柱锥台的体积详解

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柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高．所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)，所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______．答案 9π解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积．解方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)，由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9，解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9，即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球．这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ，则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定答案 B解析由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)，故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．答案 3π解析满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32，所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

柱、锥、台体积

重 5.8 kg . 已知底面六边形边长是 12 mm ,高是10 mm,内孔直径是 10 mm.那么约有毛坯多少个? 铁的比重是7.8 g / cm 3

图1 2 18
分层训练必做题
1、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则这个三棱锥的体积为（）
2 4 2 ( A)2 2; ( B) 2 ; (C ) ; ( D) 3 3
h
S
S
图1 3 14
类似地, 底面积相等、高也相等的两个锥体它们的体积 , 也相等图1 3 14.由于底面积为 , 高为h 的圆锥的体积 S 1 1 为V圆锥 Sh, 所以 V锥体 Sh . 3
3
x S` h S S S`
图1 3 15
台体棱台、圆台的体积可以转化为锥体的体积来计算图1 3 15 .如果台体的上、下底面积分别为 S `, S , 高是 h , 可以推得它的体积是
学习目标
理解并掌握柱、锥、台体积计算公式及其简单应用.
自学指导
１、柱、锥、台的体积计算公式是什么？２、柱、锥、台的体积公式之间有什么关系？
h
h
S
S
S
图1 3 13
柱体棱柱、圆柱的体积等于它的底面积 S和高h的积, 即 V柱体 S h .
思考：三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系．
2、用一张长12cm,宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，这个圆柱的体积是-------
选做题
一个正四棱台形油槽可以装煤油190升，假如它的上下底面边长分别等于60cm和40cm，求它个几何体的三视图如图（1）试画它的直观图；（2）并求出该几何体的体积

柱锥台表面积及体积

S侧= rl
S表= r 2 rl
S表 (r12 r12 r1 r2 )l
an'y S侧 (r1 r提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：一个花盆需要涂漆的面积为： S= （ 10+5） 10+ 52 - 12 =150 +25 - =174 cm2
an'y
3 2 2 6 1 6 3 cm3 4

4
cm3
学习新知
巩固新知
总结提升
2 cm
96 cm
2
an'y
a 6
3
学习新知
巩固新知
总结提升
知识总结：
an'y
思想方法总结：“分割思想”、“补体思想 ”及“等价转化思想”．
100个花盆需要油漆： 1 100 174 100=174 ml 10000
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：正六棱柱的体积 V1 =S底 h 圆柱的体积 1 2 V2 =S底 h = （）1= cm3 2 4 所以螺帽的体积为 V V1 V2 6 3
圆台
S侧 (r1 r2 )l
r'0
圆锥
S侧 rl
预习落实
学习新知
巩固新知
总结提升
柱体简单几何体的体积锥体
V柱 =Sh
1 V锥 = Sh 3 1 V台 = （S+ S S' +S’ )h 3
一底面为零
台体

高中数学《柱体、锥体、台体的体积》

几何体柱体锥体
台体
柱、锥、台的体积公式
体积
说明
V 柱体＝Sh
S 为柱体的底面积， h 为柱体的高
1
V 锥体＝3Sh
S 为锥体的底面积， h 为锥体的高
V 台体＝1
3
(S 上＋S 下
S 上，S 下分别为台体
的上、下底面面积，
＋ S上·S下)h
h 为台体的高
2．柱体和锥体可以看作是由台体变化得到的．柱体可以看作是上、下底面全等的台体，锥体可以看作是上底面退化成一点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系：
1.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．
2.如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、4，将长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求剩下的几何体的体积．
的体积是
()
A．28π
B．6＋2 2
C．20π
D．6π
1．对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．
解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，其轴截面如图： ∵△ ABC为等边三角形 ∴ h＝ 3r 又12×2r×h＝ 3
又12×2r×h＝ 3
∴ r· 3r＝ 3
∴ r＝1
h＝ 3
∴ V＝13πr2h
＝13×π×1× 3＝ 33π
答案：
3 3π
例3：圆台的上、下底面半径分别是2,4，高为 3，则该圆台
上底扩大
上底缩小

1.1.7 柱、锥、台和球的体积

张喜林制1.1.7 柱、锥、台和球的体积教材知识检索考点知识清单1．夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两仓几何体的体积 2.柱体的底面积为S ，高为h ，则体积V = ． 3．锥体的底面积为S ，高为危，则体积V = ．4．台体的上、下底面面积为,/S S 、高为教材知识检索h ，则体积V= 5．若球的半径为R ，则球的体积V=要点核心解读1．柱体的体积(1)棱柱、圆柱的体积公式．设底面积都等于S ，高都等于^的任意一个棱柱和圆柱，取一个与它们底面积相等，高也相等的长方体如图1-1-7 -1所示，把它们的下底放在同一平面α上，因为它们的上底和下底平行，并且高相等，所以它们的上底在与平面a 平行的平面卢上．用与平面βα、、平行的任意平面γ去截它们时，所得的截面面积都和它们的底面相等，因而这些截面的面积都等于S ，根据祖呕原理，它们的体积相等．由于长方体的体积等于底面积乘以高，于是得到下面的定理及推论：定理：柱体的体积等于它的底面积S 和高h 的积，.Sh V =柱体推论：底面半径是r ，高是危的圆柱的体积是.2h r V π=圆柱 (2)斜棱柱的体积．采用割补的方法，可推出斜棱柱体积公式的另一种形式：⨯=直截面斜棱柱S V 侧棱长．(3)平行六面体的体积，平行六面体是一种特殊的棱柱，它的各个面都是平行四边形，因此都可作为平行六面体的底面，这样，在求平行六面体的体积时，可根据条件灵活地选择适当的面作为底面，以简化推理与计算 (4)棱柱中的“定高”．“高”在棱柱体积的计算中至关重要，而求高的关键在于确定“垂足”的位置． 2．锥体公式的推导三棱柱的体积V = Sh ．锥体的体积公式的推导，分两步进行：(1)证明底面积相等、高也相等的两个锥体的体积相等．如图1-1-7 -2，设有任意一个棱锥和圆锥，它们的底面面积都是s ，高都是h ，把这两个锥体放在同一平面α上，这时它们的顶点都在和平面α相距h 的平行平面上，用任意平行于平面α的平面Q 去截它们，截面分别与底面相似．设截面面积分别为1S 和,2S 截面与顶点距离为,/h 则,,22/222/1hh S S h h S S ==因此，,21SS S S =所以⋅=21S S根据祖咂原理可知这两个锥体体积相等．(2)如图1-1-7 -3所示，利用三棱锥与三棱柱的关系（三个体积相等的三棱锥拼出—个三棱柱），推出三棱锥的体积公式把C 看成三棱锥I 、Ⅱ的公共顶点，因为它们有等底△DBA 、△AD /D 和等高，由祖咂原理得⋅=II I V V 再把A 看成三棱锥Ⅱ、Ⅲ的公共顶点，它们有等底C D C DCD ///∆∆、和等高，所以,III II V V =因此⋅===三棱柱V V V V III II 311由,Sh V =三棱柱得.31Sh V =三棱柱根据这个定理和前面的有关知识，即得到下面定理：定理l ：如果棱锥的底面面积是 s ，高是h ，那么它的体积是.31Sh V =三棱柱定理2：如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是.31V 2h r ⋅=π圆锥 3．台体的体积公式),(31//S SS S h V ++=台体其中S S 、/分别为台体上、下底面面积，h 为台体的高， ),(312//2r rr r h V ++=π圆台其中r r 、/分别为圆台上、下底面半径，h 为圆台的高． [说明]①公式的证明可由两个锥体体积的差来证明，②台体的体积公式中，如果设,/S S =就得到柱体的体积公式;Sh V =柱体如果设,0/=S 就得到锥体的体积公式=椎体V .31Sh 这样，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示为如图1-1-7 -4所示．可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例． 4．球的体积公式(1)球的体积公式的推导．我们取一个底面半径和高都等于R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半径为R 的半球放在同一个平面α上，如图1 -1 -7 -s 所示．因为圆柱的高等于R ，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间.用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面，如果截面与平面α的距离为L ，那么圆面半径,22⋅-=l R r 圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为L （因为B O O 1/∆是等腰三角形）．因此),(222l R r S -==ππ圆 ),(2222l R l R S -=-=πππ圆环故 ⋅=圆环圆S S根据祖咂原理，这两个几何体的体积相等，即.34,3231213322R V R R R R R V ππππ=∴=⋅-⋅=球球由此，我们得到下面的定理：定理如果球的半径是R ，那么它的体积是.343R V π=球 (2)球的体积公式的应用．求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的平方等于这两个球的大圆面积的比，也等于这两个球的表面积的比；两个球半径比的立方等于这两个球的体积的比.球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的23倍；棱长为α的正四面体的内切球的半径为,126a 外接球半径为.46a 5．求体积常用的几种方法(1)分割求和法．把不规则的几何体分割成规则的几何体，分别求体积，然后进行求和． (2)补形法，把不规则的几何体补成规则的几何体；把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积． (3)等积法．通过等底和等高的几何体体积关系，把不容易求的体积转化为容易求的体积． 6．锥体的截面性质如图1-1-7 -6、图1-1-7 -7所示，棱锥、圆锥的横截面（平行于底面的截面）有如下性质：===-ˆ)1(大椎全小椎全大椎体小椎体大椎体小椎体S S S S S S 对应线段的平方之比；=大椎小椎V V )2(对应线段的立方之比典例分类剖析考点1 柱体的体积命题规律 (1)柱体的体积公式．（2）三棱柱体积公式的几种形式．[例1] 如图1-1-7 -8，一个平行六面体的两个对角面都垂直于底面，对角面的面积分别为28cm 和,122cm 底面积是,62cm 底面两条对角线的夹角为,30o 求平行六面体的体积．[答案] 设上、下底面对角线交点分别为/O 和O ，则两对角面交线为,/O O 过/O 作⊥K O /底面ABCD.∵ 对角面⊥/AC 底面ABCD ．⊂∴K O /平面//.A ACC同理⊂K O /平面.//B BDDK O /∴与O O /重合． ⊥∴O O /底面ABCD ．⊥∴C C C C O O ///,// 底面ABCD ．设高为h ．底面对角线长分别为.6,21h V l l =则和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅==∴③②①.630sin 21,12,82121ol l h l h l 由①×②得,812221⨯=h l l 再由③得.2421=l l 由上面两式得.12,23cm V cm h =∴=[点拨] 求体积时，常需通过方程（组）解决问题，因此，应该注意方程观点的应用，如几个未知数需几个独立条件等，母题迁移 1．棱柱///C B A ABC -的侧面C C AA //的面积为S ，且这个侧面到与它相对的侧棱/BB之间的距离为a ，求这个棱柱的体积．考点2 锥体与台体的体积命题规律 (1)椎体的体积公式．（2）台体的体积公式，（3）平行于底面的截面性质．[例2] 如图1-1-7 -9，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于M ，VM 是棱锥的高．若==AB cm VM ,4,5,4cm VC cm =求棱锥的体积．[答案] ∵ VM 是棱锥的高，.MC VM ⊥∴在Rt△VMC 中．),(345VM 2222cm VC MC =-=-=.62cm MC AC ==∴在Rt△ABC 中，),(52462222cm AB AC BC =-=-=).(585242cm BC AB S =⨯=⋅=∴底).(353245831313cm h S V =⨯⨯==∴底椎∴ 棱锥的体积为.35323cm [点拨] 利用锥体的体积Sh V 31=求解，由于高VM 已知，故只需求底面矩形的面积，进一步转化为求BC 的长即可．这种直接套用公式求体积的方法是最基本的方法，应熟练掌握．母题迁移 2．三棱台111C B A ABC -中，=11:B A AB ,2:1则三棱锥---C C B A B ABC A 、、111111C B A 的体积之比为( )．1:1:1.A 2:1:1.B 4:2:1.C 4:4:1.D考点3 球及其组合体的体积命题规律 (1))球的体积公式．（2）与球相关的组合体的元素与球半径R 之间的关系。

柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积

二、球体的体积和表面积
探究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
柱体、锥体、台体、球体的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积

必修二柱锥台的体积公式及应用

底面周长 c=4×230.4.
1 S侧面积 = c ?AB 2
=
1 创4 230.4? 115.22 2
146.62
» 85916.2(m2 ).
1 3 2 创230.4 146.6 » 2594046.0(m ). 3 2 答:金字塔的侧面积约是 85916.2m ,体积约是 2594046.0m.3 1 V = S ?AC 3
例2 有一堆相同规格的六角的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么这堆零件大约有多少个? (铁的比重是7.8g/cm3)
O
P N
分析：六角螺帽零件的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.
O P N
解:V正六棱柱=6×122×
3 4
×10≈3.74×103(mm3)
V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3)
零件的体积V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3) 约有零件：5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个) 答:这堆零件大约有250个.
课堂训练
2.柱体的体积公式
等底等高的柱体，它们的体积相等吗？
等底等高的柱体，它们的体积相等
h
S底 S底
h
S底
V柱 = S底h
3.锥体的体积公式
等底等高的锥体，它们的体积也相等
h
1 V锥 = S底 h 3
4.台体的体积公式
根据台体的特征，如何求台体的体积？
P
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的得到圆台(棱台)的体积公式．
长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础. （2）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系

柱、锥、台的体积详解

4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE 、BCF 均为正三角形， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
V1 : V2 7 : 5
1 1 = S x h S x 3 3

棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的体积是多少？ (结果中保留π)

柱体、锥体、台体的体积

(1 )
O
O (2 )
A
(2)三个圆锥的体积之比为VSO1 :VSO2 :VSO = (πr ⋅ SO ) : (πr ⋅ SO2 ) : (πr2 ⋅ SO) = SO3 1 1
2 1 2 2 3 : SO2 : SO3 =1: 8: 27,所以由上至下三部
分的体积比为 : 7 :19. 1
◆ 探究三台体的体积
O
1
A
1
O
A
1
1
O
2
A
2
O
2
A
2
B (1 )
O
A
O (2 )
A
解：过圆锥的高SO作其轴截面，如图（2），设过圆锥的高SO作其轴截面如图（），设作其轴截面，原圆锥的底面半径为r,由上至下两个截面圆的半原圆锥的底面半径为r,由上至下两个截面圆的半径分别为r . 径分别为r1 ,r2 ,相应的母线长分为 l 1 , l 2
A A’ B’ C’ B
C
A B
C
总结提升：总结提升：
1 (1)棱：V = Sh(S为面，为锥高；锥底积 h 棱的） 3 1 1 2 (2)圆： = Sh = πr h(S为面，为锥锥 V 底积 h 圆 3 3 的，为面径. 高 r 底半）
例1 如图，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底如图，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底面的截面，两截面将圆锥的侧面分成三部分：面的截面，两截面将圆锥的侧面分成三部分：（1）求三部分侧面面积的比；求三部分侧面面积的比；（2）求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）. 求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）
B

课件9：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

∴2R＝ 3a，R＝ 23a. ∴V＝43πR3＝43π 23a3＝ 23πa几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．
跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台
的侧面积之比为 3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为 ( )
3．直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1
上的点，而且满足 AP＝C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积是 ( B )
1 A.2V
1 B.3V
1 C.4V
2 D.3V
【课堂小结】
1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合． 2．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清“割补” 前后几何体体积之间的数量关系．
由已知 S 球∶S 圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4，
(Vr1球＋∶rV2)2圆＝台＝13613Rπ2.r21＋43r1πrR2＋3 r22·2R ＝r1＋r22R22－r1r2＝136R22R－2 R2＝163，故选 A.
【答案】A
【当堂检测】
1．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为 ( B )
答体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
小结祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
探究点二棱柱、圆柱和球的体积问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？答应用祖暅原理可以说明它们的体积相等．问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答如果设 S 为底面面积，h 为高，一般柱体的体积公式为 V 柱＝Sh. 问题 3 底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示？答 V 圆柱＝Sh＝πr2h.

柱、锥、台表面积与体积

柱、锥、台的表面积与体积
要点1 柱体的表面积
棱柱的侧面是平行四边形；圆柱的侧面展开图是矩形．设柱体的底面周长为c ，高为h ，则S 侧＝c·h ，S 表＝S 侧＋2S 底．要点2 锥体的表面积
棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各三角形面积之和；圆锥的侧面展开图为扇形．表面积公式为：S 表＝S 侧＋S 底．要点3 台体的表面积
棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，它们的表面积公式为：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．要点4 柱体、锥体与台体的体积公式
V 柱体＝Sh ，(S 为底面积，h 为柱体的高)． V 锥体＝1
3Sh ，(S 为底面积，h 为锥体的高)． V 台体＝1
3(S ＋SS ′＋S ′)h ， V 柱――――→S ′＝S V 台――――→S ′＝0
V 锥
例1 (1)已知棱长为5的各侧面均为正三角形的四棱锥
S －ABCD ，求它的侧面积、表面积．
(2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比．
例2(1)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，求此圆台的体积．
例3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积等于________，表面积等于________．
空间几何体体积计算的常见技巧
1．等积变换法
例如图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P －ABC的体积V.。

高中数学必修2课件：第一章 7 柱、锥、台的体积

部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A． C． 1 8 1 6 B． 1 7 1 5 ( )
D．
(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为 2 cm2，2 3 cm2，侧棱长为 2 cm，则其体积为________ cm3.
(3)一个正三棱锥底面边长为 6，侧棱长为 15，这个三棱锥的体积为________．
[活学活用] (山东高考)一个六棱锥的体积为 2 3 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为 1 3 h，则 ×6× ×22×h＝2 3，解得 h＝1，底面正六边形的中 3 4 心到其边的距离为 3，故侧面等腰三角形底边上的高为 1 3 ＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为 ×12×2＝12. 2
求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解． (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2x＝2，是矩形，故有 2y＝2 3， x＝1，解得 y＝ 3，
1 3 底面菱形的面积 S＝ xy＝ (cm2)，所以该棱柱的体积为 V 2 2 3 ＝Sh＝ ×2＝ 3(cm3)． 2
(3)如图所示，正三棱锥 SABC. 设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH 的长即为该正三棱锥的高．连接 AH 并延长交 BC 于 E，则 E 为 BC 的中点，且 AH⊥BC.因为△ ABC 是边长为 6 的正三角形， 3 2 所以 AE＝ × 6＝3 3.则 AH＝ AE＝2 3. 2 3 1 1 在△ ABC 中，S△ ABC＝ BC·AE＝ × 6× 3 3＝9 3. 2 2 在 Rt△ SHA 中，SA＝ 15，AH＝2 3，所以 SH＝ SA2－AH2＝ 15－12＝ 3. 1 1 所以 V 正三棱锥＝ S△ ABC·SH＝ × 9 3× 3＝9. 3 3 [答案] (1)D (2) 3 (3)9

柱,锥,台的体积及球的表面积和体积

螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形, 边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是45°，求这个圆台的侧面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表底面面积侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)

柱、锥、台表面积体积公式

圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积以及侧面的面积组成，具体计算方法需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积是2πrh（h为高），底面面积是πr^2，所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边

柱、锥、台和球的体积

3
A’ C’
3
B’
2
１
A C
连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1 和另两个三棱锥2 、3 。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 1 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’
V台体
1 ( S S S S )h 3
其中S 、S分别为上、下底面积， h为高。
1 ' 1 ' 2 2 V圆台 (S S S S )h (r rR R )h 3 3
想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
结论：等底等高的柱体体积相等。
α
（二）锥体（棱锥、圆锥）的体积
在小学我们就通过比较容积的方法，验证了圆锥的体积是底面积相等、高也相等的圆柱的体积的三分之一。利用祖暅定理也可分析得到。
V锥体
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
说明：等底面积，等高的两个柱体体积相原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
h
1 Sh 3
h
S
S

柱、锥、台和球体的体积

从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面
所截，如果截得的两个截面的面积总相等，
那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，
条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面；条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.
为台体上、下底面面积，h为台体的高.
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，高为h.
A' B'
P
S' O' h
D'
C
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
2956(mm ) 2.956(cm )
3
3
因此约有 5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个) 答：螺帽的个数约为252个.
练习题：
1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长
为 5 ，那么它的体积为（ B ）（A）6
3 3
（B）
3
（C）2
（D）2
2．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC 的体积是（ B

柱锥台体积

解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm3) 2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.81000 (7.8 2.956) 252（个）
答：这堆螺帽大约有252个．
柱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，
因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）
应该具有相等的体积．
V柱体= sh
h S
h
S
S
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1 ，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的． 1
情景设置
取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
问题：两个底面积相等、高也相等的柱体的体积如何？
上底扩大
上底缩小
V Sh S' S V 1 (S' S'S S )h S' 0 V 1 Sh
3
3
有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.)8六g /角cm螺3 帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14，可用计算器）？
3
x s' xh s