立体几何考点专题复习(一)多面体、旋转体
高考立体几何知识点总结(详细)
高考立体几何知识点总结(详细)高考立体几何知识点总结一、空间几何体一）空间几何体的类型1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。
2.旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
二）几种空间几何体的结构特征1.棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类底面是四边形，侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是矩形的棱柱称为四棱柱；底面是正方形的棱柱称为正四棱柱；棱长都相等的直棱柱称为正方体，棱长都相等的正四棱柱称为正方锥。
1.3 棱柱的性质1）侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；2）两底面是全等多边形且互相平行；3）平行于底面的截面和底面全等；1.4 棱柱的面积和体积公式直棱柱的侧面积为底周长乘以高，表面积为底面积加上两倍的侧面积，体积为底面积乘以高；其他类型的棱柱的面积和体积公式与直棱柱类似。
2.棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形。
2.3 棱锥的面积和体积公式正棱锥的侧面积为底周长乘以斜高，表面积为底面积加上侧面积，体积为底面积乘以高除以3；其他类型的棱锥的面积和体积公式与正棱锥类似。
高二-11-多面体与旋转体
1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体.2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n 棱锥,有一个底面和n 个侧面，所以是n ＋１面体；n 棱柱或n 棱台有两个底面和n 个侧面，所以是n ＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥.3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用.4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种.【例1】下列说法正确的是（ ）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【难度】★第11讲 多面体与旋转体 知识梳理例题分析 模块一：多面体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有条.【难度】★★【例3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A．1B．2C．3D．4【难度】★★【难度】★★【例5】如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【难度】★★1. 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴.2. 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面.3. 圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.模块二：旋转体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例1】已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【难度】★【例2】给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【难度】★【例3】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A．B．C．D．【难度】★【例4】已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【难度】★★【例5】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【难度】★★【难度】★★【例8】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【难度】★★【例9】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.【难度】★★【例1】如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.（1）求二面角A DC B −−的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【难度】★★【例2】已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan 22BC ABC =∠=（如图所示）（1）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积.（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【难度】★★模块三：旋转体综合问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析1. 一个多面体至少有 个面．【难度】★2. 下列说法中，正确的是（ ）A ．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B ．正多面体的面不是三角形，就是正方形C ．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D ．正三棱锥就是正四面体【难度】★3. 如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ．【难度】★4. 将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A ．3种B ．4种C ．5种D ．以上均不正确 【难度】★★5. 边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 .【难度】★★师生总结 巩固练习7. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数2=，则正二十面体的顶点的个数为（ ）A ．30B ．20C ．12D ．10【难度】★★8. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V 、棱数E 及面数F 间有著名的欧拉公式：2V E F −+=，并且多面体所有面的内角总和为(2)360V −⋅.已知某正多面体所有面的内角总和为3600，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n ，则该正多面体的顶点数V = ，棱数E = .【难度】★★9. 用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【难度】★★10. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C −−的余弦值.【难度】★★1. 2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了n 维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为10254+，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到0.1°）【难度】★★★能力提升【难度】★★★。
《多面体与旋转体》知识点
《多面体与旋转体》知识点1、多面体：（1）棱柱的主要性质：①棱柱的所有侧棱都 ，直（正）棱柱的侧棱长等于 。
②棱柱的每一个侧面都是 形，直棱柱的每一个侧面都是形，正棱柱的各个侧面都是 形。
③棱柱中，过不相邻的两条侧棱的截面都是 形。
（2）填适当的符号，表示下列集合之间的关系：四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体（3）长方体中过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c,则它的对角线长d= 。
（4）棱锥：① 叫做正棱锥。
②正棱锥各侧棱 ，各侧面是全等的 ，③s s 棱锥截棱锥底=④正棱锥的 、 和 组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的摄影也组成一个 。
（5）面积，体积公式：s 直棱柱侧= ， v 棱柱= ，s 正棱锥侧= ， v 棱锥= ， 2、旋转体：（1）圆柱：平行于底面的截面是 ，轴截面是 ，s 轴截面= ，（2）圆锥：h, r, l 之间的关系式： 。
s s 圆锥截圆锥底= ，轴截面是 ，s 轴截面= ，（3）圆柱侧面展开图是 ，圆锥侧面展开图是 ， s 圆柱侧= = ， s 圆柱全= ，v 圆柱= ， s 圆锥侧= = ， s 圆锥全= ，v 圆锥= ，（4）球：①截面是 ，d, R, r, 之间的关系式 ，②球面上两点的距离：经过两点的大圆在这两点间的一段 的长度。
③ S 大圆= S 球= ，V 球=选择题：1、斜四棱柱的侧面为矩形的个数最多有 （ ）A O 个B 1个C 2 个 D3个 2、若棱住的侧面是全等的矩形，则棱柱是（ ）A ．直棱柱B ．正棱柱C ．正方体D ．底面为菱形的直棱柱 3、若长方体的三条棱长分别是3、5、15，则长方体的对角线的长是（ ） A ．53 B 23 C ．3 D ．不同于以上答案 4、若两球的表面积之比为1：2，则其半径之比为（ ）A 1：2B 1：4C 1：2D 1：22 5、侧棱长为2，底面周长为3的正三棱锥的高是（ ）A ．311 B ．313 C ．339 D ．333 6、各棱长均为1的正三棱锥的全面积为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．367、已知圆柱的轴截面是一个面积为4的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π8 8、圆锥侧面展开图是半径为a 的半圆，这个圆锥的高是（ ）A ．aB ．a 22 C ．a 3 D ．a 23 9、正方体的对角线长为L ，它的全面积是 （ ）A ．2L 2B ．32L C ．12L 2 D ．18L 210、圆柱的一个底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A 4πS B 2πS C πS D 3πS11、轴截面为直角三角形的圆锥，侧面积与底面积之比为 （ ）A 2：1B 3：1C 5：1D 2：1 12、正四棱锥底面边长为2，侧面积为8，它的体积为（ ）A334 B 23 C 43 D 83 13、若球的体积增大为原来的8倍，则它的表面积增大为原来的 （ ）A2倍 B 4倍 C8倍 D16倍14、一个棱锥的底面面积为Q ，过它的高的中点作平行于底面的截面，那么截面面积 （ ）A21Q B 31Q C 41Q D 22Q 15、各棱长均相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为 （ ）A63 B 33 C 23 D 36二、填空题：1、正方体一个面的对角线的长为a ，则正方体的对角线长是__________。
《立体几何初步》复习
4.(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形， 平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
√B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
5 5.
即
AO
与平面
ABCD
所成角的正切值为
5 5.
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解 由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
反思 感悟
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
(2)BE∥平面PAD；
证明 因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.
高三立体几何复习讲义：多面体与旋转体
多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。
2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。
棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。
棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。
（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。
3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
性质：（1） 直棱柱侧面都是矩形。
（2） 直棱柱侧棱与高相等。
（3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。
4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。
底面是矩形的直棱柱是长方体。
长方体的对角线平方等于三边长的平方和。
5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。
相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。
正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
《空间几何体》基础的知识点
《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其 中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。
高考数学复习 多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型
2008高考数学复习多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型目的要求：对本章简单几何体知识进行梳理和总结，突出知识间的联系，提高学生综合运用知识的能力和逻辑思维能力.内容分析：1、这部分主要涉及棱柱、棱锥、多面体和球的知识.其内容大致可分为定义、分类、性质、面积和体积几个方面.除此之外还有简单多面体的欧拉公式、球面上两点间的球面距离等重要概念、定理，这些知识牵涉的面很广，但并不十分复杂，有些内容可用类比法进行复习.然而复习中一定要弄清楚，不可混淆.2、如果说前节课所复习的知识还是一些立体图形的元件的话，那么本课所复习的内容就是几何体了.应当说，这节课的空间观念更综合、更形象了.复习中也应该重视画图、识图（包括图形的综合和分解）.只有做到这一点，学生才会把图形在头脑中“立体化”.复习中这个任务依然应予以重视.3、球的体积和表面积计算公式所涉及的重要数学思想方法是数学教学的重要内容，但教学目标仅为了解，而且新授不久，因此，在这次复习中不是重点，复习的重点是各种几何体的基本性质.4、与前节课一样，本课作为复习课，应有针对性，所以重点、难点的确定和内容的调整应根据学生学习中掌握的情况而定.教学过程：1、内容小结（1）针对简单几何体的知识内容，教师预先拟订提纲，让学生课前按提纲进行复习.提纲可按教科书的学习要求和需要注意的问题中学习要求拟定.（2）课堂复习中，让学生比较棱柱、棱锥、球三种几何体的形状、表面、截面、面积、体积，比较前两种几何体的分类、直观图的画法.例题1 如图8－3，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P —AC —B 为120°，PC=2，AB=23。
（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求BD 与底面ABC 所成的角（用反正弦表示）； （3）求三棱锥P —ABC 的体积。
解 （1）如图8－4，取AC 中点E ，连DE 、BE ，则DE ∥PC ， ∵PC ⊥AC ，∴DE ⊥AC 。
空间立体几何高考复习知识点及经典题目
知识空间立体几何知识点归纳：1. 空间几何体的类型（ 1）多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。
（ 2） 旋转体： 把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
如圆柱、圆锥、圆台。
2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。
正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。
正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。
正四面体：所有棱都相等的四棱锥。
3. 空间几何体的表面积公式棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ： S 2 rl 2 r2圆锥的表面积： S rlr2圆台的表面积：Srlr2RlR2球的表面积：S4 R 24．空间几何体的体积公式： VS底 h： V1h柱体的体积锥体的体积S 底3台体的体积：1球体的体积： V43V（ S 上下下hR3S 上 SS )35. 空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
画三视图的原则：长对正、宽相等、高平齐。
即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。
6 . 空间中点、直线、平面之间的位置关系（ 1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。
（3）平面与平面的位置关系：平行；相交。
7.空间中点、直线、平面的位置关系的判断（1）线线平行的判断：①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。
②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
立体几何考点专题复习（一）多面体、旋转体
⽴体⼏何考点专题复习（⼀）多⾯体、旋转体⽴体⼏何考点专题复习(⼀)——多⾯体、旋转体⼀、多⾯体和旋转体（⼀）直观图（斜⼆测画法）原则：1.x轴、y轴的夹⾓画成45°或135°，⼀般画45°。
z轴竖直向上；2.与坐标轴平⾏的直线依然平⾏；3.与x轴、z轴平⾏的线段长度不变，与y轴平⾏的线段长度变为原来的⼀半。
（切记：除以上3条外没有任何可以确定的量）画图步骤：1.在原图上建⽴坐标系，画出直观图坐标系，定位图形与三坐标轴的交点。
2.画与x轴平⾏的线段。
3.画与y轴平⾏的线段，长度变为原来的⼀半。
4.画与z轴平⾏的线段。
（⼆）⾯积和体积公式：侧⾯积公式与体积公式。
求法：割补法或等体积法都常⽤。
例1．若某⼏何体的三视图单位：如图所⽰．画出该⼏何体的直观图；求此⼏何体的体积和表⾯积．【答案】解：根据三视图画出直观图，如图所⽰；该⼏何体可以看成是⼀个直三棱柱去掉两个等底的⼩三棱锥组成的如图，直三棱柱的体积为，两个⼩三棱锥的体积为，故⼏何体的体积为40．在图中，作于点M，则，，，所以，．于是，，梯形⼜矩形，所以⼏何体的表⾯积为梯形矩形．【解析】本题考查了三视图与⼏何体的直观图的关系，⼏何体的表⾯积以及体积的求法问题．根据三视图得出该⼏何体是底⾯为直⾓梯形的直四棱柱，结合图中数据画出⼏何体的直观图；结合图中数据计算该⼏何体的表⾯积和体积．例2．已知⼀个⼏何体的三视图如图所⽰．求此⼏何体的表⾯积；如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三⾓形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该⼏何体的侧⾯上，从点P到点Q的最短路径的长．【答案】解：由三视图知：此⼏何体是⼀个圆锥加⼀个圆柱，其表⾯积是圆锥的侧⾯积、圆柱的侧⾯积和圆柱的⼀个底⾯积之和底⾯圆半径长a，圆柱⾼为2a，圆锥⾼为a，，圆柱侧，圆柱底，圆锥侧所以表⾯．分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧⾯，并展开铺平，如图所⽰，则，所以P，Q两点在该⼏何体的侧⾯上的最短路径的长为．【解析】本题考查三视图、组合体表⾯积公式及旋转体上最短距离问题，属于基础题．由三视图可以还原⼏何体是上⾯⼀个圆锥加下⾯⼀个圆柱，即可求得表⾯积；沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧⾯，并展开铺平，直线距离最短，由勾股定理即可得到答案．⼆、外接球和内切球（⼀）外接球例1.正四棱锥的底⾯积为3，外接球的表⾯积为，则外接球的球⼼到平⾯ABCD的距离为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了正四棱锥以及球的结构特征，球的表⾯积由题意，得到中，，从⽽得到结果．【解答】解：如图，设外接球的球⼼为O，半径为R，正四棱锥的底⾯积为3，，，，外接球的表⾯积为，，，中，，，，，球⼼到平⾯ABCD的距离为．故答案为．（⼆）内切球例1.正三棱锥的⾼为1，底⾯边长为2，正三棱锥内有⼀个球与其四个⾯相切则球的表⾯积为______ ．【答案】【解析】解：如图，过点P作平⾯ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，是正三⾓形，是BC边上的⾼和中线，D为的中⼼．，，，设球的半径为r，以球⼼O为顶点，棱锥的四个⾯为底⾯把正三棱锥分割为四个⼩棱锥，则，，球的表⾯积为．故答案为：．设球的半径为r，以球⼼O为顶点，棱锥的四个⾯为底⾯把正三棱锥分割为四个⼩棱锥，求出r，由此能求出球的表⾯积．本题考查棱锥的全⾯积和体积的求法，考查球的表⾯积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能⼒的培养．例2.正四⾯体内切球与外接球的体积的⽐为_________．【答案】1：27【解析】【分析】本题是中档题，考查正四⾯体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球⼼重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能⼒，计算能⼒．【解答】解：设正四⾯体为PABC，两球球⼼重合，设为O．设PO的延长线与底⾯ABC的交点为D，则PD为正四⾯体PABC的⾼，底⾯ABC，且，，OD为正四⾯体PABC内切球的半径设正四⾯体PABC底⾯⾯积为S，将球⼼O与四⾯体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球⼼为顶点，以正四⾯体⾯为底⾯．每个正三棱锥体积⽽正四⾯体PABC体积，根据前⾯的分析，，所以，，所以，，所以棱长为a的正四⾯体的内切球和外接球的体积之⽐为1：27．故答案为1：三、多⾯体表⾯最短距离例1.在直三棱柱中，底⾯为直⾓三⾓形，，，，P是上⼀动点，如图所⽰，求的最⼩值．【答案】解：在平⾯内，PC在平⾯内，将其铺平后转化为平⾯上的问题解决铺平平⾯、平⾯，如图所⽰计算，，⼜，故是的直⾓三⾓形．C.在中，由余弦定理，得，故．【解析】本题考查了三棱柱的展开图中最短距离问题以及余弦定理，属于中档题，在平⾯内，PC在平⾯内，将其铺平后转化为平⾯上的问题解决铺平平⾯、平⾯，在中，由余弦定理，得．例2.如图所⽰，正四⾯体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上⼀动点，的最⼩值为，则该正四⾯体的外接球⾯积是______．【答案】【解析】解：将侧⾯和展成平⾯图形，如图所⽰：设正四⾯体的棱长为a，则的最⼩值为，．在棱锥中，设底⾯三⾓形BCD的中⼼为M，外接球的球⼼为O，F为BC的中点，则，，．设外接球的半径，则，在中，由勾股定理可得：，解得：．外接球的表⾯积为：．故答案为：．将侧⾯展开，根据的最⼩值可得正四⾯体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球⾯积．本题考查了棱锥的⼏何特征与外接球的表⾯积计算，棱锥侧⾯距离的最值，属于中档题．。
高中数学中的多面体和旋转体
多面体和旋转体是高中数学中的重要概念，它们在几何学中起着重要的作用。
本篇文章将介绍多面体和旋转体的基本概念、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、多面体多面体是指由若干个平面多边形围合而成的三维几何体。
每个面都是一个平面多边形，并且相邻两个面的公共边是相交于一点的。
多面体分为凸多面体和凹多面体，如果一个多面体的任何一个面都在另一个面的外部，则这个多面体是凸多面体；否则，这个多面体是凹多面体。
1. 多面体的性质（1）多面体的顶点数V和面数F之间有如下关系：V = F + E - 3，其中E表示边数。
这个公式称为欧拉公式。
（2）多面体的棱数E和面数F之间有如下关系：E = 3F - E - F，这个公式称为欧拉-斯图姆定理。
（3）多面体的对角线数D和面数F之间有如下关系：D = 2F - 4，这个公式称为拉格朗日定理。
2. 多面体的应用（1）多面体在计算机图形学中有着广泛的应用，例如，计算机生成的三维图形通常都是由许多平面多边形构成的。
（2）多面体在机械制造中也有着重要的应用，例如，制造凸轮、齿轮等零件时需要使用凸多面体或凹多面体的概念。
二、旋转体旋转体是指由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所生成的立体。
曲线称为旋转体的母线，定直线称为旋转体的轴。
1. 旋转体的性质（1）如果一个旋转体的底面是一个圆，则这个旋转体一定是圆柱或圆锥；如果这个圆的半径等于旋转体的底面半径，则这个旋转体是圆柱；否则，这个旋转体是圆锥。
（2）如果一个旋转体的底面是一个椭圆或其他平面曲线，则这个旋转体一定是圆台或球；如果这个椭圆或其他平面曲线是旋转体的底面半径的倍数，则这个旋转体是圆台；否则，这个旋转体是球。
2. 旋转体的应用（1）旋转体在建筑工程中有着广泛的应用，例如，圆柱形和球形建筑物的外壳是由旋转体的概念构成的。
（2）旋转体在油管和通风管道的设计中也有着重要的应用。
《立体几何初步》复习(1)
c
h`
图1 3 3
用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥 得到两个几何 , 体, 一个仍然是棱锥另一个我们称之为棱台图1 1 7) . , ( 即棱台 (truncated pyram id) 是棱锥被平行于底面的 一个 平面所截后 截面和底面之间部分 , .
我们首先从 直 观 上认识了柱、锥、台、 球及其简单组合体的结 构特 征 .借助长方 体模型 , 抽象出空间点、线、面 位置关系. 学习了可作为推理 依 据的 4 个公理 , 以及 线 线、线面、面面平行或垂直的 判定与 性质定理, 并运用这些知识解决有 关空间 位置关系的简单推理论 证及应用问题.
直棱柱的侧面展开图是矩 形 图1 3 2, 这个矩形的长等 于直棱 柱的底 面周长 c , 宽等 于直棱柱的高 h,因此直棱 柱 的侧面积是 S直棱柱侧 ch .
h
图1 3 2
c
正棱柱 regulan prism是指底面为正多边形的 直棱柱.
当棱柱的一个底面收缩 为一点时, 得到的几何 体叫做棱锥 pyram id.
S球 面 4 R .
2
它表明球的表面积是球 的大圆的 倍. 4
空间几何体的体积
长方体的长、宽、高分 别为a、b、c, 那么它的体积为
V长 方 体 abc 或 V长 方 体 Sh .
这里S , h 分别表示长方体的底面 积和高.
柱体 棱柱、圆柱的体积等于它的底面积 和高h的 S 积, 即 V柱体 S h .
多面体与旋转体复习
h
最短路程 h2 4 2r 2
例：用两个平行平面去 截半径为 R的球面，两个截面圆 的半径为 15和24，若两截面间的距离为 27, 求球的半径
设球半径为 r
O1 O2 O O 2
A B B
r 2 152 OO1 2 2 2 r 242 OO2 OO 27 OO 2 1
，点 O
（2）球面被不经过球心的平面截得的圆是小圆，被经过球心的平面截得的圆是大圆 （3）球心和截面圆心的连线 垂直 于截面；
2 2 d R r （4）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系：
例 ： 已 知 圆 柱 的 底 面径 半 为r , 高 为h, 若 一 只 蚂 蚁 从 某 一 条 母 线 的 一 个 端 点 出 发着 沿圆 柱 表 面 爬 行 一 周该 到母 线 的 另 一 个 端 点 ， 则 蚂 蚁走 所的 最 短 路 程 为 ？
柱、锥、球的结构特征
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点
侧面 底面
侧棱
用表示底面各顶点表示棱柱。
一、棱柱的概念与性质： 1、棱柱的概念：
有两个面 互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 2、棱柱的性质： （1）侧棱都相等，侧面是 平行四边形 ；
顶点
S
轴
侧 面
O
B
底面
四、圆锥的概念与性质： 1、圆锥的概念：以直角三角形 ABC（及其内部）绕其 一条直角边AB所在直线 旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。其中 AB 所在直线叫做圆锥的轴，圆锥用表示它的轴
空间立体几何知识点归纳
第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式： .⑵棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图投影:中心投影 平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. (2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”,“宽相等”2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图）。
观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x Oy ∠,使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，。
一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方.第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.若A ，B ，C 不共线，则A ，B，C 确定平面α若Al ∉,则点A 和l 确定平面α推论2：过两条相交直线有且只有一个平面若mn A =，则,m n 确定平面α推论3:过两条平行直线有且只有一个平面若m n ，则,m n 确定平面α公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。
多面体和旋转体(附答案)
第八章多面体和旋转体一、考纲要求1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.二、知识结构1.几种常凸多面体间的关系2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面平行四边形矩形矩形的形状平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分4.面积和体积公式下表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长 .名称侧面积(S侧) 全面积(S全) 体积(V) 棱棱柱直截面周长×l S侧+2S底S底·h=S直截面·l(1)全面积 S 全=3a 2；(2)体积 V=122a 3； (3)对棱中点连线段的长 d=22a ； (4)相邻两面所成的二面角 α=arccos31 (5)外接球半径 R=46a ； (6)内切球半径 r=126a. (7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径. (2)圆锥、圆台某些数量关系②圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别为r ′、r ，则h=lsin α r-r ′=lcos α.③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系：r=22d R .(3)球冠、球带和球缺①球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面. 球冠的面积公式 若球的半径为R ，球冠的高为h ，则S 球冠=2πRh其中h 表示球冠的高，R 是球冠所在的球的半径. ②球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面. 球带的面积公式 若球的半径为R ，球带的高为h ，则S 球带=2πRh③球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式 若球的半径为R ，球缺的高h ，底面半径为r ，则V 球缺=31πh 2(3R-h)=61πh(3r 2+h 2)三、知识点、能力点提示 (一)多面体例1 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= .解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh. ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF =41S,V 1=31h(S+41S+41⋅S S)=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.例2 一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++② ①24)(420)(2Z y x zx yz xy由②2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 ③由③-①得 x 2+y 2+z 2=16即l 2=16 ∵l=4(cm).例3 正四棱锥S-ABCD 中，高SO ＝26，两相邻侧面所成角为γ ，tg 3322=γ,(1)求侧棱与底面所成的角。
空间立体几何知识点归纳(几何版)
空间立体几何知识点归纳(几何版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图 ：（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
立体几何——多面体与旋转体静高中寒暑高考补习班
多面体与旋转体-静安新王牌恒高一对一第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心2、 在斜棱柱的侧面中，矩形最多有A 、2个B 、3个C 、4个D 、6个3、 一个正三棱锥底面边长是6，侧棱长为15 ，那么这个三棱锥的体积为A 、9B 、29C 、7D 、27 4、 圆锥轴截面顶角απθπθ，则侧面展开图中心角满足23<<满足 34παπ<<、A B 、23παπ<< C 、παπ<<2 D 、παπ2<<5、 侧棱长为32的正三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400，过A 作截面AEF ，则截面三角形AEF 的最小周长是A 、22B 、6C 、4D 、3126、 圆柱轴截面周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是ππππ3333)4(2)4()2(91)6(l D l C l B l A 、、、、 7、过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心距离等于球半径的一半，并且AB=BC=CA=2，则球面面积为916π、A B 、38π C 、π4 D 、964π 8、地球上有甲、乙两个城市，甲在北纬300，东经830，乙在北纬300，西经970，这两个城市在纬度圈上的距离与它们在地球表面上的距离之比为A 、3∶2B 、33∶4C 、4∶33D 、2∶39、直角三角形的三边满足c b a c b a 、、，分别以<<三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体体积记为c b a V V V 、、，则A 、c b a V V V <<B 、a b c V V V <<C 、a c b V V V <<D 、b a c V V V <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）10、圆柱的上底半径OA 与下底半径B O '垂直，若OA=1，AB 与O O '所成的角为300，则AB 的长为__________。
高中数学 立体几何专题复习
图2侧视图俯视图正视图4x33x4DCBA侧视图正视图立体几何专题(一)一、三视图考点透视：①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。
⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。
1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85123π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 22. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ．4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为A ．63B ．93C ．123D ．1835、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)， 其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是正视图 左视图俯视图图4_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。
（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面.二、直观图掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变；②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变；③新坐标轴夹角为45°。
6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2D ．102三、表面积和体积不要求记忆，但要会使用公式。
必修二立体几何知识点+例题+练习+答案
学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 , 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱 , 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 .2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的面叫做底面, 其余各面叫做侧面 .3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。
4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面 ( 轴截面 ) 分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。
注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式 l R7.球: 以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面 . 球面所围成的几何体叫做球体 ( 简称球 )8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图 ( 正视图 ) 。
和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图( 侧视图) 。
高中数学立体几何知识点总结(超详细)
立体几何知识梳理一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题． 对棱间的距离为a 2（正方体的边长） 正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 ：V S h =⨯底；锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<； 五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立体几何考点专题复习(一)
——多面体、旋转体
一、多面体和旋转体
（一）直观图（斜二测画法）
原则：1.x轴、y轴的夹角画成45°或135°，一般画45°。
z轴竖直向上；
2.与坐标轴平行的直线依然平行；
3.与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原
来的一半。
（切记：除以上3条外没有任何可以确定的量）
画图步骤：
1.在原图上建立坐标系，画出直观图坐标系，定位图形与三坐标轴
的交点。
2.画与x轴平行的线段。
3.画与y轴平行的线段，长度变为原来的一半。
4.画与z轴平行的线段。
（二）面积和体积
公式：侧面积公式与体积公式。
求法：割补法或等体积法都常用。
例1．若某几何体的三视图单位：如图所示．
画出该几何体的直观图；
求此几何体的体积和表面积．
【答案】解：根据三视图画出直观图，如图所示；
该几何体可以看成是一个直三棱柱去掉两个等底的小三棱锥组成的
如图，直三棱柱的体积为，
两个小三棱锥的体积为，故几何体的体积为40．
在图中，作于点M，则，，，所以，．
于是，
，
梯形
又矩形，
所以几何体的表面积为梯形矩形．【解析】本题考查了三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积以及体积的求法问题．
根据三视图得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，结合图中数据画出几何体的直观图；
结合图中数据计算该几何体的表面积和体积．
例2．已知一个几何体的三视图如图所示．
求此几何体的表面积；
如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．
【答案】解：由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和底面圆半径长a，圆柱高为2a，圆锥高为a，
，圆柱侧，圆柱底，圆锥侧
所以表面．
分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，
则，
所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为．
【解析】本题考查三视图、组合体表面积公式及旋转体上最短距离问题，属于基础题．由三视图可以还原几何体是上面一个圆锥加下面一个圆柱，即可求得表面积；
沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，直线距离最短，由勾股定理即可得到答案．
二、外接球和内切球
（一）外接球
例1.正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则外接球的球心到平面ABCD的距离为________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正四棱锥以及球的结构特征，球的表面积由题意，得到中，
，从而得到结果．
【解答】
解：如图，设外接球的球心为O，半径为R，
正四棱锥的底面积为3，
，
，
，
外接球的表面积为，
，
，
中，，
，
，
，
球心到平面ABCD的距离为．
故答案为．
（二）内切球
例1.正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切则球的表面积为______ ．
【答案】
【解析】解：如图，过点P作平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，是正
三角形，
是BC边上的高和中线，D为的中心．
，
，
，
设球的半径为r，以球心O为顶点，
棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则，
，
球的表面积为．
故答案为：．
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，求出r，由此能求出球的表面积．
本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
例2.正四面体内切球与外接球的体积的比为_________．
【答案】1：27
【解析】【分析】
本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
【解答】
解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，底面ABC，
且，，OD为正四面体PABC内切球的半径
设正四面体PABC底面面积为S，将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积而正四面体PABC体积，根据前面的分析，，
所以，，所以，，
所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．
故答案为1：
三、多面体表面最短距离
例1.在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，
，P是上一动点，如图所示，求的最小值．
【答案】解：在平面内，PC在平面内，
将其铺平后转化为平面上的问题解决铺平平面、平面，
如图所示计算，，又，
故是的直角三角形．
C.
在中，由余弦定理，得，故．
【解析】本题考查了三棱柱的展开图中最短距离问题以及余弦定理，属于中档题，在平面内，PC在平面内，将其铺平后转化为平面上的问题解决铺平平面、
平面，在中，由余弦定理，得
．
例2.如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是
棱AC上一动点，的最小值为，则该正四面体的
外接球面积是______．
【答案】
【解析】解：将侧面和展成平面图形，如图所示：
设正四面体的棱长为a，
则的最小值为
，
．
在棱锥中，设底面三角形BCD的中心为M，外接球
的球心为O，
F为BC的中点，则，
，．
设外接球的半径，则，
在中，由勾股定理可得：，
解得：．
外接球的表面积为：．
故答案为：．
将侧面展开，根据的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球面积．
本题考查了棱锥的几何特征与外接球的表面积计算，棱锥侧面距离的最值，属于中档题．。