1.4生活中的优化问题举例【备用】精品PPT课件
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l l2 当x 时, S取最小值 . 最小值为 . 2 32
问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润 有影响吗?
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半 径,单位是厘米.已知每出售1ml的饮料,制 造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子 的最大半径为6cm.
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如 何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V 则h . 2 R R V S ( R ) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R 2V 由S ( R ) 2 4R 0. 解得R 3 V . R 2
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切 去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折 起，做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长 为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
解 设箱底边长为 x,
60 x 则箱高为 h 2
练习1：一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形的面 积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 则两个正方形面积和为 其中0<x<l， x 2 lx 2 1 2 2 S s1 s2 ( ) ( ) (2 x 2lx l ) 16 4 4 1 1 l S (4 x 2l ) (2 x l ) 令S 0, 得x 2 16 8 由问题的实际意义可知：
60 40 V (40) 40 ( ) 2 3 16000(cm)
问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润 有影响吗?
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半 径,单位是厘米.已知每出售1ml的饮料,制 造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子 的最大半径为6cm.
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如 何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V 则h . 2 R R V S ( R ) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R 2V 由S ( R ) 2 4R 0. 解得R 3 V . R 2
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切 去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折 起，做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长 为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
解 设箱底边长为 x,
60 x 则箱高为 h 2
练习1：一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形的面 积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 则两个正方形面积和为 其中0<x<l， x 2 lx 2 1 2 2 S s1 s2 ( ) ( ) (2 x 2lx l ) 16 4 4 1 1 l S (4 x 2l ) (2 x l ) 令S 0, 得x 2 16 8 由问题的实际意义可知：
60 40 V (40) 40 ( ) 2 3 16000(cm)
1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1
半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
1.4_生活中的优化问题举例ppt课件
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
ln
x
1
1 (x
1)2
x2
1
2 3
(1
x)3
成立.
28
小。
5
解法二：由解法(一)得
S(x) 2x 512 8 2 2x • 512 8
x
x
232 8 72
当且仅当2x 512 ,即x 16(x 0)时S取最小值
此时y=
128 16
x
8
答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小
6
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3
,
x2
2
2
3 3
.
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
23 3
时,S( x)max
32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3.
2
9 23
2
2
因此，当 r R 时，磁道具有最大的存储量，最大
2
存储量为 pR 2 .
2mn
16
课堂小结
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本 思路是：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
1.4生活中的优化问题举例(共81张PPT)
一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
生活中的优化问题举例-课件
• (1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的 文字叙述，理解叙述所反映的实际背景， 领悟实际背景中的数学本质，写出题中的 数量关系，实现应用问题向数学问题转 化．
• (2)引入数学符号，建立数学模型．一般地， 设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的 量，运用已掌握的数学知识、物理知识及 其他相关的知识，将问题中的数量关系表 示为一个数学关系式，实现问题的数学化， 即建立数学模型．
• [解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h， • 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2π2rπr2， 又圆柱的体积 V＝πr2h＝rS－22πr3，V′＝S－26πr2， 令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
• 1．解决实际应用问题时，要把问题中所 涉及的几个变量转化成函数关系式，这需 要通过分析、联想、抽象和转化完成，函 数的最值要由 极值 和 端点的函数值 确定，当定义域是开区间 且 函 数 只 有 一 个 极值时，这个极值也就是它的 最值 ．
• 2．生活中经常遇到求利润最大、用料最 省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题 ．通过前面的学习，我们知道导数 是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数 可以解决一些生活中的 优化问题 ．
• 现该公司准备共投入3百万元，分别用于广 告投入和技术改造投入，请设计一种资金 分配方案，使得该公司获得最大收益．
• (注：收益＝销售额－投入，答案数据精确 到0.01)
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
• [解析] 设3百万元中技术改造投入为x百 万元，广告费投入为(3－x)百万元，
∴f′(θ) ＝40a·(5－3cosθ)′·sinθs－in(25θ－3cosθ)·(sinθ)′ ＝40a·3－si5nc2θosθ. 令 f′(θ)＝0，得 cosθ＝35.
• (2)引入数学符号，建立数学模型．一般地， 设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的 量，运用已掌握的数学知识、物理知识及 其他相关的知识，将问题中的数量关系表 示为一个数学关系式，实现问题的数学化， 即建立数学模型．
• [解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h， • 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2π2rπr2， 又圆柱的体积 V＝πr2h＝rS－22πr3，V′＝S－26πr2， 令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
• 1．解决实际应用问题时，要把问题中所 涉及的几个变量转化成函数关系式，这需 要通过分析、联想、抽象和转化完成，函 数的最值要由 极值 和 端点的函数值 确定，当定义域是开区间 且 函 数 只 有 一 个 极值时，这个极值也就是它的 最值 ．
• 2．生活中经常遇到求利润最大、用料最 省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题 ．通过前面的学习，我们知道导数 是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数 可以解决一些生活中的 优化问题 ．
• 现该公司准备共投入3百万元，分别用于广 告投入和技术改造投入，请设计一种资金 分配方案，使得该公司获得最大收益．
• (注：收益＝销售额－投入，答案数据精确 到0.01)
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
• [解析] 设3百万元中技术改造投入为x百 万元，广告费投入为(3－x)百万元，
∴f′(θ) ＝40a·(5－3cosθ)′·sinθs－in(25θ－3cosθ)·(sinθ)′ ＝40a·3－si5nc2θosθ. 令 f′(θ)＝0，得 cosθ＝35.
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例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各 空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽， 从而列出海报四周的面 积来？
生活中的优化问题举例
一、如何判断函数的单调性？
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何求函数的极值与最值？
求函数极值的一般步骤
（1）确定定义域
（2）求导数f’(x)
（3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断
求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤：
解 : 设版心的高为xdm,则版心的宽为128 dm,此时四周空白面积为
S(x) (x 4)(128 2) 128
x
x
你还有其他解
2x 512 8, x 0 x
法吗？例如用 基本不等式行
求导数,得S
令：S ' (x) 2
'(
x)
512
2
0
512 x2
x2
不？
解得：x 16，x 1（6 舍）
16
8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
32
课本P373：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确 定它的高与底半径,使得所用材料最省?
解: 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
h
又V=πR2h(定值),
S
(
R)
2R
V
R 2
2R2
2V R
2R2.
R
由S
( R )
2V R2
4R
0.
解得R 3
V.
2
从而h
V
R 2
23
V
2
即h=2R.
答 :罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。
解决生活中的优化问题的基本步骤
1、建立实际问题的数学模型，写出函数 关系式 y f (x) ；
2、求函数的导数 f (x) ，求出极值点; 3、确定最大（小）值； 4、作答。
作业：课本P37习题1.4 A组1、2
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b） 比较,从而确定函数的最值。
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题通常称 为优化问题.通过前面的学习，我们知道， 导数是求函数最大（小）值的有力工具， 本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.
V
(40)
402
(
60
2
40
)
16000(cm)h3
x
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,
最大值为16000cm3
练习3
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20cm， 要使其体积最大，则其高为（ ） A
A. 20 3 B. 100 C. 20
3
20
D. 3
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：
h x
解： 设箱底边长为 x,箱子容积为
V (x) x2 (60 x) (0 x 60)
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个
极大值就是函数V (x)的最大值.
课本P371、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个
正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长 度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
x)2 4
1 16
(2x2
2lx l 2 )
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
2
2
y′=-x+20 令y′=0得,x=20
当0<x<20时,y′>0,当20<x<40时,=200. 答:靠墙的一面长20 m时,围成的场地面积最大,为200 m2.
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少?
x
x
2 32 8 72
当且仅当2x 512 ,即x 16(x 0)时S取最小值
此时y=
128 16
x
8
答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。
2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值.
于是宽为：128 128 8 x 16
当x 0,16时，s' x 0；
当x 16, 时，s' x 0.
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最 小。
解法二：由解法(一)得
S(x) 2x 512 8 2 2x • 512 8
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 形，则这个矩形面积的最大值为多少？
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
S（x） x（ 6 x） 6x x（2 0 x 6) S(x) 6 2x（0 x 6) 令S(x) 0，解得x 3 当S(x) 0时,得0 x 3 S(x)在(0,3)上是单调递增的, S(x)在(3,6)是单调递减的 S(x)在x 3cm处取到最大值S(3) 9cm2 答 :当矩形是正方形时,它的面积最大为9cm2
结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。
变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形
场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围
成的场地面积最大?
解 : 设靠墙的一面长x m,围成的场地面积为y m2,
此时矩形的宽为 40 x 0. 2
y x 40 x 1 x2 20x.(0 x 40)