立体几何考点专题复习(一)多面体、旋转体

立体几何考点专题复习(一)

——多面体、旋转体

一、多面体和旋转体

（一）直观图（斜二测画法）

原则：1.x轴、y轴的夹角画成45°或135°，一般画45°。z轴竖直向上；

2.与坐标轴平行的直线依然平行；

3.与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原

来的一半。

（切记：除以上3条外没有任何可以确定的量）

画图步骤：

1.在原图上建立坐标系，画出直观图坐标系，定位图形与三坐标轴

的交点。

2.画与x轴平行的线段。

3.画与y轴平行的线段，长度变为原来的一半。

4.画与z轴平行的线段。

（二）面积和体积

公式：侧面积公式与体积公式。

求法：割补法或等体积法都常用。

例1．若某几何体的三视图单位：如图所示．

画出该几何体的直观图；

求此几何体的体积和表面积．

【答案】解：根据三视图画出直观图，如图所示；

该几何体可以看成是一个直三棱柱去掉两个等底的小三棱锥组成的

如图，直三棱柱的体积为，

两个小三棱锥的体积为，故几何体的体积为40．

在图中，作于点M，则，，，所以，．

于是，

，

梯形

又矩形，

所以几何体的表面积为梯形矩形．【解析】本题考查了三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积以及体积的求法问题．

根据三视图得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，结合图中数据画出几何体的直观图；

结合图中数据计算该几何体的表面积和体积．

例2．已知一个几何体的三视图如图所示．

求此几何体的表面积；

如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．

【答案】解：由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和底面圆半径长a，圆柱高为2a，圆锥高为a，

，圆柱侧，圆柱底，圆锥侧

所以表面．

分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，

则，

所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为．

【解析】本题考查三视图、组合体表面积公式及旋转体上最短距离问题，属于基础题．由三视图可以还原几何体是上面一个圆锥加下面一个圆柱，即可求得表面积；

沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，直线距离最短，由勾股定理即可得到答案．

二、外接球和内切球

（一）外接球

例1.正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则外接球的球心到平面ABCD的距离为________．

【答案】

【解析】【分析】

本题考查了正四棱锥以及球的结构特征，球的表面积由题意，得到中，

，从而得到结果．

【解答】

解：如图，设外接球的球心为O，半径为R，

正四棱锥的底面积为3，

，

，

，

外接球的表面积为，

，

，

中，，

，

，

，

球心到平面ABCD的距离为．

故答案为．

（二）内切球

例1.正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切则球的表面积为______ ．

【答案】

【解析】解：如图，过点P作平面ABC于D，

连结并延长AD交BC于E，连结PE，是正

三角形，

是BC边上的高和中线，D为的中心．

，

，

，

设球的半径为r，以球心O为顶点，

棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，

则，

，

球的表面积为．

故答案为：．

设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，求出r，由此能求出球的表面积．

本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

例2.正四面体内切球与外接球的体积的比为_________．

【答案】1：27

【解析】【分析】

本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．

【解答】

解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．

设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，底面ABC，

且，，OD为正四面体PABC内切球的半径

设正四面体PABC底面面积为S，将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，

可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．

每个正三棱锥体积而正四面体PABC体积，根据前面的分析，，

所以，，所以，，

所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．

故答案为1：

三、多面体表面最短距离

例1.在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，

，P是上一动点，如图所示，求的最小值．

【答案】解：在平面内，PC在平面内，

将其铺平后转化为平面上的问题解决铺平平面、平面，

如图所示计算，，又，

故是的直角三角形．

C.

在中，由余弦定理，得，故．

【解析】本题考查了三棱柱的展开图中最短距离问题以及余弦定理，属于中档题，在平面内，PC在平面内，将其铺平后转化为平面上的问题解决铺平平面、

平面，在中，由余弦定理，得

．

例2.如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是

棱AC上一动点，的最小值为，则该正四面体的

外接球面积是______．

【答案】

【解析】解：将侧面和展成平面图形，如图所示：

设正四面体的棱长为a，

则的最小值为

，

．

在棱锥中，设底面三角形BCD的中心为M，外接球

的球心为O，

F为BC的中点，则，

，．

设外接球的半径，则，

在中，由勾股定理可得：，

解得：．

外接球的表面积为：．

故答案为：．

将侧面展开，根据的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球面积．

本题考查了棱锥的几何特征与外接球的表面积计算，棱锥侧面距离的最值，属于中档题．