2020-2021学年人教A版数学选修-学案-1.1.1-变化率问题-1.1.2-导数的概念-含解析

1．1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念内容标准学科素养1.了解导数概念的实际背景；2.会求函数在某一点附近的平均变化率；3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.强化数学概念完善逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第1页[基础认识]知识点一函数的平均变化率预习教材P2－3，思考并完成以下问题假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系，A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．(1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数的改变量为y2－y1，记作Δy.(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？提示：对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．知识梳理函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率． 知识点二 瞬时速度预习教材P 4－6，思考并完成以下问题1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2， v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt .2．当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．知识梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数知识梳理 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 思考：1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的大小与曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的“陡峭”程度有什么关系？提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然． 2．函数的平均变化率是固定不变的吗？提示：不一定，在平均变化率中，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同．事实上，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，根据平均变化率的几何意义可知，函数的平均变化率一般情况下是不相同的．3．瞬时速度与平均速度有什么区别和联系？提示：区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度的趋近值． 4．如何理解Δx →0?提示：(1)“Δx →0”的意义：|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δx ≠0. (2)当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x0)Δx无限接近．[自我检测]1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于( ) A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：平均速度为v ＝(3＋Δt )2＋3－(32＋3)3＋Δt －3＝6＋Δt .故选A.答案：A2．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81解析：Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt＝18＋3Δt ，s ′＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(18＋3Δt )＝18.故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.答案：－12授课提示：对应学生用书第2页探究一 求函数的平均变化率[例1] (1)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则ΔyΔx 的值为( )A ．－0.11B ．－1.1C ．3.89D ．0.29(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．[解析] (1)∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11，∴ΔyΔx ＝－1.1.(2)v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象可知，k OA ＜k AB ＜k BC . (3)∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. [答案] (1)B (2)v 1＜v 2＜v 3 (3)28π3方法技巧 求函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率的步骤 (1)求自变量的增量Δx ＝x －x 0.(2)求函数的增量Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.提醒：Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.跟踪探究 1.一运动物体的运动路程s (x )与时间x 的函数关系为s (x )＝－x 2＋2x . (1)求运动物体从2到2＋Δx 这段时间内的平均速度v ； (2)若v ＝－3，求Δx ； (3)若v ＞－5，求Δx 的范围． 解析：(1)因为s (2)＝－22＋2×2＝0，s (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2， 所以v ＝s (2＋Δx )－s (2)2＋Δx －2＝－2－Δx .(2)由(1)，令－2－Δx ＝－3，解得Δx ＝1. (3)由(1)，令－2－Δx ＞－5，解得Δx ＜3. 即Δx 的范围为(－∞，3)． 探究二 求瞬时速度[例2] 如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．[解析] Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22) ＝4.8Δt ＋2(Δt )2， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(4.8＋2Δt )＝4.8，即s ′|t ＝1.2＝4.8.故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 延伸探究 1.试求该物体在t 0时的瞬时速度．解析：∵Δs ＝2[1＋(t 0＋Δt )2]－2(1＋t 20)＝4Δt ·t 0＋2(Δt )2，∴s ′|t ＝t 0＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(4t 0＋2Δt )＝4t 0.∴此物体在t 0时的瞬时速度为4t 0 m/s. 2．物体在哪一时刻的瞬时速度为12 m/s? 解析：∵s ′|t ＝t 0＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(4t 0＋2Δt )＝4t 0， ∴由4t 0＝12得t 0＝3，∴此物体在3 s 时的瞬时速度为12 m/s. 方法技巧 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．跟踪探究 2.已知自由下落物体的运动方程是s ＝12gt 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，求：(1)物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度； (2)物体在t 0时的瞬时速度；(3)物体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度； (4)物体在t ＝2 s 时的瞬时速度． 解析：(1)平均速度为Δs Δt ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20Δt ＝gt 0＋12gΔt . (2)瞬时速度为lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →0 ⎝⎛⎭⎫gt 0＋12gΔt ＝gt 0. (3)由(1)得物体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度为g ×2＋12g ×0.1＝4120g .(4)由(2)得物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为g ×2＝2g . 探究三 求函数在某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x ＋5在x ＝2处的导数．[解析] 当x ＝2时，Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝⎛⎭⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2＋－Δx 2(2＋Δx ). 所以Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx.所以y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2×0＝154.延伸探究 本例中若已知该函数在x ＝a 处的导数为0，试求a 的值． 解析：当x ＝a 时，Δy ＝(a ＋Δx )2＋1a ＋Δx ＋5－⎝⎛⎭⎫a 2＋1a ＋5＝2aΔx ＋(Δx )2＋－Δx a (a ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝2a ＋Δx －1a 2＋aΔx，所以lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋Δx －1a 2＋aΔx ＝2a －1a 2， 所以2a －1a 2＝0，a ＝342.方法技巧 用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．跟踪探究 3.已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x . (1)求函数在x ＝3处的导数；(2)若函数在x 0处的导数是12，求x 0的值．解析：(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx .所以Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16，所以y ′|x ＝3＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. (2)根据导数的定义f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0＝2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx ＝lim Δx →0 4x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4Δx Δx ＝lim Δx →0 (4x 0＋2Δx ＋4) ＝4x 0＋4，所以f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.授课提示：对应学生用书第3页[课后小结](1)理解平均变化率要注意以下几点：①平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．②为求点x 0附近的平均变化率，上述表述式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．③函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．(2)利用导数定义求导数：①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．[素养培优]对导数的定义理解不清致错设f (x )为可导函数，且f ′(2)＝12，则lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )h 的值为( ) A ．1B ．－1 C.12D ．－12易错分析：本题考查函数的定义．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，容易错误地认为lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )2h ＝f ′(2)而丢分，考查学生的定义掌握，数学运算等学科素养．自我纠正：lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )h ＝－2lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )－2h ＝－2f ′(2)＝－2×12＝－1.答案：B。