六年级寒假班-第1讲：有理数-教师版

有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关
概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解．
1、 正数和负数
在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量． 2、 有理数的概念
整数和分数统称为有理数． 3、 有理数的分类
按意义分：⎧⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎨⎩
⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数
整数零负整数
有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪
⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数． 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2
）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
有理数
内容分析
知识结构
模块一：有理数的意义
知识精讲
【例1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？
（1）10元；（2）3.5元；（3）100
-元；（4）0元．
【难度】★【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元；
（3）支出100元；（4）没有收入也没有支出．
【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量，常见的具有相反意义的量：收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等．【总结】本题考查了正数和负数的意义．
【例2】下列说法错误的是（）
A．收入200元和支出300元是相反意义的量
B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量
C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量
D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量
【难度】★【答案】C
【解析】粮食和水是两回事，故C错误．
【总结】本题考查了具有相反意义的量．
【例3】下列说法中正确的是（）
A．正有理数和负有理数组成了全体有理数
B．在有理数中，零的意义仅表示没有
C．所有的小数都是有理数
D．0既不是正数也不是负数
【难度】★【答案】D
【解析】有理数按正负可分为：正有理数、零、负有理数；有理数按意义可分为：整数和分数；无限不循环小数是无理数．
【总结】本题考查了有理数的分类及意义．
【例4】把下列各数填入它所属的圈内：
10
-，69， 1.7
-，4
5
，
2
7
9
，0，46%，0．76，
2
3
-，
15
8
．
例题解析
正数负数
【难度】★【答案】正数：69、4
5
、
2
7
9
、46%、0.76、
15
8
；负数：10
-、 1.7
-、
2
3
-．
【解析】根据有理数的分类填写即可．【总结】本题考查了有理数的分类．
【例5】下列各数中，哪些是正数？哪些是整数？哪些是非负数？哪些是有理数？
8-，0.126，0，22
7
，()2
--，4.5，
1
2
-，101.0101，π，20．
【难度】★★
【答案】正数：0.126、22
7
、()2
--、4.5、101.0101、π、20；
整数：8-、0、()2
--、20；
非负数：0.126、0、22
7
、()2
--、4.5、101.0101、π、20；
有理数：8-、0.126、0、22
7
、()2
--、4.5、
1
2
-、101.0101、20．
【解析】根据正数、整数、有理数的意义分类填写
【总结】本题考查了有理数的意义和分类．
【例6】回答问题：
（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？
（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？
（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？
【难度】★★
【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；
（3）没有，有．
【解析】正确的有理数分类．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．
【例7】改写下列各句，使其不含负数：
（1）海平面上升了0.8
-米表示_____________________；
（2）公交车向北行驶了5
-千米表示______________________．
【难度】★★
【答案】（1）海平面下降了0.8米；（2）公交车向南行驶了5千米．
【解析】上升对应的相反意义的量是下降；向北对应的相反意义的量是向南． 【总结】本题考查了正负数的意义及具有相反意义的量．
【例8】 某市2016年元旦的最高气温为2C ︒，最低气温为8C -︒，那么这天的最高气温比
最低气温高______C ︒．
【难度】★★【答案】C 10．
【解析】由题意最高气温减去最低气温，即可得到答案，()1082=--． 【总结】本题考查了有理数的意义及简单运算．
【例9】 观察下列数列，填上空缺的数．
（1）1，1-，2，2-，3，______，______，______； （2）1，2-，3，4-，5，______，______，______． 【难度】★★【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8． 【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可；
（2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号． 【总结】本题考查了按规律填数．
【例10】 在一次数学测验中，小智所在班的平均分为87分，把高于平均分的高出部分记为
正，
（1）小智得了94分，应记作多少分？
（2）小智的同学小方得分被记作8-分，他的实际成绩是多少分？ 【难度】★★【答案】（1）7+分；（2）79分．
【解析】根据正负数在日常生活中常用来表示具有相反意义的量； （1）小智得了94分，应记作787-94+=； （2）小方被记作8-分，他实际得分是79887=-． 【总结】本题考查了根据正负数的意义解答简单实际问题的能力．
【例11】 某中学对初一男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数
（1）这8名男生有几人达标？ （2）达标的百分比是多少？ 【难度】★★★
【答案】（1）达标的成绩为2、0、3、1、0，达标人数有5人；（2）达标率为()%5.62%10085=⨯÷． 【解析】（1）根据非负数是达标人数即可；（2）达标人数除以总人数即可． 【总结】本题考查了正数和负数及百分数的应用．
【例12】 若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后
记为正．例如9 : 15记为1-，10 : 45记为1等，依次类推，上午7 : 45应记为（ ）
A ． 3.15-
B ．3-
C ． 2.15-
D ．7.45-
【难度】★★★【答案】B
【解析】 10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个单位时间单位； ∴上午45:7与10时相隔135分，即3个单位；应记为3-．故选B ． 【总结】本题考查了正负数的意义．
1、 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数
只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．
【例13】 指出下列数轴上的的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数． 【难度】★ 【答案】
数轴上的D C B A 、、、各点分别表示113442
--、、、．
模块二：数轴
知识精讲
例题解析
【解析】任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示． 【总结】本题考查了数轴上的点表示数．
【例14】 用数轴上的点分别表示4-，5，1
22
-，3.2以及它们的相反数，并用“<”把它们
连接起来．
【难度】★【答案】
如图所示4-，5，1
22-，3.2的相反数分别是4，5-，122， 3.2-，
大小顺序为：11
54 3.222 3.24522
-<-<-<-<<<<．
【解析】见上图．【总结】本题考查了数轴上的点表示数以及相反数的概念．
【例15】 下列各数中，哪些数是相等的？哪些数互为相反数？
2.3，5-，112-，3210，4.5，5，1
12， 3.2-．
【难度】★
【答案】相等的有：3.2与1032
；互为相反数的有：5-与5、211-与2
1
1． 【解析】相等的量及互为相反数的量定义． 【总结】本题考查了有理数的互化及相反数的意义．
【例16】 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示：
（1）在数轴上作出它们的相反数；
（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来． 【难度】★★【答案】见解析． 【解析】（1）
只有符号不同的两个数互为相反数．
（2）b a a b <-<<-，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大． 【总结】本题考查了相反数的定义及有理数的大小比较．
3
2
1
【例17】 以下叙述中，正确的是（ ）
A ．正数和负数互为相反数
B ．表示相反意义的量的两个数互为相反数
C ．任何有理数都有相反数
D ．任何有理数都有倒数 【难度】★★【答案】C
【解析】只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互 为相反数；0没有倒数．
【总结】本题考查了正负数的意义及应用．
【例18】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离为2个单位，则a =______． 【难度】★★【答案】2±．
【解析】到原点的距离为2个单位的点即2±． 【总结】本题考查了数轴的应用．
【例19】 数轴上有A ，B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A ，B 两点的距离为3个单位，
求点B 对应的数．
【难度】★★【答案】1，5-．
【解析】解：设点B 对应的数为x ，由题意得：32=--x ，解得：5-=x 或1． 【总结】本题考查了数轴的应用及意义．
【例20】 如图，如果数a 到原点的距离是数b 到原点的距离的3倍，则数轴的原点可能是A ，
B ，
C ，
D 【难度】★★★ 【答案】点C 或点D ．
【解析】由题意得：b a 3=，根据图形分以下两种情况讨论， ①当31a b =-=，时，数轴的原点为C 点； ②当62a b =-=-，时，数轴的原点为D 点． 【总结】本题考查了数轴的知识应用．
1、 绝对值的概念
一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达
用符号a 表示数a 的绝对值． ()
()()
0000a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪
-<⎩
3、 有理数的比较大小
正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．
【例21】 求1.3，7-，355
，0，1
24-的绝对值．
【难度】★
【答案】33111.3 1.3-775
500-225544
=====；；；；． 【解析】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 【总结】本题考查了绝对值的计算．
【例22】 下列结论中，正确的是（ ）
A ．一个数的相反数一定是负数
B ．一个数的绝对值一定不是负数
C ．一个数的绝对值一定是正数
D ．一个数的绝对值的相反数一定是负数
【难度】★【答案】B 【解析】0≥a ．【总结】本题考查了绝对值的意义．
模块三：绝对值
知识精讲
例题解析
【例23】 绝对值小于3的整数有______个，分别为____________________． 【难度】★【答案】5；012±±，，．
【解析】因为3<a ，且a 为整数；所以012a =±±，，，故有5个． 【总结】本题考查了绝对值的意义．
【例24】 已知3x =，那么x =______． 【难度】★【答案】3±． 【解析】因为3=x ，故3±=x ．
【总结】本题考查了绝对值的意义及计算．
【例25】 如图，a 、b 为数轴上两点表示的有理数，则在a b +，2b a -，a b -，b a -中，
负数有几个？
【难度】★★【答案】0个．
【解析】由题意得：00a b a b <><，，；
则0>+b a ；02>-a b ；0>-b a ；0>-a b ．故均为正数． 【总结】本题考查了有理数绝对值意义及大小比较．
【例26】 判断题：
（1）a a -=；（ ） （2）a a -=-；（ ）
（3）a a
a
a
=
（0a ≠）；（ ） （4）若a b =，则a b =；（ ） （5）若a b =，则a b =；（ ） （6）若a b >，则a b >；（ ） （7）若a b >，则a b >；（ ） （8）若a b >，则b a a b -=-．（ ）
【难度】★★【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）
√．【解析】 0a ≥，由绝对值的性质和意义可得，举反例即可．
【总结】本题考查了绝对值的意义．
【例27】 设数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，则b a a c c b -+++-化简后的结果
为多少？
【难度】★★【答案】c 2-．
【解析】先判断绝对值里的正负，再由性质进行去绝对值运算；
由数轴得：000b a a c c b -<+<-<，，，故原式()()()2b a a c c b c =---+--=-． 【总结】本题考查了绝对值的性质．
【例28】 已知2x <-，求11x -+化简后的结果． 【难度】★★★【答案】x --2．
【解析】由2-<x ，则01<+x ，所以111122x x x x -+=++=+=--． 【总结】本题考查了含绝对值符号的化简．
【例29】 如果3a =，5b =，求a b a b +--的绝对值． 【难度】★★★【答案】6．
【解析】解：由题意得：35a b =±=±，；
分情况讨论：如当3,5a b ==时，原式6=，其绝对值为6；同理即可得其它情况均为 6．
【总结】本题考查了绝对值的计算及应用．
【例30】 化简： （1）x ；
（2）2x -；
（3）424x x ++-．
【难度】★★★【答案】见解析．
【解析】（1） ①当0≥x 时，x x =；②当0<x 时，x x -=． （2） ①当2>x 时，22-=-x x ；②当2=x 时，02=-x ； ③当2<x 时，x x -=-22．
（3）①当4-<x 时，原式()()x x x 3424-=--+-=； ②当24≤≤-x 时，原式()8424+-=--+=x x x ；
③当2>x 时，原式x x x 3424=-++=．
【总结】本题主要考查零点分段法的运用，解题时注意要分类讨论，综合性较强，老师可以 选择性讲解．
【习题1】 把下列各数填入它所属的圈内：
17-，12，2-，914，10
7-，0.5， 2.32-，30-，101，2．333． 【难度】★ 【答案】见解析 12，101 71-，2-，7
10
-，32.2-，
30-
【解析】
149，5.0，333.2 12，14
9
，5.0，101，333.2
【总结】本题考查了整数的分类．
【习题2】 填空：
（1）某水库的水位上升3米，记作3+米，那么水位下降4米，记作______米； （2）如果规定向东走为正，那么走了5-千米的意义是__________________________； （3）如果20%+表示增加20%，那么5%-表示_________________；
（4）时钟的分针顺时针方向旋转了90︒记作90-︒，那么逆时针方向旋转180︒记作______． 【难度】★【答案】（1）4-；（2）向西走5千米；（3）降低%5；（4） 180+． 【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【总结】本题考查了正负数的意义．
【习题3】 判断：
（1）整数包括正整数和负整数；（ ） （2）比正有理数小的数是负有理数；（ ） （3）a -一定是负数；（ ）
随堂检测
正整数
负数
正分数
非负数
（4）一个数的相反数的相反数是它本身．（ ） 【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√．
【解析】有理数按意义可分为整数和分数；按正负可分为正有理数，0，负有理数． 【总结】本题考查了有理数的意义和分类．
【习题4】 用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来．
（1）3的相反数；（2）213的相反数；（3）2
3-的相反数的倒数；
（4）0；（5）4-的绝对值；（6）4-的绝对值的相反数． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】
A 代表3-；
B 代表321-；
C 代表23
；D 代表0；E 代表4；F 代表4-．
42
3
032134<<<-<-<-．
【总结】本题考查了绝对值的意义及大小比较． 【习题5】 求下列各数的绝对值： （1）25-；
（2）0.35；
（3）a （a < 0）； （4）3b （b > 0）； （5）2a -（a < 2）；
（6）a b -．
【难度】★★【答案】见解析．
【解析】（1）25；（2）35.0；（3）a -；（4）b 3；（5）a -2；
（6）分类讨论：当b a >时，其绝对值为b a -；当b a =时，其绝对值为0； 当b a <时，其绝对值为a b -． 【总结】本题考查了绝对值的运算，注意（6）要分类讨论．
【习题6】 按一定规律填数：
（1）16，8-，4，______，______，1
2
-；
（2）1，2，3-，4，5，6-，7，8，9-，_____，_____，…，_______(第2016个数)． 【难度】★★【答案】（1）2-，1；（2）10，11，2016-． 【解析】符号和数字分开看． 【总结】本题考查了按规律填数．
【习题7】 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则在a b +、2b a -、b a -、a b -、2a +、
4b --中，负数共有几个？
【难度】★★【答案】3．
【解析】由数轴得：0,0><b a ，b a >，则0<+b a ，02>-a b ，0<-a b ， 0>-b a ，02>+a ，04<--b ；所以负数有3个． 【总结】本题考查了绝对值的性质．
【习题8】 3x -和2y +互为相反数，求x y +的值． 【难度】★★★【答案】1．
【解析】由题意得：023=++-y x ，所以3=x ，2-=y ；所以1=+y x ． 【总结】本题考查了绝对值的意义及性质，绝对值为非负数．
【习题9】 a ，b ，c 三点在数轴上的位置如图所示：
试判定
a b a b -+，a b a b +-，a bc
a bc
+-之间的大小关系． 【难度】★★★【答案】
b
a b
a c
b a cb a b a b a -+<
-+<+-． 【解析】由数轴，得：a b bc <<，因为b a cb a cb a b a +<-<+<-<0， 所以：1;1<-+<+--+<+-<
cb a cb a b a b a b a b a cb a cb a ，所以：b
a b
a c
b a cb a b a b a -+<
-+<+-． 【总结】本题考查了对数轴上的点的理解，以及有理数的大小比较．
【习题10】 如图所示，在数轴上有6个点，且AB = BC = CD = DE = EF ，则与点C 所表
示的数最接近的整数是多少？
【难度】★★★ 【答案】1
【解析】由F A 、两点所表示的数可知，16511=+=AF ， EF DE CD BC AB ==== ，
2.3516=÷=∴EF ，
∴E 点表示的数为8.72.311=-；点C 表示的数为：4.12.32.38.7=--； ∴与点C 所表示的数最接近的整数是1．
【总结】本题综合性较强，注意解题时认真分析，主要是利用线段间的关系，从而得到相应 的数．
【作业1】 在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？
4，5-，143
，56-，99，0，0．31，1
25-， 2.02-．
【难度】★【答案】整数：45990-，，，；正数：1
44990.313
，，，；负数：
5152 2.0265
----，，，；
有理数：4，5-，143
，56-，99，0，0．31，1
25-， 2.02-．
【解析】有理数按意义可分为整数和分数；按正负可分为正有理数，0，负有理数． 【总结】本题考查了有理数的分类．
【作业2】 填空：
（1）如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上
方10米处游动，用正负数表示表示潜水艇的高度为______，鲨鱼的高度为______；
（2）9点为基准，9点过半小时记作0.5+，则差半小时9点记作___________． 【难度】★
【答案】（1）40-米，30-米；（2）5.0-．
【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【总结】本题考查了正负数的意义．
【作业3】 最大的负整数是______，最小的正整数是______，最小的自然数是______，倒数
等于本身的数是______，相反数等于它本身的数是______．
【难度】★【答案】1-；1；0；1±；0．
【解析】正确理解有理数的意义分类，倒数和相反数的概念． 【总结】本题考查了有理数的有关概念及其分类．
课后作业
【作业4】 比较两个有理数的大小：
（1）0．33____13
；（2）114-____127-；（3）4-____142-；（4）；a ____1
a （01a <<）；
（5）3%____310；（6）2--____()2--；（7）172-____173-；（8）2-____1
3
． 【难度】★★
【答案】（1）<；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）<；（7）<；（8）>． 【解析】正确掌握分数、小数、百分数的互化，理解负数比较大小的方法：绝对值大的反而 小．【总结】本题考查了有理数的大小比较．
【作业5】 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示： 求
1a b -，1c b -，1a c
-中最大的数． 【难度】★★【答案】b
c -1
．
【解析】由题意得：a b c >>>0，于是0<-b a ，0>-b c ，0<-c a ，
因此111000a b c b a c <><---，，，所以在111a b c b a c ---，，
中，最大的是b c -1
． 【总结】本题考查了有理数的大小比较．
【作业6】 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图，则1c a c a b -+-+-化简后的
结果是多少？
【难度】★★【答案】b c +-21．
【解析】由数轴得：b a c <<<<-01，所以1000c a c a b -<->-<，，； 故原式()()b c b a c a c +-=---+--=211．
【总结】本题考查了数轴上不同位置的点大小关系及绝对值的化简．
【作业7】 已知a a =-，化简12a a ---． 【难度】★★【答案】1-．
【解析】由题意得：a a -=，故0=+a a ，又0≥a ，所以0≤a ； 所以1020a a -<-<，，原式()()121-=-+--=a a ．
【总结】本题考查了绝对值的化简．
【作业8】 比较有理数a 和
1
a
（0a ≠）的大小． 【难度】★★★【答案】见解析．
【解析】解：分类讨论：当1=a 或者1-=a 时，a
a 1=； 当1-<a 或10<<a 时，a a 1<
；当01<<-a 或1>a 时，a
a 1>． 【总结】本题考查了利用作差法比较两个有理数的大小，注意要分类讨论．
【作业9】 化简：253x x ++-
【难度】★★★【答案】见解析． 【解析】先计算052=+x ，2
5
-=x ；03=-x ，3=x ；
①当2
5
-<x 时，原式()()23352--=--+-=x x x ；
②当32
5
≤≤-
x 时，原式()()8352+=--+=x x x ； ③当3>x 时，原式()()23352+=-++=x x x ．
【总结】本题考查了去绝对值号的问题，注意化简时要分类讨论．
【作业10】 若29a =，87b =且a b a b +≠+，求a b -的值． 【难度】★★★【答案】116或58．
【解析】由题意得：8729±=±=b a ，，由于b a b a +≠+，故0<+b a 因此当29=a 时，87-=b ，()1168729=--=-b a ； 当29-=a 时，87-=b ，()588729=---=-b a ． 【总结】本题考查了绝对值的化简及运算，注意分类讨论．。