多目标规划2资料
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
油气开发多目标二层规划投资决策模型研究及应用——以X_油田为例
2023年6月第26卷第12期中国管理信息化China Management InformationizationJun.,2023Vol.26,No.12油气开发多目标二层规划投资决策模型研究及应用——以X油田为例陈普信（中海石油（中国）东海西湖石油天然气作业公司，上海200050）［摘 要］近年来，国内各大石油公司认真贯彻落实国家战略，保障能源安全。
在油气田高质量发展的新形势下，油田开发投资决策如何落实发展目标、优化投资结构、提升投资价值、确保发展规划目标的实现已成为亟待解决的头等要务。
文章以X油田为例，采用单变量因素分析法、蒙特卡洛分析法等，建立一套多目标二层规划投资决策模型，以期指导未来的投资规划，为实现发展目标奠定基础。
［关键词］多目标二层规划；投资决策；产量目标；盈亏平衡油价doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2023.12.051［中图分类号］F832.48 ［文献标识码］A ［文章编号］1673-0194（2023）12-0157-040 引 言油田开发过程中，随着资源量不断的开采、利用，资源量逐渐减少，原油生产能力也在日益降低。
为了保证油田的长期稳产与可持续发展，必须寻求新的资源接替区域，不断地部署新井位、找资源，加大资金的投入力度，因此投资是具有连续性的。
大部分油田随着开发的深入，含水逐年上升，产量逐年下降；同时，随着近几年国外主要石油产区的动荡，导致油价剧烈波动，需要将开发策略从原来的完成产量任务转变为如何获得较好的经济效益。
投资连续不断地增加，除了会增加新井产量，还会造成折旧折耗成本的增加，导致油田生产成本的增加。
如何优化好投资，协调好投资与产量之间的关系，既要完成产量任务，又要保证获得较好的经济效益成为投资决策者关心的主要 问题［1］。
以往基于产能项目投资及工作量的优化研究，未给出盈利目标，不能够全面支撑新形势下油田综合投资决策。
本文以X油田为例，在已有的二层规划模型基础上，以产量目标、盈亏平衡油价目标为基础，采用单变量因素分析法、蒙特卡洛分析等，对项目影响因子进行定量分析，总结经验公式，建立一套能够反映开发规律、成本控制、效益敏感性分析的综合投资决策模型，以此实现项目全生命周期的开发、投资、成本、效益评价的目标，为下一步产能建设项目的投资决策提供参考依据。
多目标规划模型概述
例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是
4、步骤法（STEM法） 这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。 步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。 步骤法算法如下：第一步：分别求解以下p个单目标问题的最优解
1、多目标规划问题的模型结构
为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X)有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：
得到最优解 ，其相应的目标值 即为理想值，此最优解处别的目标所取的值用 表示，即 ，把上述计算结果列入下表
目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:
解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解.
多目标规划培训教材
多目标规划培训教材目录•什么是多目标规划•多目标规划的基本概念•多目标规划的解决方法•多目标规划在实际问题中的应用•多目标规划的案例分析•总结什么是多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中同时考虑多个目标或者多个约束条件的一种优化方法。
通常情况下，单目标规划只需要优化一个目标函数，而多目标规划则需要优化多个同时存在的目标函数。
多目标规划非常适用于现实生活中的许多问题，比如企业决策、资源分配、物流运输等等。
因为在这些问题中，往往会涉及到多个冲突的目标或者限制条件。
多目标规划的基本概念在多目标规划中，有几个基本概念需要了解：1. 目标函数：多目标规划中的每个目标都可以表示为一个目标函数。
目标函数通常是需要最小化或最大化的某个指标，比如成本、利润等。
2. 约束条件：多目标规划中，可能存在多个约束条件，这些约束条件是决策问题的限制条件。
3. Pareto最优解：Pareto最优解是指在多目标规划中，无法再进行优化的解。
如果有两个解分别在某个目标上优于另一个解，而在另一个目标上又劣于另一个解，那么这两个解就是Pareto最优解。
4. Pareto前沿：Pareto前沿是指所有Pareto最优解组成的集合。
在Pareto前沿上的解都是没有劣势的，无法通过改进一个目标而不损害其他目标。
多目标规划的解决方法多目标规划的解决方法有多种，常见的有以下几种： 1. 加权和法：将多个目标函数加权求和，通过调整权重来找到最优解。
这种方法适用于目标函数之间不存在明显的权衡关系的情况。
2. 最小优先级法：按照优先级顺序逐个优化目标函数，直到找到满足所有约束条件的最优解。
这种方法适用于目标之间存在明显的优先级关系的情况。
3. 线性权衡法：将多目标规划问题转化为单目标规划问题，通过引入一个权衡参数来权衡多个目标函数。
这种方法适用于目标函数之间存在明显的权衡关系的情况。
4. 模糊规划法：将目标函数和约束条件转化为模糊的形式，通过模糊数学方法来求解多目标规划问题。
多目标规划
多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。
在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。
多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。
多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。
在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。
优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。
多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。
它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。
例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。
多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。
在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。
在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。
多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。
不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。
总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。
它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划课件
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
多目标规划及案例
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
多目标规划
多 目 标 优 化简介
•在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设 计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断， 而需 要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至 是矛盾的。
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给定 区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200
乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 设甲、乙产品的产量分别为x1,
x2,建立模型：
设备C可以适当加班，但要控制， 则目标可表示为 甲、乙两种产品的产量尽量保 持1:2的比例，则目标可表示为 设备B既要求充分利用，又尽可能 不加班，则目标可表示为
⎧min{d + }; ⎪ ⎨ ⎪5 x2 + d − − d + = 15. ⎩
⎧ min{ d + + d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 2 x1 − x 2 + d − − d + = 0 . ⎩
x∈ X 1≤ i ≤ m
4.
范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
)
1 p
多目标规划
5、多目标规划解的概念
1、若多目标规划问题的解能使所有的目标都 达到，就称该解为多目标规划的最优解；
2、若解只能满足部分目标，就称该解为多目 标规划的次优解；
3、若找不到满足任何一个目标的解，就称该 问题为无解。
5、多目标规划解的概念举例
一个企业需要同一种原材料生产甲乙 两种产品，它们的单位产品所需要的 原材料的数量及所耗费的加工时间各 不相同，从而获得的利润也不相同 （如下表）。那么，该企业应如何安 排生产计划，才能使获得的利润达到 最大？
初始单纯形表
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 2 3 1 0 100 50
0 X4 4 2 0 1 120 30
640 0 0
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 0 2 1 -1/2 40
6 X1 1 1/2 0 1/4 30
0 1 0 -3/2
费用确定）；
4、多目标规划优先级的概念
1、目标等级化：将目标按重要性的程度不同 依次分成一级目标、二级目标…..。最次要 的目标放在次要的等级中。
2、对同一个目标而言，若有几个决策方案都 能使其达到，可认为这些方案就这个目标 而言都是最优方案；若达不到，则与目标 差距越小的越好。
4、多目标规划优先级的概念
建立多目标规划数学模型： 目标函数：Min S=P1d1-+P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
多目标规划
第四章 多目标规划
第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求：
f 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 ( x1 , x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均
为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：
年总利润： f1(x1，x2，x3)=120.27x1+111.46x2+208.27x3
粮食总产量：
f2(x1，x2，x3)=1056x1+1008x2+336x3 投入氮素量：
f3(x1，x2，x3)=50x1+48x2+40x3
根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农 田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件： 总用工量：320x1+350x2+390x3≤3410 油料需求： 130x3≥156 农田数： x1+x2+x3＝10 种植亩数非负：x1≥0， x2≥0， x3≥0。
例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金
A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，
2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收
目标规划与多目标规划
总费用为3360.
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
硬约束（供应约束）
系列软约束 （1）用户4必须全部满足
（2）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100单位
（3）每个用户的满足率不低于80%； 四个用户的80%需求量分别为160,80,360,200，即
（4）应尽量满足个用户的要求
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%： （6）因道路限制，工厂2到用户4的路线的运输任务应尽量避免： （7） 用户1和用户3的满足率尽量平衡：
2 目标规划的模型
例2 在上述例1的基础上，计划人员还要求考虑如下意见：
1 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I产 量的一半；
2 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
3 最好能够节约4小时设备工时；
4 计划利润不少于48元。
分析：把这四条意见分别看成营销部门、材料部门、设备管理 部门、财务部门四个部门的目标愿望。那么在决策的时候，如 何协调者四个部门的意愿呢。同等对待每个目标意愿，势必陷 于矛盾中。故当务之急是确定四个目标的重要程度或轻重缓急。 然后根据重要程度逐一协调。下面引入一些新的变量来解决问 题。
目标决策值f
X2-x1/2 5x1+10x2 4x1+4x2 6x1+8x2
多目标规划教材
多目标规划教材简介多目标规划是一种在决策问题中同时考虑多个目标的优化方法。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要在多个目标之间进行权衡和取舍的情况。
多目标规划通过将目标设置为一个优化问题的一部分，帮助决策者在各种不确定因素和限制条件下做出更科学、更合理的决策。
本教材将介绍多目标规划的基本概念、常用方法和应用案例，旨在帮助读者快速了解和掌握多目标规划的基本原理和应用技巧。
目录1.多目标规划概述2.多目标规划基本概念3.多目标规划求解方法1.加权和方法2.线性加权和方法3.Pareto优化方法4.扩展Pareto优化方法4.多目标规划应用案例1.生产配置的多目标优化2.项目投资的多目标决策3.能源系统的多目标优化5.多目标规划在实践中的挑战6.结语1. 多目标规划概述在日常生活和工作中，我们常常需要在多个目标之间做出决策。
比如，一个公司在制定生产计划时既要考虑生产成本，又要考虑产品质量和交货时间；一个投资者在选择投资项目时既要考虑投资收益，又要考虑投资风险和投资期限。
这些决策问题都存在多个目标，并且这些目标之间可能存在矛盾和冲突。
多目标规划是一种在这种情况下进行决策的优化方法。
它通过将多个目标设置为一个优化问题的一部分，将多目标问题转化为单目标问题求解。
多目标规划不仅能够帮助决策者进行各种不确定因素和限制条件下的决策，还能够提供一系列备选方案，以便决策者选择最优解。
2. 多目标规划基本概念多目标规划涉及一些基本概念和术语，下面是一些常用的概念：•目标函数：多目标规划的目标函数是待优化的函数，通常包含多个变量和目标。
目标函数的具体形式取决于具体的问题。
•可行解：满足约束条件的解称为可行解。
多目标规划的目标是找到一组可行解中的最优解。
•支配关系：多目标规划中的支配关系是指一个解在所有目标上优于另一个解。
一个解支配另一个解意味着它在所有目标上都比另一个解好。
•Pareto最优解：一个解在不被其他解支配的情况下被称为Pareto最优解。
多目标规划——精选推荐
多⽬标规划多⽬标规划的模型基础：1. 正负偏差变量即d2+，d2-分别表⽰决策值超过和未达到⽬标值的部分。
且di+，di-均⼤于02. 刚性约束和⽬标约束（柔性⽬标约束具有偏差）多⽬标规划中，刚性约束中保持>=/<=不变。
约束需要变换为柔性约束时，需要把>=/<=改成=（因为已经有了d2+，d2-⽤来表⽰正负偏差），并且追加上（+di-di+）这⾥注意！是+di-，-di+，这是因为需要将⽬标还原回去，使其最接近原来的刚性约束3. 优先因⼦与权系数对于若⼲个⽬标，分出主次和轻重缓急4. ⽬标规划的⽬标函数是所有偏差变量的加权和。
值得注意的是该加权和均取min值。
且每个不同的等级需求中，并不⼀定di+、di-都出现。
具体分析需要具体看题⽬举例如下：题⽬中说设备B既要求充分利⽤，⼜尽可能不加班，那么⽤时间衡量列出的表达式即为：min z=P3（d3- + d3+）之所以这⾥⽤+⽽不是-d3+的原因是：正负偏差不可能同时存在，必有di+di-=0（因为决策值不可能同时⼤于⽬标值⼜⼩于⽬标值），⼜前⾯是min，所以就取+，让di+和di-都是正值。
故引出如下规则：最后给出例题，并给出对应的解法：问题：某企业⽣产甲、⼄两种产品，需要⽤到 A, B,C 三种设备，关于产品的赢利与使⽤设备的⼯时及限制如下表所⽰。
问该企业应如何安排⽣产，才能达到下列⽬标：（ 1）⼒求使利润指标不低于 1500 元；（ 2）考虑到市场需求，甲、⼄两种产品的产量⽐应尽量保持 1:2；（ 3）设备 A 为贵重设备，严格禁⽌超时使⽤；（ 4）设备C 可以适当加班，但要控制；设备 B 既要求充分利⽤，⼜尽可能不加班。
在重要性上，设备 B 是设备C 的 3 倍。
建⽴相应的⽬标规划模型并求解。
解：设该企业⽣产甲⼄两种产品的件数分别为 x1, x2 ，相应的⽬标规划模型为：下⾯采⽤序贯解法，⽤lingo求解：⼀级⽬标：model:sets:variable/1..2/:x;!规定变量;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数（g的个数=dplus个数=dminus个数）以及需要的相关参数;s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=dminus(1);!第⼀个⽬标函数;！对应min=z中第⼀⼩部分;2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ！利⽤设置完毕的数据构建软约束的表达式;!软约束表达式;@for(variable:@gin(x));!限制变量为整数;end此时，第⼀⽬标最优值为0，第⼀级偏差为0，下⾯进⾏第⼆步：⼆级⽬标：!求得dminus(1)=0,接着求解第⼆个⽬标;model:sets:variable/1..2/:x;!规定变量;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数以及相关参数;s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=dminus(2)+dplus(2);!第⼆个⽬标函数;2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));!软约束表达式;dminus(1)=0;!第⼀⽬标结果;@for(variable:@gin(x));end此时，第⼆⽬标最优值为0，偏差为0，下⾯进⾏第三步：三级⽬标：!求得dminus(2)=0,接着求解第三个⽬标;model:sets:variable/1..2/:x;!规定变量;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数以及相关参数;s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=3*dminus(3)+3*dplus(3)+dminus(4);!第三个⽬标函数;2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));!软约束表达式;dminus(1)=0;!第⼀⽬标约束;dminus(2)+dplus(2)=0;!⼆级⽬标约束;@for(variable:@gin(x));end最终求得x1=2,x2=4,dplus(1)=100,最优利润为1600由于上⾯的过程需要编写好⼏个程序，在使⽤时不⽅便，下⾯给出Lingo编写的⼀个通⽤程序，在程序中⽤到数据段未知数据的编程⽅法。
多目标规划的若干理论和方法共3篇
多目标规划的若干理论和方法共3篇多目标规划的若干理论和方法1多目标规划的若干理论和方法多目标规划是指在多目标条件下进行决策的一种数学方法，它把一个问题转化成一个具有多个目标约束条件的数学优化问题。
在现代化的社会经济发展中，人们往往不仅仅关注单一的目标，而是有着多种不同的目标和需求。
因此，多目标规划技术应运而生，被广泛应用于各行各业的决策和管理中。
本文将简单介绍多目标规划的若干理论和方法。
一、多目标规划的相关理论1. Pareto最优解Pareto最优解是多目标规划中比较重要的概念之一，它指的是在多个目标之间不能再做出更好的妥协的一种解法。
具体来说，如果一个解决方案比其他所有解决方案在某个目标上优秀，而在其他目标上没有任何明显的劣势，则该解决方案就被称为Pareto最优解。
2. 支配支配是另一个多目标规划的重要概念，它指的是在所有可能的解空间中，一个解决方案中所有目标值都比另一种解决方案好，则前者支配后者。
例如，如果一个解决方案在所有目标上都比另一个解决方案好，则前者支配后者。
3. 目标规划多目标规划中，一个重要的理论发展就是目标规划。
它把问题分解为多个聚焦于更少数目标的小问题。
通过优化多个小问题的解决方案，最终达到全局最优解。
二、多目标规划的方法1. 权值法权值法是多目标规划的一种基础方法，其主要思路是通过对每个目标进行加权求和，将多目标问题转化为单一目标问题。
先确定每个目标的权重，然后将所有目标的得分加权求和，得到唯一的一个综合得分。
由此作为参考，进一步进行优化。
2. 线性规划法线性规划法是一种基础的多目标规划方法，它的求解过程基于线性规划。
将所有的目标约束转为线性规划约束条件，然后通过线性规划问题来求解最优解。
3. 模糊规划法模糊规划法是一种基于模糊数学的多目标规划方法。
它采用模糊数值来表达目标和约束条件，并通过模糊方法解决多目标策略问题。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的求解多目标规划问题的方法。
多目标规划2
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❖ 具体计算步骤
序列法
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序列法
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序列法
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多阶段法
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线性目标规划的数学模型
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线性目标规划的数学模型
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线性目标规划的数学模型
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线性目标规划的MATLAB求解
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线性目标规划的MATLAB求解
❖ 输入参数和输出参数
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线性目标规划的MATLAB求解
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线性目标规划的MATLAB求解
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线性目标规划的MATLAB求解
❖ 命令详解
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线性目标规划的MATLAB求解
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多目标规划2
2.多目标规划问题
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max i i
i1
i (x1, x2, xn) gi (i 1,2, , m)
式中， i 应满足：
k
i 1
i 1
向量形式： max T
负偏差变量的权系数，
• gl为第 l个目标的预期值， • xj为决策变量， • dl+ 、dl- 、分别为第 l 个目标的正、负偏差变量，
23
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、 负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目 标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值， 故有 d +×d - =0成立。
在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程 设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来 判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协 调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。
1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优 化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M. 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全 令人满意的定义。
优先级pk中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别
为kl+ 、kl- ，则多目标规划问题可以表示为：
K
L
min Z
pk
(kl d l
kl
dl
)
k1 l 1
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*
f (x ) Min
f (x), x X ,
A [ f(x),
f (x)] ( f*,
f
),
B [ f(x ),
f (x )] ( f,
f
*
)
f
A
f
F*
F
f
*
o
B
f*
f
f
x1为与目标集中A点相对应的可行解；x2为与目标集中B 点相对应的可行解。集合F0就是上图中的ABO，F*曲 线（AB）完全被包含在F0中。
、 判断 f ( pi) f (x# ) f ( pi) f ( pi ) 是否成立？若是转步骤；
f(x# ) f( pi) f( pi ) f( pi) 否则转步骤；
7、令K=K+1，对K+1个非劣点按顺序重新编号，并令 i1=i1+1，i2=K，转步骤2。 其中，K为非劣点的个数，为计算精度。i1和i2分别为当前 参与计算的两个非劣点的下标，算法利用这两个非劣点试图 寻找在这两个非劣点之间的另一个非劣点。
P() : MS.itn.[xi fX(x) i f (x)] 设最优解为x# , 其中，i f ( pi) f ( pi ),i f( pi ) f( pi)
3、P()的最优解x#是否唯一？若是，转步骤4；否则转5； 4、是否存在一个Pj (j=1,2,…,K)，使得Pj =[f1(x#),f2(x#)]，若 是，令i1=i1+1，i2=K，转步骤2；否则转步骤6； 5、是否i2=2且i1=1 ?若是，则已找到K个非劣点，算法终止 ；否则，令i2=i2-1,i1=i1-1，转步骤2；
第十章 多目标规划的解法
10.1 分量加权方法
考虑多目标规划
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( P)
Min
Z F(x) [ f ( x), f ( x), . . . ,
s.t.
x X
f p (x)]
其中， X x x Rn , hi ( x) , i m
一、线性加权和法
( P)
p
Min U (x)
w j f j (x)
A
F0 z*的斜率为
f
F*
F
f*
z*
B
k
f
f
f
*
f*
f*
f
f
设与直线F0 z*垂直的直线方程为
1f1+2f2=
(1)
其中，0<1, 2<1，1+ 2=1 (2)
由（1）式得
f2
1 2
f1
2
由两垂线的斜率关系有（负倒数关系）
解：1）f1*=Minf1（x）=-30，x1=（6，0）， i1=1,i2=2,K=2, Pi1=[f1(x1)，f2(x1)]=[-30,6], f2*=Minf2（x）=-15 x2=（1，4） Pi2=[f1(x2)，f2(x2)]=[3，-15] 2）i1=f2(Pi1)-f2(Pi2)=f2(x1)-f2(x2)=6-(-15)=21,
i2=f1(Pi2)-f1(Pi1)=f1(x2)-f1(x1)=3-(-30)=33 求解线性规划
Min Z=21f1(x)+33f2(x), xX, 得x#=(4,4),f 1#=-12, f2#=-12 3)x#为唯一解；
四、确定加权系数的方法
法 1、基本思路：以理想点F*为标准来确定各个目标的权系数 2、双目标规划问题的情形 1）求f1*，得最优解为x1，求f2*，得最优解为x2， F(x1)=[f1*，f21]=[f1(x1)，f2(x1)],F(x2)=[f12，f2*]=[f1(x2)，f2(x2)]
j
s.t.
x X
二、平方加权和法
( P )
U (x)
p
w j ( f j (x)
j
f *)
S.t. x X
三、NISE法 只适用于双目标凸规划,考虑双目标凸规划问题
Min F ( x) [
S.t.
x X
f ( x),
f (x)]
假定X是凸集，f1(x)，f2(x)是X上的凸函数，X*为非劣解集 F是目标集，F*是非劣解集，则对于双目标规划问题，有 如下性质：
f (P) f (Q)
f(P) f(Q)
根据性质4，如果沿A点和B点之间的非劣曲线F* ,通过调 整对1和2的选择，并求解P()，就能生成F*的全部非劣 解。特别令1=1, 2=0，就得到端点A；令2=1, 1=0，就 得到端点B。
性质4是NISE算法的基础。
NISE算法的步骤 1 、 求 f1* 和 f2* ， 最 优 解 分 别 为 x1,x2 ， i1=1,i2=2,K=2 ； 记 Pi1=[f1(x1)，f2(x1)]，Pi2=[f1(x2)，f2(x2)]； 2、求解P():
例 考虑问题（n=2，m=6，p=2）如下，已知 f1（x）= - 5x1 + 2x2 f2（x）= x1 - 4x2 X={（x1，x2）∣-x1+x2≤3，x1+x2≤8，0≤x1≤6，0≤x2≤4} 试用NISE求所有非劣点。
例 考虑问题（n=2，m=6，p=2）如下，已知 f1（x）= - 5x1 + 2x2 f2（x）= x1 - 4x2 X={（x1，x2）∣-x1+x2≤3，x1+x2≤8，0≤x1≤6，0≤x2≤4} 试用NISE求所有非劣点。
记理想点F*=（f1*，f2*）
2）求解单目标最优化问题
Min
d
[ f(x)
f* ]
[ f (x)
f
*
]
x X
设其最优解为x0，记F0=[f1(x0)，f2(x0)] 3）求F0点的加权系数
F0点的几何意义如下图
f
从图中可见，F0恰是以 理想点z*为圆点所作圆
与目标集F相切的切点。
连接z*和F0两点，直线
性质1 因为X和f1(x)，f2(x)的凸性，目标集F一定是凸集； 性质2 在目标空间中，F的非劣解集F*一定是F的边界； 性质3 非劣解集F*一定完全被集合F0包含，其中
F
{(
f,
f) |
f
f* ,
f
f
*
,
f
( f,
f)
A ( )B ,
}
f*
f(x) Min
f(x), x X ,
f
f
A
f
P
T
F*
R
Q
H
B
f
f
性质4 对于非劣曲线 F*上的任意两点P和Q，总存在一 个支撑曲线，它与直线PQ有相同的斜率，这个支撑曲 线与非劣曲线F*相切于点R，点R一定位于P和Q之间 ，如上图所示。
这个切点R可通过求解如下的参数规划P()得到
P() : SM.tin. [x1 fX(x) f (x)] 这里， ，是直线PQ的斜率，由于曲线PQ的非劣性，所以