《压杆稳定》问答题

压杆稳定

【例1】 压杆的压力一旦达到临界压力值，试问压杆是否就丧失了承受荷载的能力？ 解：不是。压杆的压力达到其临界压力值，压杆开始丧失稳定，将在微弯形态下保持平衡，即丧失了在直线形态下平衡的稳定性。既能在微弯形态下保持平衡，说明压杆并不是完全丧失了承载能力，只能说压杆丧失了继续增大荷载的能力。但当压杆的压力达到临界压力后，若稍微增大荷载，压杆的弯曲挠度将趋于无限，而导致压溃，丧失了承载能力。且在杆系结构中，由于某一压杆达到临界压力，引起该杆弯曲。若在增大荷载，将引起结构各杆内力的重新分配，从而导致结构的损坏，而丧失其承载能力。因此，压杆的压力达到临界压力时，是其承受荷载的“极限”状态。

【例2】 如何判别压杆在哪个平面内失稳？图示截面形状的压杆，设两端为球铰。试问，失稳时其截面分别绕哪根轴转动？

解：（1）压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳。 （2）因两端为球铰，各方向的μ=1，由柔度知l

i

μλ=

（a ）x y i i =，在任意方向都可能失稳。 （b ），x y i i ＜失稳时截面将绕x 轴转动。 （c ）x y i i ＞，失稳时截面将绕y 轴转动。

【例3】 细长压杆的材料宜用高强度钢还是普通钢？为什么？

解：对于细长压杆，其临界压力与材料的强度指标无关，而与材料的弹性模量E 有关。由于高强度钢与普通钢的E 大致相等，而其价格贵于普通钢，故细长压杆的材料宜用普通钢。

【例4】 图示均为圆形截面的细长压杆（λ≥λｐ），已知各杆所用的材料及直径d 均相同，长度如图。当压力P 从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？

杆C

杆B

1.6a

P

P

1.3a

杆A

a

P

解：方法一：用公式P lj = π2

EI ／（μl ）２

计算，由于分子相同，则μl 越大，P lj 越小，杆件越先失稳。

方法二：运用公式P lj ＝σlj A ＝π2

EA /λ2

，分子相同，而λ＝μl /i ,i 相同,故μl 越大，λ越大，P lj 越小，杆件越先失稳。

综上可知，杆件是否先失稳，取决于μl 。 图中，杆A ：μl ＝2×a ＝2 a 杆B ：μl ＝1×1.3a ＝1.3a 杆C ：μl ＝0.7×1.6a ＝1.12a

由(μl )A ＞(μl )B ＞(μl )C 可知，杆A 首先失稳。

【例5】 松木制成的受压柱，矩形横截面为b ×h ＝100mm ×180mm ，弹性模量E ＝10GPa ，

λP ＝110，杆长l ＝7m 。在xz 平面内失稳时（绕y 轴转动），杆端约束为两端固定（图a ），在xy

平面内失稳时（绕z 轴转动），杆端约束为两端铰支（图b ）。求木柱的临界应力和临界力。

解：（1）在xz （最小刚度）平面内的临界应力和临界力 此时5.0=y μ，横截面对y 轴的惯性半径mm b A

I i y y 87.2812

=

=

在此平面内 1102.12187

.281075.03

>⨯⨯==

y

y y i l

μλ

符合欧拉公式的适用条件。临界应力为 ()

MPa 72621211010πλE πσ2

322y 2cr ..=⨯⨯== 临界力为

KN A F cr cr 12118010072.6=⨯⨯==σ （2）在xy （最大刚度）平面内的临界应力和临界力 此时0.1=z μ，横截面对z 轴的惯性半径mm h A I i z z 96.5112

180

12====

此平面内的柔度 1107.13496

.511070.13

>=⨯⨯==

z

z z i l

μλ

临界应力 ()

MPa E z cr 44.57.13410102

3

222=⨯⨯==πλπσ 临界力为 KN A F cr cr 9.9718010044.5=⨯⨯==σ

计算结果表明，木柱在最大刚度（xy ）平面内支承条件较弱，柔度z λ较大，使其临界力较小而先失稳。本例说明，在不同平面内，当杆端支承条件不相同时，应分别计算λ，并取较大者计算临界应力（或临界力）。因为压杆总是在λ较大的平面内先失稳。

【例6】 托架中，Q=70KN ，杆AB 直径d=40mm,两端为绞支，材料为A 3钢，E=206GPa ，规定稳定安全系数n w =2,，横梁CD 为20a 工字钢，［σ］=140MPa 。试校核托架是否安全？

Q D

解：托架由横梁CD 和压杆AB 所组成，所以既要校核横梁CD 的强度，又要校核压杆AB 的稳定性。

首先取横梁CD 为研究对象，并画受力图（b ）

：0600

cos =

α由 0906000=⨯-⨯=∑Q sin S ,M C α KN ..sin Q

S 159661060010709004416009000

=⨯⨯⨯=⨯=

(1)校核横梁CD 的强度。由受力图分析知它受拉弯组合变形。

查型钢表N 020a 工字钢w z =237cm 3

，A =35.5cm 2

危险截面在B 处 （b ）

MPa A S W M Z 12210

5.3575

.010159102733001070cos 2

333=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅+=ασ＜［σ］ 横梁 CD 安全。

(2)校核压杆AB 的稳定性 柔度 cr i

l

λμλ<=⨯=

=

804

/480

1 应用抛物线公式

kN

A P MPa

a cr cr s cr 241)04.0(4

101921928000668.02352622=⨯⨯=⋅==⨯-=-=π

σλσσ 压杆AB 的工作安全系数

w cr g n P P n <===

52.1159

241 压杆AB 的稳定性不够，即托架不安全。

【例7】 连杆两端为柱销连接，两销孔间距l=3.2m ，横截面积A=40cm 2

，惯性矩I y =120cm 4

，

I z =800 cm 4，连杆材料为A 3钢，E =206GPa ，轴向压力P=300kN 。若规定稳定安全系数n w =2，试校

核连杆的稳定性。