多目标规划2资料

A
F0 z*的斜率为
f
F*
F
f*
z*
B
k
f
f
f
*
f*
f*
f
f
设与直线F0 z*垂直的直线方程为
1f1+2f2=
(1)
其中，0<1, 2<1，1+ 2=1 (2)
由（1）式得
f2
1 2
f1
2
由两垂线的斜率关系有（负倒数关系）
f (P) f (Q)
f(P) f(Q)
根据性质4，如果沿A点和B点之间的非劣曲线F* ,通过调 整对1和2的选择，并求解P()，就能生成F*的全部非劣 解。特别令1=1, 2=0，就得到端点A；令2=1, 1=0，就 得到端点B。
性质4是NISE算法的基础。
NISE算法的步骤 1 、 求 f1* 和 f2* ， 最 优 解 分 别 为 x1,x2 ， i1=1,i2=2,K=2 ； 记 Pi1=[f1(x1)，f2(x1)]，Pi2=[f1(x2)，f2(x2)]； 2、求解P():
记理想点F*=（f1*，f2*）
2）求解单目标最优化问题
Min
d
[ f(x)
f* ]
[ f (x)
f
*
]
x X
设其最优解为x0，记F0=[f1(x0)，f2(x0)] 3）求F0点的加权系数
F0点的几何意义如下图
f
从图中可见，F0恰是以 理想点z*为圆点所作圆
与目标集F相切的切点。
连接z*和F0两点，直线
解：1）f1*=Minf1（x）=-30，x1=（6，0）， i1=1,i2=2,K=2, Pi1=[f1(x1)，f2(x1)]=[-30,6], f2*=Minf2（x）=-15 x2=（1，4） Pi2=[f1(x2)，f2(x2)]=[3，-15] 2）i1=f2(Pi1)-f2(Pi2)=f2(x1)-f2(x2)=6-(-15)=21,
*
f (x ) Min
f (x), x X ,
A [ f(x),
f (x)] ( f*,
f
),
B [ f(x ),
f (x )] ( f,
f
*
)
f
A
f
F*
F
f
*
o
B
f*
f
f
x1为与目标集中A点相对应的可行解；x2为与目标集中B 点相对应的可行解。集合F0就是上图中的ABO，F*曲 线（AB）完全被包含在F0中。
例 考虑问题（n=2，m=6，p=2）如下，已知 f1（x）= - 5x1 + 2x2 f2（x）= x1 - 4x2 X={（x1，x2）∣-x1+x2≤3，x1+x2≤8，0≤x1≤6，0≤x2≤4} 试用NISE求所有非劣点。
例 考虑问题（n=2，m=6，p=2）如下，已知 f1（x）= - 5x1 + 2x2 f2（x）= x1 - 4x2 X={（x1，x2）∣-x1+x2≤3，x1+x2≤8，0≤x1≤6，0≤x2≤4} 试用NISE求所有非劣点。
、 判断 f ( pi) f (x# ) f ( pi) f ( pi ) 是否成立？若是转步骤；
f(x# ) f( pi) f( pi ) f( pi) 否则转步骤；
7、令K=K+1，对K+1个非劣点按顺序重新编号，并令 i1=i1+1，i2=K，转步骤2。 其中，K为非劣点的个数，为计算精度。i1和i2分别为当前 参与计算的两个非劣点的下标，算法利用这两个非劣点试图 寻找在这两个非劣点之间的另一个非劣点。
第十章 多目标规划的解法
10.1 分量加权方法
考虑多目标规划
( P)
Min
Z F(x) [ f ( x), f ( x), . . . ,
s.t.
x X
f p (x)]
其中， X x x Rn , hi ( x) , i m
一、线性加权和法
( P)
p
Min U (x)
w j f j (x)
i2=f1(Pi2)-f1(Pi1)=f1(x2)-f1(x1)=3-(-30)=33 求解线性规划
Min Z=21f1(x)+33f2(x), xX, 得x#=(4,4),f 1#=-12, f2#=-12 3)x#为唯一解；
四、确定加权系数的方法
法 1、基本思路：以理想点F*为标准来确定各个目标的权系数 2、双目标规划问题的情形 1）求f1*，得最优解为x1，求f2*，得最优解为x2， F(x1)=[f1*，f21]=[f1(x1)，f2(x1)],F(x2)=[f12，f2*]=[f1(x2)，f2(x2)]
性质1 因为X和f1(x)，f2(x)的凸性，目标集F一定是凸集； 性质2 在目标空间中，F的非劣解集F*一定是F的边界； 性质3 非劣解集F*一定完全被集合F0包含，其中
F
{(
f,
f) |
f
f* ,
f
f
*
,
f
( f,
f)
A ( )B ,
}
f*
f(x) Min
f(x), x X ,
f
P() : MS.itn.[xi fX(x) i f (x)] 设最优解为x# , 其中，i f ( pi) f ( pi ),i f( pi ) f( pi)
3、P()的最优解x#是否唯一？若是，转步骤4；否则转5； 4、是否存在一个Pj (j=1,2,…,K)，使得Pj =[f1(x#),f2(x#)]，若 是，令i1=i1+1，i2=K，转步骤2；否则转步骤6； 5、是否i2=2且i1=1 ?若是，则已找到K个非劣点，算法终止 ；否则，令i2=i2-1,i1=i1-1，转步骤2；
j
s.t.源自文库
x X
二、平方加权和法
( P )
U (x)
p
w j ( f j (x)
j
f *)
S.t. x X
三、NISE法 只适用于双目标凸规划,考虑双目标凸规划问题
Min F ( x) [
S.t.
x X
f ( x),
f (x)]
假定X是凸集，f1(x)，f2(x)是X上的凸函数，X*为非劣解集 F是目标集，F*是非劣解集，则对于双目标规划问题，有 如下性质：
f
A
f
P
T
F*
R
Q
H
B
f
f
性质4 对于非劣曲线 F*上的任意两点P和Q，总存在一 个支撑曲线，它与直线PQ有相同的斜率，这个支撑曲 线与非劣曲线F*相切于点R，点R一定位于P和Q之间 ，如上图所示。
这个切点R可通过求解如下的参数规划P()得到
P() : SM.tin. [x1 fX(x) f (x)] 这里， ，是直线PQ的斜率，由于曲线PQ的非劣性，所以