2.5 静电场的基本方程.分界面边界条件

2.5 静电场基本方程 分界面上的衔接条件
2.5.1 静电场的基本方程
总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程
⎰=⋅l 0d l E （2.5.1） ⎰=⋅S q S D d （2.5.2）
0=⨯∇E （2.5.3） ρ=⋅∇D （2.5.4）
称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。

方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。

基本方程的微分形式显得更为重要。

一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。

从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E 、D 、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。

由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。

研究介质极化的影响，有
D = ε0
E + P （2.5.5a ）
D = ε E
（2.5.5b ）
方程（2.5.5a ）和（2.5.5b ）是联系D 、E 的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。

（2.5.5a ）对任何介质均成立，方程（2.5.5b ）只适用于各向同性线性介质。

2.5.2 介质分界面上的衔接条件
在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向
都可能发生突变，导致了在不同介质的分界面上D 、E 不连续。

在此处，静电场基本方程的微分形式不再适用，我们从基本方程的积分形式出发，导出介质的分界面衔接条件的出发点。

分界面两侧为各向同性线性介质，介电系数分别为ε1和ε2，同时还需要规定分界面正法线方向：由介质1指向介质2，有n e 。

（1）E 应满足的介质分界面衔接条件
假设我们站在分界面上的某点P 处，可视分界面为无限大。

分解场量E 为切向分量和法向分量。

在P 点处跨分界面处作十分窄小的矩形闭合回路l ，与分界面平行的回路长边为∆l ，在∆l 上可认为E 不变，回路短边为∆m ，它十分短 ∆m →0。

取回路l 所围面积∆S 的正方向为由屏幕穿出，其正法向单位矢量n 'e 。

在ε2介质侧定义回路l 的循行方向，使∆l
()l n n ∆⨯=∆'e e l
由环路定律的积分形式
()()0d 1212=∆⋅-=∆-⋅+
∆⋅=⋅⎰l E E l E l E
l E l
()()012=∆-⋅⨯'l n n E E e e
()[]012=-⨯⋅'E E e e n n
()012=-⨯E E e n （2.5.6）
得E 应满足的介质分界面衔接条件。

上式的标量式
t t E E 21= （2.5.7）
它表明，在不同介质分界面上，电场强度的切向分量总是连续的。

（2）D 应满足的介质分界面衔接条件
分界面上E 的衔接条件
E 1t
t
E E
在分界面上包围P 点作一很小的扁圆柱，它的上下底面∆S 与分界面平行，且∆S 很小，可认为在∆S 上D 近似不变；扁圆柱的高∆h 十分小，可视∆h →0。

对于这个小闭合面，应用高斯定律
()S D S D S D ∆-⋅+∆⋅=⋅⎰12d S
S n ∆-⋅=)(12D D e
h S S ∆∆+∆=ρσ
当∆h →0时，体电荷的贡献为零，有
σ=-⋅)(12D D e n （2.5.8）
得D 应满足的介质分界面衔接条件。

该式量值为
σ=-n n D D 12 （2.5.9）
这说明介质分界面上存在有自由面电荷时，介质分界面两侧的电位移矢量不连续。

（3）静电场的折射定律
在介质分界面上若 0=σ，两侧的各向同性线性介质中有111E D ε=、222E D ε=，入射角11βα=，折射角22βα=，则E 、D 的分界面衔接条件可写成
2211sin sin ααE E =
222111cos cos ααE εE ε=
两式相除得
2
121tg tg εε
=αα （2.5.10）
称为静电场的折射定律。

2.5.3电位表示的介质分界面衔接条件
用电位进行计算，需要用到由它表示的分界面衔接条件。

对于两种不同介质的分界面上，由分界面衔接条件t t E E 21=和ϕ-∇=E ，得
D 2t
D 1t
分界面上D 的衔接条件
t t e e ⋅-∇=⋅∇-21ϕϕ
t
t ∂∂-=∂∂-21ϕϕ
等式两端分别对t 积分，得
C +=21ϕϕ
其中C 为积分常数。

设1ϕ和2ϕ分别是分界面两侧的对应两点A 、B 的电位，而A 、B 两点非常靠近（距离d AB →0），考虑到电场强度为有限值，分界面两侧相距离无限小的A 、B 两点间的电位差应等于零，所以积分常数C 为零，得
21ϕϕ= （2.5.11）
再由σ=-n n D D 12，得
σϕϕ=∂∂-∂∂n
εn ε22
11 （2.5.12） 上两式即为电位表示的介质分界面衔接条件。

2.5.4 导体与介质相界面的情况
设与导体相界的是媒质2，分界面正方向由导体指向介质。

由分界面衔接条件
()012=-⨯E E e n
σ=-⋅)(12D D e n
并考虑导体中没有电场，应有 021==t t E E ，n n D e D 22=，于是在紧靠导体侧的介质表面上有
02=⨯E e n （2.5.13） σ=⋅2D e n （2.5.14）
称为介质的边界条件。

根据（2.5.14）式可计算出导体表面的自由电荷面密度。

若用电位来表述这种边界条件，有
21ϕϕ=（=导体的电位） （2.5.15）
σϕε-=∂∂n
2
2 （2.5.16）
2.5.5 计算举例
例1： 图1所示平板电容器，已知d 1、d 2、ε1和ε2，极板间电压0U ，试求出其中的电场强度和电位的分布。

解: 平板电容器板间距离远小于平板尺寸，可认为极板为无限大，忽略边沿效应。

如图1中所示，两种电介质均为各向同性线性均匀介质，同种介质电场均匀，E 、D 沿x 轴方向，与介质分界面垂直。

在分界面上无自由电荷，按衔接条件，应有电位移D 相等，故
⎩⎨
⎧=+=0
22112
211U d E d E E εE ε 求得
x U d εd εεe E 01
2212
1+=
x U d εd εεe E 01
2211
2+=
取右极板处为电位参考点，在第二种介质中
()()x d d d d U x x d d x
x -++=
⋅=⎰+211
2210
1222
1d εεεϕe E
在第一种介质中
()⎰⎰+⋅+⋅=2
11
1d d 211d d d
x d x x x x x e E e E ϕ
()[]21121
2210
d x d d d U εεεε+-+=
o
图1
U d 1
d 2
ε1
ε2
x
例2：图2所示平板电容器，已知S 1、S 2、1ε和2ε，两极板上的总电荷分别为0q +和0q -，试求出其中的电场强度。

对图2所示情况，由分界面衔接条件知，两种电介质中的电场强度E 相等
2211E E E E t t ===，而电位移D 不相等，使得每个极板上面积S 1和S 2两部分电荷密度不相等，设它们分别是1σ和2σ，应有
22221111E E x x εσεσ=⋅==⋅=D e ,
D e
由介质分界面条件和极板上的总电荷0q +
⎩⎨
⎧=+=0
22112
211q S S εεσσσσ// 解得
02
2111
1q S εS εε+=σ
02
2112
2q S εS εε+=
σ
电场强度为
x x x q S εS εεεD e e e E E 02
2111111
211
+====σ
作业：补充题1-6
图2
ε1
ε2
+q 0
-q 0
S 1 S 2
o
x。