均值不等式求最值的常用技巧及习题
用均值不等式求最值的方法和技巧 完美

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ,求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
(故当1x =时,4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5)4、条件最值问题。
例4、已知正数x 、y 满足811x y+=,求2x y +的最小值。
解法一:(利用均值不等式)2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1018≥+=,当且仅当81116x y x yyx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立,故此函数最小值是18。
解法二:(消元法)由811x y+=得8x y x =-,由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。
当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立,故此函数最小值是18。
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)教学内容

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”)2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为 ________。
解:因为x >0,y>0,所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等号),于是13xy≤, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二:配凑项求 例2:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 (1) 当时,求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。
解:()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。
故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 当且仅当()2212x x =-,即x =时,上式取“=”。
利用均值不等式求最值问题

均值不等式: ab 如果 a , b R , 那么 ab (当且仅当 a b 时 , 取 " " 号) 2 1. 利用均值不等式求最值结论:积一定,和有最小值;和一定, 积有最大值。 2. 利用均值不等式求最值的条件:一正,二定,三相等。 练习: 3 1.若x>0,当x= 3 时,函数 y x 的最小值是 2 3 . x 2 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 小 值 12 . 3 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 5 时,函数有最 大 值是 6 . 4 x 3 1 4.已知 0 x 1,则 3x(1 x) 的最大值为 4 ,此时x= . 5 25 2 5 5.若 0 x ,当x = 时, y = x(5 – 2x)有最大值 . 4 2 8 x 2 y 2 6.若x>0,则 最大值为 . 书:练习,习题6.2 x 2 4
4800 4800 l 150 120(2 3x 2 3 ) 3 3x 1600 240000 720( x ) x
1600 x 240000 720 2 40 297600 4800 1600 40 时, l 有最小值297600. 当 x ,即x = 40, x 3x 因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造 价最低,最低总造是297600元. 240000 720 2 x
下列函数中,最小值为 的是C 4
4 A. f ( x) x x
4 B. f ( x) x , ( x (0,1]) x
C. f ( x) 3 4 3
x
x
D. f ( x) lg x logx 10
均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等";② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 (1) 当时,求(82)y x x =-的最大值.(2) 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值.解:()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=".故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和"的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积"的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
均值不等式八种技巧

运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。
解:()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。
故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解:y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 当且仅当()2212x x=-,即3x =时,上式取“=”。
故max 9y =。
评注:将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元,为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<,求函数()264y x x =-的最大值。
解:()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-,即x ==”。
故max3218827y ⨯=,又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段,变为“和”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,配项凑定积,创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-,求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解:()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式2 . 2®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时,号成立:2S + ZP)注:①注意运用均值不等式求最值时的条件:②熟悉一个重要的不等式链:-A-<v^<—<丄+丄2a b一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升慕等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点, 均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1⑴当0 <4时,求y = x(8-2x)的最大值。
(2)已知0vxvl,求函数y = -疋一/+兀+1的最大值。
解:y = -x2(x + l) + (x + l) = (x + l)(l-x2) = (x + l)2(l-x)当且仅当¥ = l — x,即x = |时,上式取“二”。
故儿琢°评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。
例2 求函数y = x2>J\-x2 (0<x<\)的最大值。
27当且仅当斗=(1 —/),即x = £时,上式取“二”。
故儿瘁=半。
2 3 9② a + b> 2y[cib <=> ab <(a、beRJ当且仅当&二b时,“日号成立:③ / + + c' »3abc 0 abc < -_"十"3/ d+/? + C、< 3 >(A)a + b + c>3y/abc <^> abc<(a、b、cer),当且仅当a二b二c时,“才号成立:(a、b、cwRT•当且仅当a = b = c时,“〜‘号成立.一“正”、二“定”、三“等”;=4•凹・斗1_归2 2x+i A+i 厶x y〒+〒+(宀)33227评注:将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元,为“拼凑定和”创造条件例3已知0vx<2,求函数y = 6x(4-x2)的最大值。
均值不等式求值的十种方法

均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 (1) 当时,求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。
解:()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。
故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
均值不等式求最值的十种方法

均值不等式求最值的十种方法用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立;②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c ba 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba112+2a b ab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 (1) 当时,求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<,求函数321y xx x =--++的最大值。
解:()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。
故max3227y=。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,当且仅当()2212x x =-,即6x =时,上式取“=”。
均值不等式求最值的十种方法

均值不等式求最值的十种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a b ab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 (1) 当时,求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。
解:()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。
故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y x x x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,当且仅当()2212x x =-,即x =时,上式取“=”。
利用均值不等式求最值常用技巧

(2) a b c 3 abc , (a, b, c R ) , abc a b c 3 。当且仅当 a=b=c 时,取等号。
3
3
6、熟悉一个重要的不等式链:
2 11
ab a b 2
ab
a2 b2 。 2
7、利用均值不等式求最值的条件: 一正、二定、三相等 ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值(和定积最大,积定和最小); ③必须有自变量值能使函数取到等号. 二、利用均值不等式求最值常用解题技巧
x
0,y
4x
9 x2
2x
2x
9 x2
3
3
2x 2x
9 x2
33 36
当且仅当 2x
9 x2
,即 x
3
36 2
时等号成立,所以当 x
3
36 2
时, ymin
33
36
。
技巧五:换元
例 1、求 y x2 7x 10 (x 1) 的值域。 x 1
解:令 t=x+1, y (t 1)2 7(t 1)+10 = t2 5t 4 t 4 5
例 1:求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
解:令 x2 4 t(t 2) ,则 y x2 5 x2 4 1 t 1 (t 2)
x2 4
x2 4
t
因 t 0, t 1 1 ,但 t 1 解得 t 1不在区间2, ,故等号不成立,考虑单调性。
t
t
因为 y t 1 在区间1, 单调递增,所以在其子区间2, 为单调递增函数,故 y 5 。
C.3 =,
D.3
∴a+2b=(s﹣1)+2(t﹣1)=s+2t﹣3,
用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析:21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=,当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。
评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值:①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析:①30,3202x x <<->∴,∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=,当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。
均值不等式练习题

利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(,,当且仅当a =b 时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目,可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时,求y x x =-()82的最大值。
解析:由04<<x 知,820->x ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值,故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-,即x =2时取等号。
所以当x =2时,y x x =-()82的最大值为8。
评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54,求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析:由题意知450x -<,首先要调整符号,又()42145x x --·不是定值,故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540, ∴f x x x x x ()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x · 当且仅当54154-=-x x,即x =1时等号成立。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10,即x >-1时y x x ≥+++=214159()·(当且仅当x =1时取“=”号)。
用均值不等式求值的方法和技巧

用均值不等式求值的方法和技巧————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2ab ab +≤≤≤222b a +。
三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项) 例1 求函数221632y x x =++的最小值.2、 配系数(乘、除项)例2 已知0,0x y >>,且满足3212x y +=,求lg lg x y +的最大值.3、 裂项例3 已知1x >-,求函数()()521x x y x ++=+的最小值.4、 取倒数例4 已知102x <<,求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求262x y +的最大值.6、 换元(整体思想) 例6 求函数225x y x +=+的最大值.7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是( ) .8、 巧组合例8 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 .9、 消元例9、设,,x y z 为正实数,230x y z -+=,则2y xz 的最小值是.几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2ab ab +≤≤≤222b a +。
均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①,、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立;④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 (1) 当时,求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<,求函数321y x x x =--++的最大值。
解:()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时,上式取“=”。
故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 当且仅当()2212x x =-,即6x =时,上式取“=”。
均值不等式求值的常用技巧及习题含解答:经典

均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”)2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为 ________。
解:因为x >0,y>0,所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等号),于是13xy≤, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二:配凑项求 例2:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”)2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为 ________。
解:因为x >0,y>0,所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等号),于是13xy≤, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二:配凑项求 例2:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
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利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为 ________。
解:因为x >0,y>0,所以34343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等号)1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y+的最小值.并求x ,y 的值解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二:配凑项求 例2:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
例3. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
解:当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。
变式:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
解:∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解:当,即时,41)591y x x ≥+⨯=+((当且仅当x =1时取“=”号)。
练习:1、已知01x <<,求函数(1)y x x =-.;2、203x <<,求函数(23)y x x =-技巧三:“1”的巧妙利用(常数代换) 错解..:0,0x y >>,且191x y +=,∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因:解法中两次连用基本不等式,在2x y xy +≥等号成立条件是x y =,在1992x y xy+≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误。
因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解:190,0,1x y x y >>+=,()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时,上式等号成立,又191x y +=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。
变式: (1)若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ,求y x +的最小值2:已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值。
(3) 设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项,则的最小值为( ). A .8 B .4 C . 1 D .14解析:因为333=⋅ba,所以1=+b a 。
又0,0,a b >>所以4222)11)((11=⋅+≥++=++=+ba ab b a a b b a b a b a ,当且仅当b a a b =即21==b a 时取“=”。
故选(B).技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()af x x x=+的单调性。
例:求函数2y =的值域。
(2)t t =≥,则2y =1(2)t t t ==+≥因10,1t t t >⋅=,但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52y ≥。
所以,所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.(1)231,(0)x x y x x++=> (2)12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈ 的最大值.技巧六、已知x ,y 为正实数,且x 2+y 22=1,求x 1+y 2 的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab ≤a 2+b 22。
同时还应化简1+y 2 中y 2前面的系数为 12, x1+y 2 =x 2·1+y 22=2x ·12 +y 22下面将x ,12 +y 22 分别看成两个因式: x ·12 +y 22 ≤x 2+(12 +y 22)22 =x 2+y 22 +12 2=34即x1+y 2 = 2 ·x12 +y 22 ≤ 342技巧七:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:a =30-2b b +1 , ab =30-2b b +1 ·b =-2 b 2+30bb +1由a >0得,0<b <15令t =b +1,1<t <16,ab =-2t 2+34t -31t =-2(t +16t )+34∵t +16t≥2t ·16t=8∴ ab ≤18 ∴ y ≥118当且仅当t =4,即b =3,a =6时,等号成立。
法二:由已知得:30-ab =a +2b ∵ a +2b ≥22 ab ∴ 30-ab ≥22 ab令u =ab 则u 2+2 2 u -30≤0, -5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ,ab ≤18,∴y ≥118点评:①本题考查不等式ab ba ≥+2)(+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式230ab a b =++)(+∈R b a ,出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式ab ba ≥+2)(+∈R b a ,,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范围.变式:1.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。
技巧八、取平方5、已知x ,y 为正实数,3x +2y =10,求函数W =3x +2y 的最值.解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a +b2≤a 2+b 22,本题很简单3x +2y ≤2(3x )2+(2y )2 = 2 3x +2y =25解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
W >0,W 2=3x +2y +23x ·2y =10+23x ·2y ≤10+(3x )2·(2y )2 =10+(3x +2y )=20∴ W ≤20 =2 5变式:求函数15()22y x =<<的最大值。
解析:注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >,所以0y <≤当且仅当21x -=52x -,即32x =时取等号。
故max y =。
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。
总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。
技巧9:消元例1.设,,x y z 为正实数,230x y z -+=,则2y xz 的最小值是_________.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解:由可得当且仅当即时,取“”.故的最小值为 技巧10.换元例1.求函数y =的最大值.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时,当时,当且仅当,即所以时练习题:1.若a >0,b >0,a ,b 的等差中项是12,且α=a +1a ,β=b +1b,则α+β的最小值为( )A .2B .3C .4D .5 2. 已知三个函数y =2x ,y =x 2,y =8x 的图象都过点A ,且点A 在直线x m +y2n=1(m >0,n >0)上,则log 2m +log 2n 的最小值为________.3. 已知正数a ,b ,c 满足:a +2b +c =1则1a +1b +1c的最小值为________.4. 设M 是△ABC 内一点,且AB →·AC →=23,∠BAC =30°,定义f (M )=(m ,n ,p ),其中m ,n ,p 分别是△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积.若f (M )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,x ,y ,则1x +4y 的最小值是________.5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q =3x +1x +1(x ≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万元此产品仍需再投入32万元,若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?6. 设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z +-的最大值为( )A .0B .1C .94D .37.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为______.8. 已知a >0,b >0,a+b=2,则y=14a b +的最小值是A .72B .4C . 92D .59. 设,x y 为实数,若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。