2019秋小学数学1.2.2 真命题和假命题
1.2命题、充分、必要条件
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(选修2-1P21复习题一B组T2改编)命题“若a,b都是无理数,则a+b 是无理数”的逆否命题是 ,其命题的真假情况是 .
【解析】“a,b都是无理数”的否定是“a,b不都是无理数”,“a+b 是无理数”的否定是“a+b不是无理数”,故逆否命题为:若“a+b不是 无理数,则a,b不都是无理数”,是假命题. 答案:若a+b不是无理数,则a,b不都是无理数 假命题
【解题提示】验证充分性与必要性. 【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”, 例如,2>-3,但4<9; “a2>b2”也推不出“a>b”, 例如,9>4,但-3<2.
(2)(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边 形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ( )
所以命题p不是q的充分条件;
因为若x0是极值点,则f′(x0)=0, 所以命题p是q的必要条件.
2.(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为集合(1,2)是集合(-≦,2)的真子集,所以“1<x<2” 是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.
命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件
【典例4】(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若﹁p是q的必要而不
充分条件,则p是﹁q的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第一册)
(2)存在正数的立方根不是正数; 假命题
(3)任意三角形的最大的内角不小于 60°; 真命题
(4)至少一个实数t，点(t，t)不在一次函数y=x的图象上. 假命题
课堂练习B
2.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假:(1)ヨx∈R，|x|+x=0;(2)∀x∈R，|x|+1-x≠0.3.已知区间 M=[a，a+1]，且“∀x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.
新知探究1——命题的否定
可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，而且，s是真命题，t是假命题.
你能说出命题s:“3 的相反数是-3”和t:“3 的相反数不是-3”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?
新知构建
1.命题的否定
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p”，读作“非p”或“p的否定”. 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题;反之亦然.例如：=3是一个真命题，那么≠3就是一个 命题.
新知探究2——存在量词命题的否定
若记r:“存在实数的平方小于0”，则不难看出，这个命题的否定是r:“不存在实数的平方小于0”.这里的命题r也是一个存在量词命题，而且可以用符号表示为 r:; 而命题r可以表述为“每一个实数的平方都不小于0”，因此r是一个全称量词命题，可以用符号表示为s:.显然，这里的r是一个 命题，而s是一个 命题.
课堂练习A
1.(1)如果是真命题，那么是真命题还是假命题? (2)如果是真命题，那么是真命题还是假命题?2.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)一切分数都是有理数; (2)有些三角形是锐角三角形.3.已知:∀x∈[-2，3)， ，写出，并判断的真假
【同步提升】1 .2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(分层练习,含解析)
1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定夯实基础1．下列命题中全称量词命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.2．命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x>1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1解析：选C.命题“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．3．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m≤0成立”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m>0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m>0C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m>0解析：特称命题的否定是全称命题．4．对给出的下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x ∈Q ，x 2＝5；③∃x ∈R ，x 2－x －1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则¬p：∃x ∈N ，x 2<1.其中是真命题的是( )解析：①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，∃x ＝1±52，使得x2－x－1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．解析：存在量词命题“存在集合M中的一个元素x，使s(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2＞07．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对于一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R，x2＝x；④已知a n＝2n，b m＝3m，对于任意n，m∈N*，a n≠b m.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x2＝|x|，故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．答案：①②9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x －3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．能力提升11．下列命题为真命题的是( )A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数解析：选C.若x＝2，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C 正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.12．下列命题中正确的是________(填序号)．①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数．解析：①∃x ∈R ，x ≤0，正确；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数，正确，例如1；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数，正确，例如x ＝π.综上可得，①②③都正确．答案：①②③13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”是真命题，求m 的范围．你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)解析：因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”，而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m 的范围是一致的．答案：是14．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2,2]时，[f(x)]min ≥0即可．①当－a 2<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min ＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤73，又a>4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a≤4时， f(x)min ＝f(－a 2)＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a≤2. 又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当－a 2>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min ＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7， 又a<－4，所以－7≤a<－4.综上所述，a 的取值范围是{a|－7≤a≤2}．学科素养15．命题“（a＋b）2|1＋b|＝a＋b1＋b”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．解：不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．。
【同步课堂】1 .2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(同步学案,含解析)
1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定1. 课标要求2. 自主预习预习教材P22－P29，思考以下问题：1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？4．全称量词命题“∀x∈M，r(x)”的否定是什么？5．存在量词命题“∃x∈M，s(x)”的否定是什么？3. 基础知识1. 全称量词和存在量词（1）全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题．(1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a，b∈R，若a>b，则1a<1 b；(4)自然数的平方是正数．【解】因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题．练习1．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C.（2）全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2. 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.【解】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．练习2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．∀x∈R，2x＋1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C.对A，是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选C.（3）全称量词命题与存在量词命题的否定例3. 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：某些平行四边形是菱形．【解】(1) ¬p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．(2) ¬q：∃x∈R，4x2－4x＋1<0，假命题．由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，所以¬q是假命题．(3) ¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4) ¬s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．练习3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.5. 自我检测1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x＞2答案：B2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( ) A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3答案：C3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.4．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．。
《 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人
《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念；2. 掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式的表达方式；3. 培养逻辑推理和问题解决的能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式；2. 教学难点：在实际问题中灵活运用否定概念进行推理。
三、教学准备：1. 准备教学PPT，包含图片、案例和相关概念的解释；2. 准备练习题，供学生课堂练习；3. 准备实物或模型（如果有的话），帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程：1. 引入(1)回顾全称量词命题与存在量词命题的概念。
(2)通过实例让学生感受否定命题的含义和作用。
(3)讲解本节课的目的和要求，让学生明确学习目标。
2. 讲授新课(1)举例说明全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
(2)通过具体的例子，让学生掌握否定命题的书写格式。
(3)引导学生自己举出一些全称量词命题和存在量词命题的例子，并给出它们的否定形式。
(4)强调否定命题的书写规范和注意事项。
3. 实践操作(1)给学生一些练习题，让他们自己动手书写否定命题的答案。
(2)教师对典型错误进行讲解，强调易错点。
(3)鼓励学生相互讨论，交流自己的解题心得。
4. 课堂小结(1)让学生自己总结本节课的主要内容，包括全称量词命题、存在量词命题和否定命题的书写格式、注意事项等。
(2)教师对学生的总结进行补充和完善。
5. 布置作业(1)给学生布置一些与本节课内容相关的练习题，让他们巩固所学知识。
(2)鼓励学生通过查阅资料或相互讨论，解决作业中遇到的问题。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念。
2. 掌握否定命题的逻辑性质，理解否定命题与原命题之间的差异。
3. 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解否定命题的逻辑性质，掌握否定命题的表示方法。
新教材人教B版必修第一册 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课件(33张)
【补偿训练】 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)p:被8整除的数能被4整除. (2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称. (3)r:实数都能写成小数形式. (4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.
【解题策略】 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明 一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
2.命题“∀x∈[2,+∞),x2≥4”的否定是 ( )
A.∀x∈[2,+∞),x2<4
B.∀x∈(-∞,2),x2≥4
C.∃x∈[2,+∞),x2<4
D.∃x∈[2,+∞),x2≥4
【解析】选C.∃x∈［2,+∞),x2<4.
3.(教材二次开发:例题改编)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
类型二 全称量词命题的否定(逻辑推理)
【典例】1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则
()
A.﹁p:∀x∈A,2x∉B
B.﹁p:∀x∉A,2x∉B
C.﹁p:∃x∉A,2x∈B
D.﹁p:∃x∈A,2x∉B
2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)p:对所有正数x, x >x+1. (2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数. (3)r:所有被5整除的整数都是奇数. (4)s:任意两个等边三角形都相似.
【思路导引】1.量词和结论都改变. 2.依据原命题和其否定一真一假解答. 3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.
1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件-湘教版(2019)高中数学同步课件
xy
y
1 x
(必要性)若 1 1 ,则 1 1 y x 0, x y x y xy
x y, y x 0,xy 0.
新知5 条件类型与集合的关系
已知P {x x满足条件p},Q {x x满足条件q}.
(1)如果P Q,那么p是q的 _____充__分_______ 条件； P Q
新知演练 充分与必要条件
▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[导练3]判断下列命题的真假，分析命题的条件和结论的关系。
①若x 2,则x2 4. (真命题) x 2 x2 4, x 2是x2 4的充分条件, x2 4是x 2的必要条件.
②若ab 0,则a 0. (假命题) 如: 3 0 0, 但3 0. 举反例是判断
新知2 充分条件与必要条件
命题真假 推理关系 条件关系
例子
“若p，则q”真
pq
p是q的充分条件 q是p的必要条件
若x=2，则 x2=4.(真)
“若p，则q”假
p / q
p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假)
p有充分的理由使q成立 (有p就有q)
q不成立则p必然不成立 （没q就没p）
则2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc, 即(a2 b2 ) (a2 c2 ) (b2 c2 ) 2ab 2ac 2bc, 即(a b)2 (a c)2 (b c)2 0,
a b b c a c 0,即a b c.ABC是等边三角形.
新知演练 充要条件的证明 q
_____ {a | a b}
新知巩固 条件类型与集合关系 m 1
4 [变式2]使"关于x的不等式x2 x m 0在R上恒成立"的一个充分
第2课时 真命题、假命题与定理
第2课时真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假,并且知道要判定一个命题是真命题需要证明;要判定一个命题是假命题,只需举反例.2.知道基本事实、定理和逆定理的含义,以及它们之间的内在联系.3.知道公理与定理的区别,认识公理是进行逻辑推理的基本依据.自学指导：阅读课本P53-55，完成下列问题.知识探究1.真命题和假命题的区别是什么?解：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.2.如何判断一个命题为真命题,这个过程叫什么?如何判断一个命题为假命题,这种方法叫什么?解：如何判断一个命题为真命题,这个过程叫作证明.何判断一个命题为假命题,这种方法叫作举反例.3.推论的依据是什么?解：略.4.逆定理就是逆命题吗?为什么?解：不是.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.基本事实和定理的相同点:都是真命题;不同点:基本事实是不需要证明的,而定理是需要经过证明.自学反馈1.下列命题中,哪些是真命题,哪些是假命题.(1)直角三角形的两锐角互余;(2)如果a>b,那么a2>b2.2.判断.(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)定理和公理都是真命题.()(2)定理是命题,命题未必是定理.()(3)公理是真命题,真命题是公理.()(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.()3.如果x=y,那么x+m=y+m,在这个命题中所涉及的公理或基本事实是.活动1 小组讨论例1有下面命题：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）钝角三角形的两个内角互补；（3）两个锐角的和一定是直角；（4）两点之间线段最短.其中，真命题有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 判断下列命题的真假，举出反例.大于锐角的角是钝角；如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数如果AC=BC,那么点C是线段AB的中点.解：假命题.的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.的反例：如果AC=BC，而点A,B,C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2 跟踪训练1.下列命题是真命题吗?若不是请举出反例.(1)只有锐角才有余角;(2)若x2=4,则x=2;(3)a2+1≥1;(4)若=-a,则a<0.2.写出定理“垂直于同一条直线的两直线平行”的逆定理.课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?教学至此，敬请使用《名校课堂》部分.【预习导学】自学反馈1.（1）真命题（2）假命题，例如a=1,b=-2,则a>b，而a2<b2。
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
2 －a<0 且 1>0 a
，故方程有两个负根，符合题意．
综上知：当 a≤1 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 必要性：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 符合题意． 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 应有一正一负根或两个负根．
思维启迪 首先分清条件和结论， 然后根据充要条件的
定义进行判断．
解
(1)在△ABC 中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，
若 sin A＝sin B， 因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三 个内角和为 180° )，所以只有 A＝B.故 p 是 q 的充要条 件． (2)易知，綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显然 綈 q⇒綈 p，但綈 p⇒綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充 分不必要条件． (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q 但 q⇒p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
已知推出条件成立是必要性． (2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证 明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该 进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要 分清哪是条件，哪是结论．
变式训练 3 求证： 方程 x2＋ax＋1＝0 的两实根的平方 和大于 3 的必要条件是|a|> 3，这个条件是其充分条 件吗？为什么？
题型三
充要条件的证明
例 3 求证：关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个 负根的充要条件是 a≤1. 思维启迪
1.2.1-1.2.2充分条件与必要条件
1 1 a－2≥－ a－2>－ 3 2⇔ ≤a<2 或3<a≤2⇔3≤a≤2 2，或 所以 2 2 2 a<2 a≤2 10 分 3 即所求 a 的取值范围是 [ ，2]. 2 12 分
【题后反思】 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必 要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意 推出的方向及推出与子集的关系．
例如：
x a 2 b 2 x 2ab
x a 2 b2是x 2ab的充分条件
x 2ab是x a 2 b2的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
充分条件与必要条件 1．
命题真假
∴x2－7x＋10＝0
x＝2，
∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分条件. 答案：(1)充要条件 (2)充分条件 (3)充分条件
1.若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2＜5x－6则 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
p”是“ q” ( )
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：∵p：－5≤x≤3，则 ∵q：2＜x＜3，则 充分不必要条件. 答案：A
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
1.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空：
(1)“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的 (2)“x＞1”是“ ＜1”的 ； . (3)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的 解析：(1)∵a＋b＜0且ab＞0， ∴a，b同号且都是负数. 即a＋b＜0且ab＞0⇒a＜0且b＜0. ；
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1.2.2充要条件
若原命题和 逆命题是假命题。
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
①
① A是B的充 分不必要条件
②
③
② A是B的必要不 ③ A是B充要条件 充分条件
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (xy>0; (3)p: a>b, q: a+c>b+c.
例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L 的距离为d.
1.2.2充要条件
复习：条件p与结论q的四种关系
p是q的充分 不必要条件
pq pq
若原命题是真命题, 逆命题是假命题
p是q的必要 不充分条件
p是q的 充要条件
pq
pq
若原命题是假命题, 逆命题是真命题
} pq
pq
p q 若原命题和逆命题
都是真命题
p是q的既不充分 也不必要条件
pq pq
求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明
充分性q p 和必要性p q 即可
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相 推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课时作业7全称量词命题和存在量词命题的否定知识点一命题的否定1.写出下列命题的否定．(1)13，1.414，2，π都是无理数；(2)3≥2；(3)方程x2＝－1没有实数根．解(1)13，1.414，2，π不都是无理数．(2)3<2.(3)方程x2＝－1有实数根.知识点二全称量词命题的否定2.写出下列全称量词命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)有些自然数的平方不是正数．(3)存在实数x0不是方程5x－12＝0的根．(4)存在实数x0，使得x20＋1＜0.3．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假．(1)p：∀x＞0，x＋1x≥2；(2)p：所有矩形的对角线相等；(3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根．解(1)綈p：∃x0＞0，x0＋1x0＜2.假命题．(2)綈p：有的矩形的对角线不相等．假命题．(3)綈p：存在实数m0，使x2＋x－m0＝0没有实数根．真命题.知识点三存在量词命题的否定4.写出下列存在量词命题p的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些自然数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．(假)(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．(假)5．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．6．(1)已知对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，求实数m的取值范围；(2)已知存在实数x∈[1,3]，使m≥x，求实数m的取值范围．解(1)由于对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.(2)由于存在实数x∈[1,3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.7．已知函数y＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式m－x20＋2x0－5＞0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋y>0可化为m>－y，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－x20＋2x0－5>0可化为m>x20－2x0＋5，若存在一个实数x0，使不等式m>x20－2x0＋5成立，只需m>y min.又y＝(x－1)2＋4，∴y min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．一、选择题1．已知命题p ：∀x >0，(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x ≤0，(x ＋1)e x ≤1B ．∃x ＞0，(x ＋1)e x ≤1C ．∀x ＞0，(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，(x ＋1)e x ≤1答案 B解析 全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p 为∃x ＞0，(x ＋1)e x ≤1.故选B.2．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是( )A ．∃x ∉∁R Q ，x 3∈QB ．∃x ∈∁R Q ，x 3∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D.3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，n ＜x 2答案 D解析 根据含有量词的命题的否定，故选D.4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为( )A ．∀x ∈A,2x ∉B B ．∀x ∉A,2x ∉BC ．∃x ∉A,2x ∈BD ．∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 “任意”的否定是“存在”，则命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.5．下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x ∈Z,1＜4x ＜3B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 答案 D解析 由1＜4x ＜3，得14＜x ＜34，这样的整数x 不存在，故A 为假命题；由5x ＋1＝0，得x ＝－15∉Z ，故B 为假命题；由x 2－1＝0，得x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0，故选D. 6．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n ∈N,2n ≤100；綈p ：∀n ∈N,2n >100.答案 C解析 C 中綈p ：所有的三角形都不是正三角形，故选C.二、填空题7．命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．答案 ∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3解析 “任意x ∈R ”的否定为“存在x ∈R ”，“|x －2|＋|x －4|>3”的否定为“|x －2|＋|x －4|≤3”．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题．∴⎩⎨⎧ 3－m ≤0，8－m ＞0，解得3≤m ＜8. 9．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：对∀x ∈R ，函数y ＝x 2＋4cx ＋1的值都大于0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________．答案 －12＜c ≤0或12≤c ＜1解析 p ：0＜c ＜1；q ：由Δ＜0知－12＜c ＜12.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜c ＜1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c ＜1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12＜c ＜12，得－12＜c ≤0.综上12≤c ＜1或－12＜c ≤0.三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋14<0，假命题．∵∀x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴綈p是假命题．(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，∴綈r是真命题．11．已知函数y＝x2－2x＋3，x∈[0,3]，若m－y>0有解，求实数m的取值范围．解∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈[0,3]．∴当x＝1时，y min＝2；当x＝3时，y max＝6，又m＞y有解，只需m＞y min，即m＞2.。
命题及其关系
命题及其关系知识点：1. 命题：1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：真命题 假命题 1.3 关系： 原命题逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题。
若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假规律：1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分必要条件： 2.1 概念：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝若p 是真命题，则p ⌝必是假命题若p 是假命题，则p ⌝必是真命题2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝． 全称命题的否定是特称命题．练习：1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)02. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤03. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件5. 命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ． 存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ( )A.充分而不必要条件7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的 ( ) A.充分而不必要条件8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件答案：2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.6. 答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.7. 答案A∵a·b=|a|·|b|·cos<a,b>,∴a·b=|a|·|b|时,有cos<a,b>=1,即<a,b>=0,∴a∥b.而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.8. 答案 D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.。
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 学案(1)-人教B版高中数学必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 导学案（1）理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假； （2）正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;（3）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.重点：全称量词命题与存在量词命题的否定以及真假的判断. 难点：正确的对全称量词命题与存在量词命题进行否定.一、复习回顾 1.命题1） 称为命题. 2）判断为 的语句称为真命题. 3）判断为 的语句称为假命题.2.全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.全程量词命题：3.存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
存在量词命题： 二、感受新知 1.命题的否定命题的否定： ，记作： ，读作：“非p ”或“p 的否定”。
全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题的否定2. 全称量词命题的否定3.存在量词命题的否定命题p命题p⌝归纳小结真假教材P29 练习A 12.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）下面我们来探究如何对全称量词命题与存在量词命题的否定进行否定.根据要求，认真思考回答问题：1）命题:s命题s s⌝自然语言存在整数是自然数。
符号语言命题形式真假判断2）命题:r命题r r⌝自然语言存在实数的平方小于0. 每一个实数的平方都不小于0。
符号语言命题形式真假判断3）命题:q命题q q⌝自然语言每一个有理数都是实数。
符号语言命题形式真假判断（2）尝试与发现记r ：“每一个素数都是奇数。
”用类似的方法研究r 和r ⌝ 的关系、符号表示以及真假性。
（ ）命 题 rr ⌝自然语言 每一个素数都是奇数。
存在一个素数不是奇数。
符号语言 命题形式 真假判断(3)想一想全称量词命题,().x M p x ∀∈的否定为： 存在量词命题,s().x M x ∃∈的否定为：3.经典例题例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）2:,1;p x R x ∀∈≥- （2）1:{1,2,3,4,5},;q x x x∀∈< （3）:s 至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
1.2.2真命题与假命题教学设计2023-2024学年浙教版八年级数学上册
1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、黑板、粉笔、数学教材、学生练习本、学生活动材料等。
2.课程平台：学校提供的教学管理系统，用于发布教学内容、作业和测试。
3.信息化资源：教学课件、动画演示、在线数学学习网站、数学题库等。
4.教学手段：讲解、示范、小组讨论、学生展示、练习、反馈与评价等。
教学实施过程
作业布置与反馈
1.作业布置：
根据本节课的教学内容和目标，布置适量的作业，以便于学生巩固所学知识并提高能力。作业布置应涵盖本节课的重点知识点，包括真命题与假命题的定义、判断方法以及实际应用。以下是一些作业示例：
a.判断下列命题的真假，并给出证明：
1.如果一个整数是偶数，那么它的平方也是偶数。
2.两个正整数的和一定是正数。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解“真命题与假命题”知识点。
-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握判断命题真假的方法。
-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
-作用与目的：帮助学生深入理解“真命题与假命题”知识点，掌握判断命题真假的方法。通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
a.对于学生的判断作业，可以指出其判断的正确与否，并给出相应的证明或解释。例如：
-学生的判断：错误。原因是……
-学生的判断：正确。证明如下：……
b.对于学生的举例说明作业，可以评价其举例的恰当与否，并给出理由。例如：
-学生的举例：恰当。因为……
-学生的举例：不恰当。原因……
c.对于学生的实际问题解决作业，可以评价其解答的正确与否，并给出具体的改进建议。例如：
真命题和假命题的定义
真命题和假命题的定义
真命题是一种逻辑学术语。
一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
命题真值只能取两个值：真或假。
真对应判断正确，假对应判断错误。
任何命题的真值都是唯一的，称真值为真的命题为真命题。
真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立。
一个命题都可以写成这样的格式：如果+条件，那么+结论。
条件和结果相矛盾的命题是假命题。
假命题可分为三类情况：
1、题设只对应一种背景，且结论是错误的。
例如，“1+2=5”就是一个假命题。
2、题设对应多种背景，且对于其中所有背景，结论都是错误的。
例如“两直线平行，同旁内角互余”，这一命题的题设对应多种背景：对于其中所有背景，同旁内角都是互补而不是互余的。
这个命题是一个假命题。
3、题设对应多种背景，对于其中若干背景，结论是错误的，但对于另外若干背景，结论是正确。
例如“两条直线平行，同旁内角相等”这一命题的题设对应多种背景：对于其中一堆背景，同旁内角的一个角大于90°，另一个角小于90°，同旁内角不相等；但是对于另外一种背景，同旁内角的两个角都等于90°，同旁内角相等。
如此，这一命题的题设对应的所有背景中，对于其中一堆背景，结论是错误的。
这一命题是假命题。
真命题和假命题的定义
真命题和假命题的定义
假命题：如果一个命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫做假命题。
真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立。
命题的定义
一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。
但是原命题正确，它的逆命题未必正确。
例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题。
命题通常写成“如果......那么......”的形式。
“如果”后面接题设，“那么”后面接结论。
真命题与假命题PPT课件.ppt
题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点
2、两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补，那么这两条直线平行；
题设：两条直线被第三条直线所截，
同旁内角互补
结论：这两条 内错角相等； 题设：两直线平行 结论：内错角相等
4、如果∠1=∠2，∠2=∠3， 那么∠1=∠3； 题设：∠1=∠2，∠2=∠3 结论：∠1=∠3
例1：判断下列语句，是不是命题， 如果是命题，是真命题，还是假命题？
（1）画线段AB=3cm。（不是命题）
（2）如果a∥b，b∥c，那么a∥c。（真命题）
（3）两条直线相交，有几个交点？（不是命题）
（4）相等的角都是直角。（假命题） （5）如果两个角不相等，那么这两个角
不是对顶角。（ 真命题 ）
例2：指出下列命题的题设和结论 1、如果两条直线相交，那么它们只
练习1：判断下列语句，是不是命题， 如果是命题，是真命题，还是假命题？
（1）同位角相等。（ 假命题 ）
（2）等于同一个角的两个角相等吗？ （不是命题）
（3）在射线OA上，任取两点B、C（不是命题）
（4）在空间里，不平行的两条直线一定相交 （假命题 ）
（5）邻补角的平分线互相垂直（ 真命题 ）
练习2：指出下列命题的题设和结论 1、平行于同一直线的两条直线平行。
结论：两直线不平行
练习3：将下列命题改写为“如 果…… ， （1）一个那锐么角…的…补”角的大形于式这。个锐角
的余角；
答：如果∠1、∠2分别是同一个锐角 的补角和余角，那么∠1 ＞∠2。
（2）末位数字是2的整数是2的倍数； 答：如果一个整数的末位数字是2，
那么这个整数是2的倍数。
（3）平角的一半是直角； 答：如果一个角是平角的一半，
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1C4BBiblioteka 7C答案显示2C 3D
5B 6A
8 ①②④
9
∠α ＝ 100° ， ∠α 的 补 角∠β＝80°，∠β<∠α
习题链接
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10
(1)假命题 (2)假命题
(3)真命题
11 B
(1)真命题 12 (2)假命题
13 (答案不唯一)
答案显示
14 假命题
15
B．a＝ 1
C．a＝1
D．a＝ 3
2
夯实基础·巩固练
7．【2018•浙江宁波鄞州期中】对于命题“如果∠1＋∠2 ＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是 () A．C∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
夯实基础·巩固练
解：假命题，比如122＝14，14＜12.
探究培优·拓展练
15．在△ABC中，BD，CE相交于点F，试在下列设定的 条件中选择若干个条件作为题设，另一个条件作为 结论，组合成一个真命题，并说明理由． ①∠A＝α； ②BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线； ③BD，CE是△ABC的两条高； ④∠BFC＝90°＋ α； ⑤∠BFC＝180°－α.
解：真命题．
整合方法·提升练
(2)如果a2＝b2，那么a＝b.
解：假命题．如a＝2，b＝－2， 有a2＝b2，但a≠b.(举例不唯一)
整合方法·提升练
13．如图，下面三个论断：(1)CD⊥AB；(2)EF⊥AB； (3)CD∥EF，请你以其中两个作为已知条件，另外一 个作为结论写出一个命题，并判断其真假．
夯实基础·巩固练
3．【中考•大庆】如图：①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；
③∠A＝∠F.从以上三个条件中选出两个作为已知
条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命
题的个数为( )
A．0
DB．1
C．2
D．3
夯实基础·巩固练
4．下列叙述错误的是( B ) A．所有的命题都有条件和结论 B．所有的命题都是定理 C．所有的定理都是命题 D．所有的基本事实都是真命题
参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加
的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下
列命题，其中是真命题的是( )
A．若甲对，则乙对
B．B若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错
D．若甲错，则乙对
整合方法·提升练
12．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题， 请举出反例． (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 平行；
8．【中考·庆阳】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面 内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c. 其中是真命题的是________．(填写所有真命题的序号
) ①②④
夯实基础·巩固练
夯实基础·巩固练
5．下列命题不是基本事实的是( B ) A．两点确定一条直线 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 平行
夯实基础·巩固练
6．【中考·宁波】能说明命题“对于任何实数a，|a|>－
a”是假命题的一个反例可以是(A )
A．a＝－2
1 2
解：若CD⊥AB，EF⊥AB，则CD∥EF. 此命题是真命题．(答案不唯一)
整合方法·提升练
14．方明在一次练习中得到一系列等式，有12＝1，22＝4， 32＝9，42＝16……于是他得出这样一个结论：任何一 个数的平方都不小于它本身．你认为这是个真命题还 是假命题？如果是真命题，请说明理由；如果是假命 题，请举出反例．
(2)如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点；
解：当点C不在线段AB上时，点C不是线段AB的 中点，故是假命题．
夯实基础·巩固练
(3)二元一次方程组22y＝x－1＋6＝x3y，的解为xy＝＝－－43.，
解：通过解二元一次方程组可知此命题是真命题．
整合方法·提升练
11．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只
条件：①③，结论：④, 理由见习题
夯实基础·巩固练
1．下列命题为假命题的是( C ) A．三角形的高是一条线段 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形两边的和等于第三边 D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘 积的一半
夯实基础·巩固练
2．下列给出的四个命题中，是真命题的是( C ) A．如果|a|＝3，那么a＝3 B．如果x2＝4，那么x＝2 C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0 D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－2
9．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例， 可以是∠__α_＝__1_0_0_°___，__∠__α_的__补__角__∠__β_＝__8_0_°__，__∠__β_<_∠__α_．
夯实基础·巩固练
10．判断下列命题的真假： (1)如果|a|＝|b|，那么a3＝b3；
解：当a＝2，b＝－2时，|a|＝|b|，但a3＝8，b3＝ －8，它们不相等，故是假命题．