翻折和这轴对称(1)
对称性质的应用之翻折问题
【解析】 一 、 折 痕 为 对 角 线 模 型
模型特征：沿矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折.
模型示例：
二 、
A B'
折
痕 过
E
顶
点
模B
型
正巧型
B'
DA
DA
D
E
B'
E
CB
过度型
CB
C
不足型
练习2：把正方形ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折 叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM=______.
求证：△DEF是等腰三角形. 一 、 折 痕 为 对 角 线 模 型
一 、 折 痕 为 对 角 线 模 型
中考真题：【2018江苏扬州】四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8,0），点C 的坐标为（0,4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为____.
一 、 折 痕 为 对 角 线 模 型
二 、 折 痕 过 顶 点 模 型
练习3：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8cm， BC=10cm，则EC的长为________.
二A
、 折 痕 过 顶 点 模 型
B
D E FC
【解析】
二 、 折 痕 过 顶 点 模 型
A
D
E
B
FC
二 、 折 痕 过 顶 点 模 型
当然，除了对矩形进行翻折，还有对三角形、平行四边形、菱形以及圆进行 翻折的题目。其实万变不离其宗，不管对什么样的图形进行翻折，都要抓住 翻折题目的本质就是对轴对称性质的考察，都会出现全等图形，继而出现相 沿 等的线段、相等的角。下面，老师列举了几个2018年的中考真题（出题老师 对 也真够挖空心思琢磨的了！） 角 线 翻 折 模 型
【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-
专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。
第13讲 翻折与轴对称图形
初一数学第十三讲翻折与轴对称图形【方法指导】1．轴对称图形指的是一个图形，此图形有一个特征：沿着某一条直线翻折后，直线两旁的部分可以完全重合；2．对称轴是一条直线，注意画图时不要画成线段或射线；3．“翻折”是一种图形运动，运动前后两个图形的对应边、对应角分别相等。
【典型例题】：请用四个半圆设计轴对称图形，尽量多设计几个。
分析：题中没有限定半圆的大小，因此我们可以有更多的选择，通过改变四个半圆的布局或改变其中各个半圆的大小，形成更多的轴对称图形．解：我们给出以下一些设计，说明：在设计图形时，我们如果能够联想生活中熟悉的图形或场景，一定会利用四个半圆设计出更加丰富多彩的轴对称图形。
【巩固训练】：一，选择题：1．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是【】A B C D沿虚线剪开2．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是【】A B C D3．观察下列中国传统工艺品的花纹，其中轴对称图形是【】4．下列由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是【】5、在下列图中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是【】A．等边三角形；B．平行四边形；C．矩形；D．菱形二．解答题：1．如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个．．小正方形使它成为轴对称图形：方法一方法二方法三2．试作出下列轴对称图形的所有的对称轴。
A B C D3． 仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下页表中适当的空格内：对称 形式 轴对称旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴英文 字母4． 按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形.11.6 轴对称 【方法指导】：1．轴对称是指两个图形之间的位置关系：其中一个图形沿着一条直线翻折后与另一个图形完全重合；2．两个图形轴对称，这两个图形的形状和大小完全相同，其对应点的连线被对称轴垂直平分，因此，画两个轴对称图形的对称轴时，只要作一对对应点连线的中垂线即可。
翻折与轴对称图形概述
翻折与轴对称图形概述翻折图形翻折图形是指将平面图形沿折痕折叠后所得到的图形。
翻折是重叠、翻转和旋转的组合，具有对称性质。
翻折图形通常由两份或更多的重叠的图形构成，其中一部分可以被折叠，以覆盖另一部分。
在几何学中，翻折可以用于证明对称性质和相等性质。
从计算机图形学的角度来看，翻折图形可以用于生成3D几何图形，并用于建模、动画和游戏等应用。
翻折图形的特点主要体现在以下方面：对称性质翻折图形具有显著的对称性质，其中的每个部分都与其他部分对称。
这使得翻折图形具有美学价值，并容易识别和记忆。
平面几何中的应用翻折图形在平面几何中有广泛的应用，包括证明对称性质、相等性质和角度关系等。
在计算机科学的研究领域中，翻折图形可以用于进行基本的几何图形建模和数值计算，例如得到一些经典的几何图形表达式。
良好的计算机可视化性翻折图形具有良好的计算机可视化性质，因为它们可以很容易地用于生成3D几何模型，从而在计算机图形学中得到广泛的应用。
这使得翻折图形成为了计算机科学中最受欢迎的几何形式之一。
轴对称图形轴对称图形（或称为镜像图形）是指通过对称轴旋转180度而变换而来的图形。
轴对称图形的特点是其具有完全相同的外观，在镜面前和镜面后形状一致。
因此，很多生物体，例如昆虫、植物和动物等都具有显著的轴对称性质。
轴对称图形的特点主要体现在以下方面：对称性质轴对称图形具有杰出的对称性质，其中的每个部分都具有镜像对称。
由于这种对称性质，轴对称图形在美学上具有强烈的吸引力，并易于识别和记忆。
广泛的应用轴对称图形在生物学中的广泛应用是其最大的亮点之一。
它被应用于解释许多生物相关问题，例如致死基因、细胞生长和随机变异等。
此外，在计算机科学中，轴对称图形还可以应用到很多应用领域，例如计算机辅助设计、数字印制和3D制模等。
良好的计算机可视化性轴对称图形具有良好的计算机可视化性质，因为它们可以用于生成3D几何模型，并且在计算机科学中得到广泛的应用。
这种对称性质也使它成为计算机科学中最常见的几何形式之一。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
16图形的翻折与轴对称(学生)
（4）既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．
热身练习
1.下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是()
ABCD
2.某校计划建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、等腰梯形、菱形、正五边形等四种方案，你认为符合条件的是（）
5.下列说法正确的是（）
A．圆的直径是对称轴B．角的平分线是对称轴
C．角的平分线所在直线是对称轴D．长方形只有4条对称轴
二、填空题
6.图形在平移、翻折、旋转等运动过程中，图形的发生变化，但和
不变.
7.下列几张扑克牌中，中心对称图形的有张.
8.如图，观察下列用纸折叠成的图案，其中轴对称图形的个数为个.
（1）写出旋转角的度数及旋转方向.
（2）在图中经过旋转后能够重合的三角形共有哪几对？
（3）如果∠2=40°，那么∠BDE=.
A、等边三角形B、等腰梯形C、菱形D、正五边形
3.下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（）
ABCD
4.下列说法正确的是()
A、两个会重合的三角形一定成轴对称.
B、两个会重合的三角形一定成中心对称.
C、成轴对称的两个图形中,对称线段平行且相等.
D、成中心对称的两个图形中,对称线段平行（或在同一条直线上）且相等.
巩固练习
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A B C D
2.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
3.等边三角形的对称轴有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4.下列图形中，是轴对称图形的有（）个
①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形.
北师大版数学五年级上册《轴对称再认识(一)》说课稿3
北师大版数学五年级上册《轴对称再认识（一）》说课稿3一. 教材分析《轴对称再认识（一）》是人教版小学五年级数学上册的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了轴对称的基本概念和性质的基础上进行教学的。
教材通过引入生活中的实例，让学生进一步理解和掌握轴对称的性质，提高学生运用轴对称解决实际问题的能力。
教材还注重培养学生的观察、思考、动手操作和小组合作能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的观察、思考和动手操作能力，他们对于轴对称的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，学生在应用轴对称解决实际问题方面还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知水平，通过生活中的实例，让学生更好地理解和运用轴对称的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过观察和操作，进一步理解轴对称的性质，能运用轴对称的知识解决实际问题。
2.过程与方法：培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力，提高小组合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
四. 说教学重难点1.重点：进一步理解轴对称的性质，能运用轴对称的知识解决实际问题。
2.难点：运用轴对称的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、实例引导、小组合作、动手操作的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、学习单等教学手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的轴对称实例，引导学生回顾轴对称的概念和性质，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：引导学生观察和分析实例，发现轴对称的性质，进一步理解轴对称的概念。
3.小组合作：让学生分组讨论，运用轴对称的知识解决实际问题，培养学生的动手操作和小组合作能力。
4.总结提升：引导学生总结轴对称的性质，明确轴对称在实际生活中的应用。
5.练习巩固：设计有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用轴对称解决实际问题的能力。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调轴对称的性质和应用。
B翻折与轴对称图形
二、简答题 3． 下列图形中，是轴对称图形的，画出它的对称轴（有几条就画几条）．
A
B
C
D
E
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
四、轴对称
一、填空题
B
A o
C
19．如右下图，已知扇形 OAB 与扇形 O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．
A
A'
O O'
B
B'
20．如图，已知两个字母“F”成中心对称，请你画出对称中心 O．
21．如图，在 4 个大小相同的正方形组成的图形中，请你再添加一个正方形，使整个图形是轴对称图形（最少画 三个）．
22．请你把下面这个图形补画成中心对称图形，并且用点 O 表示对称中心（最少画三个） ．
四、应用题（共 10 分） 23．请你用两条线段、两个圆、两个三角形拼成一个有意义的图案，画出你的图案，并给你的图案起个名字．
MATHS
9．小明从镜子中看到电子钟显示的时间是 20：51，那么实际时间为 ________.
10．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 ________度就可以与它自身重合. 11．在下列字型的数字中，有两条对称轴的数字是_______________. 12．在下列字型的数字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______________.
，也叫
三、翻折与轴对称图形
基本训练
A
一、填空题
1．如图，△ABC 绕直线 l 翻折 得△A′B′C′，点 A 与点 A′叫做
翻折问题
问题1：翻折跟什么有关？这是我们第一个要搞清楚的。
翻折，即是折叠，折叠首先是一种轴对称，在作轴对称图形这一节，我们学习的第一种方法就是折叠。
问题2：折痕是什么？折痕所在直线就是折叠前后两个图形的对称轴，沿某一条直线折叠，这条直线就是对称轴并且连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分。
问题3：折叠前后，两个图形的关系？折叠前后的两个图形关于折痕对称且全等，折叠后的图形与原图形的形状、大小完全相同。
即，每组对应边相等，每组对应角相等。
问题4：解决折叠问题的关键是什么？折叠问题是近几年中考中常考的一个问题，解决此类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等）。
例1、如图，把平行四边形ABCD，沿对角线BD折叠，如图，观察图形，回答下列问题：Array (1)图中有全等三角形吗？请举例说明。
(2)图中有轴对称图形吗？若有，对称轴是那条直线？(3)图中有哪些角与∠DBC相等？（4）判断图中重叠部分△DBE的形状?并进行简要的说明。
折叠求角问题1、如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）A．15° B．30° C．45° D．60°2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD的度数为（）．A 15°B 20°C 25°D 30°折叠求线段问题1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．12 B．2 C．3 D．42、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为____。
翻折与轴对称
生活中还有那些轴对称图形的例子吗？
一.建筑
生活中还有那些轴对称图形的例子吗？
二.风景及倒影
生活中还有那些轴对称图形的例子吗？
三.车标设计
生活中还有那些轴对称图形的例子吗？
四.交通标志
生活中还有那些轴对称图形的例子吗？
五.国粹京剧的脸谱
生活中还有那些轴对称图形的例子吗？
六. 剪纸艺术
将一张纸对折几次后，剪去一些小块，随后将 它打开，则可得到一个对称的优美图形，如剪 “囍”字
如图，将三角形ABC经过什么运动后得到了三角形
A1B1C1？
1、点A与点A1是对应点， 点B的对应点是点B1 。
1
2、线段AB与线段A1B1是对应线段
1
线段BC和线段B1C1是 线段AC的对应线段
对应线段 线段A1C1
3、 ∠B1 和∠B是对应角， ∠C的对应角是 ∠C1 。
4、线段AB = 线段A1B1， ∠A = ∠A1。
7、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对
称图形的是（ C ）
A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士
1、图形的运动：翻折 翻折后的图形与原来图形形状、大小 不变 。 翻折后图形的对应点 重合 ，对应线段、对应 角 相等 。
l 性质： 1.翻折后的图形与原
来图形形状 、大小不 变。 2.翻折后图形的对应 点 重合 ，对应线段、 对应角 部分能够相互重合，那么这个 图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的 对称轴。
2、注解： 1）轴对称图形是研究一个图形自身的对称性。 2）对称轴是一条直线。(翻折时的折痕）
专题08 翻折、对称、折叠问题(解析版)
专题08 翻折、对称、折叠问题【例1】如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,4)C ，交x 轴于A 、B 两点，交y轴于点D ，其中点B 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若2AF EF =，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为3(2，0)，点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：22()(1)4y a x h k a x =-+=-+，将点B 的坐标代入上式并解得：1a =-，故抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =--+=-++①；（2）如图1，过点A 作y 轴的平行线交AD 的延长线于点G ，过点E 作y 轴的平行线交BD于点H ，由抛物线的表达式知点(3,0)B ，而点(0,3)D ，由点B 、D 的坐标可得，直线BD 的表达式为：3y x =-+，当1x =-时，4y =，故点(1,4)G -，则4AG =，//AG y 轴//EH ，AGF HEF ∴∆∆∽， ∴12EH EF AG AF ==， 设点2(,23)E m m m -++，则点(,3)H m m -+，则23EH m m =-+， 即23142m m -+=，解得：1m =或2， 故点(1,4)E 或(2,3)；（3）如图2，设抛物线对称轴交x 轴于R ，则将直线CR 沿DM 折叠得到直线l ，则直线l 与抛物线的交点P 即为所求点，设直线MD 所在的直线为：y mx n =+，则3023m n n ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得：23m n =-⎧⎨=⎩， 故直线MD 的表达式为：23y x =-+，当1x =时，1y =，设直线MD 交函数对称轴于点F ，故点(1,1)F ，过点M 作MG l ⊥交于点G ，由图形折叠知FRM FGM ∆≅∆，1FR FG ∴==，31122RM MG =-==， :2:1FG GM ∴=，过点G 作y 轴的平行线交过点F 与x 轴的平行线于点H ，交x 轴于点K ，90HGF MGK ∠+∠=︒，90MGK GMK ∠+∠=︒，GMK HGF ∴∠=∠，90FHG GKM ∠=∠=︒，FHG GKM ∴∆∆∽， ∴2FH HG GF GK MK MG===， 设点G 的坐标为(,)x y ，则1FH x =-，GK y =，1HG y =-，32MK x =-， 故11232x y y x --==-，解得：9525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点9(5G ，2)5， 由点F 、G 的坐标同理可得，直线FG 的表达式为：3744y x =-+②， 联立①②并解得：x =（舍去正值）， 故点P． 【变式训练1】图①，抛物线22y x bx c =-++过(1,0)A -、(3,0)B 两点，交y 轴于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D 是抛物线对称轴上一动点，当BCD ∆是以BC 为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，求点E的坐标．【解答】解：（1）抛物线22y x bx c =-++过(1,0)A -、(3,0)B 两点，∴222(1)02330b c b c ⎧-⨯--+=⎨-⨯++=⎩，得46b c =⎧⎨=⎩， 222462(1)8y x x x ∴=-++=--+，∴抛物线的对称轴是直线1x =，即该抛物线的解析式为2246y x x =-++，对称轴是直线1x =；（2）分两种情况：设点D 的坐标为(1,)y第一种情况是：90BCD ∠=︒时，则222CD BC BD +=，点B 的坐标为(3,0)，抛物线2246y x x =-++交y 轴于点C ，∴点C 的坐标为(0,6)，222222[1(6)](36)(31)y y ∴+-++=-+，解得， 6.5y =，∴点D 的坐标为(1,6.5)；第二种情况：当90DBC ∠=︒时，222BD BC CD +=，即222222[(31)](36)1(6)y y -+++=+-，解得，1y =-，∴点D 的坐标为(1,1)-，综上所述，符合条件的点D 的坐标为(1,6.5)，(1,1)-；（3）因为点C 的坐标为(0,6)，点B 的坐标为(3,0)，设直线BC 的解析式为6y kx =+，则360k +=，得2k =-，即直线BC 的解析式为26y x =-+，如右图所示，作点E 关于直线BC 的对称点E '交BC 于点F ，过点F 作FN y ⊥轴于点N ， 设(0,)E m ，(,)E x y '，则EE BC '⊥，90CFE COB ∴∠=∠=︒，BC ∴=ECF BCO ∠=∠，ECF BCO ∴∆∆∽， ∴CE CF CB CO=，即6CF =，解得，CF =又CNF COB ∠=∠，NCF OCB ∠=∠，NCF OCB ∴∆∆∽， ∴FN CF BO CB=，即3FN 解得，2(6)5m FN -=， ∴点F 的横坐标为2(6)5m -， 把2(6)5m x -=代入直线BC 的解析式，得 465m y +=，∴点F 的坐标为2(6)(5m -，46)5m +， EE '关于直线BC 对称，∴点F 为EE '的中点， ∴2(6)254625x m m y m -⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 解得4(6)51235m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 4(6)(5m E -∴'，123)5m +， 点E '在抛物线2246y x x =-++上， ∴21234(6)4(6)2[]46555m m m +--=-⨯+⨯+， 解得，16m =，29732m =， 点(0,6)C ，点E 在点C 下方，∴点E 的坐标为97(0,)32．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(6,0)A -、(2,0)B 、(0,6)C 三点，其顶点为D ，连接AD ，点P 是线段AD 上一个动点（不与A 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为点E ，连接AE ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果点P 的坐标为(,)x y ，PAE ∆的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）过点(3,)P m -作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ，把PEF ∆沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点?P ，求出?P 的坐标．（直接写出结果）【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,6)C 三点，∴36604206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：1226a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为：21262y x x =--+，22122()2b a --=-=-⨯-，214()64428144()2ac b a ⨯-⨯--==⨯-， ∴抛物线的顶点(2,8)D -；（2）(6,0)A -，(2,8)D -，∴设AD 的解析式212y x =+，点P 在AD 上，(,212)P x x ∴+，211__()(212)6(62)22S APE PE y P x x x x x ∴∆=⋅=⨯-⋅+=----， 当632(1)x -=-=-⨯-时，()2(6)941S --==--最大；（3）9(5P '，18)5． 点P 在AD 上，∴当3x =-时，2(3)126y =⨯-+=，∴点(3,6)P -，6PF ∴=，3PE =，过点P '作P M y '⊥轴于点M ，PEF ∆沿EF 翻折得△P EF '，PFE P FE ∴∠=∠'，6PF P F ='=，3PE P E ='=，//PF y 轴，PFE FEN ∴∠=∠，PFE P FE ∠=∠'，FEN P FE ∴∠=∠'，EN FN ∴=，设EN a =，则FN a =，6P N a '=-，在Rt △P EN '中，222P N P E EN '+'=，即222(6)3a a -+=，解得：154a =， 11_22S P EN P N P E EN P M '='⋅'=⋅'， 95P M ∴'=，在Rt EMP ∆'中，125EM =， 1218655OM EO EM ∴=-=-=， 9(5P ∴'，18)5．【例2】如图1，经过原点O 的抛物线2(y ax bx a =+、b 为常数，0)a ≠与x 轴相交于另一点(3,0)A ．直线:l y x =在第一象限内和此抛物线相交于点(5,)B t ，与抛物线的对称轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点P ，使以点P 、O 、C 为顶点的三角形与以点A 、O 、B 为顶点的三角形相似，求满足条件的点P 的坐标；（3）直线l 沿着x 轴向右平移得到直线l '，l '与线段OA 相交于点M ，与x 轴下方的抛物线相交于点N ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ．把MEN ∆沿直线l '折叠，当点E '恰好落在抛物线上时（图2)，求直线l '的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3)，直线l '与y 轴相交于点K ，把MOK ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到△M OK ''，点F 为直线l '上的动点．当△MFK ''为等腰三角形时，求满足条件的点F 的坐标．【解答】解：（1）由已知点B 坐标为(5,5)把点(5,5)B ，(3,0)A 代入2y ax bx =+，得5255093a b a b=+⎧⎨=+⎩ 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴抛物线的解析式为：21322y x x =- （2）由（1）抛物线对称轴为直线32x =，则点C 坐标为3(2，3)2OC ∴OB =当OBA OCP ∆∆∽时，OC OP OB OA=3OP = 910OP ∴= 当OBA OPC ∆∆∽时，OC OP OA OB=∴23= 5OP ∴=∴点P 坐标为(5,0)或9(10，0) （3）设点N 坐标为(,)a b ，直线l '解析式为：y x c =+ 直线l y x c '=+与x 轴夹角为45︒MEN ∴∆为等腰直角三角形．当把MEN ∆沿直线l '折叠时，四边形ENE M '为正方形 ∴点E '坐标为(,)a b b -EE '平行于x 轴N ∴、E '关于抛物线对称轴对称322a ab +-=- 23b a ∴=-则点N 坐标可化为(,23)a a -把点N 坐标代入21322y x x =- 得： 2132322a a a -=- 解得11a =，26a =6a =时，239b a =-=（不合题意舍弃）则点N 坐标为(1,1)-把N 坐标代入y x c =+则2c =-∴直线l '的解析式为：2y x =-（4）由（3）K 点坐标为(0,2)-则MOK ∆为等腰直角三角形∴△M OK ''为等腰直角三角形，M K ''⊥直线l ' ∴当M K M F ''='时，△MFK''为等腰直角三角形 F ∴坐标为(2,0)或(2,4)--【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2318(0)y ax ax a a =+-≠，交x 轴于点A 、C 两点，与y 轴交于点B ，且32AC OB =．（1）求a 的值；（2）连接AB 、BC ，点D 为BC 上一点，直线AD 交对称轴左侧的抛物线于点P ，当290OBA DAB ∠+∠=︒时，求P 点坐标．（3）在（2）的条件下，在AB 上取点E ，在AC 上取点Q ，使:4:BE AQ =连接EQ ，且AD 平分线段EQ ，在第二象限取点R ，使射线QR x ⊥轴于点Q ，M 为射线OB 上的一点，在QR 边上取点N ，将OMN ∠沿MN 折叠，使MO 的对应线段所在的直线与射线QR 交于点K ，得到MNK ∆，MNK ∆的面积为4时，求MKN ∠的度数．【解答】解：（1）对于抛物线2318y ax ax a =+-，令0y =，可得23180ax ax a +-=，解得6x =-或3，(6,0)C ∴-，(3,0)A ，6OC ∴=，3OA =，9AC ∴=， 32AC OB =， 6OB ∴=，(0,6)B ∴，186a ∴-=，13a ∴=．（2）如图1中，取AB 的中点T ，连接OT ，设PA 交OT 于N 交OB 于M ．3OA =，6OB =，AB ∴，90AOB ∠=︒，AT BT =，TO TB TA ∴===， OBA TOB ∴∠=∠，2ATO OBA TOB OBA ∴∠=∠+∠=∠，290OBA DAB ∠+∠=︒，90ATO DAB ∴∠+∠=︒，90ANT ∴∠=︒， 1122AOT AOB S S OT AN ∆∆==，136AN ⨯⨯∴==ON ∴== OAN OAM ∠=∠，90ONA AOM ∠=∠=︒，ANO AOM ∴∆∆∽，∴ON AN OM AO=， ∴553OM =， 32OM ∴=，3(0,)2M ∴， (3,0)A ，∴直线AP 的解析式为1322y x =-+， 由21322163y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 解得30x y =⎧⎨=⎩或92154x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 9(2P ∴-，15)4．（3）如图2中，过点E 作//ES AC 交AD 于S ，交y 轴于L ，设扇形AD 交QE 于J ．AD 平分线段QE ，JE JQ ∴=，//ES AQ ，ESJ QAJ ∴∠=∠，EJS QJA ∠=∠，()ESJ QAJ AAS ∴∆≅∆，ES AQ ∴=，:4:BE AQ =，∴可以假设BE =，15AQ ES m ==，则8BL m =，4LE m =，11SL m ∴=，68OL m =-，(11,68)S m m ∴--，点S 在直线AD ，1322y x =-+上， 1136822m m ∴-=+， 解得13m =， 5AQ ∴=，2OQ AQ AO =-=，(2,0)Q ∴-，当4MNK S ∆=时，过点M 作MW QR ⊥于W ．//QR OM ，MNK NMB ∴∠=∠，NMK NMB ∠=∠，NMK MNK ∴∠=∠，MK KN ∴=， ∴1242KN =， 4KN MK ∴==，90MWK ∠=︒，4KM =，2WM OQ ==，2MK MW ∴=，30MKE ∴∠=︒，18030150MKN ∴∠=︒-︒=︒，当4M K N S '''=时，同法可得30M K N ∠'''=︒，综上所述，满足条件的MKN ∠的值为30︒或150︒．【变式训练2】在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2y ax bx c =++与其“梦想直线”交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，tan ABO ∠=(1,0)B ，点A 横坐标为2-，4BC =．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将ACM ∆以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若AMN ∆为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）tan ABO ∠=，由直线的表达式知，a =，故一次函数的表达式为y =； 当2x =-时，y x =+=(2A -，， 点(1,0)B ，4BC =，则点(3,0)C -，则3c =-，故抛物线的表达式为2y bx c =++ 将点A 、B的坐标代入上式得420b c b c ⎧-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为2y =-+ 抛物线的对称轴为直线1x =-，故抛物线的顶点坐标为：(-；（2）当点N 在y 轴上时，AMN ∆为梦想三角形，如图1，过A 作AD y ⊥轴于点D ，则2AD =，由点A 、C 的坐标知，AC =，由翻折的性质可知AN AC =在Rt AND ∆中，由勾股定理可得3DN =，由抛物线的表达式知，点D 的坐标为(0，，故OD =3ON ∴=或3ON =，当3ON =时，则MN OD CM >>，与MN CM =矛盾，不合题意，N ∴点坐标为(0，3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP x ⊥轴于点P ，如图2，在Rt AMD ∆中，2AD =，OD =tan MD DAM AD∴∠= 60DAM ∴∠=︒，//AD x 轴，60AMC DAO ∴∠=∠=︒，又由折叠可知60NMA AMC ∠=∠=︒，60NMP ∴∠=︒，且3MN CM ==，1322MP MN ∴==，NP ==， ∴此时N 点坐标为3(2； 综上可知N 点坐标为(0，3)-或3(2；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图3，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK x⊥轴于点K ，则有//AC EF 且AC EF =，ACK EFH ∴∠=∠，在ACK ∆和EFH ∆中，ACK EFH AKC EHF AC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACK EFH AAS ∴∆≅∆，1FH CK ∴==，HE AK ==，抛物线对称轴为1x =-，F ∴点的横坐标为0或2-，点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F ，此时点E 在直线AB 下方，E ∴到x轴的距离为EH OF -==，即E点纵坐标为，(1,E ∴-； 当F 点的横坐标为2-时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，(3,0)C -，且(2A -，，∴线段AC 的中点坐标为(-，设(1,)E t -，(,)F x y ，则12( 2.5)x -=⨯-，y t +=4x ∴=-，y t =，代入直线AB 解析式可得(4)t =-+t =(1,E ∴-，(F -；综上可知存在满足条件的点F ，此时(1,E -、F 或(1,E -、(F -． 【例3】在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME ∆沿ME 所在直线翻折，得到FME ∆，当FME ∆与AME ∆重叠部分的面积是AMC ∆面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【解答】解：（1）抛物线22y ax bx =++经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++； （2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB OE =，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ， 在22y x x =-++中，令0y =，解得：2x =或1-，∴点B 坐标为(1,0)-，∴点E 坐标为(1,0)， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， BDO EDO ∴∠=∠，即2BDE BDO ∠=∠， (0,2)D ，DE BD ∴==，在BDE ∆中，1122BE OD BD EF ⨯⨯=⨯⨯，即22EF ⨯=，解得：EF =，DF ∴=，4tan 3EF BDE DF ∴∠===， 若2PBC BDO ∠=∠，则PBC BDE ∠=∠，BD DE =，2BE =，则222BD DE BE +>，BDE ∴∠为锐角，当点P 在第三象限时，PBC ∠为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，PBC BDE ∠=∠，设点P 坐标为2(,2)c c c -++，过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则1BG c =+，22PG c c =-++，224tan 13PG c c PBC BG c -++∴∠===+， 解得：23c =， 22029c c ∴-++=， ∴点P 的坐标为2(3，20)9；当点P 在第四象限时，同理可得：22PG c c =--，1BG c =+，224tan 13PG c c PBC BG c --∠===+， 解得：103c =， ∴25229c c -++=-， ∴点P 的坐标为10(3，52)9-， 综上：点P 的坐标为2(3，20)9或10(3，52)9-；（3）设EF 与AD 交于点N ，(2,4)A --，(0,2)D ，设直线AD 表达式为y mx n =+，则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 表达式为32y x =+，设点M 的坐标为(,32)s s +， (2,4)A --，(2,0)C ，设直线AC 表达式为11y m x n =+，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为2y x =-，令0x =，则2y =-，∴点E 坐标为(0,2)-，可得：点E 是线段AC 中点，AME ∴∆和CME ∆的面积相等，由于折叠，CME FME ∴∆≅∆，即CME FME S S ∆∆=，由题意可得：当点F 在直线AC 上方时，111422MNE AMC AME FME S S S S ∆∆∆∆∴===， 即MNE ANE MNF S S S ∆∆∆==，MN AN ∴=，FN NE =，∴四边形FMEA 为平行四边形，1122CM FM AE AC ∴=====， (,32)M s s +，解得：45s =-或0（舍)， 4(5M ∴-，2)5-，AM ∴==，当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形，AM EF ∴=，由于折叠可得：CE EF =，AM EF CE ∴===综上：AM或 【变式训练1】如图，抛物线2y ax bx =+x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ 、DQ ，点P 为抛物线上的一个动点（点P 与点Q 不重合），且PBD BDQ S S ∆∆=，请求出所有满足条件的点P 的横坐标．【解答】解：（1）把点(1,0)B -，(3,0)C 分别代入2y ax bx =+930a b a b ⎧-=⎪⎨+-⎪⎩，解得：a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数表达式为：2y =- （2）抛物线与x 轴相交于点(1,0)B -，点(3,0)C ，4BC ∴=，对称轴为直线1x =，(1,0)E ∴，2BE =，C E ∴'=，∴(1,C '，∴tan C B C BE BE'∠'== 60C BE ∴∠'=︒，由翻折得，30DBE ∠=︒，tan30DE BE ∴=︒D ∴； （3）设BD 交y 轴于点F ，设直线BD 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则0k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， BD ∴的解析式为：y =+F ∴，抛物线的解析式为2y x =-(0,Q ∴， 分两种情况：①当点P 、Q 在直线BD 的同侧时，PBD BDQ S S ∆∆=，//PQ BD ∴，∴直线PQ的解析式为：y x =，联立方程组2y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩)，2230x y =⎧⎨=⎩， (3,0)P ∴；②当点P 与点Q 在BD 的两侧时，PBD BDQ S S ∆∆=，∴点P 、点Q 到直线BD 的距离相等， 3(0,)3F ，(0,Q ，∴FQ =， 在y 轴上截取HF FQ =，过点H 作BD 的平行线，交抛物线于点P '和P ''，HF FQ ∴==，H ∴， ∴直线HP '的解析式为y =+联立方程组2y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，12x x ==， 综上，当点P 的横坐标为3PBD BDQ S S ∆∆=． 【变式训练2】如图，已知抛物线(6)(2)y a x x =+-过点(0,2)C ，交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC ． （1）直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当MCE ∆是等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将PCE ∆沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P '处．求当点P '恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．【解答】解：（1）抛物线(6)(2)y a x x =+-过点(0,2)C ， 2(06)(02)a ∴=+-，16a ∴=-， ∴抛物线的解析式为2118(6)(2)(2)663y x x x =-+-=-++， ∴抛物线的对称轴为直线2x =-； 针对于抛物线的解析式为1(6)(2)6y x x =-+-， 令0y =，则1(6)(2)06x x -+-=， 2x ∴=或6x =-，(6,0)A ∴-；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为2x =-，(2,0)E ∴-，(0,2)C ，2OC OE ∴==，CE ∴=45CED ∠=︒，CME ∆是等腰三角形，∴①当ME MC =时，45ECM CED ∴∠=∠=︒，90CME ∴∠=︒，(2,2)M ∴-，②当CE CM =时，12MM CM ∴==，14EM ∴=，1(2,4)M ∴-，③当EM CE =时，23EM EM ∴==2(2,M ∴--，3(2M -，，即满足条件的点M 的坐标为(2,2)-或(2,4)-或(2-，或(2,--；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为2118(6)(2)(2)663y x x x =-+-=-++， 8(2,)3D ∴-， 令0y =，则(6)(2)0x x +-=，6x ∴=-或2x =，∴点(6,0)A -，∴直线AD 的解析式为243y x =+， 过点P 作PQ x ⊥轴于Q ，过点P '作P Q DE ''⊥于Q '，90EQ P EQP ''∴∠=∠=︒，由（2）知，45CED CEB ∠=∠=︒，由折叠知，EP EP '=，CEP CEP '∠=∠，PQE ∴∆≅△()P Q E AAS ''，PQ P Q ''∴=，EQ EQ '=，设点(,)P m n ，OQ m ∴=，PQ n =，P Q n ''∴=，2EQ QE m '==+，∴点(2,2)P n m '-+，点P '在直线AD 上，22(2)43m n ∴+=-+①，点P 在抛物线上，1(6)(2)6n m m ∴=-+-②，联立①②解得，m =m =即点P【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数22(0)y ax ax c a =-+≠的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点(0,6)C ，连接AC ，已知3tan 4OAC ∠=．（1）点A 的坐标是（2）若点P 是抛物线上的任意一点，连接PA 、PC ． ①当APC ∆与AOC ∆的面积相等时，求点P 的坐标； ②把PAC ∆沿着AC 翻折，若点P 与抛物线对称轴上的点Q 重合，直接写出点P 的横坐标．【解答】解：（1）点C (0,6)，6OC ∴=， 3tan 4OAC ∠=， ∴34OC OA =， 8OA ∴=，(8,0)A ∴，故答案为：(8,0)；（2）①把A 点和C 点坐标代入二次函数22(0)y axax c a =-+≠中得，641606a a c c -+=⎧⎨=⎩， 解得186a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴二次函数的解析式为：211684y x x =-++，设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则806k b b +=⎧⎨=⎩， 解得，346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的解析式为：364y x =-+，设点P 的坐标为211(,6)84m m m -++，过P 作PM x ⊥轴，与AC 交于点M ，则3(,6)4M m m -+∴21||8PM m m =-，APC ∆与AOC ∆的面积相等， ∴211186||8228m m ⨯⨯=-⨯， ∴2168m m -=，或2168m m -=-，解方程2168m m -=，得12m =或4-，2168m m -=-无解， (4,3)P ∴-或(12,9)-；②211684y x x =-++，∴对称轴为1x =，点P 与抛物线对称轴上的点Q 重合，∴可设(P m ，211684m m -++，)， 当P 点在直线AC 的上方时，如图1，设AC 与抛物线的对称轴的交点为M 点，PQ 与AC 的交点为N 点，过点P 作PE MQ ⊥于点E ， 则21(1,)4M ，90MNQ MFA PEQ AOC ∠=∠=∠=∠=︒，90MQN QMN QMN OAC ∴∠+∠=∠+∠=︒， MQN OAC ∴∠=∠，tan tanMQN OAC ∴∠=∠，∴PE OCEQ OA=，即168mEQ-=，∴4433EQ m=-，2113228123 QF EF EQ m m∴=-=--+，∴21132581212 MQ MF QF m m=-=+-，cos cosMQN OAC∠=∠，∴QN OAQM AC=，即21132581212QNm m+-，∴2113510153 QN m m=+-，sin sinMQN OAC∠=∠，∴PE OCPQ AC=，即1610mPQ-=，∴5533 PQ m=-，2PQ QN=，∴25511352() 3310153m m m-=+-，m∴=，或m=)，当P点在直线AC下方时，如图2，设AC与抛物线的对称轴的交点为M点，PQ与AC的交点为N点，过点P作PE MQ⊥于点E，则21(1,)4M，90MNQ MFA PEQ AOC∠=∠=∠=∠=︒，90 MQN QMN AMF OAC∴∠+∠=∠+∠=︒，QMN AMF∠=∠，MQN OAC∴∠=∠，tan tanMQN OAC∴∠=∠，∴PE OCEQ OA=，即168mEQ-=，∴4433EQ m=-，2119148123 QF EF EQ m m∴=+=-++，∴2119781212 MQ QF MF m m=-=-+-，cos cosMQN OAC∠=∠，∴QN OAQM AC=，即21132581212QNm m+-，∴2113510153 QN m m=+-，sin sinMQN OAC∠=∠，∴PE OCPQ AC=，即1610mPQ-=，∴5533 PQ m=-，2PQ QN=，∴25511352() 3310153m m m-=+-，m∴=（舍去），或m=综上，点P．【例4】如图，抛物线22(0)y x x a a=--+≠与y轴相交于A点，顶点为M，直线12y x a =-分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M、A的坐标；（2）将NAC∆沿y轴翻折，若点N的对称点N'恰好落在抛物线上，AN'与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△N CD'的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，2212y x x a y x a ⎧=--+⎪⎨=-⎪⎩，整理得22540x x a +-=， △25320a =+>，解得2532a >-， 0a ≠， 2532a ∴>-且0a ≠， 令0x =，得y a =，(0,)A a ∴，222(1)1y x x a x a =--+=-+++，(1,1)M a ∴-+．（2）设直线MA 的解析式为(0)y kx b k =+≠，(0,)A a ，(1,1)M a -+，∴1a k b a b +=-+⎧⎨=⎩，解得1k b a=-⎧⎨=⎩， ∴直线MA 的解析式为y x a =-+，联立得，12y x a y x a =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得433a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，4(3a N ∴，)3a -， 点N '是点N 关于y 轴的对称点，4(3a N '∴-，)3a-， 将点N '的坐标代入22y x x a =--+得，2168393a a a a -=-++，解得94a =或0a =（舍去），9(0,)4A ∴，9(0,)4C -，13(1,)4M -，9||2AC =，011||||||||22N CD N AC ADC N S S S AC x AC x '''∆∴=-=-19(31)22=- 92=；（3）如图，①当点P 在y 轴左侧时， 四边形APCN 是平行四边形，AC ∴与PN 互相平分，4(3a N ，)3a-， 4(3a P ∴-，)3a ； 将点P 的坐标代入22y x x a =--+得，2168393a a a a =-++，解得158a =或0a =（舍)，5(2P ∴-，5)8；②当点P 在y 轴右侧时， 四边形ACPN 是平行四边形，//NP AC ∴且NP AC =，4(3a N ，)3a-，(0,)A a ，(0,)C a -， 4(3a P '∴，7)3a -；将点P '的坐标代入22y x x a =--+得，27168393a a a a -=--+，解得38a =或0a =（舍)， 1(2P '∴，7)8-；综上所述，当点5(2P -，5)8和1(2P '，7)8-时，A 、C 、P 、N 能构成平行四边形．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y ax ax =-+的图象与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3CAO ∠=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将PCD ∆沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，求OMON的值．【解答】解：（1）二次函数243y ax ax =-+的图象与y 轴交于点C ，∴点C的坐标为(0,3)，3OC ∴=，连接AC ，在Rt AOC ∆中，tan 3OCCAO OA∠==， 1OA ∴=，将点(1,0)A 代入243y ax ax =-+，得430a a -+=， 解得：1a =．所以，这个二次函数的解析式为243y x x =-+；（2）过点C 作CG DF ⊥，过点P 作PQ DF ⊥，垂足分别为点G 、Q ．抛物线243y x x =-+的对称轴为直线2x =，2CG ∴=，23CDF FDP S CG S PQ ∆∆==， 3PQ ∴=，∴点P 的横坐标为5，∴把5x=代入243y x x =-+，得8y =，∴点P 的坐标为(5,8)；（3）过点P 作PH OM ⊥，垂足分别为点H ，点P 的坐标为(5,8)，5OH ∴=，8PH =，将PCD ∆沿直线MN 翻折，点P 恰好与点O 重合，MN OP ∴⊥，90ONM NOP ∴∠+∠=︒，又90POH NOP ∠+∠=︒，ONM POH ∴∠=∠，∴8tan tan 5OM PH ONM POM ON OH ∠==∠==．【变式训练2】如图，抛物线2y ax bx =+-经过点(A -，与x 轴相交于B ，C 两点，且B 点坐标为(1,0)-． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ ，DQ ，在抛物线上有一个动点P ，且PBD BDQ S S ∆∆=，求满足条件的点P 的横坐标．【解答】解：（1）将(A -，(1,0)B -代入2y ax bx =+-中，可得420a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2y x ∴； （2）如图，设对称轴于BC 的交点为E ，232y x =与x 轴交于B ，C 两点，20x ∴=--；11x ∴=-，23x =，∴点(3,0)C ，∴对称轴为直线1x =，2BE CE ∴==，4BC =，点D 在抛物线的对称轴上，BD CD ∴=，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，4BC BC '∴==，CD C D '=，BD C D '∴=，C E '∴=∴点(1,C '222BD DE BE =+，22)4DE DE ∴=+，DE ∴=，∴点D ； （3）如图，设BD 交y 轴于点F ，点(1,0)B -，点D ，∴直线BD 解析式为：y =+，∴点F ，抛物线的解析式为：2y =与y 轴交于点Q ，∴点(0,Q122BDQ S ∆∴=⨯+⨯=， 若点Q ，点P 在BD 的同侧时，PBD BDQ S S ∆∆=，∴点P 与点Q 到直线BD 的距离相等，即//PQ BD ，∴直线PQ 解析式为：y =-2x =- 0x ∴=，83x =， ∴点P 的横坐标为83； 若点P 与点Q 在BD 的两侧时，PBD BDQ S S ∆∆=，∴点P 与点Q 到直线BD 的距离相等，点F ，点(0,QFQ ∴=在y 轴上截取HF FQ =，过点H 作BD 的平行线交抛物线于点P '和P '，HF FQ ∴==∴点H 坐标，∴直线HP '解析式为：y =+2+=--，x ∴=综上所述：当点P 的横坐标为83PBD BDQ S S ∆∆=．【变式训练3】如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点，∴4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 即抛物线的函数表达式是223y x x =--；（2）与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点，3(1)314BC ∴=--=+=，该抛物线的对称轴是直线1312x -+==， 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ，则点H 的坐标为(1,0)，2BH ∴=，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，点C '恰好落在抛物线的对称轴上， 4BC BC ∴='=，90C HB ∠'=︒，C BD DBC ∠'=∠，OC ∴'==，21cos 42BH C BHBC ∠'==='， C ∴'的坐标为(1，，60C BH ∠'=︒，30DBC ∴∠=︒， 2BH =，30DBH ∠=︒，tan 302OD BH ∴=︒==∴点D 的坐标为，由上可得，点C '的坐标为(1，，点D 的坐标为．。
七年级数学 轴对称之—翻折问题
轴对称之——翻折问题1．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则AE的长为．2．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A 恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为°．3．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝°．4．如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为．5．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝6，求AE的长．6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．7．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．8．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D 与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．9．如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG；②求GC的长；（2）求△FGC的面积．。
一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题(专项练习)
一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习）1．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2-和()2,0，该图象记作直线l ．某同学为观察k ，b 对函数图象的影响，将这个一次函数中的k 与b 交换位置后得到一个新的函数，新函数图象记作直线l '．(1) 求直线l 的解析式；(2) 若直线3x =与直线l ，l '分别相交于点A ，B ，求AB 的长；(3) 若直线x m =与直线l ，l '及x 轴有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出m 的值．2．一次函数y 3＋2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边△ABC ．(1)求C 点的坐标；(2)在第二象限内有一点M （m ，2），使ABMABCSS=，求M 点的坐标；(3)将△ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将△ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ⊥y 轴于G ．求△EFG 的面积．3．一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A （﹣8，0）和点B （0，6）．点C 在线段AO 上．如图，将△CBO 沿BC 折叠后，点O 恰好落在AB 边上点D 处．（1）求一次函数的解析式； （2）求AC 的长；（3）点P 为x 轴上一点．且以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点坐标．4．如图，一次函数y=-23x+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，线段AB 的中点为D （3，2）．将△AOB 沿直线CD 折叠，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ．（1）求此一次函数的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）在坐标平面内存在点P （除点C 外），使得以A 、D 、P 为顶点的三角形与△ACD 全等，请直接写出点P 的坐标．5．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数323y x =-+x 轴，y 轴分别交于点A 和点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ；过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AC 的长为______，ACO ∠=______度．（2）将图2中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图②，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC 与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =+的图像分别交x ，y 轴于点A 和B ，与经过点3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,3D -的直线交于点E ．(1) 求直线CD 的函数解析式及点E 的坐标； (2) 点P 是线段DE 上的动点，连接BP ．① 当BP 分BDE △面积为1：2时，请直接写出点P 的坐标；② 将BPE 沿着直线BP 折叠，点E 对应点E '，当点E '落在坐标轴上时，直接写出点P 的坐标．7．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足2816210-+++-=；b b a b(1) 矩形的顶点B的坐标是（，）；(2) 若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；(3) 在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．=-+交y轴于点A，交x轴于点B，点C为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y x m线段OB的中点，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．(1) 求点F的坐标．（用m表示）(2) 求证：OF AC⊥．9．如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．(1) 求出点B、C的坐标：(2) 在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP 沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．(1) 直接写出点A、B、C的坐标；(2) 求△ADE的面积．11．如图1，一次函数y＝34x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C'落在直线AB上时，求点P的坐标．12．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．(1) 请直接写出点C的坐标；(2) 如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；(3) 如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC 上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．(1) 求AB 的长；(2) 求点C 和点D 的坐标； (3) y 轴上是否存在一点P ，使得12PABOCDS S =若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知一次函数334y x =+的图像与坐标轴交于点A 、B ，点C 在线段AO 上，将△BOC 沿BC 翻折，点O 恰好落在AB 上点D 处．（1）求点A 、点B 的坐标； （2）求点C 的坐标；15．在平面直角坐标系中，一次函数443y x =-+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 在线段OB 上，将△AOB 沿AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的点D 处，直线DC 交AB 于点E ．（1）求点C 的坐标；（2）若点P 在直线DC 上，点Q 是y 轴上一点（不与点B 重合），当△CPQ 和△CBE 全等时，直接写出点P 的坐标 （不包括这两个三角形重合的情况）．16．已知一次函数y =-3x +3的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点C (3,0)． (1) 如图1，点D 与点C 关于y 轴对称，点E 在线段BC 上且到两坐标轴的距离相等，连接DE ，交y 轴于点F ．求点E 的坐标；(2) △AOB 与△FOD 是否全等，请说明理由；(3) 如图2，点G 与点B 关于x 轴对称，点P 在直线GC 上，若△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点()0,6D -在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，直线CD 交AB 于点E ．(1) 直接写出点A 、B 、C 的坐标； (2) 求ADE 的面积．18．已知：如图，一次函数334y x =-的图像分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，且与经过x 轴负半轴上的点C 的一次函数y ＝kx ＋b 的图像相交于点D ，直线CD 与y 轴相交于点E ，E 与B 关于x 轴对称，OA ＝3OC ．(1) 直线CD 的函数表达式为______；点D 的坐标______；（直接写出结果） (2) 点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．① 若直线BP 将△ACD 的面积分为79∶两部分，试求点P 的坐标；② 点P 是否存在某个位置，将△BPD 沿着直线BP 翻折，使得点D 恰好落在直线AB 上方的坐标轴上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．20．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1) 如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2) 如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3) 在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，求此时△PBC 的面积．21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()60y kx k =+<的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B .（1）线段AB 的长为______，用关于k 的代数式表示BC 的长______.（2）折叠图1中的ABC ∆，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2，若CD 平分BCA ∠，①求k 的值和AD 的长度.②在直线AC 上，是否存在点P ，使得APD ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y 33x 轴，y 轴分别交于点A ．点C ，过点1作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段OC ，OA ，AC 的长分别为OC ＝ ，OA ＝ ，AC ＝ ，∠ACO ＝ 度． （2）将图1中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC 与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+分别与x 轴和y 轴交于点A 、点B ，四边形OACB 为矩形．(1)如图②，点F 在BC 上，连接AF ，把ACF △沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C '重合．①求点F 的坐标；②请直接写出直线FC '的解析式：______；(2)如图③，动点(),P x y 在一次函数()231.54y x x =-<<的图象上运动，点D 在线段AC 上，是否存在直角顶点为P 的等腰直角BDP △，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO ，将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B '，折痕为CE ．直线CE 的关系式是182y x =-+，与x 轴相交于点F ，且AE =3．（1）OC = ，OF = ；（2）求点B 的坐标；（3）求矩形ABCO的面积．25．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC 沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上．（1）若DO平分∠ADC，求m的值；（2）若E（0，3），求C点的坐标；（3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值．。
图形的翻折和对称
图形的翻折和对称概念总汇1、旋转对称图形与中心对称图形（1）把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（2）如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心2、中心对称（1）把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这点对称，也叫做中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（2）寻找对称中心，只需分别连结两队对应点，所得两条直线的交点就是对称中心3、翻折与轴对称图形（1）轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴（2）轴对称图形的特征对称轴左右两旁的部分能完全重合说明：掌握轴对称图形的特征，会用轴对称图形的知识画轴对称图形，并且能自己创造涉及轴对称图形，体会数学之美和数学价值4、轴对称（1）如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。
两个图形的对应点叫做关于这条直线的对称点（2）两个图形关于某条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变说明：（1）在学习了对称轴与轴对称图形知识的基础上，研究画轴对称图形，可以更好地加深对轴对称的理解。
画轴对称图形的关键是找到对称轴，然后由图形上的关键点，作对称轴的垂线，并延长，使对称轴的两边线段相等，即得关键点的对应点，将所有对应点，顺次连接，即得轴对称图形（2）通过运用轴对称知识解决生活中的数学问题，体会数学的价值例题讲解例1 如图，每一对三角形ABC 和A ’B ’C ’的形状、大小完全相同。
（1）哪些图形是旋转对称图形？（2）在旋转对称图形中，哪些图形是中心对称图形？并指出这些图形的对称中心难度等级：A 解：（1）图形甲、乙、丙都是旋转对称图形。
教案-七年级数学-19图形的翻折
名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置线段是2条垂直平分线或线段所在的直线角是1条角平分线所在的直线长方形是2条对边中线所在的直线正方形是4条对边中线所在的直线和对角线所在的直线圆是无数条直径所在的直线平行四边形不是0条【例题精讲】1、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
2、2、画出下列图形的对称轴。
3、如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′.下列判断错误的是()A．AB＝A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′＝120°4、如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．50°B．30°C．100°D．90°（第4题）（第5题）5、做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合，对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．由上述操作可得出的是________．(将正确结论的序号都填上)【知识巩固】1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）A．B． C．D．2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列图案属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A．B．C．D．5．如图，直角△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5.5 D．106．下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．8．以下五家银行行标中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．有下列图形：（1）一个等腰三角形；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线．其中轴对称图形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个11．下列说法错误的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．轴对称图形至少有一条对称轴C．全等三角形一定能关于某条直线对称D．角是轴对称的图形12．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM13．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A．1条B．2条C．3条D．4条14．以下微信图标不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．15．下列说法中，正确的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称16．中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩．下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）A．B．C． D．17．义务教育阶段，我们学习了很多平面几何图形，有一种美丽的图形，它具有独特的对称美，有无数条对称轴，这种图形是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形 D．圆18．下列的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个19．如图，点N1，N2，…，N8将圆周八等分，连接N1N2，、N1N8、N4N5后，再连接一对相邻的两点后，形成的图形不是轴对称图形，则连接的这条线段可能是（）A．N2N3 B．N3N4 C．N5N6 D．N7N820．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形21．一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码．22．等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴．23．从数学对称的角度看，下面的几组大写英文字母：①ANEC；②RBSM；③XIHZ；④ZDWH，不同于另外一组的是．24．如图，三角形1与和成轴对称图形，整个图形中共有条对称轴．25．在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是．26．下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是（填序号）27．如图，已知正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．28．如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是．29．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的面积是．30．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．31．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种．【课后小结】参考答案。
11.5翻折与轴对称图形课件
（1）解：因为点M，N分别是点P关于直线OA， OB的对称点， 所以ME＝PE，NF＝PF. 所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20 cm， 即△PEF的周长是20 cm.
（2）解：如图，设MP与OA相 交于点R，PN与OB相交于点T.
由(1)知ME＝PE，NF＝PF， 所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN. 易得∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N. 由题知∠PRE＝∠PTF＝90°， 所以在四边形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°. 因为∠MPN＋∠M＋∠N＝180°， 所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°. 所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝ 180°－2(∠M＋∠N)＝180°－35°×2＝110°.
如图11-22,三角形ABC沿直线l翻折得三角形A'B'C',点A与点
A',叫做对应点,线段AB与线段A'B'叫做对应线段，∠A与∠A' 叫做对应角，点B的对应点是___B_'____线段AC的对应线段
是__A_'_C'____;∠C的对应角是__∠__C_'___.
A
C l A'
C'
B
B'
翻折运动和平移运动所得图形的形状与大小没有产生 变化，但两种运动后对应顶点的相对位置不同
当堂练习 1.如图，关于虚线成轴对称的有( B )组．
A．1
B．2
3
D．4
2.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后 得到折痕l，则l是△ABC的( C ) A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上都不是
3.如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中 虚线剪下，剪下的图形展开后可得到( C )
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约旦
英国
加拿大
肯尼亚
瑞典
也门
0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
下列英文字母中，哪些是轴对称图形？
A I Q Y
B J R Z
C K S
D L T
E M U
F N V
G O W
H P X
中国的汉字有没有轴对称图形？
王 申 木 呈 土 十
中 目
① 线段是轴对称图形吗？ 如果是，找出它的对称轴。 ② 角是轴对称图形吗？ 如果是，找出它的对称轴。
七年级第一学期第十一章图形的运动
11.5 翻折与轴对称(1)
如图，将ΔABC通过怎样的运动得到ΔA1B1C1？点A的对 应点是哪一点？
A
A1
8
B
B1
6
4
C
C1
2
（1）点B与 是对应点，点 与点C1是对应点； （2）线段AC的对应线段是 ，线段BC和线段B1C1是 （3） 和∠B1是对应角，∠C的对应角是 ； （4）线段AB的长 线段A1B1的长，∠A ∠A1
-15 -10 -5 -2
；
5
两个图形关于一条直线成轴对称:
A A1
8
B
B1
6
4
C
C1
2
如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合， 那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 对称轴。两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。
-2 -4 -6
-15
-10
-5
5
-8
——中国独特的民间工艺
轴对称图形
两个图形关于一条直线成 轴对称 如果把一个图形沿某一 条直线翻折，能与另一 个图形重合，那么叫做 这两个图形关于这条直 线成轴对称
两个图形特殊的位置关系， 只有一条对称轴。
定义
把一个图形沿某一条 直线翻折过来,直线两 旁的部分能够完全重 合,这个图形叫做轴对 称图形.
一个图形的特殊性质， 至少有一条对称轴。
猜测： 线段是轴对称图形.Leabharlann 它的垂直平分线就是它的对称轴.
B B BBB BBB B BB B B B B BB BB B AB
猜测： 角是轴对称图形.
它的角平分线所在的直线就是它的对称轴.
A
O
B
矩形
正方形 等腰三角形
等边三角形
圆
等腰梯形
平行四边形
辨认以下的图形是不是对称轴图形，如果是， 则画出它所有的对称轴。
观察下列图形有什么共同特征:
轴对称图形:
如果一个图形沿着某一条直线翻折 后，直线两旁的部分能够相互重合，那 么这个图形叫做轴对称图形，这条直线 就是它的对称轴。
找出下列图形的对称轴
以上图形是轴对称图形吗? 如果是,找出它的对称轴.
你还能举出生活中具有轴 对称特征的图形吗？
轴对称图形欣赏
摩洛哥
区别
沿对称轴翻折重合
联系
如果把轴对称图形沿对称 轴分成两部分，那么这两 部分就是关于这条直线成 轴对称。
如果把两个成轴对称的图形拼 在一起，看成一个整体，那么 它就是一个轴对称图形。
说说我们的收获吧……
请谈谈这节课的体会与感受。
作业: 必做题：练习册11.5 选做题：请你在正方形纸片上 一刀剪出一个“十”字形来。 拓展题：请你设计一个班徽