高三数学分类讨论的思想(第9讲)
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第 9 讲 分类讨论的思想
【开心自测】
已知
4:2
2=+y x C 圆， （1）过点)3,1(-的圆的切线方程为________________. （2）过点)0,3(的圆的切线方程为________________. （3）过点)1,2(-的圆的切线方程为________________. （4）斜率为－1的圆的切线方程为__________________.
【教学重难点】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论
题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
【秒杀方略】
当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
1. 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 2. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的全域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论．
4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n 项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
【金题精讲】
1.问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论 【例1】设0>a ，函数|1ln |)(2
-+=x a x x f .
(1) 当1=a 时,求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值.
【解析】（1）当1=a 时，|1ln |)(2
-+=x x x f
令1=x 得 ,1)1(,2)1(='=f f 所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为：01=+-y x 。
（2）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2
，x
a
x x f +
='2)( )(e x ≥ 0>a ，0)(>∴x f 恒成立。 )(x f ∴在),[+∞e 上增函数。
故当e x =时，2
m in )(e e f y ==
② 当e x <≤1时，1ln )(2+-=x a x x f ，
)2
)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-
='（e x <≤1） （i ）当
,12
≤a