2020-2021学年人教A版数学选修-学案-1.1.1-变化率问题-1.1.2-导数的概念-含解析

1．1变化率与导数

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念

内容标准学科素养

1.了解导数概念的实际背景；

2.会求函数在某一点附近的平均变化率；

3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

强化数学概念

完善逻辑推理

提升数学运算

授课提示：对应学生用书第1页

[基础认识]

知识点一函数的平均变化率

预习教材P2－3，思考并完成以下问题

假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直

角坐标系，A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)

表示．

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此

时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标

为(x2，y2)．

(1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？

提示：自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数的改变量为y2－y1，记作Δy.

(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？

提示：对山路AB来说，用

Δy

Δx

＝

y2－y1

x2－x1

可近似地刻画其陡峭程度．

知识梳理函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

(1)定义式：

Δy

Δx＝

f(x2)－f(x1)

x2－x1

.

(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

表示割线P 1P 2的斜率． 知识点二 瞬时速度

预习教材P 4－6，思考并完成以下问题

1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2， v ＝Δs

Δt

＝10＋5Δt .

2．当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs

Δt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．

知识梳理 瞬时速度

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为

Δs

Δt ＝

s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs

Δt

无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0

时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs

Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)

Δt

.

知识点三 函数在某点处的导数

知识梳理 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)

＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

. 思考：1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的大小与曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的“陡峭”程度有什么关系？

提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然． 2．函数的平均变化率是固定不变的吗？

提示：不一定，在平均变化率中，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同．事实

上，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，根据平均变化率的几何意义可知，函数的平均变化率一般情况下是不相同的．

3．瞬时速度与平均速度有什么区别和联系？

提示：区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．

联系：瞬时速度是平均速度的趋近值． 4．如何理解Δx →0?

提示：(1)“Δx →0”的意义：|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δx ≠0. (2)当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x

0)

Δx

无限接近．

[自我检测]

1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于( ) A ．6＋Δt

B ．6＋Δt ＋9

Δt

C ．3＋Δt

D ．9＋Δt

解析：平均速度为v ＝(3＋Δt )2＋3－(32＋3)

3＋Δt －3＝6＋Δt .故选A.

答案：A

2．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6

B ．18

C ．54

D ．81

解析：Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32

Δt

＝18＋3Δt ，

s ′＝lim Δt →0 Δs

Δt ＝lim Δt →0

(18＋3Δt )＝18.故选B. 答案：B

3．已知函数f (x )＝

1

x

，则f ′(1)＝________. 解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)

Δx ＝lim Δx →0 1

1＋Δx

－1Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋

1＋Δx )

＝－12

.

答案：－12

授课提示：对应学生用书第2页