答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求极限lim (x→0) (sinx/x)解：这是一个常见的极限问题。
我们可以利用泰勒展开公式来求解。
根据泰勒展开公式，sinx的泰勒展开式为x-x^3/3!+x^5/5!-...，当x趋近于0时，我们只需要保留到x^3这一项，即sinx≈x。
所以，lim (x→0) (sinx/x) = lim (x→0) 1 = 1。
2. 求函数的导数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x解：要求函数f(x)的导数，我们可以使用导数的定义。
根据导数的定义，f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
将函数f(x)带入导数的定义中，得到f'(x) = lim (h→0) ((x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 2(x+h) - (x^3 - 3x^2 + 2x))/h。
化简后可得f'(x) = lim(h→0) (3x^2 - 6xh + 3h^2 + 2h)/h。
继续化简，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 3。
3. 求不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解：要求不定积分，我们可以使用不定积分的基本公式。
根据不定积分的基本公式，∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
将函数x^2 + 2x + 1带入不定积分的基本公式中，得到∫(x^2 + 2x + 1) dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C。
4. 求定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x + 1) dx解：要求定积分，我们可以使用定积分的基本公式。
根据定积分的基本公式，∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
20年6月西南大学课程考试[0088]《数学分析选讲》 大作业(完整答案)
西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年春季课程名称【编号】： 数学分析选讲【0088】 A 卷考试类别:大作业 满分：100 分一、 判断下列命题的正误（每小题2分，共16分）1. 函数()3sin 2cos f x x x =- 既不是奇函数，也不是偶函数. ( √ ) 2．有界的非空数集必有上确界. ( × ) 3．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 也收敛. ( × ) 4．若数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y +发散． ( √ ) 5．任一实系数奇次方程至少有一个实根． ( √ ) 6．若()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处一定可导． ( × ) 7．若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处的左导数与右导数都存在． ( × ) 8．若函数()f x 在[,]a b 上有无限多个间断点，则()f x 在[,]a b 上一定不可积. ( × )二、选择题（每小题 5分，共30分）1．设21,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩， 则 (1)f =( C ) .A 1- ；B 0 ；C 1 ；D 2 2．设()f x 在[,]a b 上无界，且()f x 不等于0，则1()f x 在[,]a b 上 （ B ） A 无界 ； B 有界；C 有上界或有下界 ；D 可能有界，也可能无界 3．定义域为[,]a b ，值域为(1,1)-的连续函数（ C ）A 存在；B 可能存在；C 不存在；D 存在且唯一4．设f 可导，则 2(cos )d f x = （ B ）A 2(cos )f x dx '； B 2(cos )sin 2f x x dx '-； C 22(cos )cos f x xdx '； D 22(cos )sin f x xdx '5．15411x x dx --=⎰( A )A 0 ；B 1- ；C 1 ；D 2 6．2x xe dx +∞-=⎰( C )A 1 ；B 12 ；C 0 ；D 12-三、计算题（每小题9分，共45分）1．求极限11lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪-⎝⎭．2．设22()2ln(2)f x x x x =+-++，求()f x '．3．求函数543551y x x x =-++在区间[1,2]-上的最大值与最小值．4．求不定积分arctan x dx⎰．5．求定积分⎰10dx e x． `四、证明题(9分)证明：若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可导，且()(),()()f x g x f a g a ''>=，则在(,]a b 内有()()f x g x >.答：证明：设辅助函数F (x )=f (x )-g(x )，则F (x )在区间[a ，b ]上可导，且F ¢(x )=f ¢(x )-g(x )>0，故F (x )在区间[a ，b ]上是增函数，因此，当x Î(a ，b )时，F (x )>F (a )，而F (a )=f (a )-g (a )=0，即F (x )>0，f (x )-g (x )>0，∴ f (x )>g (x )。
《数学分析III》期末考试卷3 参考答案
红河学院XXXX —XXXX 学年秋季学期《数学分析III 》期末考试卷3参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、ln 22、2dz dx dy =+3、1221x f f y z''-+ 4、1、113123x y z -+-==- 6、1、(1)s s + 8、11(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 9、r 10、34R π二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）题号 12345答案× × ○ ○ ×三、计算题（每小题10分，共60分）1、讨论函数222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解 首先考虑(,)(0,0)lim(,)x y f x y →，引入变换cos x r θ=，cos y r θ=， ………………（2分）则(,)(0,0)x y →等价于对任意θ，0r →. 因此，222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim ()sinlim sin x y x y r f x y x y r r →→→=+=201lim sin0r r r→==. ………………（5分） 由此可见，(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=，所以该函数在(0,0)连续. …（6分）由偏导数的定义，200(,0)(0,0)(0,0)lim limx x x f x f f x∆→∆→∆-==∆()01lim sin0x x x∆→=∆=∆ ………………（8分）20(0,)(0,0)(0,0)limlim y y y f y f f y∆→∆→∆-==∆()01lim sin0y y y∆→=∆=∆ ………………（10分） 2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.解 记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2ff v∂'=∂， 则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（3分） 再记2112f f u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（5分） 11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（7分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（9分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（10分）3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.解 设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z 米，则该问题为求水箱体积V xyz=在限制条件3020()360xy x y z ++=（即32()360xy x y z ++-=）的最大值. …………………（3分）构造Lagrange 函数(,,,)(32()36)f x y z xyz xy x y z λλ=+++-. …（5分）下面求(,,,)f x y z λ的稳定点，由方程组(32)0(32)0(22)032()360x yz f yz y z f xz x z f xy x y f xy x y z λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩得2x y ==，3z =………（8分）由实际问题可知，存在使体积V 达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）4、计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰其中，L 是螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =从0t =到π的一段.解 由第二型曲线积分的计算公式，32222220(cos sin cos sin cos cos )I a t t a t a t t a b t dt π=-+-+⎰……（5分）3322201111sin sin (1)sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……（8分）21(1)2a b π=+ …………………（10分）5、利用极坐标变换计算二重积分D⎰⎰，其中D 为圆周221x y +=与224x y +=所包围的区域在第一象限的部分.解 引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， ………………（2分）则在极坐标系下，区域D 可表示为{(,)0,12}2r r πθθ∆=≤≤≤≤. ……（4分）于是，2sin Dr rdrd θθ∆=⋅⎰⎰⎰⎰ ……………（6分） /22301sin d r dr πθθ=⎰⎰ ……………（8分）154=…………（10分） 6、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积. 解 设所求区域的体积为V ，则V dxdydzΩ=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为 224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（4分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =. …………（5分）于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤， ………………（7分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰2192)36r rdr ππ==………………（10分）。
数学分析Ⅲ习题及参考答案
一、填空题1、平面点集{}22(,)|01E x y x y =<+<的内部为 ,边界为 . 解 {}{}222222int (,)|01,(,)|01E x y x y E x y x y x y =<+<∂=+=+=或2、平面点集11,,E n m n m ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为整数的聚点集为 .解 {}11,00,(0,0)n m n m ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭为整数为整数3、设(,)ln 1f x y x y =--,则函数(,)f x y 的定义域为 .解(){}222,014x y xy y x <+<≤且4、设2222),(y x y x y x f +-=则00limlim (,)x y f x y →→= ,),(lim lim 00y x f x y →→= .解 222200000lim lim (,)lim lim lim11x y x y x x y f x y x y →→→→→-===+ ()222200000lim lim (,)lim lim lim 11y x y x x x y f x y x y →→→→→-==-=-+ 5、函数1(,)sin sin f x y x y=的间断点集为 .解(){},,,x y x k y l k l ππ==∈Z 或二、选择题1、函数f x y x y (,)=-+-1122的定义域是( D )A 、闭区域B 、开区域C 、开集D 、闭集 解 f x y x y (,)=-+-1122的定义域是(){},1,1E x y x y =≤≥E 是闭集但不具有连通性,故不是闭区域. 2、函数y x z -=的定义域是( C )A 、有界开集B 、有界闭集C 、无界闭集D 、无界开集 解 y x z -=的定义域是(){}2,0E x y y x =≤≤E 是无界闭集.3、以下说法中正确的是( A )A 、开区域必为开集B 、闭区域必为有界闭集C 、开集必为开区域D 、闭集必为闭区域 4、下列命题中正确的是( A )A 、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B 、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C 、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;D 、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.5、下列说法正确的是( A )A 、有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列;B 、二元函数),(y x f 在D 上关于x ,y 均连续,则),(y x f 在D 上连续;C 、函数),(y x f 在有界区域D 上连续,则),(y x f 在D 上有界;D 、函数),(y x f 定义在点集2R D ⊂上,D P ∈0,且0P 是D 的孤立点,则f 在0P 处连续.三、用ε-δ定义证明22200lim 0.x y x yx y →→=+证明 由于当(,)(0,0)x y ≠时2222||0||22x y x y x x x y xy -≤=≤+ 故0,,(,):0|0|,0|0|,x y x y εδεδδ∀>∃=∀<-<<-<有2220||x yx x y ε-≤<+故22200lim 0.x y x yx y →→=+ 四、求下列极限1、222200lim x y x y x y →→+解 当(,)(0,0)x y ¹时2222222220x y y xx x y x y ?祝++,而200lim 0x y x →→=所以222200lim 0x y x y x y →→=+. 2、2200x y →→解 因为())2222221111x y x y +==++-所以()2222000limlim11211x x y y x y x y =+++=++-.1、设xy e z =,则z x∂=∂ ,zy ∂=∂ .解,xy xy z zye xe x y∂∂==∂∂ 2、设000000(,)0,(,)4,(,)5x y f x y f x y f x y ''===,则000(,)limx f x x y x∆→+∆=∆ ,000(,)limy f x y y y ∆→+∆=∆ . 解 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)4x x x f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)5y y y f x y y f x y y f x y f x y y y∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 3、设ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则(1,1)dz = .解 21111,()11z z x x x x x y x y y y y x y y y ⎛⎫∂∂=⋅==⋅-=- ⎪∂+∂+⎝⎭++ (1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂∴==-∂∂ (1,1)111()222dz dx dy dx dy ∴=-=- 4、设2sin()z x y =,则dz = .解2222cos(),cos()z zxy x y x x y x y ∂∂==∂∂ ()22222c o s ()c o s ()c o s ()2d z x y x y d x x x y d y x x y y d x x d y∴=+=+ 5、求曲面arctany z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为 ,法线方程 .解 2222,x yy xz z x y x y ⅱ=-=++ 11(1,1),(1,1)22x y z z ⅱ\=-=故曲面arctan y z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为11(1)(1)422z x y π-=--+-,即202x y z π-+-=法线方程为11411122z x y π---==--,即202204x y x z π+-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩1、设),(y x f 在点(,)a b 处偏导数存在,则lim(,)(,)x f a x b f a x b x→+--0=( C )A 、(,)x f a b 'B 、(2,)x f a b 'C 、2(,)x f a b 'D 、1(,)2x f a b '解 [][]xb a f b x a f b a f b x a f x b x a f b x a f x x ),(),(),(),(lim),(),(lim 00----+=--+→→ [][]000(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim (,)(,)2(,)x x x x x x f a x b f a b f a x b f a b xf a x b f a b f a x b f a b x x f a b f a b f a b →→→+----=+---=+-''=+'=2、设),(y x f 在点00(,)x y 处存在关于x 的偏导数,则00(,)(,)x y f x y x ∂=∂( A )A 、x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 B 、xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C 、x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000D 、xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000解 0000000(,)(,)(,)(,)limx x y f x x y f x y f x y x x∆→+∆-∂=∂∆ 3、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000在点(0,0)处有( D )A 、连续且偏导数存在B 、连续但偏导数不存在C 、不连续且偏导数不存在D 、不连续但偏导数存在 解 当(,)x y 沿y x =趋于(0,0)时22200001lim (,)lim (,)lim 2x x x y x f x y f x x x x →→→→===+ 当(,)x y 沿0y =趋于(0,0)时00lim (,)lim (,0)lim00x x x y f x y f x →→→→===故00lim (,)x y f x y →→不存在,于是函数),(y x f 在点(0,0)处不连续.000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)0l i ml i m 0,l i m l i m 0x x y x f x f f y f x x y y∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在原点存在偏导数且(0,0)0,(0,0)0x y f f ''== 4、在点00(,)x y 处的某邻域内偏导数存在且连续是),(y x f 在该点可微的( B ) A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件解 P175定理25、下面命题正确的是( C )A 、若),(y x f 在00(,)x y 连续,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;0000C 、若),(y x f 在00(,)x y 可微,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在; D 、若),(y x f 在00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处可微.解 P172定理1 三、求解下列各题 1、求曲面xy z =上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面093=+++z y x ,并写出这切平面方程和法线方程.解 设所求的点为000(,,)x y z .由于,x y z y z x ''== 故000000(,),(,)x y z x y y z x y x ''==于是曲面xy z =在点000(,,)x y z 的切平面方程为00000()()()0y x x x yy z z -+---= 由已知切平面与平面093=+++z y x 平行,故001131y x -==于是000003,1,3x y z x y =-=-==,故所求的点为(3,1,3)--.曲面在点(3,1,3)--的切平面方程为(3)3(1)(3)0x y z -+-+--=,即330x y z +++= 法线方程为313131x y z ++-==---,即1333y x z ++==-2、讨论函数2222222,0(,)0,0x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解2221(,)(0,0)02x y x y x x y ≠≤≤+当时，且001lim 02x y x →→=. 2220000lim (,)lim 0(0,0)x x y y x yf x y f x y →→→→∴===+(,)f x y ∴在点(0,0)的连续.0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00lim lim 0,lim lim 0x x y y f x f f y f x x y y ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在点(0,0)存在偏导数且(0,0)(0,0)0x y f f ''==.[]()22223222(,)(0,0)(0,0)(0,0)x y x yf x y f f x f y z dzx yxyρ∆∆⎡⎤''∆∆--∆+∆∆-∆∆===∆+∆当(,)x y ∆∆沿y x ∆=∆趋于(0,0)时()23300222limlimlim x x y z dzx yxyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆+∆ 当(,)x y ∆∆沿0y ∆=趋于(0,0)时()3300222limlimlim0x x y z dzx yx xyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆∆+∆故极限()230222limx y x yxy∆→∆→∆∆∆+∆不存在,从而极限0limz dzρρ→∆-不存在,即(,)f x y 在点(0,0)不可微.1、2ln ,,32,u z x y x y u v v ===-求,.z zu v∂∂∂∂解 22ln 3z z x z y x y x u x u y u v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂222l n 2z z x z y u x y xv x v y v vy∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--∂∂∂∂∂ 2、,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭求,,.u u ux y z ∂∂∂∂∂∂解 令,x y s t y z ==,则函数,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭由函数(,),,x yu f s t s t y z ===复合而成,记12,u uf f s t∂∂==∂∂,则 11222211,,.u u s u u s u t x u u t y f f f f x s x y y s y t y y z z t z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅==⋅+⋅=-+=⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求22(,,)f x y z x xy z =-+在点0(1,0,1)P 沿(2,1,2)l =-的方向导数.解 由于l 的方向余弦为212cos ,cos ,cos 333αβγ====-==()0000()22,()1,()22x y P z P P f P x y f P xf P z'''=-==-=-==所以()000212()cos ()cos ()cos 123333x y z f f P f P f P l αβγ∂⎛⎫++⋅+-⋅-+⋅= ⎪∂⎝⎭==2 2、求u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB 上的方向导数. 解 由于(4,3,12)AB =,故它的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ====()2,()10,()5x y Az A A f A yz f A zxf A xy '''======所以000431298()cos ()cos ()cos 10513131313x y z f f P f P f P l αβγ∂++⋅+⋅+⋅=∂==21、如果 ,则有0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 解 如果函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的某邻域G 内存在二个混合偏导数(,)xy f x y ''与(,)yx f x y '',并且它们在点00(,)P x y 连续,则0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 2、设24z x y =,则2zx y∂=∂∂ . 解 2432,8z z xy xy x x y∂∂==∂∂∂ 3、二元函数xy y x y x f ++=),(在点)2,1(的泰勒公式为 .解222221,1,0,1,0,0(2)n m n m f f f f f f y x n m x y x x y y x y+∂∂∂∂∂∂=+=+====+>∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()(1,2)3,(1,2)2,(1,2)0,(1,2)1,(1,2)0,(1,2)0(2)m nm n x y xy x y x yf f f f f f n m +''''''''∴======+> (,)f x y x y x y ∴=++在点)2,1(的泰勒公式为 (,)f x y x y x y=++ 1(1,2)(1,2)(1)(1,2)(2)1!x y f f x f y ''⎡⎤=+-+-⎣⎦ 22221(1,2)(1)2(1,2)(1)(2)(1,2)(2)2!xy x y f x f x y f y ⎡⎤''''''+-+--+-⎣⎦ 53(1)2(2)(1)(x y x y =+-+-+-- 4、函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点 处取得极大值,且极大值是 .解 令(,)420(,)420xy f x y x f x y y ⎧'=-=⎪⎨'=--=⎪⎩得稳定点(2,2)-.由于22(,)2,(,)0,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''=-==-222(2,2)20,(2,2)0,(2,2)2,40xy x y A f B f C f B AC ''''''=-=-<=-==-=-∆=-=-<故函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点(2,2)-取得极大值,且极大值是(2,2)8f -=.5、设),(),(00y x y x f z 在=存在偏导数,且在),(00y x 处取得极值,则必有 .解 0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩二、选择题1、二元函数3322339z x y x y x =+++-在点M 处取得极小值,则点M 的坐标是( A )A 、(1,0)B 、(1,2)C 、(-3,0)D 、(-3,2) 解 令22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧'=+-=⎪⎨'=+=⎪⎩得稳定点(1,0),(3,0),(1,2),(3,2)----.由于22(,)66,(,)0,(,)66xy xyf x y x f x y f x y y ''''''=+==+在点(1,0),2120,0,6,720A B C B AC =>==∆=-=-<在点(3,0)-,212,0,6,720A B C B AC =-==∆=-=> 在点(1,2)-,212,0,6,720A B C B AC ===-∆=-=>在点(3,2)--,2120,0,6,720A B C B AC =-<==-∆=-=-<故函数339z x y x y x =+++-在点(1,2)-,(3,0)-不取得极值,在点(1,0)取得极小值, 在点(3,2)--取得极大值.2、二元函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 的极小值点是( C )A 、(-1,-1)B 、(0,0)C 、(1,1)D 、(2,2) 解 令(,)4220(,)220xy f x y x y f x y y x ⎧'=--=⎪⎨'=-=⎪⎩得稳定点(1,1).由于22(,)4,(,)2,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''==-=240,2,2,40A B CB AC =>=-=∆=-=-< 故函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 在点(1,1)取得极小值. 3、关于二元函数下列论断①(,)f x y 在),(00y x 取得极值,则),(00y x 是(,)f x y 的稳定点;②),(00y x 是(,)f x y 的稳定点,则(,)f x y 在),(00y x 取得极值; ③(,)f x y 在),(00y x 不存在偏导数,则(,)f x y 在),(00y x 不会取得极值; ④)0,0(以xy z =为极小值点. 其中正确的个数是( A )A 、0B 、1C 、2D 、3解 ①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)取得极小值,但点(0,0)不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点(1,2)-是稳定点,但却不是极值点. ③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)的偏导数不存在,但点(0,0)是该函数的极小点.④错误: 令00xy z y z x ⎧'==⎪⎨'==⎪⎩得稳定点(0,0).由于22(,)0,(,)1,(,)0xy x y z x y z x y z x y ''''''=== 20,1,0,10A B C B A C ===∆=-=> 故函数z xy =在点(0,0)不取得极值.4、如果点()00,x y 为(,)f x y 的极值点且()()0000,,,x y f x y f x y ''存在,则它是(,)f x y 的( B )A 、最大值点B 、稳定点C 、连续点D 、最小值点 解 P200定理35、下列命题中,正确的是( D )A 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点,则它一定是(,)f x y 极值点;B 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的极值点,则它一定是(,)f x y 稳定点;C 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆=,则它不是(,)f x y 极值点;D 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆>,则它不是(,)f x y 极值点. 解 P201定理4 三、求解下列各题1、求函数333(0)z axy x y a =-->的极值.解 令22330330xy z ay x z ax y ¢ï=-=ïí¢ï=-=ïî 得稳定点(0,0)和(,)a a .226,3,6xy x yz x z a z y ⅱ?=-==- 对于点(0,0),220,3,0,90A B a C B AC a ===D =-=>故点(0,0)不是极值点.对于点(,)a a ,2260,3,6,270A a B a C a B AC a =-<==-D =-=-< 故点(,)a a 是极大点,极大值为3(,)z a a a =.2、在xy 平面上求一点,使它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和最小. 解 设(,)x y 为平面上任一点,则它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和为()222216(,)5x y S x y x y +-=++于是问题转化为求函数()222216(,)5x y S x y x y +-=++在2R 上的最小值.令()()22162054216205xy x y S x x y S y ì+-ïï¢=+=ïïïíï+-ï¢ï=+=ïïî得(,)S x y 在2R 上的唯一稳定点816,55⎛⎫⎪⎝⎭.2212418,,555xy x y S S S ⅱⅱⅱ===2124180,,,80555A B C B A C =>==D =-=-<故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭是极小点.根据问题实际意义,函数(,)S x y 在2R 上一定存在最小值,而(,)S x y 在2R 上只有唯一一个极小点,故(,)S x y 在点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最小值.即平面点816,55⎛⎫⎪⎝⎭到三直线0,0x y ==,2160x y +-=的距离平方和最小.1、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定隐函数()y f x =,则dxdy= . 解法一 令2(,)sin x F x y y e xy =+-,则2(,),(,)cos 2x x y F x y e y F x y y xy ''=-=-于是22(,)(,)cos 2cos 2x x x x dy F x y e y y e dx F x y y xy y xy'--=-=-='-- 解法二 方程两边对x 求导得2c o s20x d y d y y e y x y d x d x ⎛⎫⋅+-+⋅= ⎪⎝⎭ 2cos 2x dy y e dx y xy-=- 2、设方程0z e xyz -=确定隐函数(,)z f x y =,则zx∂=∂ ,z y ∂=∂ .解法一 令(,,)z F x y z e xyz =-,则 (,,),(,,),(,,)zx y zF x y z y z F x y z x z F x y z ex y'''=-=-=- 于是(,,)(,,)(,,)(,,)x z z y zz z F x y z yzx F x y z e xyF x y z z xz y F x y z e xy'∂=-='∂-'∂=-='∂-解法二 方程两边分别对,x y 求偏导得00z z z z e y z x x x z z e x z y yy ∂∂⎧⎛⎫⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂⎪⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩于是,z z z yz z xzx e xy y e xy∂∂==∂-∂-.3、设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r φθφθφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .解2(,,)sin (,,)x y z r r φθφ∂=∂4、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x s t y y s t ==均有连续的偏导数,且(,)(,)14,(,)(,)2u v x y x y s t ∂∂==∂∂,则(,)(,)u v s t ∂=∂ .解(,)(,)(,)142(,)(,)(,)2u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅=⨯=∂∂∂ 5、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数且(,)2(,)u v x y ∂=∂,则(,)(,)x y u v ∂=∂ .解(,)(,)2(,)x y u v u v ==∂∂∂ 二、选择题1、下列命题正确的是( D )A 、任何方程都可以确定一个隐函数；B 、任何方程所确定的隐函数是唯一的；C 、任何方程所确定的隐函数一定是初等函数；D 、如果一个方程在某点满足隐函数存在定理的条件,则它确定的隐函数是唯一的. 2、方程0sin 2=++xy y x 在原点(0,0)的某邻域内必可确定的隐函数形式为( A )A 、)(x f y =B 、)(y g x =C 、两种形式均可D 、无法确定 3、隐函数存在定理中的条件是隐函数存在的( A )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件4、方程组22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数组()()x f z y g z =⎧⎨=⎩的导数为 ( B ) A 、,dx y z dy z xdz y x dz x y --=--＝ B 、,dx y z dy z x dz x y dz x y --==-- C 、,dx y z dy x z dz x y dz x y--==-- D 、,dx y z dy x z dz y x dz x y--==-- 解 方程两边分别对z 求导得102220dx dydz dzdx dy x y z dz dz ⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅+=⎪⎩解方程得,dx y z dy z x dz x y dz x y--==--. 三、证明方程ln 1(0,1,1)xz xy z y e ++=在点的某领域内能确定隐函数(,),x x y z =并求,x x y z∂∂∂∂. 解 令(,,)ln 1,xz F x y z xy z y e =++-则(1) (,,),F x y z (,,),xz x F x y z y ze '=+(,,),y zF x y z x y'=+(,,)ln xz z F x y z y xe '=+都在(0,1,1)的某邻域内连续;(2) (0,1,1)0F =; (3) (0,1,1)20x F '=≠.故方程可确定隐函数(,)x f y z =.2(,,)(,,)y xz xzx z x F x y z x xy z yy y ze y yze F x y z +'∂+=-=-=-∂++' (,,)ln (,,)xzz xzx x F x y z y xe z y ze F x y z '∂+=-=-∂+'四、设方程组⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==,求,u vx x ∂∂∂∂. 解 方程组关于x 求偏导得12020u v u y x xv u v u x x x ì抖ïï--=ïï抖íï抖ï---=ïï抖ïî解此方程组得24u v uy x uv xy ?=?,224v u x x xy uv?=?1、二元函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的存在 (极小值/极大值),其极大(小)值为 .解 由2(1)f xy x x x x ==-=-,令120f x '=-=得稳定点12x =;又由于20f ''=-<,故函数在12x =取得极大值111,224f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2、平面曲线09)(233=-+xy y x 在点(2,1)处的切线方程为 ,法线方程为 . 解 令33(,)2()9F x y x y xy =+-,则22(,)69,(,)69x y F x y x y F x y y x ''=-=-22(,)69(,)69x y d y F x y x yd x F x y y x'-=-=-'- (2,1)54dy k dx ==- 故所求的切线方程为51(2)4y x -=--,即54140x y +-=.法线方程为41(2)5y x -=-,即4530x y --=.3、空间曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线方程为 ,法平面方程为 .解 由于21,2,3x y t z t '''===,则(1)1,(1)2,(1)3x y z '''===,故所求的切线方程为111123x y z ---==法平面方程为(1)2(1)3(1)x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=. 4、空间曲面236222x y z ++=在点()1,1,1P 处的切平面方程为 , 法线方程为 . 解 由于222(,,)236F x y z x y z =++-,则(,,)4,(,,)6,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,1,1)4,(1,1,1)6,(1,1,1)2x y z F F F '''===故所求的切平面方程为4(1)6(1)2(1)x yz -+-+-=,即2360x y z ++-= 法线方程为111462x y z ---==,即11123x y z --==-. 5、曲面2132222=++z y x 在点 的切平面与平面460x y z ++=平行. 解 设所求的点为000(,,)x y z ,由于222(,,)2321F x y z x y z =++-,则(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000000000(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===0002220002461462321x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 解方程得000122x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或000122x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故所求的点为(1,2,2),(1,2,2)---.二、选择题1、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中与平面24x y z ++=平行的切线( B )A 、只有一条B 、只有二条C 、至少有三条D 、不存在 解 设曲线在0t t =处的切线与平面24x y z ++=平行,由于21,2,3x y t z t '''==-= 则200000()1,()2,()3x t y t t z t t '''==-= 由已知可得2001430t t -+=于是013t =或01t =,故曲线上有两点的切线与平面24x y z ++=平行的点.2、曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线平行于( C )A 、xoy 平面B 、yoz 平面C 、zox 平面D 、平面0x y z ++= 解 令22212(,,)6,(,,)F x y z x y z F x y z x y z =++-=++,则11122211122211122222(,)2(),11(,)22(,)2()11(,)22(,)2()11(,)F F x y x y F F x y F F x y x yF F y z y z F F y z F F y z yzF F z x F F z xz x F F z x z x∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂ 121212(,)(,)(,)6,6,0(,)(,)(,)M M MF F F F F F x y y z z x ∂∂∂==-=∂∂∂故曲线在点(1,2,1)M -处的切线为121606x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩该直线平行于xoz 平面.1、求表面积一定而体积最大的长方体.解 设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,表面积为()20,a a >则问题转换为求函数(),,,f x y z xyz =在条件()22xy yz xz a ++=下的最大值.设()2,,,[2()]L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-,令()()()()220202020x y zL yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩ 解得x y z === 根据问题实际意义,体积最大的长方体一定存在,且稳定点只有一个,故表面积一定的长方体中正方体的体积最大.2、求曲线2222222393x y z z x y ìï++=ïíï=+ïî在点(1,1,2)-的切线与法平面方程. 解 设222222(,,)239,(,,)3F x y z x y z G x y z z x y =++-=--,在点(1,1,2)-处有4,6,4x y z F F F ⅱ?==-=,6,2,4x y zG G G ⅱ?=-== (,)(,)(,)32,40,28(,)(,)(,)F G F G F G y z z x x y 抖?=-=-=-抖?所以切线的法向量为(8,10,7),切线方程为1128107x y z -+-==法平面方程为8(1)10(1)7(2)0x y z -+++-=或8107120x y z ++-=.1、=++⎰+∞0284x x dx.解 ()222000(2)1212lim lim arctan lim arctan 4822224822AA A A A dx d x x A x x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞+++⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ 2、2x xe dx +∞-=⎰= .解()()2222200111limlim lim 1222AA x x x A A A A xedx xedx e d x e +∞----→+∞→+∞→+∞==--=--=⎰⎰⎰3、无穷积分dxx p 1+∞⎰在 时收敛,在 时发散. 解 无穷积分dxxp 1+∞⎰在1p >时收敛,在1p ≤时发散(课本p263例3). 4、无穷积分1(,0)1mnxdx m n x ∞≥+⎰在 时收敛,在 时发散. 解 由于lim lim 111m n n mn nx x x x x x x -→+∞→+∞⋅==++,故无穷积分⎰∞≥+0)0,(1n m dx x x n m在1n m ->时收敛,在1n m -≤时发散.5、无穷积分1sin p xdx x+∞⎰在 时绝对收敛,在 时条件收敛. 解 无穷积分1sin pxdx x +∞⎰在1p >时绝对收敛,在1p ≤时条件收敛.二、选择题1、f x dx ()-∞+∞⎰收敛是f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛的( B )A 、无关条件B 、充要条件C 、充分条件D 、必要条件解 如果f x dx ()-∞+∞⎰收敛,则f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛,反之也成立.2、设()0f x >且⎰+∞)(dx x f 收敛,则e f x dx x -+∞⎰()0( C )A 、可能收敛B 、可能发散C 、一定收敛D 、一定发散解 当0x ≥时,()()xe f x f x -≤,而⎰+∞0)(dx x f 收敛,由比较判别法知e f x dx x -+∞⎰()0收敛.3、设)(x f 在[,)a +∞连续且c a <,则下列结论中错误的是( D )A 、如果 )(dx x f a⎰+∞收敛,则 )(dx x f c⎰+∞必收敛.B 、如果 )(dx x f a⎰+∞发散,则 )(dx x f c⎰+∞必发散.C 、 )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.D 、 )(dx x f a⎰+∞收敛, )(dx x f c⎰+∞不一定收敛.解 ,A a ∀>由于)(x f 在[,)a +∞连续,故()x e f x -在[,],[,]a A a c 上连续从而在[,],[,]a A a c 上可积.又由于()()()Ac Ax x x aace f x dx e f x dx e f x dx ---=+⎰⎰⎰故l i m ()()l i m (x x xaac A A e f x dxe f x dx e f x dx ---→+∞→+∞=+⎰⎰⎰ 即 )(dx x f a⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.4、设在[,)a +∞上恒有()()0f x g x ≥>,则( A ) A 、⎰+∞adx x f )(收敛,⎰+∞a dx x g )(也收敛B 、()af x dx +∞⎰发散,()ag x dx +∞⎰也发散C 、⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散D 、无法判断解 由于0()()g x f x <≤,由比较判别法知当⎰+∞adx x f )(收敛时,⎰+∞adx x g )(也收敛(P270定理7).5、⎰∞+adx x f )(收敛是⎰∞+adx x f )(收敛的( B )A 、充分必要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、既不是充分也不是必要条件解 由于无穷积分性质知,果⎰∞+adx x f )(收敛,则⎰∞+adx x f )(也收敛(P267推论2).但逆命题不成立.例如无穷积分sin a xdx x+∞⎰收敛,但无穷积分sin a x dx x +∞⎰发散(P275,例11). 三、讨论下列无穷限积分的敛散性(1)0+∞⎰(2) 0+∞⎰ (3) 31arctan 1x x dx x +∞+⎰ (4) 11x xdx e +∞-⎰ 解 (1) 由于434lim 1,1,13x x d λ→+∞==>=故无穷积分+∞⎰.(2) 由于121lim 1,,1,12x x d λ→+∞==<= 故无穷积分+∞⎰.(3) 由于23arctan lim ,21,122x x x x d x ππλ→+∞⋅==>=+ 故无穷积分31arctan 1x xdx x +∞+⎰收敛.(4) 由于2lim 0,21,01x x xx d e λ→+∞⋅==>=- 故无穷积分11x x dx e +∞-⎰收敛,从而无穷积分11x xdx e +∞-⎰也收敛. 四、讨论下列广义积分的绝对收敛性和条件收敛性00 解 (1) 由于()22sgn sin 111x x x ≤++,而2011dx x +∞+⎰收敛,故()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰绝对收敛.(2) 令()()cos f x g x x ==,由于()f x '= 故当100x >时,()0f x '<.于是()f x 在[100,)+∞上单调递减且lim ()lim0x x f x →+∞→+∞==又由于0()()cos sin A A F A g x dx xdx A ===⎰⎰,()1F A ≤,故由狄里克雷判别法知无穷积分dx ⎰收敛.另一方面)21cos 2121002(100)2100100x x x xx x x ⎡⎤+=≥==+⎢⎥++++⎣⎦可证0100dx x +∞+⎰发散,而02100x dx x +∞+⎰收敛,故0⎰发散,原积分条件收敛.五、证明题若无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,则无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.证明 由于函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,故0,[,)M x a ∃>∀∈+∞有 ()f x M ≤ 从而()()()f x x M f x ϕ≤ 由于无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,故()af x dx +∞⎰收敛.由比较判别法知,无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.1、10=⎰. 解 由于1limx →=∞,故1x =为瑕点,由瑕积分定义知()1112000001lim lim 1lim 2x εεεεεε---→+→+→==--=-⎰⎰⎰0lim 11ε→+⎤=--=⎦2、10ln xdx =⎰= .解 由于0lim ln x x →+=-∞,故0x =为瑕点,由瑕积分定义知1111110000ln lim ln lim ln ln lim ln xdx xdx x x xd x x x dx εεεεεεεε→+→+→+⎡⎤⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ []0l i m l n (1)1εεεε→+=---=- 3、 是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 解 0lim 1,lim sin sin x x x xx xπ→+→-==∞x π∴=是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点.4、瑕积分10(0)q dxq x >⎰在 时收敛,在 时发散.解 瑕积分dxx q 01⎰在01q <<时收敛,在1q ≥时发散(P280例3).5、瑕积分201cos (0)m xdx m xπ->⎰在 时收敛,在 时发散. 解 0x =是积分201cos (0)mxdx m x π->⎰的瑕点且 22001cos 1cos 1lim lim 2m m x x x x x x x -→+→+--⋅== ∴瑕积分201cos (0)mxdx m x π->⎰在03m <<时收敛,在3m ≥时发散. 二、选择题1、瑕积分⎰-112xdx( D ) A 、收敛且其值为-2 B 、收敛且其值为2C 、收敛且其值为0D 、发散解 11122211001111lim lim 21dx dx dx x x x x x εεεεεεε----→+→+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=--=-=∞⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2、下列积分中不是瑕积分的是( B )A 、⎰e xx dx 1lnB 、⎰--12xdxC 、⎰-11x edx D 、⎰2cos πxdx解 ⎰e x x 1ln ,⎰-101x e ,⎰20cos x是瑕积分. 3、下列瑕积分中,发散的是( C )A 、10sin dx x ⎰B 、11211--⎰x dx C 、2211ln dx x x⎰D 、1⎰解 对于积分0⎰,0x =为瑕点,由于 0lim 1x→= 故瑕积分0⎰收敛. 对于积分11211--⎰x dx,1x =±为瑕点且12111211lim(1)lim lim (1)limx x x x x x →-→→-+→--==+==故瑕积分010,-⎰⎰均收敛,故原积分收敛;对于积分2211ln dx x x⎰,1x =为瑕点且22222111111(1)2(1)2lim(1)lim lim lim lim 12ln 2ln ln ln 2ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+→-→-→-→----⋅=====+++故该积分发散;对于积分10⎰,0x =为瑕点且 121lim(0)1x x →--= 故该积分收敛.4、若瑕积分⎰badx x f )(收敛(a 为瑕点),则下列结论中成立的是( B )A 、()baf x dx ⎰收敛B 、⎰ba dx x f )(收敛C 、⎰badx x f )(2收敛D 、⎰badx x f )(2发散解 若瑕积分⎰badx x f )(收敛,则()b af x dx ⎰不一定收敛,例如1011sin dx x x⎰收敛,但111sin dx x x⎰发散(P287例10). 若瑕积分⎰b adx x f )(收敛,则⎰badx x f )(2可能收敛也可能发散,例如取()f x =,则瑕积分⎰b a dx x f )(收敛,⎰b adx x f )(2发散;取()f x =,则瑕积分⎰b adxx f )(收敛,⎰a dx x f )(2也收敛.5、当 ( A )时,广义积分10(0)1px dx p x <+⎰收敛. A 、 10p -<< B 、1-≤p C 、0<pD 、1-<p解 当0p <时,⎰+101dx x x p为瑕积分,0x =为瑕点且 001lim lim 111p px x x x x x -→+→+⋅==++ 故当1p -<时,即当10p -<<时,广义积分⎰+101dx x xp 收敛. 三、讨论下列假积分的敛散性(1) 302sin x dx x π⎰ (2) 1⎰ (3) 10ln 1x dx x -⎰ (4)130arctan 1xdx x -⎰解 (1)0x =为瑕点且123002sin sin lim (0)lim 1x x x xx xx →+→+-⋅==故该积分收敛.(2)0,1x =为瑕点,10.5100=+⎰⎰⎰,由于1200111lim(0)lim 0ln lim(1lim 1x x x x x x x →+→+→-→-==-==-于是积分0.50⎰收敛,而1⎰发散,故原积分发散.(3)由于01ln ln lim ,lim 111x x x xx x→+→-=∞=---,故0x =为瑕点.又由于1200ln lim (0)lim 01x x x x x →+→+-⋅==- 故积分10ln 1xdx x-⎰收敛.(4)1x =为瑕点.由于3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π→-→--⋅==-++ 故积分130arctan 1xdx x -⎰发散.1、⎰→100sin lim dy xxyx = .解 11100000sin sin 1lim lim 2x x xy xy dy dy ydy x x →→===⎰⎰⎰2、=-⎰dx x xx a b 10ln .)0(>>a b 解 11100011ln ln 11b a b b b y y a a a x x b dx dx x dy dy x dx dy x y a -+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰3、Γ函数与B 函数的关系为 .解 ()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+4、12⎛⎫Γ ⎪⎝⎭= ,()1n Γ+=.解 12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭()1!n n Γ+=5、13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解 由于()131313134444,134414444B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪Γ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭,又由余元公式有1344sin 4ππ⎛⎫⎛⎫ΓΓ== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、选择题1、21ln()d xy dy dx ⎰=( )A 、0B 、x1C 、xD 、不存在解 []22221111111ln()ln()d d xy dy xy dy dy dy dx dx x x x ====⎰⎰⎰⎰ 2、⎰+∞-→022lim dy e y x x =( B )A 、2B 、41C 、21 D 、 4解 2[1,3],x yyx ee --∀∈≤,而无穷积分0ye dy +∞-⎰收敛,故含参变量无穷积分20x yedy +∞-⎰在{}(,)13,0R x y x y =≤≤≤<+∞上一致收敛.又由二元初等函数的连续性知2x y e -在R 上连续,故 22400221lim lim 4x yx yy x x edy edy e dy +∞+∞+∞---→→===⎰⎰⎰ 3、2x e dx +∞-=⎰( )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 22x e dx +∞-=⎰(课本P316例13)4、22x x e dx +∞--∞=⎰( C )A 、πB 、πC 、2π D 、2π 解 由于被积分函数为偶函数,故222202x x x e dx x e dx +∞+∞---∞=⎰⎰,对积分22x x e dx +∞-⎰,令x =则2112220000111311222242x tt tx e dx te dt t e dt t e dt +∞+∞+∞+∞----⎛⎫⎛⎫=⋅===Γ=Γ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰222x x e d x+∞--∞=⎰5、1122(1)n x dx --⎰=( C )A 、12n +⎛⎫Γ ⎪⎝⎭B 、11,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭ C 、111,222n B +⎛⎫⎪⎝⎭ D 、112,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭ 解令x =则1111111222220001111(1)(1)(1),2222n n n n x dx t t t dt B ----+⎛⎫-=-=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 三、证明下列含参量无穷积分在所指定的区间上一致收敛.(1) 0sin ,(0)tx e xdx a t a +∞-≤<+∞>⎰ (2) 230cos ,110t tx dx t x t +∞≤≤+⎰ 证明 (1) 由于s i n ,t x a x e x e a t --≤≤<+∞而无穷积分0ax e dx +∞-⎰收敛,故含参变量积分0sin tx e xdx +∞-⎰在[,)a +∞上一致收敛.(2) 由于 232c o s 10,1101t t x t x t x ≤≤≤++ 而无穷积分2011dx x +∞+⎰收敛,故含参变量积分230cos t tx dx x t +∞+⎰在[1,10]上一致收敛. 四、用Γ函数和B 函数求下列积分.(1)⎰(2)642sin cos x xdx π⎰解 (1) ()()1112200331113322422(1),22338x x dx B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==== ⎪ΓΓ⎝⎭⎰⎰(2) ()64207553113111753222222222sin cos ,22265!512x xdx B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ⋅⋅⋅Γ⋅⋅⋅Γ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎪Γ⎝⎭⎰1、2sin y xdy dx x ππππ-=⎰⎰.解 2000sin sin sin cos 2x y x x dy dx dx dy xdx x x xπππππππππ+-===-=⎰⎰⎰⎰⎰.2、Ddxdy =⎰⎰ , 其中D 为椭圆19422=+y x 所围区域. 解Ddxdy ⎰⎰表示区域D 的面积,故6Ddxdy π=⎰⎰.3、()22Df x y dxdy '+=⎰⎰ , 其中D 为圆222x y R +=所围区域.解 作极坐标变换,则()()()()22222220012RR Df xy dxdy d f r rdr d f r d r ππθθ'''+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()2221020f R f d f R f πθπ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎰4、将二重积分化为累次积分：221x y fdxdy +≤⎰⎰=.解 作极坐标变换,则()22211x y fdxdy d f r rdr πθ+≤=⎰⎰⎰⎰5、改变累次积分的顺序: ⎰⎰⎰⎰+224222),(),(y x y dx y x f dy dx y x f dy = .解2422202122(,)(,)(,)y x y y xdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、选择题1、函数(,)f x y 在有界闭域D 上连续是二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰存在的( B )A 、充要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、无关条件解 连续一定可积,但可积不一定连续.2、设(,)f x y 是有界闭域222:a y x D ≤+上的连续函数,则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰=( B )A 、不存在B 、(0,0)fC 、(1,1)fD 、(1,0)f解 由积分中值定理知,(,)D ξη∃∈,使2(,)(,)(,)D Df x y d x d y f S a f ξηπξη=⋅=⎰⎰故 22200011lim(,)lim(,)lim (,)(0,0)a a a Df x y dxdy a f f f a a πξηξηππ→→→=⋅==⎰⎰.3、若(,)f x y 在区域{}41),(22≤+≤=y x y x D 上恒等于1,则二重积分f x y dxdy D(,)⎰⎰=( D ) A 、0B 、πC 、2πD 、3π解22(,)213DDDf x y dxdy dxdy Sπππ===⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰.。
《数学分析选讲》 第三次作业
《数学分析选讲》 第三次作业一、判断下列命题的正误1. 若函数)(x f 在点0x 处的左、右导数都存在，则)(x f 在0x 处必连续.（正确）2. 若)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处可微．（正确）3. 若两个函数在区间I 上的导数处处相等,则这两个函数必相等.（错误）4. 若)(x f 是可导的偶函数，则(0)0f '=. （正确）5．若0(,)x a b ∈是)(x f 的导函数的间断点，则0x 是()f x '的第二类间断点. （正确）6. 若00()0,()0f x f x '''=≠，则0x 一定是)(x f 的极值点.（正确） 二、选择题1．设f 是奇函数，且0)(lim 0=→xx f x ， 则 （ A ） A )(x f y =在0=x 的切线平行于x 轴； B 0=x 是f 的极大值点；C 0=x 是f 的极小值点；D )(x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴2．设 )()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则()f a '=（ B ）A )(a ϕ；B ()a ϕ' ；C ()a ϕ'- ；D 不存在3．设f 可导，则 (sec )d f x = （ B ）A 2(sec )sec f x x dx '；B (sec )sec tan f x x xdx '；C (sec )sec f x xdx '；D 2(sec )tan f x xdx '4．设函数()f x 可导且下列极限均存在，则不成立的是（ B ） A 0()(0)lim(0)x f x f f x →-'= ； B 0000(2)()lim ()h f x h f x f x h→+-'=； C 0000()()lim ()2h f x h f x h f x h →+--'= ； D 0000()()lim ()h f x f x h f x h →--'= 5．设()ln f x x x =，且0()2f x '= ， 则0()f x =（ C ） A e 2 ； B 2e ； C e ； D 1 6. 已知()xf ey = ，则y ''=（ C ） A ()()f x e f x ''；B ()x f e ；C ()2{[()]()}f x e f x f x '''+ ；D ()[()()]f x e f x f x '''+7．下列结论中正确的有（ D ）A 如果点0x 是函数()f x 的极值点，则有0()0f x '=；B 如果0()0f x '=，则点0x 必是函数()f x 的极值点；C 函数()f x 在区间(,)a b 内的极大值一定大于极小值；D 如果点0x 是函数()f x 的极值点，且0()f x '存在， 则必有0()0f x '=8．设)(x f 可导，则220()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆ （ C ） A 0 ； B ()f x '； C 2()f x '； D 2()()f x f x '⋅三、计算题1．已知ln(y x =+，求y '.解：y ′=121221122222++++-+x x x x xx x =11122+-+x x x =112+-x x 2．3．设⎩⎨⎧<+≥=11)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在1=x 可导.解：要使在可导，在必连续，于是必左连续.，从而.在的右导数.左导数为， 只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导.这时4．用洛比塔法则求极限 )111(lim 0--→x x e x .解：.四、证明题设()f x 在有限区间(,)a b 上有界，证明()f x 在(,)a b 上有界. 证: 由假设，存在，使当时有. 取定，对任意的，由Lagrange 中值定理，存在介于之间，使得=()， 于是故在上有界.。
《数学分析》三参考答案与评分标准
《数学分析》（三）参考答案与评分标准一．填空题（每小题3分，共18分）1．83；2．m πR 2 ；3.18；4.()210,x x dx f x y dy ⎰⎰；5.2πa 2；6．ϕsin 2r 二．判断题（每小题3分，共15分）1.√；2. √；3.×；4. √；5. ×；三．计算题（每小题8分，共48分）1．01),,(22=--+=z y x z y x F 4)4,1,2(=x F 2)4,1,2(=y F1)4,1,2(-=z F （ 3分） 切平面方程为 0)4()1(2)2(4=---+-z y x （6分） 法线方程为 142142--=-=-z y x （8分） 2．u x =y 3cos （xy 3）-ysin （2xy ） （1分） u y =3xy 2cos （xy 3）-x sin （2xy ） （2分） Du= u x dx+ u y dy （6分） =（y 3cos （xy 3）-ysin （2xy ））dx+（3xy 2cos （xy 3）-x sin （2xy ））dy （8分）3．令P=2x+sin y ， Q=axcony,因存在u （x,y ）使得du=Pdx+Qdy则P y ∂=∂Q x∂∂ （2分） 又因P y ∂=∂cosy ，Q x∂∂= acosy ，由上式有a=1 （4分） 曲线积分与路径无关，令（x 0，y 0）=（0，0）， 取积分路径为（0，0）→（x ，0）→（x ，y ） （6分） u （x ，y ）=002cos x y xdx x ydy +⎰⎰=x 2+xsiny （8分） 4． I=1200(1)xdx x xy dy ++⎰⎰ （4分） =1303728x x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ （8分） 5．令x=rsin ϕcos θ，y=r sin ϕsin θ，z=rcos ϕ，则J=r 2sin ϕ （2分）⎰⎰⎰++V dxdydz zy x z 222=24cos 4000sin cos d d r dr ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰ （5分） =234008cos sin d d ππθϕϕϕ⎰⎰=3π （8分） 6．2xz P = 32z y x Q -= z y xy R 22+=根据高斯公式⎰⎰++-+S dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰⎰++=V dxdydz y x z)(222 （4分）dr r r d d aϕϕθππsin 2202020⎰⎰⎰⋅=525a π= （8分） 四．证明题（第一小题9分，第二小题10分）1.证明 ∀x 0∈（a ，A ），令y 0=φ（x 0），由题设知（x 0 ，y 0）∈D ，且f （x ，y ）在（x 0 ，y 0）连续，则∀ε＞0，1δ∃＞0，∀（x ，y ）∈D ：0101,x x y y δδ-<-<，有 ()()00,,f x y f x y ε-< （3分），又φ（x ）在x 0连续，对上述1δ＞0，存在2δ＞0，当x ∈（a ，A ）：02x x δ-<，有()()01x x δΦ-Φ<（6分），令{}12min ,δδδ=，于是∀x 0∈（a ，A ），∀ε＞0，δ∃＞0，当x ∈（a ，A ）：0x x δ-<，有()()()()00,,f x x f x x εΦ-Φ<，函数f[x ，φ（x ）]在x 0连续.由x 0∈（a ，A ）的任意性知，函数f[x ，φ（x ）]在（a ，A ）连续. （9分）2 。
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《数学分析选讲》第三`次作业
1．叙述交错级数n n u ∑--1)1(（n u >0）收敛性的莱布尼茨判别法。
答：未必收敛. 考查交错级数 .
这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数
收敛 . 而 .
由该例可见 , 在Leibniz 判别法中 , 条件 单调是不可少的.
2．叙述函数列)}({x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义。
答： 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切的D x ∈，都有
ε<-)()(x f x f n
则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作： )(x f n )(x f )(∞→n ， D x ∈。
3．讨论级数∑n n n
n !3的收敛性
()()
()()()()1111111
31!3!,,131!lim lim 3!131lim 1lim 31313!n n n n n n n n n n n x x n
n
n x n x n n n n a a n n n a n a n n n n n n n e
n n
++++++→∞→∞+→∞→∞+==++=•++=+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
=>∴∑Q 答:发散. 4．设∑2n a 收敛，证明：∑n
a n 绝对收敛。
2222221:,,11121n n n n n a n
n N a a n n a n a n ⎡⎤∀∈≤+⎢⎥⎣⎦+∑∑
∑∑Q g 证明收敛收敛有已知收敛2
则绝对收敛. 5．求幂级数∑2n
x n
的收敛域。
解：由于 2
12
1()(1)n n a n n a n +=→→∞+，所以收敛半径为1R =。
即收敛区间为（-1，1），而当1x =±时，有()
22211n n ±=，由于级数21n ∑收敛，所以级数∑2n
x n 在1x =±时也收敛，从而这个级数的收敛域为[-1，1]。