3-2平面应力在任意斜截面上的应力分量pdf

容易验证
σx' + σy' = σx + σy = cons tan t
此式表明，单元体互相垂直的两个表面上正应力之和是一常量。 主应力和主平面
切应力为零的平面定义为主平面（principal plane）。主平面的方向称为应 力主轴（principal axis for stress）。最大正应力σmax 和最小正应力σmin 所在的平 面就是主平面，主平面上的正应力称为主应力（principal stress）。其值等于
σmax
min
=
σx
+ σy 2
±
(σx
− σy 2
)2
+
τxy 2
应力主轴与 x 面成αo 夹角，其值由下式确定：
tan 2α0
=
2τxy σx − σy
切应力取极值的两个截面互相垂直，与应力主轴成±45o，最大（最小）切应 力为
τmax = ±
min
(σx
− 2
σy
)2
+
τxy 2
最大（最小）切应力所在截面上的正应力
最大、最小剪应力为：
注意 ，
有：
表示主平面的法线方向， 表示最大剪应力或最小剪应力所在截面的法线方 向，由上式可知最大剪应力所在截面和主平面成 角。
注意有如下关系成立： 常量，
即通过单元体中互相垂直的两个截面上的正应力之和是常量。
τx σx
σy
α1 τy
σα1 τα1 σα σx
τα τx σy τy
n α
x
求 的极值，得到：
由此可知， 与 所在的平面就是剪应力为零的面，即是主平面 (principal plane) 。主平面上的正应力称为主应力。
在应力状态中主应力是正应力中的最大值或最小值。在平面应力状态下主 应力的方向，即σ1 和 与 x 轴的夹角αo 满足：
主应力σ1 和σ2
为
⎜⎜⎝⎛
σ σ
1 2
⎟⎟⎠⎞＝⎜⎜⎝⎛σσ
max min
Baidu Nhomakorabea
⎟⎟⎠⎞
=
σx
+σ 2
y
±
⎜⎜⎝⎛
σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞
+τ
2 xy
最大剪应力 所在的截面，满足：
如令 角满足上式，则
σx'
=
σy'
=
σx
+ 2
σy
材料力学符号体系
剪应力 常用两个足标来表示，第一个足标表示所在截面的法线，第二个
足标表示应力所沿的方向。如 表示在以 轴为法线的截面上，沿 轴向的剪
应力。
如图(a)所
示，设有平面单元
体。左右面作用有 正应力 和剪应力
σx
，上下面作用有
正应力 和剪应力
τ yx ，由剪应力互等 定理τ yx = τ xy 。
3-2 平面应力在任意斜截面上的应力分量
说明：弹性力学符号体系与传统的材料力学符号体系中，切应力τ 的符号规定 方向相反，孙国钧，赵社戌编教材采用弹性力学符号体系，金忠谋等编教材采 用材料力学符号体系，下面分述之。
弹性力学符号体系
y y’
σy τy
σy’
τx’y’ σx
τx σx
x’
τ
α
x
σx'
= σα
τyx σy n
α
σx
τx
σy (a)
A
τα σα
n
σx
α x
τx α
τy σy t
(b)
根据平衡分析可知，任意斜截面上的正应力 和剪应力 为：
如下图所示，对单元体如截取两个互相垂直的截面，截面法线 与 x 轴成α
角，另一截面法线 则与 x 轴成
角。则外法线为 n1 的截面上的正应
力 与剪应力 为：
=
σx
+ σy 2
+
σx
− σy 2
cos 2α + τxy
sin 2α
τx' y' = τα =
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+
τxy
cos 2α
σy'
= σα+90o
=
σx
+ σy 2
−
σx
− σy 2
cos 2α − τxy sin 2α
上式建立了任意斜截面以及与其垂直的截面上的应力分量σ x' ，σ y' ，τ x' y' 与坐标 面上应力分量σx, σy, τxy 之间的关系。