《数学分析选讲》第三次作业大题

《数学分析选讲》第三`次作业

1．叙述交错级数n n u ∑--1)1(（n u >0）收敛性的莱布尼茨判别法。

答：未必收敛. 考查交错级数 .

这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数

收敛 . 而 .

由该例可见 , 在Leibniz 判别法中 , 条件 单调是不可少的.

2．叙述函数列)}({x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义。

答： 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切的D x ∈，都有

ε<-)()(x f x f n

则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作： )(x f n )(x f )(∞→n ， D x ∈。

3．讨论级数∑n n n

n !3的收敛性

()()

()()()()1111111

31!3!,,131!lim lim 3!131lim 1lim 31313!n n n n n n n n n n n x x n

n

n x n x n n n n a a n n n a n a n n n n n n n e

n n

++++++→∞→∞+→∞→∞+==++=•++=+⎛⎫= ⎪+⎝⎭

=>∴∑Q 答:发散. 4．设∑2n a 收敛，证明：∑n

a n 绝对收敛。 2222221:,,11121n n n n n a n

n N a a n n a n a n ⎡⎤∀∈≤+⎢⎥⎣⎦+∑∑

∑∑Q g 证明收敛收敛有已知收敛2

则绝对收敛. 5．求幂级数∑2n

x n

的收敛域。 解：由于 2

12

1()(1)n n a n n a n +=→→∞+，所以收敛半径为1R =。即收敛区间为（-1，1），而当1x =±时，有()

22211n n ±=，由于级数21n ∑收敛，所以级数∑2n

x n 在1x =±时也收敛，从而这个级数的收敛域为[-1，1]。