九年级下北师大版_数学练习册答案
北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》同步练习(含答案)
北师版九年级数学下册《30°， 45°， 60°角的三角函数值》同步练习一．选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1. cos30 的°值等于 ()2 3A.2B.2 C．1 D. 32．已知∠ A ＝ 30°，以下判断正确的选项是()1 1A ． sin A ＝2 B． cos A＝2C． tan A＝1D． sin A ＝3 2 23. 计算： tan45 ＋°sin30 ＝°()A ． 22＋ 3 B. 23 1＋ 3C.2D. 24．若一个三角形三个内角度数比为1∶ 2∶ 3，那么这个三角形最小角的正切值为()1 1 3 3A. 3B.2C. 3D. 25. 在△ABC 中，若 tanA ＝1， sinB ＝2，你以为最切实的判断是 ( ) 2A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形6．在△ABC 中，若 |sinA －3 |＋ (1－tanB) 2＝ 0，则∠ C 的度数是 ( ) 2A ． 45° B． 60° C． 75° D． 105 °7．菱形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，∠AOC ＝45°，OC＝2，则点 B 的坐标为 ()A ．( 2，1) B．(1， 2) C．( 2＋1， 1) D．(1， 2＋1)1 ＝3， cosA＝2，则△ABC 三个角的大小关系是 ( )8．在△ABC 中，∠ A ，∠ B 都是锐角，tanB 3 2A ．∠ C>∠A>∠B B．∠ B>∠C>∠A C．∠ A> ∠ B>∠C D．∠ C>∠ B>∠ A9. 以下式子错误的选项是()A ． cos40 °＝ sin50 °B ． tan15 ·°tan75 ＝°1C． sin2 25°＋ cos225°＝ 1D ． sin60 ＝°2sin30 °10．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如下图的矩形纸片A 落在 BC 边上的点 E 处，复原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点就能够求出67.5 °角的正切值是() ABCD 沿过点A落在BCB 的直线折叠，使点边上的点 F 处，这样A.3＋ 1B. 2＋1C． 2.5 D. 5二．填空题（共 8 小题， 3*8=24 ）11．在等腰△ABC 中，∠ C＝ 90°，则 tanA ＝ _______.12.已知α为锐角，且知足 3tan( ＋α10°)＝ 1，则α为 _______度．13.如图，某商铺营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 30°， AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度为________米．14．菱形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，∠AOC ＝ 45°， OC＝ 2，则点 B 的坐标为__________ ．15．如图，在等边三角形 ABC 中， D 是 BC 边上一点，延伸 AD 到 E，AE ＝ AC ，∠ BAE 的均分线交△ABC 的高 BF 于点 O，则 tan∠ AEO ＝_______.16．在△ABC 中，∠ A ，∠ B 为锐角，若 sin A －1 2＋3－ tan B ＝ 0，则∠ C 的度数为 ________.2 317. 在 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°， AB ＝ 2， BC ＝3，则 sin A ＝________．218．假如 α是锐角，且3，那么 cos(90 °－ α)的值为 __________.sin ＝α5三．解答题 （共 7 小题， 46 分）19． (6 分 ) 计算：(1) 2cos60 ＋°2sin30 ＋°4tan45 ；°(2) sin 260°＋ cos 260°＋ tan60 ° tan30； °20． (6 分 ) 已知 tanA 的值是方程x 2－ (1＋ 3)x ＋ 3＝ 0 的一个根，求锐角 A 的度数．21．(6 分 ) 如图，A ，B 两地之间有一座山， 汽车本来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 A → C →B 行驶，现开通地道后， 汽车直接沿直线 AB 行驶．已知 AC ＝10 km ，∠ A ＝ 30°，∠ B ＝ 45°，则地道开通后，汽车从 A 地到 B 地比本来少走多少千米？ (结果保存根号 )22．(6 分)得假山坡脚45°，求楼房如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i＝ 1∶3，山坡坡面上 E 点处有一歇息亭，测C 与楼房水平距离BC ＝ 25 米，与亭子距离CE＝ 20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为AB 的高． (注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)23． (6 分 ) 若α为锐角， sin α－cos α＝22，求 sin α＋cos α的值24.(8 分 )如图，为丈量一座山岳CF 的高度，将此山的某侧山坡区分为AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB ＝ 800 m， BC＝ 200 m，坡角∠ BAF ＝ 30°，∠ CBE ＝45°.求：(1)AB 段山坡的高度EF；(2)山岳的高度 CF( 2≈，结果精准到 1 m)．25．(8 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点 B 的坐标为 (3，0)，OA ＝ 2，∠ AOB ＝60°.(1)求点 A 的坐标；(2)若直线 AB 交 y 轴于点 C，求△AOC 的面积．参照答案：1-5BACCB6-10 CCDDB11. 1 12. 20 13. 614. ( 2＋1，1)3 15.316． 120 °117.2318.51 1 19.解： (1)原式＝ 2× ＋ 2× ＋ 4×1＝ 6223 21 2 ＋ 3× 3 3 1(2) 原式＝ ( 2)＋ (2)3＝ ＋ ＋1＝24 420. 解：方程 x 2－ (1＋ 3)x ＋ 3＝ 0 的两根为 x 1＝ 1，x 2＝ 3，当 tanA ＝ 1 时，∠ A ＝ 45°；当 tanA ＝ 3时，∠ A ＝ 60°21. 解：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，在 Rt △ACD 中，∵ AC ＝ 10 km ，∠ A ＝ 30°， ∴ DC ＝ ACsin30°＝ 5(km) ，AD ＝ ACcos30 °＝ 53(km) ．在 Rt △BCD 中，∵∠ B ＝ 45°，∴ BD ＝ CD ＝ 5 km ， BC ＝ 5 2 km ，∵ AC ＋ BC － (AD ＋BD) ＝10＋ 5 2－ (5 3＋ 5)＝ (5＋ 5 2－ 5 3) km.∴汽车从 A 地到 B 地比本来少走(5＋ 5 2－ 5 3)km22. 解：过点 E 作 EF ⊥ BC 的延伸线于点 F ， EH ⊥ AB 于点 H ，在 Rt △CEF ，中，∵ i ＝EF ＝ 1＝ tan ∠ ECF ，∴∠ ECF ＝ 30°，CF313米， BH ＝ EF ＝ 10 米，∴ EF ＝ CE ＝ 10 米， CF ＝ 102HE ＝BF ＝ BC ＋ CF ＝ (25＋ 103)米，在 Rt △AHE 中，∵∠ HAE ＝ 45°，∴ AH ＝ HE＝ (25＋10 3)米，∴AB ＝ AH ＋HB ＝ (35＋ 10 3)米2 23. 解：∵ sin－αcos＝α 2，∴ (sin－αcosα)2＝1 2，即 sin 2α＋ cos2α－2sin1α cos＝α.2∴ 1－1 1 2sin αcos＝α，即 2sin αcos＝α.2 2∴(sin2 2 2 13 ＋αcos α)＝sin α＋cosα＋2sin α cos＝ 1α＋2＝2.又∵α为锐角，∴ sin α＋cos α＞0.∴ sin α＋ cos α＝ 62.24. 解： (1) 如图，作 BH ⊥ AF 于 H.在 Rt△ABH 中，∵ sin∠ BAH ＝BH，AB1∴ BH ＝ 800 sin 30 ＝°800×＝ 400(m) ．2∴ EF＝ BH ＝ 400 m.答： AB 段山坡的高度EF 为 400 m.CE，∴ CE＝ BC·sin∠CBE ＝ 200sin 45 °＝200×2＝ 1002(m)．(2) 在 Rt△CBE 中，∵ sin∠ CBE ＝BC 2 ∴ CF＝ CE＋ EF＝100 2＋ 400≈541(m)．答：山岳的高度CF 约为 541 m.25.解： (1) 过点 A 作 AD ⊥ x 轴，垂足为 D，如下图．在 Rt△OAD 中， sin 60 ＝°AD， cos 60 °＝OD，OA OA∴AD ＝ OA·sin 60 ＝°2×3＝3， 21OD ＝ OA·cos 60 ＝°2×＝ 1.2∴点 A 的坐标是 (1，3)．(2)设直线 AB 对应的函数表达式为 y＝ kx ＋ b. ∵直线 AB 过点 A(1 ，3)和 B(3 ， 0)，k＋ b＝3，∴3k＋ b＝ 0，3k＝－2，解得3 3b＝2 .33 3 ∴直线 AB 对应的函数表达式是 y＝－2 x＋ 2.3 3令 x＝ 0，则 y＝2，∴OC＝323.∴S△AOC ＝1 1 3 3 3 3 2OC·OD＝2×2×1＝4 .。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试题(有答案)
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．
北师大版九年级数学下册 第三章3 垂径定理(含答案)
北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理（含答案）一、选择题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．CM ＝DMB.CB ︵＝DB ︵ C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MB2．如图2所示，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )图2A ．4B ．6C ．8D ．103．一块圆形宣传标志牌如图3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB ＝8 dm ，DC ＝2 dm ，则圆形标志牌的半径为( )图3A ．6 dmB ．5 dmC ．4 dmD ．3 dm4．如图4，⊙O 的半径OA ＝6，以点A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图5，⊙O 的半径为10，M 是弦AB 的中点，且OM ＝6，则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A ．8B ．10C ．12D ．166．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527．已知⊙O 的半径为15，弦AB 的长为18，点P 在弦AB 上且OP ＝13，则AP 的长为( ) A ．4 B ．14C ．4或14D ．6或14二、填空题8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OM 的长为________．9．如图7所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝2 3，则⊙O 的半径是________．图710.如图8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图811．如图9所示，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912．如图10，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，4)，N(0，－2)，则点P的坐标为________．图10三、解答题13．如图11，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长.图1114．如图12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图1215．如图13，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图13附加题探索存在题如图14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图14参考答案1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4，∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] B 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm.设⊙O 的半径为r dm ，则OD ＝(r －2)dm ，由勾股定理得42＋(r －2)2＝r 2，解得r ＝5.故选B.4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，BC ＝2BD ，BC ⊥OA ，∴OD ＝AD ＝3.在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] D6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝9，则OC ＝OA 2－AC 2＝12.又∵OP ＝13，∴PC ＝OP 2－OC 2＝5. 当点P 在线段AC 上时，AP ＝9－5＝4； 当点P 在线段BC 上时，AP ＝9＋5＝14. 故选C. 8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 的最长的弦，CD 为过点M 的最短的弦，CD ⊥AB ，连接OD ， 则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)．9．[答案] 2[解析] 如图，连接OC ，则OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COH ＝60°. ∵OB ⊥CD ，CD ＝2 3，∴CH ＝3， ∴OH ＝1，∴OC ＝2. 10．[答案] 0.8[解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA .由题意知，OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 故答案为0.8. 11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA . ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3， ∴AB ＝2AD ＝2 3. 故答案为2 3. 12．[答案] (－4，1)13．解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，连接OD ，∴F 为CD 的中点，即CF ＝DF . ∵AE ＝2，EB ＝6， ∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8， ∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2. 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15， 则CD ＝2DF ＝2 15.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMB ＝∠ONC ＝90°，OM ＝ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ， ∴BM ＝CN .∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ， ∴AB ＝CD .15．解：(1)如图，连接OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点． ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r m ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ，N (N 在M 的右边)，连接ON ，设MN 交CO 于点E . ∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面2 m ， ∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE ＝OC －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt △OEN 中，根据勾股定理，得EN ＝ON 2－OE 2＝ 3.92－3.52＝ 2.96≈1.72(m)， ∴MN ＝2EN ≈3.44 m ＞3 m ， ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 附加题解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，∵OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。
北师大版初中九年级下学期数学期末试题及答案
２５０ 元,水果进价是５ 元/kg,按规定售价不得高于１２ 元/kg,
也不得低于 ７ 元/kg,调查发现水果的日均销量 y(
kg)与每
千克售价 x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示 ．
(
１)求日均销量 y(
kg)关 于 每 千 克 售 价 x(元)的 函 数 表 达
式,并写出自变量的取值范围;
A．
y＝x－２
３
C．
y＝
x
２
B．
y＝x ＋２x－１
２
D．
y＝ ２
x
３
,则α 的度数为
２
已知α 为锐角,且 s
２．
i
n(
α－２０
°)＝
A．
２０
°
(B )
B．
４０
°
C．
６０
°
(D )
D．
８０
°
如图,线段CD 是 ☉O 的直径,
若 AB 的
３．
CD ⊥ 弦 AB 于点E ．
长为 １６,
OE 的长为 ６,则 ☉O 的半径是
１４．
°,
C 为 OB 的 中 点,以 点 C
为圆心,以 OC 的长为半径画半圆交 OA 于点 D ．
若 OB ＝２,则
阴影部分的面积为 ．
第 １４ 题图
第 １５ 题图
如图,已知抛物线 y＝x２－２x 与直线y＝－x＋２ 交于 A ,
１５．
B两
点,
M 是直线 AB 上的一个动点,将点 M 向左平移 ４ 个单位长
三、解答题(本大题共 ８ 个小题,共 ７５ 分)
０
(
１６．
８ 分)计算:
２－１＋２c
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或34．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm26．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣67．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8D．98．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A 为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm∴S四边形P ABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．∵1＞0，∴当t＝3时，四边形P ABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．故选：C．7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴＝﹣2（x﹣2）2+8∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣解：二次函数对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小∴y3最小，y1最大，故选：A．二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是﹣1.5或．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是1，最大值是9．解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：y max＝9，当x＝﹣1时，y min＝1．故答案为1，9．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为﹣2或．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1∴m＝±，∴m＝；当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意故答案为：﹣2或．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是﹣4或2．解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝∵＝①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3解得：m＝﹣4；②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3解得：m＝（舍去）．③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2故答案为﹣4或2．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝1．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）＝x2﹣11x+24＝﹣∴当x≤时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．故答案为：0．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y （cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴∴∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大∵m＜m+1，∴y1＜y2．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+cy＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．。
2023年北师大版初中数学九年级(下)期末综合测试卷及部分答案(五套)
北师大版初中数学九年级（下）期末综合测试卷及答案（一）一、选择题(每题3分，共30分)1．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2．抛物线y ＝x 2－3x ＋2的对称轴是直线( ) A.x ＝－3 B.x ＝3 C.x ＝－32 D.x ＝323．把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为( )A.y ＝－2(x ＋1)2＋2 B.y ＝－2(x ＋1)2－2 C.y ＝－2(x －1)2＋2 D.y ＝－2(x －1)2－2 4．2cos 45°的值等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.25．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦， ∠ABD ＝58°，则∠BCD 等于( )A.116°B.32°C.58°D.64°6．如图是某水库大坝横断面示意图，其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A.25 3 mB.25 mC.25 2 mD.5033m7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列说法错误．．的是( ) A.图象关于直线x ＝1对称B.函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最小值是－52C.－1和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大8．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接C D.若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.π－ 3D.2π3－ 39．如图，半圆O 与等腰直角三角形两腰CA ，CB 分别切于D ，E 两点，直径FG 在AB 上，若BG ＝2－1，则△ABC 的周长为( )A.4＋2 2B.6C.2＋2 2D.410．如图，一艘渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20 n mile ，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°的方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 min 后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A.10 3 n mile/hB.30 n mile/hC.20 3 n mile/hD.30 3 n mile/h 二、填空题(每题3分，共30分)11．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是____________．12．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，AC ＝2，cos C ＝35，则AB 边的长为________．13．抛物线y ＝2x 2＋6x ＋c 与x 轴的一个交点为(1，0)，则这个抛物线的顶点坐标是____________．14．如图，扇形AOB 的圆心角为122°，C 是AB ︵上一点，则∠ACB ＝________．15．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，6)和点O (0，0)，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC ＝________．16．已知⊙O 的半径为1，点P 与点O 之间的距离为d ，且关于x 的方程x 2－2x ＋d ＝0没有实数根，则点P 在__________(填“圆内”“圆上”或“圆外”)．17．一个小球在空中的高度h(m )与时间t(s)满足关系式：h ＝20t －5t 2，那么这个小球所能达到的最大高度为________m .18．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，则CM＋DM 的最小值是__________．(19．如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是________cm.20．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于△ABC ，则k 的值为________．三、解答题(21题6分，22～24题每题8分，其余每题10分，共60分) 21．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°.22．如图，已知二次函数y ＝a (x －h)2＋3的图象经过O (0，0)，A (2，0)两点． (1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点．23．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E . (1)若∠D ＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AC ＝8，DE ＝2，求AB 的长．24．如图，在小山的东侧A 庄，有一热气球，由于受西风的影响，以35 m/min 的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40 min 时到达C 处，此时气球上的人发现气球与山顶P 点及小山西侧的B 庄在一条直线上，同时测得B 庄的俯角为30°.又在A 庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高(结果保留根号)．25．如图，以△ABC的边BC上一点O为圆心的圆经过A，C两点且与BC边交于点E.点D为下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，且AB＝BF.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r及sin B.26．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．(1)求y关于x的函数表达式．(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．27．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5经过点M (1，3)和N (3，5)．(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A (－2，0)，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7．D 8.A9．A 点拨：连接OD ，OE ，易证得四边形ODCE 是正方形，△OEB 是等腰直角三角形，设OE＝r ，由OB ＝2OE ＝2r ，可得方程：2－1＋r ＝2r ，解此方程，即可求得r ，则△ABC 的周长为4＋2 2.10．D 点拨：∵∠CAB ＝10°＋20°＝30°，∠CBA ＝80°－20°＝60°，∴∠C ＝90°.∵AB ＝20 n mile ，∴AC ＝AB ·cos 30°＝10 3 n mile.∴救援船航行的速度为103÷2060＝303(n mile/h)．二、11.－3＜x ＜1 12.16513.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－25214．119° 点拨：在扇形AOB 所在圆的优弧AB 上取一点D ，连接DA ，DB .∵∠AOB ＝122°，∴∠D ＝61°. ∵∠ACB ＋∠D ＝180°， ∴∠ACB ＝119°.15.4516.圆外 17.20 18.8 cm 19．210 点拨：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则AD ＝2×30＝60(cm)，BD ＝18×3＝54(cm)．由斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，得CD ＝5BD ＝5×54＝270(cm)．∴AC ＝CD －AD ＝270－60＝210(cm)．20．4 点拨：设正方形OACB 的边长为a ，则AB ＝2a .根据直角三角形内切圆半径公式得a ＋a －2a2＝4－22，故a ＝4.所以对角线交点坐标为(2，2)，故k ＝xy ＝4.三、21.解：原式＝2×12－3×1×22＋4×12＝1－322＋2＝3－322.22．解：(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过O (0，0)，A (2，0)两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1. (2)点A ′是该函数图象的顶点．理由：如图，作A ′B ⊥x 轴于点B .∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，∴OA ′＝OA ＝2，∠AOA ′＝60°.又∵A ′B ⊥x 轴，∴OB ＝12OA ′＝1，A ′B ＝3OB ＝ 3.∴A ′点的坐标为(1，3)．∴点A ′是函数y ＝a (x －1)2＋3图象的顶点． 23．解：(1)∵OA ＝OD ，∠D ＝70°，∴∠OAD ＝∠D ＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠OAD －∠D ＝40°. ∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C ＝90°. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC . ∴AD ︵＝CD ︵. ∴∠CAD ＝12∠AOD ＝20°.(2)由(1)可知OD ⊥AC ，∴AE ＝12AC ＝12×8＝4.设OA ＝x ，则OE ＝OD －DE ＝x －2. 在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝OA 2，即(x －2)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AB ＝2OA ＝10. 24．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .在Rt △ADC 中，∠ACD ＝75°－30°＝45°，AC ＝35×40＝1 400(m)． ∴AD ＝AC ·sin 45°＝1 400×22＝7002(m)． 在Rt △ABD 中，∠B ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝1 400 2 m. 过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ， 则AE ＝PE ，BE ＝PEtan 30°＝3PE .∴(3＋1)PE ＝1 400 2. 解得PE ＝700(6－2)m.答：A 庄与B 庄的距离是1 400 2 m ，山高是700(6－2)m. 25．(1)证明：如图，连接AO ，DO .∵D 为下半圆弧的中点，∴∠EOD ＝90°. ∵AB ＝BF ，OA ＝OD ，∴∠BAF ＝∠BFA ＝∠OFD ，∠OAD ＝∠ADO .∴∠BAF ＋∠OAD ＝∠OFD ＋∠ADO ＝90°，即∠BAO ＝90°. ∴OA ⊥AB . ∴AB 是⊙O 的切线．(2)解：在Rt △OFD 中，OF ＝CF －OC ＝4－r ，OD ＝r ，DF ＝10.∵OF 2＋OD 2＝DF 2，∴(4－r )2＋r 2＝(10)2. ∴r 1＝3，r 2＝1(舍去)．∴半径r ＝3.∴OA ＝3，OF ＝CF －OC ＝4－3＝1，BO ＝BF ＋FO ＝AB ＋1. 在Rt △ABO 中，AB 2＋AO 2＝BO 2，∴AB 2＋32＝(AB ＋1)2.∴AB ＝4.∴BO ＝5. ∴sin B ＝AO BO ＝35.26．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x ≤30），[120－（x －30）]x （30＜x ≤m ），[120－（m －30）]x （x ＞m ）＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x ≤30），－x 2＋150x （30＜x ≤m ），（150－m ）x （x ＞m ）. (2)由(1)可知，当0＜x ≤30或x ＞m 时，y 都随着x 的增大而增大．当30＜x ≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625， ∵－1＜0，∴当x ≤75时，y 随着x 的增大而增大．∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，m 的取值范围为30＜m ≤75. 27．解：(1)把M ，N 两点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝3，9a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. ∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋5. 令y ＝0，可得x 2－3x ＋5＝0.∵Δ＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0， ∴该抛物线与x 轴没有交点．(2)∵△AOB 是等腰直角三角形，点A (－2，0)，点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为(0，2)或(0，－2)．可设平移后的抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋mx ＋n .①当抛物线过A (－2，0)，B (0，2)时，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，4－2m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴平移后的抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋3x ＋2.∵该抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－14，而原抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，114，∴将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可获得符合条件的抛物线．②当抛物线过A (－2，0)，B (0，－2)时，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，4－2m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2. ∴平移后的抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋x －2.∵该抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－94，而原抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，114，∴将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，即可获得符合条件的抛物线．北师大版初中数学九年级（下）期末综合测试卷及答案（二）一、选择题。
北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案
北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案（含期中期末试题）第一章检测题(BSD)(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，∠ACD 的正弦值是23，则ACAB 的值是( B )A.255B.23C.355D.522．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm3．在△ABC 中，sin B ＝cos(90°－∠C )＝12，那么△ABC 是( A )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．如图，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB ＝( B ) A.25B.23C.52D.325．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233C.533D ．53二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．在Rt △ABC 中 ，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝12，则tan A ＝512. 8．(2019·赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__8.1__m __．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)9．(2019·咸宁) 如图，某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB (这段河流的两岸平行)，他们在点C 测得∠ACB ＝30°，点D 处测得∠ADB ＝60°，CD ＝80 m ，则河宽AB 约为 __69__ m ．(结果保留整数，3≈1.73)10．(2019·柳州)在△ABC 中，sin B ＝13，tan C ＝22，AB ＝3，则AC 的长为 3 ．11．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ∶BC ＝4∶5，则sin ∠DCF 的值为 35.12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝ 2 .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：sin 30°－(cos 45°－1)0＋32tan 2 30°.解：原式＝12－1＋32×⎝⎛⎭⎫332＝12－1＋12＝0.14．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.由tan B ＝ba，得b ＝a tan B ＝4tan 60°＝4 3.由cos B＝a c ，得c ＝a cos B ＝4cos 60°＝8.所以∠A ＝30°，b ＝43，c ＝8. 15.已知α为锐角，且tan α是方程x 2＋2x －3＝0的一个根，求2sin 2α＋cos 2α－ 3 tan (α＋15°)的值．解：解方程x 2＋2x －3＝0， 得x 1＝1，x 2＝－3.∵tan α>0，∴tan α＝1，∴α＝45°，∴2sin 2α＋cos 2α－3tan (α＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan 60°＝2×⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222－3×3＝1＋12－3＝－32.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小路同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上．若BC ＝2，求AF 的长．(请你运用所学的数学知识解决这个问题)解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝2tan 30°＝2 3. 由题意，得EF ＝AC ＝2 3. 在Rt △EFC 中，∠E ＝45°， ∴CF ＝EF·sin 45°＝23×22＝6， ∴AF ＝AC －CF ＝23－ 6.17．(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD ＝30 m ，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3 m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30°，此刻楼BD 的影子会遮挡到AC 的第几层？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)解：设太阳光线GB 交AC 于点F ，过F 作FH ⊥BD 于H ，AC ＝BD ＝3×10＝30 m ，FH ＝CD ＝30 m ，∠BFH ＝∠α＝30°，在RtBFH 中，tan ∠BFH ＝BH FH ＝BH 30＝33，∴BH ＝30×33＝103≈10×1.7＝17，∴FC ＝HD ＝BD －BH ≈30－17＝13，∵133≈4.3，所以在四层的上面，即第五层．答：此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的5层．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019·深圳)如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD ＝600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED ＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC 的长．(sin 53°≈45，cos 53°≈ 35，tan 53°≈43)解：在RtABD 中，AB ＝AD ＝600(米)，作EM ⊥AC 于M ，则AM ＝DE ＝500(米)，∴BM ＝100米，在Rt △CEM 中，tan 53°＝CM EM ＝CM 600＝43，∴CM ＝800(米)，∴BC ＝CM －BM ＝800－100＝700(米)．答：隧道BC 长为700米．19．(2019·广元)如图，某海监船以60海里/小时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D 处海监船追到可疑船只，D 在B 的北偏西60°方向．(以下结果保留根号)(1)求B ，C 两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝30°，∴BE ＝BC ×sin ∠BCE ＝12BC ，CE ＝BC ×cos ∠BCE ＝32BC ，在Rt △ACE 中， ∵∠A ＝45°.∴AE ＝CE ＝32BC ，∵AB ＝60×1.5＝90，∴AE －BE ＝32BC －12BC ＝90，解得BC ＝90(3＋1)．故B ，C 相距(903＋90)海里．(2)过点D 作DF ⊥AB 于F ，由(1)，得DF ＝CE ＝32BC ，∴DF ＝135＋453，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，∴BD ＝2DF ＝270＋903，∴海监船追到可疑船只所用的时间为(270＋903)÷90＝(3＋3)h.20.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，DE ⊥BC 于E ，连接BD.若tan C ＝2，BE ＝3，CE ＝2，求点B 到CD 的距离．解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，则∠BFC ＝90°.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △DEC 中，∵tan C ＝2，EC ＝2，∴DE ＝4.在Rt △BFC 中，∵tan C ＝2，∴BF ＝2FC ，设BF ＝x ，则FC ＝12x ，∵BF 2＋FC 2＝BC 2，∴x 2＋(12x)2＝(3＋2)2，解得x ＝25，即BF ＝2 5.答：点B 到CD 的距离是2 5.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上． (1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．(1)证明：∵∠A ＝∠D ＝90°，∠ABF 与∠DFE 都与∠AFB 互余，∴∠ABF ＝∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE ；(2)解：∵sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝k .则EF ＝CE ＝3k ，AB ＝CD ＝4k ，∴DF ＝EF 2－DE 2＝22k ，由△ABF ∽△DFE ，得AF DE ＝AB DF ，即AF k ＝4k22k ，∴AF ＝2k ，∴BC ＝AD ＝2k ＋22k ＝32k ，∴tan ∠EBC ＝CE BC ＝3k 32k ＝22. 22．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长332米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．解：如图，延长OA 交直线BC 于点D ，∵AO 的倾斜角是60°，∴∠ODB ＝60°.∵∠ACD ＝30°，∴∠CAD ＝180°－∠ODB －∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，AD ＝AC·tan ∠ACD ＝332·33＝32(米)．∴CD ＝2AD ＝3(米)． 又∵∠O ＝60°，∴△BOD 为等边三角形．∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋32＝4.5(米)．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．六、(本大题共12分)23．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC ＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB 处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(203－20) cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2 030秒，交点又在什么位置？请说明理由．解：(1)如图①，过A点作AD⊥BC，垂足为D.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°.令AB＝2t cm.在Rt△ABD中，AD＝12AB＝t，BD＝32AB＝3t.在Rt AMD中，∵∠AMD＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD＝AD＝t.∵BM＝BD－MD.即3t－t＝203－20.解得t＝20.∴AB＝2×20＝40 cm.答：AB的长为40 cm.(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt△ABN中，BN＝ABcos 30°＝4032＝8033cm.∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点B8033cm处．如图③，设光线AP旋转2 030秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2＝16秒，而2 030＝126×16＋14，即AP旋转2 030秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ＝BN＝8033cm，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴BC＝2ABcos 30°＝2×40×32＝40 3 cm，∴BQ＝BC－CQ＝403－8033＝4033cm.答：光线AP旋转2 030秒后，与BC的交点Q在距点B的4033cm处．第二章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的交点坐标为(－1，0)和(－3，0)，则方程x2＋ax＋b＝0的解是( B )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x＝－3 D．x＝32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P从点C开始沿CA以1 cm/s 的速度向A点运动，同时动点Q从点C开始沿CB以2 cm/s的速度向B点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( C )3．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( D )A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B．点火后24 s火箭落于地面C．点火后10 s的升空高度为139 mD．火箭升空的最大高度为145 m4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点和第一、二、三象限，则(A)A．a>0，b>0，c＝0 B．a>0，b<0，c＝0C．a<0，b>0，c＝0 D．a<0，b<0，c＝05．(2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表，下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2; ③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(B)A.2 B．36．(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①b2>4ac，②abc<0，③2a＋b －c >0，④a ＋b ＋c <0.其中正确的是( A )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知一条抛物线的开口大小与y ＝x 2相同但方向相反，且顶点坐标是(2，3)，则该抛物线的表达式是 y ＝－x 2＋4x －1 .8．飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 24 m.9．若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为 －4 .10．如图，已知△OBC 是等腰直角三角形，∠OCB ＝90°，若点B 的坐标为(4，0)，点C 在第一象限，则经过O ，B ，C 三点的抛物线的表达式是 y ＝－12x 2＋2x .11．已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(a ≠0)(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值是__1__．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx(a>0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a>0)交于点B.若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是 －2 .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知当x ＝2时，抛物线y ＝a(x －h)2有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的表达式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．解：当x ＝2时，有最大值，所以h ＝2.此抛物线过(1，－3)，所以－3＝a(1－2)2，解得a ＝－3.此抛物线的表达式为y ＝－3(x －2)2.当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．14．已知抛物线y ＝－3x 2经过平移经过点(0，0)和(1，9)，求出平移后抛物线的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．解：设平移后抛物线的表达式为y ＝－3x 2＋bx ＋c ，将点(0，0)和(1，9)的坐标代入，得⎩⎨⎧c ＝0，－3＋b ＋c ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，c ＝0.∴平移后抛物线的表达式为y ＝－3x 2＋12x.∵y ＝－3x 2＋12x ＝－3(x －2)2＋12，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，12)．15.已知抛物线y ＝－a(x －2)2＋3经过点(1，2)．(1)求a 的值；(2)若点A(m ，y 1)，B(n ，y 2)(m ＞n ＞2)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小． 解：(1)把(1，2)代入y ＝－a(x －2)2＋3，得2＝－a(1－2)2＋3，解得a ＝1；(2)由(1)知原抛物线的表达式为y ＝－(x －2)2＋3，其开口向下，对称轴为直线x ＝2， ∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小． ∵m ＞n ＞2，∴y 1＜y 2.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)结合函数的图象探索，当y ＞0时，x 的取值范围．解：(1)由题意可得B(2，2)，C(0，2)，将B ，C 坐标代入y ＝－23x 2＋bx ＋c ，解得c ＝2，b ＝43，所以二次函数的表达式是y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)令y ＝0，解－23x 2＋43x ＋2＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，由图象可知：y ＞0时，x 的取值范围是－1＜x ＜3.17．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)与x 轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y 轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE ＝S △ABC 时，求点E 的坐标．解：(1)∵抛物线经过A ，B 两点，∴把A(－5，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎨⎧25a －5b －5＝0，9a ＋3b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝13，b ＝23，∴该抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －5.(2)∵y ＝13x 2＋23x －5，∴令x ＝0，则y ＝－5.∴C 点的坐标为(0，－5)，∵S △ABE ＝S △ABC ，∴点E的纵坐标与点C 的纵坐标相等，即点E 的纵坐标为－5，令13x 2＋23x －5＝－5，解得x 1＝－2，x 2＝0(舍去)，∴点E 的坐标为(－2，－5)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18．已知二次函数y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m.(1)求证：此二次函数图象与x 轴必有两个不同的交点；(2)若此二次函数图象与直线y ＝x －3m ＋4的一个交点在y 轴上，求m 的值．(1)证明：令y ＝0，有x 2－(2m －1)x ＋m 2－m ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(2m －1)2－4(m 2－m)＝1＞0，∴结论成立；(2)解：令x ＝0，代入y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m 与y ＝x －3m ＋4，得m 2－m ＝－3m ＋4，∴m ＝－1＋5或－1－ 5.19．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看作一点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4 m ，在一次表演中人梯到起点A 的水平距离为4 m ，问这次表演是否成功？请说明理由．解：(1)∵y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝⎛⎭⎫x －522＋194，∴该演员弹跳高度的最大值为194m ； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4，∴这次表演是成功的．20．如图，已知抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 经过点A(0，－6)和B(3，－9)．(1)求出抛物线的表达式；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(m ，m)(其中m ＞0)与点Q 均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标．解：(1)依题意有⎩⎨⎧a ×02－4×0＋c ＝－6，a ×32－4×3＋c ＝－9，即⎩⎨⎧c ＝－6，9a －12＋c ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－6.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －6.(2)把y ＝x 2－4x －6配方得y ＝(x －2)2－10，∴对称轴为直线x ＝2，顶点坐标(2，－10)．(3)由点P(m ，m)在抛物线上，有m ＝m 2－4m －6，即m 2－5m －6＝0.∴m 1＝6或m 2＝－1(舍去)，∴m ＝6，∴P 点的坐标为(6，6)．∵点P ，Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称，∴Q 点的坐标为(－2，6)． 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q.(1)求顶点P 的坐标； (2)写出平移过程；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)设抛物线m 的表达式为y ＝12x 2＋bx ＋c ，把点A(－6，0)，原点O(0，0)代入，得b ＝3，c＝0，∴抛物线m 的表达式为y ＝12x 2＋3x ＝12(x ＋3)2－92，所以顶点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－92. (2)把抛物线y ＝12x 2先向左平移3个单位长度，再向下平移92个单位长度即可得到抛物线y ＝12(x ＋3)2－92.(3)Q 点横坐标为－3，代入y ＝12x 2，可得Q ⎝⎛⎭⎫－3，92，图中阴影部分的面积＝S △OPQ ＝12×3×9＝272. 22．(2019·南充)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x ，y 元，根据题意得，⎩⎨⎧2x ＋3y ＝38，4x ＋5y ＝70，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝6.答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；(2)设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本的总金额为w 元， ①当30≤b ≤50时，a ＝10－0.1(b －30)＝－0.1b ＋13，w ＝b(－0.1b ＋13)＋6(100－b)＝－0.1b 2＋7b ＋600＝－0.1(b －35)2＋722.5，∵当b ＝30时，w ＝720，当b ＝50时，w ＝700， ∴当30≤b ≤50时，700≤w ≤722.5；②当50<b ≤60时，a ＝8，w ＝8b ＋6(100－b)＝2b ＋600，700<w ≤720，∴当30≤b ≤60时，w 的最小值为700元．答：这次奖励一等奖学生50人时，购买的奖品总金额最少，最少为700元．六、(本大题共12分)23．(2019·新疆)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，4)三点． (1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； (2)将(1)中的抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移h (h >0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D ′在△ABC 内，求h 的取值范围；(3)点P 为线段BC 上一动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作x 轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q ，当△PQC 与△ABC 相似时，求△PQC 的面积．题图 答图解：(1)函数表达式为y ＝a(x ＋1)(x －4)＝a(x 2－3x －4)，即－4a ＝4，解得a ＝－1，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4，顶点D(32，254)；(2)抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线的顶点D' (32－h ，52)，将点A ，C 的坐标代入一次函数表达式并解得直线AC 的表达式为y ＝4x ＋4，将点D' 坐标代入直线AC 的表达式得：52＝4(32－h)＋4，解得h ＝158，故0<h<158；(3)过点P 作y 轴的平行线交抛物线和x 轴于点Q ，H ，∵OB ＝OC ＝4，∴∠PBA ＝∠OCB ＝45°＝∠QPC ，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4，则AB ＝5，BC ＝42，AC ＝17，S ABC ＝12×5×4＝10，设点Q(m ，－m 2＋3m ＋4)，点P(m ，－m ＋4)，CP ＝2m ，PQ ＝－m 2＋3m ＋4＋m －4＝－m 2＋4m ，①当△CPQ ∽△CBA ，PC BC ＝PQ AB ，即2m42＝－m 2＋4m 5，解得m ＝114，相似比为PC BC ＝1116，②当△CPQ ∽△ACB ，同理可得相似比为PC AB ＝12225，利用面积比等于相似比的平方可得S PQC＝10×(1116)2＝605128或SPQC ＝10×(12225)2＝576125. 第三章检测题(BSD)(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知⊙P 的半径为4，圆心P 的坐标为(1，2)，点Q 的坐标为(0，5)，则点Q 与⊙P 位置关系是( C )A ．点Q 在⊙P 外B ．点Q 在⊙P 上C ．点Q 在⊙P 内D ．不能确定2．如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD 等于( D ) A ．20° B ．40° C ．50° D.80°3．如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( C )A ．πB.32πC ．2πD ．3π4．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为( B )A ．3∶4B .3∶2C ．2∶ 3D ．1∶25．如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是( D )A ．3 cmB . 6 cmC ．2.5 cmD . 5 cm 6．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( B )A .3＋12B .3－32C .3＋13D .3－33二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于69° . 8．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为533 cm . 9．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在BC ︵上(不与点B ，C 重合)，连接BE ，CE.若∠D ＝40°，则∠BEC ＝115度．10．(2019·内江)如图，在平行四边形ABCD 中，AB<AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为2π3＋ 3 ． 11．如图，P 是反比例函数y ＝4x (x ＞0)的图象上一点，以点P 为圆心、1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线y ＝3相切时，点P 的坐标为 (1，4)或(2，2) ．12．(2019·包头)如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 外一点，点C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点C ，∠CAB ＝90°，若BD ＝6，AB ＝4，∠ABC ＝∠CBD ，则弦BC 的长为．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BD 是直径，BD ＝2，连接CD ，求BC 的长．解：在⊙O 中，∵∠A ＝45°，∴∠D ＝45°. ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BCD ＝90°， ∴BC ＝BD·sin 45°＝2×22＝ 2. 14．如图，已知CD 平分∠ACB ，DE ∥AC.求证：DE ＝BC.证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴BD ︵＝AD ︵，∵DE ∥AC ，∴∠ACD ＝∠CDE ，∴AD ︵＝CE ︵，∴BD ︵＝CE ︵，∴DE ︵＝BC ︵，∴DE ＝BC.15．如图，两个同心圆中，大圆的弦AB ，AC 分别切小圆于点D ，E ，△ABC 的周长为12 cm ，求△ADE 的周长．解：连接OD ，OE.∵AB ，AC 分别切小圆于点D ，E ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AD ＝DB ，AE ＝EC ， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∴C △ADE ＝12C △ABC ＝12×12＝6 cm .16．如图所示，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 的长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求四边形ADBC 的面积．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. 又∵CD 平分∠ACB ， ∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝BD ＝22AB ＝22×6＝3 2. ∴S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝42＋9，∴四边形ADBC 的面积为42＋9.17．如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E.求证：IE 2＝AE·DE.证明：连接BE ，BI.∵I 为△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵∠6＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠4＋∠5， ∠5＝∠2＝∠1，∴∠IBE ＝∠6，∴IE ＝BE. ∵∠5＝∠1，∠E ＝∠E ，∴△BED∽△AEB，∴BEDE＝AEBE，∴BE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·DE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C 两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)．(1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线的表达式；(2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时b的取值范围．解：(1)直线BC表达式为y＝－3x＋3.(2)当BC切⊙O′于第二象限时，记切点为点D.易得DC＝ 5.∵BO＝BD＝b，∴BC＝5－b.12＋b2＝(5－b)2，得b＝25 5.同理当BC切⊙O′于第三象限D1点时，可求得b＝－25 5.故当b＞255或b＜－255时，直线BC与⊙O′相离；当b＝255或－255时，直线BC与⊙O′相切；当－255＜b＜255时，直线BC与⊙O′相交．19．(2018·南充)如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)求tan∠CAB的值．(1)证明：连接OC，BC，∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5.∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．(2)解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90° ，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB ＝90°，∴∠BCP＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP，在△PBC和△PCA中，∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴BCAC＝PBPC＝24＝12，∴tan∠CAB＝BC AC＝12.20．(齐齐哈尔中考)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.又∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°∴BC是⊙O的切线．(2)解：∵BF＝BC＝2且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠DBE＝∠OBE＝13∠ABC＝13×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝3BC＝23，∴⊙O的半径为3，连接OD，∴阴影部分面积为S扇形OBD－S△OBD＝16π×3－34×3＝π2－334.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019·安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E 两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：点H为CE的中点；(3)若BC＝10，cos C＝55，求AE的长．(1)解：DH与⊙O相切．理由：连接OD，AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH为⊙O的切线．(2)证明：连接DE，∵A，B，D，E四点共圆，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴CD＝ED，∵DH⊥CE，∴点H为CE的中点．(3)解：CD＝12BC＝5，∵cos C＝CDAC＝55，∴AC＝55，∵cos C＝CHCD＝55，∴CH＝5，∴CE＝2CH ＝25，∴AE ＝AC －CE ＝3 5.22．如图，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，点O 为AB 的中点．(1)求证：∠B ＝∠ACD ；(2)已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB ·BE . ①若tan ∠ACD ＝34，BC ＝10，求CE 的长；②试判断CD 与以A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由．(1)证明：∵∠ACB ＝∠DCO ＝90°，∴∠ACB －∠ACO ＝∠DCO －∠ACO ，即∠ACD ＝∠OCB ； 又∵点O 是AB 的中点，∴OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝∠B ， ∴∠B ＝∠ACD .(2)解：①∵BC 2＝AB ·BE ，∴BC AB ＝BEBC.∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△CBE ，∴∠ACB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠ACD ＝∠B ，∴tan ∠ACD ＝tan B ＝34，设BE ＝4x ，则CE ＝3x .由勾股定理，可知BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴(4x )2＋(3x )2＝100，∴解得x ＝2，∴CE ＝6.②CD 与⊙A 相切．理由如下： 过点A 作AF ⊥CD 于点F .∵∠CEB ＝90°，∴∠B ＋∠ECB ＝90°. ∵∠ACE ＋∠ECB ＝90°，∴∠B ＝∠ACE .∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠ACE ，∴CA 平分∠DCE .∵AF ⊥CD ，AE ⊥CE ，∴AF ＝AE ，∴直线CD 与⊙A 相切．六、(本大题共12分)23．(2019·荆州)如图AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，点P 是半径OB 上一动点(不与O ，B 重合)，过点P 作射线l ⊥AB ，分别交弦BC ，BC ︵于D ，E 两点，在射线l 上取点F ，使FC ＝FD .(1)求证：FC 是⊙O 的切线； (2)当点E 是BC ︵的中点时，①若∠BAC ＝60°，判断O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②若tan ∠ABC ＝34，且AB ＝20，求DE 的长．(1)证明：连接OC ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵PF ⊥AB ，∴∠BPD ＝90°，∴∠OBC ＋∠BDP ＝90°，∵FC ＝FD, ∴∠FCD ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠BDP ，∴∠FCD ＝∠BDP ，∴∠OCB ＋∠FCD ＝90°，∴OC ⊥FC ，FC 是⊙O 的切线．(2)解：连接OC ，OE ，BE ，CE ，OE 与BC 交于H. ①以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是菱形．理由：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∵点E 是BC ︵的中点，∴∠BOE ＝∠COE ＝60°，∵OB ＝OE ＝OC ，∴△BOE ，△COE 均为等边三角形，∴OB ＝BE ＝CE ＝OC ，∴四边形BOCE 是菱形．②∵AC BC ＝tan ∠ABC ＝34，设AC ＝3k ，BC ＝4k ，k>0.由AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3k)2＋(4k)2＝202，解得k ＝4，∴AC ＝12，BC ＝16，∵点E 是BC ︵的中心，∴OE ⊥BC ，BH ＝CH ＝8，∵S △BOE ＝12OE·BH ＝12OB·PE ，即12×10×8＝12×10×PE ，∴PE ＝8，又OP ＝OE 2－PE 2＝6，∴BP ＝OB －OP ＝4，∵DP BP ＝tan ∠ABC ＝34，∴DP ＝34BP ＝3，∴DE ＝PE －DP ＝8－3＝5.期中检测题(BSD)(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．对于函数y ＝－2(x －m)2的图象，下列说法不正确的是( D ) A ．开口向下 B ．对称轴是x ＝m C ．最大值为0 D ．与y 轴不相交 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，tan B ＝33，则Rt △ABC 的面积为( B ) A ．9 3B .923C ．9D ．183．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离(即PC 的长)为( D )A ．40海里B ．60海里C ．203海里D ．403海里4．若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点 ( B )A ．(－3，－6)B ．(－3，0)C ．(－3，－5)D ．(－3，－1)5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tan A 的值为( A )A .33B . 3C .12D .136．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|等于( D ) A ．a ＋b B ．a －2b C ．a －b D ．3a 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．某种型号的迫击炮发射炮弹时的飞行高度h(m )与飞行时间t(s )的关系满足h ＝－13t 2＋10t ，则经过 30 s ，发射的炮弹落地爆炸．8．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则∠C ＝ 90° . 9．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为 0，2或－2 .10．(2019·盐城)在△ABC 中，BC ＝6＋2，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为__2__． 11．(2019·宿迁)若∠MAN ＝60°，△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC12．已知抛物线y ＝23x 2＋43x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .点P 在对称轴上，当△PBC的周长最小时，点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－1，－43. 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：cos 60°－sin 45°＋14tan 230°＋cos 30°－sin 30°.解：原式＝12－22＋14×⎝⎛⎭⎫332＋32－12＝32－22＋112. 14．由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝，AC ＝43，求AB 的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB ＝10.你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，在Rt △ACH 中，CH ＝AC ·sin A ＝43×sin 30°＝23，AH ＝AC ·cos A ＝43×cos 30°＝6， ∴BH ＝AB －AH ＝4， ∴tan B ＝CH BH ＝32，∴污渍部分的内容是32. 15．(2019·凉山州)已知二次函数y ＝x 2＋x ＋a 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且1x 21＋1x 22＝1，求a 的值．解：函数y ＝x 2＋x ＋a 的图象与x 轴交于A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，∴x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2 ＝a ，∵1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22x 21x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2（x 1x 2）2＝1－2a a 2＝1，∴a ＝－1＋ 2 或a ＝－1－ 2. 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝x －4与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象交于点A (－1，m )．(1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 解：(1)∵A 点在一次函数的图象上，∴m ＝－1－4＝－5.∴点A 的坐标为(－1，－5)，∵A 点在二次函数图象上，∴－5＝－1－2＋c ，解得c ＝－2. (2)由①可知二次函数表达式为y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，∴二次函数的图象的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－1)．17．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者，在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别为45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米，为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan 65°≈2.1，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，2≈1.4)解：作AH ⊥CN 于点H .在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，BH ＝10.5－2.5＝8(m)， ∴AH ＝BH ＝8(m)， 在Rt △AHC 中，tan 65°＝CH AH， ∴CH ＝8×2.1≈17(m)，∴BC ＝CH －BH ＝17－8＝9(m)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 以C 为顶点，且经过点B ，求这条抛物线对应的函数表达式．解：∵直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴A (－2，0)，B (0，2)，∴△ABO 为等腰直角三角形．又∵AB ⊥BC ，∴△BCO 也为等腰直角三角形， ∴OC ＝OB ＝OA .∴C (2，0)，设抛物线对应的函数表达式为y ＝a (x －2)2， 将点B (0，2)的坐标代入得2＝a (0－2)2，解得a ＝12，∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －2)2，即y ＝12x 2－2x ＋2.19．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC.(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．解：(1)∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝92＋62＝313.∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ，∴△BEF ∽△BAD. ∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23， ∴EF ＝4，BF ＝6，∴DF ＝3，∴在Rt △DEF 中，DE ＝42＋32＝5米.20．为美化校园，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为192 m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值．解：(1)∵AB ＝x m ，则BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192，解得x 1＝12，x 2＝16，∴当花园的面积为192 m 2时，x 的值为12 m 或16 m .(2)由题意可得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，28－15＝13，∴6≤x≤13，∴当x＝13时，S最大＝－(13－14)2＋196＝195，∴花园面积S的最大值为195 m2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－1128(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解：(1)抛物线的表达式为y＝－364x2＋11(－8≤x≤8)．(2)令－1128(t－19)2＋8＝11－5.解得t1＝35，t2＝3.∴当3≤t≤35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32小时．答：禁止船只通行时间为32小时．22．(2019·岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin 62.3°≈0.89，cos 62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.解：(1)四边形CDBG，HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt AHE中，tan∠AEH＝AHHE，则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2，在Rt ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a－0.2，∴BD＝1.9a－0.2，答：小亮与塔底中心。
(北师大版)九年级数学下册(全册)章节检测卷汇总
(北师大版 )九年级|数学下册 (全册 )章节检测卷汇总北师大版九年级|数学下册单元检测第1章 -直角三角形的边角关系 (3 )附答案参考数值：41.12≈ ,73.13≈一、选择题 (每题3分 ,共30分 )1、在Rt △ABC 中 ,∠C =90° ,AC =3 ,BC =4 ,那么B cos 的值是 ( ) A 、54 B 、53 C 、43 D 、34 2、在Rt △ABC 中 ,如果各边长度都扩大为原来的2倍 ,那么锐角A 的正弦值 ( ) A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍D 、没有变化A 、A a c sin =B 、Aac cos =C 、A a c tan ⋅=D 、A a c sin ⋅=4．在△ABC 中 ,假设1tan =A ,22sin =B ,你认为对△ABC 最|确切的判断是 ( ) A ．是等腰三角形 B ．是等腰直角三角形 C ．是直角三角形D ．是一般锐角三角形5、等腰三角形的底角为30° ,底边长为23 ,那么腰长为 ( ) A ．4B ．23C ．2D ．226、如图1 ,在菱形ABCD 中 ,∠ABC =60° ,AC =4 ,那么BD 长为 ( ) A ．83B ．43C ．23D ．87．在△ ABC 中 ,∠C =90° ,53sin =B ,那么A cos 的值是( ) A 、53 B 、34 C 、54 D ．438、如图2 ,沿AC 方向开山修路 ,为了加快施工进度 ,要在小山的另一边AC同时施工．从AC 上的一点B ,取∠ABD =145° ,BD =500米 ,∠D =55° ,要使A ,C ,E 成一直线 ,那么开挖点E 离点D 的距离是 ( ) A 、500sin55°米 B 、500cos55°米 C 、500tan55°米D 、500tan35°米9、如图3 ,在矩形ABCD 中 ,D E ⊥AC ,垂足为E ,设∠ADE =α ,且cos α =35,AB =4 , 那么AD 的长为 ( ) A 、3 B 、163C 、203D 、16510．甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上 (梯子顶端靠墙 ) , 小明测得：甲与地面的夹角为60°；乙的底端距离墙脚3米 ,且顶端距离墙脚3米；丙的坡度为3 .那么 ,这三张梯子的倾斜程度 ( )A ．甲较陡B ．乙较陡C ．丙较陡D ．一样陡二、填空题 (每题5分 ,共25分 )11、在△ABC 中 ,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a 、b 、c ,1=a ,1=b ,2=c ,那么=A sin __________12、比拟以下三角函数值的大小：︒40sin ︒50sin13、小芳为了测量旗杆高度 ,在距旗杆底部6米处测得顶端的仰角是60° ,小芳的身高不计 ,那么旗杆高 米 . (保存根号 ) 14、在ABC ∆中 ,假设90C ∠=︒ ,1sin 2A = ,2AB = ,那么ABC ∆的周长为 (保存根号 )15．如图 ,在某建筑物AC 上 ,挂着 "多彩云南〞的宣传条幅BC ,小明站在点F 处 ,看条幅顶端B ,测的仰角为︒30 ,再往条幅方向前行20米到达点E 处 ,看到条幅顶端B ,测的仰角为︒60 ,那么宣传条幅BC 的长为 米 (小明的身高不计 ,结果精确到0.1米 )三、解答题 (16题6分 ,17题9分 ,18题9分 ,19题10分 ,20题11分 )16、计算：︒+︒-︒60tan 245cos 330sin17、如图10 ,在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地面成60°角,另一根拉线BC与地面成45°角,试求两根拉线的长度. (精确到0.1米)18、某村方案开挖一条长1500米的水渠,渠道的断面为等腰梯形,渠道深0.8米,下底宽1.2米,坡角为450 (如下图) ,求挖土多少立方米.19、如图,CD是平面镜,光线从A出发经CD上点E发射后照射到B点.假设入射角为α,AC⊥CD ,BD⊥CD ,垂足分别为C、D ,且AC =3 ,BD =6 ,CD =11求tanα的值.BαAC E DD CBA20、如图,为测得峰顶A到河面B的高度h ,当游船行至|C处时测得峰顶A的仰角为α ,前进m米至|D处时测得峰顶A的仰角为β (此时C、D、B三点在同一直线上).(2)当α =45°,β =60°,m =50米时,求h的值.(精确到0.1m ,2≈1.41 ,3≈1.73 )如图,在东海中某小岛上有一灯塔A ,A塔附近方圆25海里范围内有暗礁．我海军110舰在O 点处测得A塔在其西北30°方向；再向正西方向行驶20海里到达B处,测得A塔在其西北方向45° ,如果该舰继续向西航行,是否有触礁的危险?请通过计算说明理由．答案：11、2212、< 13、3614、33+解答题 16、解：原式＝3222321⋅+⨯-............3分 ＝62621+-....................5分 ＝2621+＝261+...........6分17、解：根据题意 ,△CDA 和△CDB 是Rt △CD ＝5在Rt △CDA 中︒=60sin ACCD................................1分 ∴8.5331031032523560sin ≈==⨯=÷=︒=CD AC (米 )...................4分在Rt △CDB 中︒=45sin CBCD.................................5分 ∴1.725221021022522545sin ≈===⨯=÷=︒=CD CB (米 ) (8)分答：两根拉线AC 为5.8米 ,CB 为7.1米.....................................9分18、解：过A 、B 两点作AE ⊥DC ,BF ⊥CD ,垂足分别是E 、F..............1分那么AE ＝BF ＝0.8米 ,EF ＝AB ＝1.2米..............................2分 ∵坡角为45° ,CD//AB∴∠EDA ＝∠BCF ＝45°..................................3分 在Rt △DEA 和Rt △FCB 中8.045tan =⋅︒=DE AE ；8.045tan =⋅︒=FC BF ..................................5分 ∴DC ＝DE +EF +FC ＝0.8 +1.2 +0.8＝2.8米..................................6分()150021⨯⋅+⨯=AE AB DC V ..................................7分＝15008.0421⨯⨯⨯ ×1500＝2400 (米3 )..................................8分答：挖出的土有2400米3..................................9分19、解：∵AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,∴∠ACE ＝∠BDE ＝90°..................................1分∴∠A +∠AEC ＝90°..................................2分 又∵∠α +∠AEC ＝90°∴∠A ＝∠α..................................3分根据题意 ,∠AEC ＝∠BED..................................4分 ∠ACE ＝∠BDE∴△AEC ∽△BED..................................5分∴2163===ED CE BD AC ..................................6分 ∴2111=-CE CE ..................................8分 CE CE -=112311=CE ..................................9分∴91133113311tan tan =÷====∠AC CE A α..................................10分20、解：根据题意：△ABD 和△ABC 是Rt △在Rt △ABD 中βtan =BDh..................................1分 βtan hBD =..................................2分 在Rt △ABC 中αtan =BCAB..................................3分 αtan hC B =..................................4分又∵DC ＝BC －BD ∴()βααββαtan tan tan tan tan tan ⋅-=-=h h h m ..................................6分 ()αβαβtan tan tan tan -⋅=m h .......................................7分 (2 )根据 (1 )的结果可得：()3.1181335045tan 60tan 60tan 45tan 50≈-=︒-︒︒⋅︒=h ...........10分答：h 的值为：118.3米............................11分附加题解：不会触礁过A 作AC ⊥BD ,垂足为C 设AC ＝x在Rt △ACB 中 ,∠ABC ＝45° ∴︒=45tan BCACBC BC AC =︒⋅=45tan∴OC ＝BC +BO ＝AC +BO ＝x +20 在Rt △ACO 中 ,∠AOC ＝30° ∴︒=30tan OCAC3120=+x x ；203+=x x203=-x x()2013=-x()()()()73.21310131313201320≈+=+-+=-=x∵253.27>=x ,∴不会触礁 .参考题22． (6分 )某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法 ,如以下图所示．图中a b c ，，表示长度 ,β表示角度．请你求出AB 的长度 (用含有a b c β，，，字母的式子表示 )．(1 )______AB =______(2 )______AB =_______ (3 )______AB =_______23． (9分 )如图 ,在梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,∠B =90° ,AD =2 ,BC =5 ,tanC =34．(1 )求点D 到BC 边的距离； (2 )求点B 到CD 边的距离．24． (10分 )一°°方向上．之后 ,轮船继续向东航行多少海里 ,距离小岛C 最|近 ?(参考数据：sin21.3°≈925,°≈25 ,tan21.3°≈25 ,sin63.5°≈910°≈21 ,tan63.5°≈2 )(1 ) A C Bab(2 ) ACBaβ(3 ) AC Ba DEcbA BC北东北师大版九年级|数学下册单元检测第2章 -二次函数 (3 )附答案一、选择题(本大题共8小题 ,每题4分 ,共32分)1．在以下函数关系式中 ,y 是x 的二次函数的是( )．A ．x y＝6 B ．xy ＝－6 C ．x 2＋y ＝6 D ．y ＝－6x 2．抛物线①y ＝2x 2,②y ＝223x －7 ,③y ＝213x ＋5中 ,开口从大到小的顺序为( )．A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③3．如图 ,平面直角坐标系中 ,两条抛物线有相同的对称轴 ,那么以下关系正确的选项是( )．A ．m ＝n ,k ＞hB ．m ＝n ,k ＜hC ．m ＞n ,k ＝hD ．m ＜n ,k ＝h4．在反比例函数y ＝a x中 ,当x ＞0时 ,y 随x 的增大而减小 ,那么二次函数y ＝ax 2－ax 的图象大致是以下图中的( )．5．如下图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中 ,刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a －b ＜0；(4)a ＋b ＋c ＜0.你认为其中错误的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个6．二次函数y ＝2x 2＋9x ＋34 ,当自变量x 取两个不同的值x 1 ,x 2时 ,函数值相等 ,那么当自变量x 取x 1＋x 2时的函数值与( )．C ．x ＝14时的函数值相等D ．x ＝94-时的函数值相等 7．函数y 1＝x 2与函数y 2＝12x -＋3的图象如下图 ,假设y 1＜y 2 ,那么自变量x 的取值范围是( )．A ．32-＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜32- C ．－2＜x ＜32 D ．x ＜－2或x ＞328．根据下表中的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值 ,可判断该二次函数的图象与x 轴( ).x … －1 0 1 2 …y … －174-－274-…A ．只有一个交点B ．有两个交点 ,且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点 ,且它们均在y 轴同侧D ．无交点 二、填空题(本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分)9．把抛物线y ＝3x 2先向左平移3个单位长度 ,再向上平移2个单位长度 ,所得抛物线的解析式为______．10．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与x 轴的交点如下图 ,根据图中信息可得到m 的值是__________．11．二次函数的图象开口向下 ,且与y 轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的关系式__________．12．假设直线y ＝ax －6与抛物线y ＝x 2－4x ＋3只有一个交点 ,那么a 的值是__________．13．给出以下命题：命题1.点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点． 命题2.点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线y ＝3x与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题 ,猜测出命题n(n是正整数)：__________________________.三、解答题(本大题共4小题 ,共43分)14．(8分)点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax＋b图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点 ,求这个二次函数的图象的顶点坐标．15．(10分)如图① ,是苏州某河上一座古拱桥的截面图 ,拱桥桥洞上沿是抛物线形状 ,抛物线两端点与水面的距离都是1 m ,拱桥的跨度为10 m ,桥洞与水面的最|大距离是5 m ,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．假设把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线的解析式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．图①图②16．(12分)如下图 ,二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0) ,另一个交点为B ,且与y轴交于点C．(1)求m的值；(3)该二次函数图象上有一点D(x ,y)(其中x＞0 ,y＞0) ,使S△ABD＝S△ABC ,求点D的坐标．17．(13分)宏达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源 ,待货物售出后再进行结算 ,未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时 ,月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润 ,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时 ,月销售量就会增加吨．综合考虑各种因素 ,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元) ,该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时 ,计算此时的月销售量；(2)求出y与x的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)请把(2)中的二次函数配方成y＝a(x－h)2＋k的形式 ,并据此说明 ,该经销店要获得最|大月利润 ,售价应定为每吨多少元 ?(4)小静说： "当月利润最|大时 ,月销售额也最|大．〞你认为对吗 ?请说明理由参考答案1．答案：C2．解析：二次项系数的绝|对值越小 ,开口越大． ∵1233<-＜2 ,∴抛物线的开口从大到小的顺序为③②① 答案：B 3．答案：A4．解析：在反比例函数y ＝ax中 ,当x ＞0时 ,y 随x 的增大而减小 ,所以a ＞0. 所以二次函数y ＝ax 2－ax 开口向上 ,且与x 轴交于(0,0)和(1,0)点 ,应选A ． 答案：A5．解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点 , ∴b 2－4ac ＞0.∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点坐标是(0 ,c ) , 又a ＜0 ,∴2a －b ＜0.当x ＝1时 ,y ＜0 ,即当x ＝1时 ,y ＝a ＋b ＋c ＜0 , ∴只有(2)错误． 答案：D6．解析：利用抛物线的对称性可知 ,x 1＋x 2正好是对称轴的横坐标x 的值的2倍 ,即x 1＋x 2＝ba-.以对称轴为根底 ,正好与x ＝0时的函数值相等． 答案：B7．解析：y 1＜y 2 ,即抛物线在直线下方的那局部对应的自变量x 的取值范围 ,需求出直线与抛物线的两交点坐标．答案：C8．解析：根据表中x ,y 的对应值描出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的大致图象 ,可以看出 ,该二次函数的图象与x 轴有两个交点 ,且它们分别在y 轴两侧．答案：B9．解析：抛物线y ＝3x 2的顶点是(0,0) ,先向左平移3个单位长度 ,再向上平移2个单位长度后是(－3,2)．所以 ,所得抛物线的解析式是y ＝3(x ＋3)2＋2.答案：y ＝3(x ＋3)2＋210．解析：把(1,0)的坐标代入二次函数y ＝x 2－mx ＋3的解析式 ,得1－m ＋3＝0.解得m ＝4.答案：411．答案：y ＝－x 2－2x ＋3(满足条件即可 ,答案不惟一)12．解析：由题意 ,知26,43y ax y x x =-⎧⎨=-+⎩只有一个解 ,即方程x 2－(4＋a )x ＋9＝0有两个相等的实数根．所以(4＋a )2－4×1×9＝0. 解得a ＝2或a ＝－10. 答案：2或－1013．答案：点(1 ,n )是双曲线y ＝n x与抛物线y ＝nx 2的一个交点 14．解：(1)∵点A(1,1)在二次函数y ＝x 2－2ax ＋b 的图象上 ,∴1＝1－2a ＋B ．可得b ＝2A(2)根据题意 ,方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个相等的实数根 ,∴4a 2－4b ＝4a 2－8a ＝0.解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时 ,y ＝x 2,这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0)；当a ＝2时 ,y ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0)． ∴这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．15．解：(1)抛物线的顶点坐标为(5,5) ,与y 轴的交点坐标是(0,1)．设抛物线的解析式是y ＝a (x －5)2＋5 , 把(0,1)代入y ＝a (x －5)2＋5得a ＝425-. ∴y ＝425-(x －5)2＋5(0≤x ≤10)． (2)由得两盏景观灯的纵坐标都是4 , ∴4＝425-(x －5)2＋5. ∴425(x －5)2＝1.∴x 1＝152 ,x 2＝52. ∴两盏景观灯间的距离为5米．16．解：(1)将(3,0)代入二次函数解析式 ,得－32＋2×3＋m ＝0.解得m ＝3.(2)二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 ,令y ＝0 ,得－x 2＋2x ＋3＝0 解得x ＝3或x ＝－1.∴点B 的坐标为(－1,0)．(3)∵S △ABD ＝S △ABC ,点D 在第|一象限 , ∴点C ,D 关于二次函数的对称轴对称．∵由二次函数解析式可得其对称轴为x ＝1 ,点C 的坐标为(0,3) ,∴点D 的坐标为(2,3)．17．解：(1)45＋26024010-×＝60(吨)．(2)y ＝(x －100)260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭,化简得y ＝234x -＋315x －24 000.(3)y ＝234x -＋315x －24 000要获得最|大月利润 ,售价应定为每吨210元．(4)小静说的不对．理由：当月利润最|大时 ,x 为210元 ,而对于月销售额W ＝x 260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭＝34-(x －160)2＋19 200来说 ,当x 为160元时 ,月销售额W 最|大．∴当x 为210元时 ,月销售额W 不是最|大． ∴小静说的不对．北师大版九年级|数学下册单元检测第3章 -圆 (3 )附答案一、选择题 (每题4分 ,共40分 )每题只有一个正确答案 ,请将正确答案的番号填在括号内.1、平行四边形的四个顶点在同一圆上 ,那么该平行四边形一定是 ( )A 、正方形B 、菱形C 、矩形D 、等腰梯形2、假设⊙A 的半径为5 ,圆心A 的坐标是(3 ,4) ,点P 的坐标是(5 ,8) ,你认为点P 的位置为 ( )3、以下所述图形中对称轴最|多的是 ( )A 、圆B 、正方形C 、正三角形D 、线段4、以下四个命题中正确的选项是 ( )A 、①②B 、②③C 、③④D 、①④5、过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ,切点为A 和B ,假设AB =8 ,AB 的弦心距为3 ,那么PA 的长为( ) A 、5B 、320C 、325 D 、86、如图1 ,PA 切⊙O 于A ,AB ⊥OP 于B ,假设PO =8 cm ,BO =2 cm ,那么PA 的长为( )A 、16 cmB 、48 cmC 、3 cmD 、43 cmA BOPO 1O2AB C A'C '图1 图2 图37、如图2 ,半径为1的四个圆两两相切 ,那么图中阴影局部的面积为 ()A 、4－πB 、8－πC 、(4－π)D 、4－2πA 、16πB 、38π C 、364π D 、316π 9、如图4 ,△ABC 是正三角形 ,曲线ABCDEF …叫做 "正三角形的渐开线〞 ,其中、 、、 、… 圆心依次按A 、B 、C 循环 ,它们依次相连接 ,如果AB =1 ,那么曲线CDEF 的长是 ( )A 、8πB 、6πC 、4πD 、2πBCDE FABCDE mnOOABC D图4 图5 图6 图7 10、一个圆台形物体的上底面积是下底面积的41.如图5 ,放在桌面上 ,对桌面的压强是200 帕 ,翻过来放 ,对桌面的压强是 ( )A 、50帕B 、80帕C 、600帕D 、800帕 二、填空题(每题3分 ,共30分)11、如果⊙O 的半径为r ,点P 到圆心O 的距离为d ,那么：①点P 在⊙O 外 ,那么______；②______ 那么d =r ；③______那么d <r .12、两个同心圆的直径分别为5 cm 和3 cm ,那么圆环局部的宽度为_____ cm.13、如图6,⊙O ,AB 为直径 ,AB ⊥CD ,垂足为E ,由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来. .14、 ,⊙O 的直径为10 cm ,点O 到直线a 的距离为d ：①假设a 与⊙O 相切 ,那么d =______；②假设d =4 cm ,那么a 与⊙O 有_____个交点；③假设d =6 cm ,那么a 与⊙O 的位置关系是_____.15、两个同心圆的半径分别为3 cm 和4 cm ,大圆的弦BC 与小圆相切 ,那么BC =_____ cm. 16、如图7 ,在△ABC 中 ,AB =AC ,∠C =72° ,⊙O 过AB 两点且与BC 切于B ,与AC 交于D ,DE EF连结BD ,假设BC =5－1 ,那么AC =_____.17、要修一段如图8所示的圆弧形弯道 ,它的半径是48 m ,圆弧所对的圆心角是60° ,那么这段弯道长_____________________m(保存π).图8 图9 图10 图1118、如图9 ,两个半圆中 ,长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切 ,那么图中阴影局部的面积等于_____________.19、要制造一个圆锥形的烟囱帽 ,如图10 ,使底面半径r与母线l的比r∶l =3∶4 ,那么在剪扇形铁皮时 ,圆心角应取_____.20、将一根长24 cm的筷子 ,置于底面直径为5 cm ,高为12 cm的圆柱形水杯中(如图11).设筷子露在杯子外面的长为h cm ,那么h的取值范围是_____.三、解答题 (每题10分 ,共30分 )21、(10分)如图12,小虎牵着小狗上街 ,小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时 ,小狗在平整的地面上活动的最|大区域是多少 ?并画出平面图.1.5m小图1222、(10分)：三角形ABC 内接于⊙O ,过点A 作直线EF .(1)如图13 ,AB 为直径 ,要使得EF 是⊙O 的切线 ,只需保证∠CAE =∠_____ ,并证明之;(2)如图14 ,AB 为⊙O 非直径的弦 ,(1)中你所添出的条件仍成立的话 ,EF 还是⊙O 的切线吗 ?假设是 ,写出证明过程；假设不是 ,请说明理由并与同学交流.A B CEFOAE F图13图1423、(10分)中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌 ,我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学.1300多年前 ,我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形(如图15).经测量 ,桥拱下的水面距拱顶6 m 时 ,水面宽34.64 m ,桥拱跨度是37.4 m ,运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高.(运算时取37.4 =147 ,34.64 =203)图15参考答案一、选择题 1、C ；2、A ；3、A ；4、C ；5、B ；6、D ；7、A ；8、D ；9、C ；10、D. 二、填空题 1、d >r 点P 在⊙O 上 点P 在⊙O 内；2、1；3、C E =ED ,,AC AD CmB DmB ==；4、①5 cm ②两 ③外离；5、27；6、2；7、16π；8、29π；9、270°；10、11≤h ≤12. 三、解答题21、解：小狗在地平面上环绕跑圆的半径为225.15.2- =2.0(m).小狗活动的区域是以2.0 m 为半径的圆 ,如右图. 22、(1)ABC 证明：∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ACB =90°.∴∠BAC +∠ABC =90°. 假设∠CAE =∠ABC . ∴∠BAC +∠CAE =90°, 即∠BAE =90° ,OA ⊥AE . ∴EF 为⊙O 的切线.(2)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ,连接CD , ∴∠ADC =∠ABC . ∵AD 为⊙O 的直径, ∴∠DAC +∠ADC =90°.∵∠CAE =∠ABC =∠ADC , ∴∠DAC +∠CAE =90°. ∴∠DAE =90°, 即OA ⊥EF ,EF 为⊙O 的切线. 23、解：如图 ,设圆弧所在圆的圆心为O ,AB =37.4 =147 m, CD =34.6 =203 m, GE =6 m.在Rt △OCE 中, OE =OC －6, CE =103. ∵OC 2=CE 2+OE 2, ∴OC 2=(103)2+(OC －6)2.∴OC =28(m) . ∴OA =28. 在Rt △OAF 中 ,AF =77, ∴)m (21)77(282222=-=-=AFOA OF .∴拱高GF =28－21 =7(m) .∴FA =FN +NM －AM =82 +1.6－42 =42≈7.26.ABS 四边形ADEF =21(AF +DE )·EN =21(7.26 +1.6)×≈25.07(m 2). V 体积 =S 四边形ADEF ×××103(m 3).×103m 3的土方.北师大版九年级|数学下册单元检测第4章 -统计与概率 (3 )附答案一、选择题(本大题共8小题 ,每题5分 ,共40分)1．以下说法中 ,不正确的选项是( )．A ．可以很清楚地表示出各局部同总体之间关系的统计图是条形统计图B ．能清楚地反映出数量增减变化的统计图是折线统计图D ．为了清楚地反映出全校人数同各年级|人数之间的关系 ,应选择扇形统计图2．某次考试中 ,某班级|的数学成绩统计图如下．以下说法错误的选项是( )．A ．得分在70～80分之间的人数最|多B ．该班的总人数为40C ．得分在90～100分之间的人数最|少D ．及格(≥60分)人数是263．如图是光明中学乒乓球队队员年龄分布的条形图．这些年龄的众数、中位数、极差依次分别是( )．A ．15,15,5B ．15,15.5,6 ,84．如图 ,将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域 ,假设指针固定不变 ,转动这个转盘一次(如果指针指在等分线上 ,那么重新转动 ,直至|指针指在某个扇形区域内为止) ,那么指针指在甲区域内的概率是( )．5．在拼图游戏中 ,从图①中的四张纸片中 ,任取两张纸片 ,能拼成 "小房子〞(如图②)的概率等于( )．① ②A ．1 B.12 C.13 D.236．小洋在一次转转盘活动中得知获得100元代金券的概率是5% ,获得50元代金券的概率是10% ,获得20元代金券的概率是20% ,无其他面额的代金券 ,那么他每转动一次转盘获得代金券金额的平均数是( )．A ．14元B ．16元C ．18元D ．20元7．如图是两个可以自由转动的转盘 ,每个转盘被分成两个扇形 ,同时转动两个转盘 ,转盘停止后 ,指针所指区域内的数字之和为4的概率是( )．A.12 B.13 C.14 D.158．甲、乙两人打赌 ,甲说： "我从去掉大小|王的一副扑克牌中任意抽取一张 ,如果是红色 ,我赢．〞乙说： "如果我抽到的是方片 ,我赢．〞甲又说： "如果我赢 ,我就弹你一下脑壳．〞乙答复： "如果我赢 ,就弹你两下〞．你认为他们的这个游戏( )．A ．公平B ．不公平 ,对甲有利C ．不公平 ,对乙有利D ．不能判断 二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分)9．如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．根据统计图 ,甲户、乙户全年食品支出费用相比__________．(填 "甲户多〞 "甲户少〞或 "无法比拟〞)10．某超市在 "六一〞期间开展有奖销售活动 ,凡购物满100元的顾客可得奖券1张．本次活动共发放奖券1 000张 ,经过摇奖产生一等奖1名 ,奖金400元；二等奖2名 ,奖金各200元；三等奖10名 ,奖金各50元．某人在这次活动中购物满100元 ,他中三等奖的概率是________．11．甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏 ,游戏的规那么如下：甲、乙轮流抛掷 ,假设同时抛出两个正面 ,乙得1分；抛出其他结果 ,甲得1分 ,谁先累积到10分 ,谁就获胜 ,你认为________(填 "甲〞或 "乙〞)获胜的可能性更大．12．今年 "五一〞节 ,益阳市某超市开展 "有奖促销〞活动 ,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的时机(如图 ,转盘被分为8个全等的小扇形) ,当指针最|终指向数字8时 ,该顾客获一等奖；当指针最|终指向2或5时 ,该顾客获二等奖(假设指针指向分界线那么重转)．经统计 ,当天发放一、二等奖奖品共600份 ,那么据此估计参与此次活动的顾客为__________人次．三、解答题(本大题共4小题 ,共40分)13．(10分)某一音响制品店一天的销售情况如下图：(1)民歌类唱片与通俗歌曲唱片销售量之比是多少 ?(2)要使读者更为直观地看出这几类音响制品的销售量之比 ,上图应作怎样的改动 ?14．(8分)如图②是中国象棋棋盘的一局部 ,图中红方有两个马 ,黑方有三个卒子和一个炮 ,按照中国象棋中马的行走规那么(马走日字 ,例如 ,按图①中的箭头方向走) ,红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少 ?15．(10分)从－2 ,－1,1,2这四个数中任取两个不同的数作为一次函数y＝kx＋b的系数k ,b ,求所得一次函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率．16．(12分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌 ,它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸取出一张纸牌然后放回 ,再随机摸取出一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏 ,如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数 ,那么甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数 ,那么乙胜．这是个公平的游戏吗 ?请说明理由．参考答案1．答案：A2．解析：由图可知 ,及格(≥60分)人数是12＋14＋8＋2＝36 ,所以选项D错误．答案：D3．答案：A4．答案：D5．解析：运用列表法或树状图计算概率 ,注意是 "无放回〞型．答案：D6．解析：每转动一次转盘获得代金券金额的平均数是100×5%＋50×10%＋20×20%＝14(元)．答案：A7．解析：将左边的转盘分成3个相等的扇形区域 ,采取列表法或画树状图法列举所有等可能的情况 ,共有6种 ,其中指针所指区域内的数字之和为4的情况共有2种 ,所以所求概率为13.答案：B8．解析：P(甲胜)＝261522= ,甲平均每次弹乙的下数为12×1＝12；P(乙胜)＝131524= ,乙平均每次弹甲的下数为14×2＝12.因此游戏是公平的．答案：A9．答案：无法比拟10．解析：他中三等奖的概率是101 1000100=.答案：1 10011．解析：共有(正 ,正) ,(正 ,反) ,(反 ,正) ,(反 ,反)四种时机均等的情况 ,其中(正 ,正)发生的概率为14,其余情况发生的概率为34,所以甲获胜的可能性更大．答案：甲12．解析：600÷38＝1 600.答案：1 60013．解：(1)民歌类唱片与通俗歌曲唱片销售量之比为80∶120＝2∶3.(2)纵轴上的数值应从0开始．14．解：红方马走一步可能的走法有14种 ,其中有3种情况吃到了黑方棋子 ,所以红马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是3 14.15．－2 －1 1 2－2 (－2 ,－1) (－2,1) (－2,2)－1 (－1 ,－2) (－1,1) (－1,2)1 (1 ,－2) (1 ,－1) (1,2)2 (2 ,－2) (2 ,－1) (2,1)由上表可知 ,共12种等可能结果 ,其中满足k＞0 ,b≥0的有(1,2) ,(2,1)两种 ,所以所得一次函数y＝kx＋b不经过第四象限的概率是21 126=.列表法：列表如下：乙甲1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8由上表可以看出 ,摸取一张纸牌然后放回 ,再随机摸取一张纸牌 ,可能结果有16种 ,它们出现的可能性相等．(1)两次摸取纸牌上数字之和为5(记为事件A)的有4个 ,P(A)＝41 164=.(2)这个游戏公平 ,理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)的有8个 ,P(B)＝81 162= ,两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)的有8个 ,P(C)＝81 162= ,两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同 ,所以这个游戏公平．。
北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案
北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( )A． sin A=53B．cos A=23C．sin A=23D．tan A=522．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A．35B．45C．43D．343．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝35，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．16 3C. 203D．165二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝34，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =163，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝35．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案 1．C[提示：sinA=BCAB．] 2．D[提示：过A 点作垂线交底部于C 点，则△ACB 为直角三角形，∴BC ＝2222106AB AC -=-＝8(m)，∴tan a ＝68＝34．故选D ．]3．B[提示：∠ADE 和∠EDC 互余，∴cos a ＝sin ∠EDC ＝35，sin ∠EDC ＝3,45EC EC DC ==∴EC =125.由勾股定理，得DE ＝165．在Rt △AED 中，cos a ＝16355DE AD AD ==,∴AD＝163．故选B ．] 4．4[提示：在Rt △BCA 中，AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34AC AB =，所以AB ＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin 2a ＋cos 2a ＝l ，∴a ＝48°．] 6．提示：sin A ＝13，cos A ＝223，tan A =24.7．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD ，∴CD 2＝AD ·DB ＝16，∴CD =4，∴AC =22203AD CD +=．∴sin A ==35CD AC =，cos A ＝45AD AC =，tan A =34CD AD =. 8．解：(1)如图l －27所示，作BH ⊥OA ， 垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH =3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH =3，∴AB ＝22223635BH AH +=+=，∴cos ∠BAO=635AH AB == 255． 9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BD ＝12B C = 12AD ，即AD ＝2BD ，∴AB ＝225BD AD +=BD ，∴tan ∠ABC=ADBD=2,sin ∠ABC=AD AB =255 (2)作BE ⊥AC 于E ，在Rt △BEC 中，sinC=sin ∠ABC=255.又∵sin C=,BEBC.5BE故BE=.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ）A ．3B ．33 C ．21 D ．233．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长是 ( ) A ．3＋3 B ．2＋23 C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A ．32a B ．a C.12a D ．12a 或32a 二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan2B= ． 6．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A ＝32,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则 ＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角 ＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53,若关于x的方程(53＋b)x2＋2ax＋(53－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案 1． D ； 2 。
北师大版九年级数学下册 3.7切线长定理 同步练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝( ) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数( )A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为( )A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( ) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为______．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝______．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB 于点C ，D.若PA ＝4，则△PCD 的周长为______．13．如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E.若点D 是AB 的中点，则∠DOE ＝______．14．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长．B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为______．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是______．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．C组(综合题)20.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．21.如图，P为⊙O外一点，PA，PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.22．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.求证：(1)直线CD是⊙O的切线；(2)OA2＝DE·CE.参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题A组(基础题)1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(D) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为(C)A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数(C)A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(A)A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(B)A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为2．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8．13．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°.14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP. 又∵∠P ＝60°，∴△ABP 是等边三角形． ∴∠PAB ＝60°. ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为25．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是①②⑤．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积．解：(1)∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∴∠APB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴PA ＝PB.∴点P 在AB 的垂直平分线上． 同理，点O 在AB 的垂直平分线上． ∴PO 垂直平分AB.∵∠APB ＝60°，∠AOB ＝120°，∴∠OPB ＝∠OPA ＝30°，∠POB ＝∠POA ＝60°. ∵PO ＝20 cm ，∴OB ＝10 cm. ∴OD ＝OB ·cos ∠POB ＝5 cm ， BD ＝OB ·sin ∠POB ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BD ＝10 3 cm.∴S △AOB ＝12×103×5＝253(cm 2)．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．解：(1)根据切线长定理，知AB ＝AC. (2)连接OB ，OA. ∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3AB. ∴圆的直径为23AB.故只需测得AB 的长，就可求得圆的直径．19．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．解：设AF ＝x.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB.又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1.∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x.在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x ＝14. ∴DF ＝1－x ＝34. ∴S △CDF ＝12×1×34＝38.C 组(综合题)20.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ；(2)求BE 和CG 的长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB.∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DCB. ∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°. ∴∠BOC ＝90°.∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC ，∴Rt △BOF ∽Rt △BCO.∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ，∴BC ＝BO 2＋CO 2＝10(cm)．∴BF 6＝610. ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切，∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∴CG ＝CF ＝BC －BF ＝6.4 cm.21.如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：(1)∠APB ＝2∠ABC ；(2)AC ∥OP.证明：(1)连接AO ，∵PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，∴∠APO ＝∠BPO ，OA ⊥AP ，PA ＝PB.∴∠APB ＝2∠BPO ，∠OBP ＝90°，PO ⊥AB.∴∠OBA ＋∠ABP ＝90°，∠ABP ＋∠BPO ＝90°.∴∠OBA ＝∠BPO.∴∠APB ＝2∠ABC.(2)设AB 交OP 于点F ，由(1)知，PO ⊥AB ，∴∠AFP ＝90°.∵BC 是⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠AFP.∴AC ∥OP.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点E 作直线DC ，分别交AM ，BN 于点D ，C ，且DA ＝DE.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线；(2)OA 2＝DE ·CE.证明：(1)连接OE ，OD ，∵DA 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝90°.∵OA ＝OE ，DA ＝DE ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△EOD(SSS)．∴∠OAD ＝∠OED ＝90°.∴OE ⊥CD.又∵OE 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接OC ，∵AM ，BN ，DC 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝∠OBC ＝∠DEO ＝∠OEC ＝90°，CE ＝CB ，OD 平分∠ADE ，OC 平分∠BCE. ∴AM ∥BN.∴∠ADE ＋∠BCE ＝180°.∴∠ODE ＋∠OCE ＝12(∠ADE ＋∠BCE)＝12×180°＝90°. 又∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠OCE ＝∠DOE.∴△DEO ∽△OEC.∴OECE＝DEOE.∴OE2＝DE·CE.又∵OA＝OE，∴OA2＝DE·CE.。
北师大版九年级数学下册 3.7 切线长定理(含答案)
北师大版九年级数学下3.7 切线长定理（含答案）一、选择题1．如图1，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB等于()图1A．2 B．3 C．4 D．52．如图2，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()图2A．4 B．8 C．4 3 D．8 33．如图3，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，则AF的长为()图3A．5 B．10 C．7.5 D．44．如图4，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )图4A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO5．2019·深圳模拟如图5，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数是()图5A．32°B．48°C．60°D．66°6．如图6，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧AB上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是()图6A．56°B．60°C．62°D．不可求7．把直尺、三角尺和圆形螺母按图7所示放置在桌面上，∠CAB＝60°，D为切点，若量得AD＝6 cm，则圆形螺母的外直径是()图7A．12 cm B．24 cmC．6 3 cm D．12 3 cm二、填空题8．如图8，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．图89．如图9所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的长为8，BC的长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．图910．如图10，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.图1011．如图11所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.图1112．如图12所示，⊙O与△ABC中AB，AC边的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．图12三、解答题13．一个夹角为120°的墙角处放置了一个圆柱形的容器，俯视图如图13，在俯视图中⊙O与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱形容器的直径不易直接测量)．(1)写出图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出⊙O的直径的测量方法(写出主要解题过程)．图1314．如图14，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE的长；(2)△ABC的周长．图1415．如图15，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD 上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．图15附加题如图16，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E，连接OE.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，找出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．图16参考答案1．[答案] B2．[答案] B3．[解析] A设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，则有9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.4．[解析] D如图，连接OA，OB.∵P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴P A＝PB，∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．设OP 交AB 于点D ，易证△P AD ∽△POA ， ∴P A ∶PO ＝PD ∶P A ，∴P A 2＝PD ·PO . 故D 错误．5．[解析] D ∵CA ，CD 是⊙O 的切线， ∴CA ＝CD ， ∴∠CAD ＝∠CDA . ∵∠ACD ＝48°， ∴∠CAD ＝∠CDA ＝66°. ∵CA ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴∠DBA ＋∠DAB ＝90°，∠CAD ＋∠DAB ＝90°， ∴∠DBA ＝∠CAD ＝66°. 6．[答案] C7．[解析] D 设圆形螺母的圆心为O ，与AB 切于点E ，连接OD ，OE ，OA ，如图所示．∵AD ，AB 为圆O 的切线，∴AO 为∠DAB 的平分线，OD ⊥AC . 又∵∠CAB ＝60°，∴∠OAE ＝∠OAD ＝12∠DAB ＝60°.在Rt △AOD 中，∠OAD ＝60°，AD ＝6 cm ， ∴tan ∠OAD ＝tan60°＝3，即OD6＝3， ∴OD ＝6 3 cm ，∴圆形螺母的外直径为12 3 cm. 8．[答案] 44[解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，∴AD ＋BC ＝AB ＋CD ＝22，∴四边形ABCD 的周长＝AD ＋BC ＋AB ＋CD ＝44.。
北师大版九年级数学下册二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系(含答案)
北师大版九年级数学下第二章5 二次函数与一元二次方程 5.1二次函数的图象与x 轴的交点和一元二次方程的根的关系（含答案）一、选择题1．二次函数y＝x2＋ax＋b的图象如图1，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是()图1A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x1＝－1，x2＝42．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是()A．2和－3 B．－2和3C．2和3 D．－2和－33．已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为()A．有两个交点B．有一个交点C．没有交点D．不能确定4．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的根是()A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝35．已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有交点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞－1C．－1＜a≤2 D．－1≤a＜26．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()图2A．m≤－2 B．m≥－2C．m≥0 D．m＞47．如图3，一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是()图3A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上结论都不正确8．下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧二、填空题9．如图4，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的根是________.图410．如图5是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是______________．图5三、解答题11．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图6所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.链接听P24例1归纳总结图613．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．(1)求该抛物线的表达式．(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；若没有，请说明理由．附加题某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝________．(2)根据上表数据，在如图7所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③若关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是____________．图7参考答案1．[答案] D2．[解析] A 二次函数y ＝x 2＋x －6的图象与x 轴交点的横坐标实际就是方程x 2＋x －6＝0的两个根，由(x －2)(x ＋3)＝0得两根分别为2和－3.3．[答案] A 4．[答案] B5．[解析] D y ＝(x －a －1)(x －a ＋1)－3a ＋7＝x 2－2ax ＋a 2－3a ＋6. ∵抛物线与x 轴没有交点， ∴(－2a )2－4(a 2－3a ＋6)<0， 解得a <2.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2a2＝a ，抛物线开口向上，且当x <－1时，y 随x 的增大而减小， ∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是－1≤a ＜2. 故选D. 6．[答案] B7．[解析] A ∵一次函数y ＝－x 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有两个交点， ∴ax 2＋bx ＋c ＝－x 有两个不相等的实数根， ax 2＋bx ＋c ＝－x 可变形为ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0， ∴ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0有两个不相等的实数根． 故选A. 8．[答案] D9．[答案] x 1＝－2，x 2＝1[解析] ∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A (－2，4)，B (1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1，即关于x 的方程ax 2－bx －c ＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1， ∴方程ax 2＝bx ＋c 的根是x 1＝－2，x 2＝1. 故答案为x 1＝－2，x 2＝1. 10．[答案] 有两个相等的实数根11．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝(－2m )2－4×1×(m 2＋3)＝4m 2－4m 2－12＝－12＜0， ∴方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根，故不论m 为何值，该函数的图象与x 轴都没有交点．(2)y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m )2＋3，把函数y ＝(x －m )2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y ＝(x －m )2的图象，它的顶点坐标是(m ，0)，此时这个函数的图象与x 轴只有一个交点，所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x 轴只有一个交点．12．(1)x 1＝1，x 2＝3 (2)1＜x ＜3 (3)x ＞2 (4)k ＜213．解：(1)将(－1，－2)，(－2，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝－2，4a －2b ＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，所以该抛物线的表达式为y ＝3x 2＋6x ＋1.(2)联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2＋6x ＋1，y ＝x ＋1，消去y ，得3x 2＋6x ＋1＝x ＋1，即3x 2＋5x ＝0. 因为52－4×3×0＝25>0，所以抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1与直线y ＝x ＋1有两个交点． 附加题 解：(1)0 (2)如图所示：(3)答案不唯一，如：①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x >1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3 3 ②2 ③－1<a <0。
北师大版数学九年级下册-实际问题与二次函数——抛物、拱桥问题课时对应练习(Word版含答案)
第12课时实际问题与二次函数——抛物、拱桥问题1．从地面竖直向上抛出一个小球,小球的上升高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝24t﹣4t2,那么,小球从抛出至回落到地面所需的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s 2．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1）,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米）,跨径为90米（即AB＝90米）,以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为（）A．y=26675x2B．y=−26675x2C．y=131350x2D．y=−131350x23．崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是__________米．4．我国羽毛球球员林丹某次比赛中打出的羽毛球其运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y=−29x2+89x+109,则羽毛球飞出的水平距离为________米．5．（2018•绵阳）如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加________m．6．图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86米,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为________米．7．如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20米,如果水位上升3米,则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时,有一艘宽为6米的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？8．如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h＝2.6时,求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h＝2.6时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围．9．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=−15x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4,3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）D．篮球出手时离地面的高度是2m10．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,栅栏的跨径AB间,按相同的间距0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.6米,以O为原点,OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（）A．1.5米B．1.9米C．2.3米D．2.5米11．如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同．正常水位时,大孔水面宽度AB＝20m,顶点M距水面6m（即MO＝6m）,小孔顶点N距水面4.5m（即NC＝4.5m）．当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的平面直角坐标系,则此时大孔的水面宽度EF为________m．12．如图,有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞,门洞内的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6m,则这个门洞的高度为________m．（精确到0.1m）13．如图,在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端安有一个喷水池,使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C,高度为3m,水柱落地点D 离池中心A处3m,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y=−34(x−1)2+3(0≤x≤3),则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为________________,水管AB的长为________m．14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾,此时A,E,F在同一直线上．跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在1.2m高的D处喷出,水流正好经过E,F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物线向上平移5m,再向左后退________m,恰好把水喷到F处进行灭火．15．如图,龙丽公路某隧道横截面为抛物线,其最大高度为9米,底部宽度OM为18米．现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少？16．如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED＝16米,AE＝8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=−1128（t﹣19）2+8（0≤t≤40）,且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明：在这一时段内,需多少小时禁止船只通行？【参考答案】1．A．2．B．3．4．4．5．5．4√2−4．6．2.7．7．（1）设抛物线解析式为y＝ax2,因为抛物线关于y 轴对称,AB ＝20,所以点B 的横坐标为10,设点B （10,n ）,点D （5,n +3）,n ＝102•a ＝100a ,n +3＝52a ＝25a ,即{n =100a n +3=25a, 解得{n =−4a =−125, ∴y =−125x 2；（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x ＝3,∴当x ＝3时,y =−125×9∵−925−（﹣4）＞3.6∴在正常水位时,此船能顺利通过这座拱桥．答：在正常水位时,此船能顺利通过这座拱桥．8．（1）∵h ＝2.6,球从O 点正上方2m 的A 处发出,∴抛物线y ＝a （x ﹣6）2+h 过点（0,2）,∴2＝a （0﹣6）2+2.6,解得：a =−160,故y 与x 的关系式为：y =−160（x ﹣6）2+2.6,（2）当x ＝9时,y =−160（x ﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43, 所以球能过球网；当y ＝0时,−160(x −6)2+2.6=0, 解得：x 1＝6+2√39＞18,x 2＝6﹣2√39（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18,0）时,抛物线y ＝a （x ﹣6）2+h 还过点（0,2）,代入解析式得： {2=36a +ℎ0=144a +ℎ, 解得：{a =−154ℎ=83, 此时二次函数解析式为：y =−154（x ﹣6）2+83,此时球若不出边界h ≥83,当球刚能过网,此时函数解析式过（9,2.43）,抛物线y ＝a （x ﹣6）2+h 还过点（0,2）,代入解析式得：{2.43=a(9−6)2+ℎ2=a(0−6)2+ℎ, 解得：{a =−432700ℎ=19375, 此时球要过网h ＞19375,故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是：h ≥83．解法二：y ＝a （x ﹣6）2+h 过点（0,2）点,代入解析式得：2＝36a +h ,若球越过球网,则当x ＝9时,y ＞2.43,即9a +h ＞2.43解得h ＞19375 球若不出边界,则当x ＝18时,y ≤0,解得h ≥83．故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是：h ≥83．9．A ．10．C ．11．10．12．9.1．13．y =−34（x +2）2+3（﹣3≤x ≤0）；2.25．14．5．提示：由图可知：A （0,21.2）,B （0,9.2）,C （0,6.2）,D （0,1.2）,∵点B 和点E 、点C 和点F 的离地高度分别相同,∴E （20,9.2）,设AE 的直线解析式为y ＝kx +b ,{9.2=20k +b b =21.2, ∴{k =−35b =21.2, ∴y =−35x +21.2,∵A ,E ,F 在同一直线上．∴F （25,6.2）,设过D ,E ,F 三点的抛物线为y ＝ax 2+bx +c ,∴{c=1.29.2=400a+20b+c 6.2=625a+25b+c,∴y=−125x2+65x+65,水流抛物线向上平移5m,设向左退了m米,∴D（0,6.2）,设平移后的抛物线为y=−125（x+m）2+65（x+m）+1.2+5,经过点F,∴m＝5或m＝﹣25（舍）,∴向后退了5米．15．（1）由题意可得：M（18,0）,P（9,9）．（2）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣9）2+9 ∵抛物线y＝a（x﹣9）2+9经过点（0,0）∴0＝a（0﹣9）2+9,即a=−1 9,∴抛物线解析式为：y=−19（x﹣9）2+9,即y=−19x2+2x．（3）设A（m,0）,则B（18﹣m,0）,C（18﹣m,−19m2+2m）,D（m,−19m2+2m）．则“支撑架”总长AD+DC+CB＝（−19m2+2m）+（18﹣2m）+（−19m2+2m）=−29m2+2m+18=−29（m﹣4.5）2+22.5．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m＝4.5米时,AD+DC+CB有最大值为22.5米．16．（1）∵点C到ED的距离是11米,∴OC＝11,设抛物线的解析式为y＝ax2+11,由题意得B（8,8）,∴64a+11＝8,解得a=−3 64,∴y=−364x2+11；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至少为11﹣5＝6（米）,∴6=−1128（t﹣19）2+8,∴（t﹣19）2＝256,∴t﹣19＝±16,解得t1＝35,t2＝3,∴35﹣3＝32（小时）．答：需32小时禁止船只通行．。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习
第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF⊥BC，⊥AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0 刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1）D．（3）（4）（2）（1）3．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．(5√33+32)m B．(5√3+32)m C．5√33m D．4m4．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°评卷人得分二、填空题5．如图，一辆小车沿着坡度为1:3i=的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.6．如图，某同学用一个有60︒角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度．他将与60︒角相邻的直角边水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为5m，则旗杆AB的高度约为________m.（结果精确到lm，3取1.73）7．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C 点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________m．8．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高_____m（结果保留根号）．9．如图，一艘潜艇在海面下500m深的点A处，测得正前方俯角为31°方向上的海底有黑匣子发出信号，潜艇在同一深度保持直线航行500m，在点B处测得海底黑匣子位于正前方俯角36.9°的方向上，海底黑匣子C所在点距海面的深度为________m．（精确到1，m．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31°≈0.51，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）10．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若⊥B=56°，⊥C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）11．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______________米．13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得8CD=，20BC=米，CD与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．14．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是_____cm．评卷人得分三、解答题15．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.16．如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为30°，继续前行250m后到达B处，此时望塔顶的仰角为45°．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为170cm，假若游客所走路线直达电视塔底．请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. ≈1.7，≈1.4；E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．）17．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得15AB BE ED CD====cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时⊥ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)图1图2图318．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：3≈1.73，2≈1.41．19．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长均为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且⊥DAB=66°．(1)求点D与点C的高度差DH的长度；(2)求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）22．某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方D处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点A与居民楼的水平距离AB是15米，且在点A测得第一次施救时云梯与水平线的夹角⊥CAB＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角⊥BAD＝55°，求C、D两点间的距离（结果精确到0.1米）.【参考数据：sin55°＝0.82；cos 55°＝0.57，tan55°＝1.43】23．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（3取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．24．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.25．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角⊥BAF=30°，⊥CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2 1.414，CF结果精确到米）参考答案：1．A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF⊥BC知⊥ADE=90°，由⊥AEF=143°知⊥AED=37°，根据sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．⊥AB⊥BC，EF⊥BC，⊥BD⊥DF，即⊥ADE=90°．⊥⊥AEF=143°，⊥⊥AED=37°．在Rt⊥ADE中，⊥sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米，⊥AD=AE•sin⊥AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．2．C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．3．A【解析】【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt⊥ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×33=533，由CE=CD+DE=533+1.5（m）．故选A.点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．4．C【解析】【详解】试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出⊥BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出⊥BAO=50°，以及求出⊥BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．点睛：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．5．25【解析】【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了3x米．根据勾股定理可得：x2＋（3x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故答案为：25.【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan （坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．6．10【解析】【分析】在⊥ACE中，CE⊥AE，tan⊥ACE=AECE，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【详解】解：由题意可知，在⊥ACE中，CE⊥AE，且⊥ACE=60°，BD=5，而tan⊥ACE=AE CE，⊥AE＝CE×tan60°＝53≈8.6．又⊥EB=1.5，⊥AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题．7．203m【解析】【分析】延长CD交AM于点E．在Rt⊥ACE中，可求出CE；在Rt⊥ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．⊥30103DE AE tan=⨯︒=．同理可得303CE．=⊥203CD CE DE=-=（米）故答案为203【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．8．1603【解析】【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD=30°，AD=120m，⊥BD=ADtan30°=120×33=403m，在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD=60°，AD=120m，⊥CD=ADtan60°=120×3=1203m，BC=BD+CD=1603m．即这栋楼高为1603m．故答案为1603．考点：仰角与俯角的计算．9．2000.【解析】【详解】试题解析：作CD⊥AB于D，设CD=xm ，则AD=5tan 3CD DAC =∠xm ， BD=4tan 3CD DBC =∠xm ， 由题意得，AD-BD=500m ，即53x-43x=500， 解得，x=1500m ，1500+500=2000m.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10．60【解析】【分析】 根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】⊥⊥B=56°，⊥C=45°，⊥ADB=⊥ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ⊥BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ⊥tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．11．58【解析】【详解】试题分析：直接利用锐角三角函数关系得出EC 的长，进而得出AE 的长，进而得出答案．如图所示：由题意可得：CE⊥AB 于点E ，BE=DC ， ⊥⊥ECB=18°48′， ⊥⊥EBC=78°12′， 则tan78°12′=10EC EC BE ==4.8， 解得：EC=48（m ）， ⊥⊥AEC=45°，则AE=EC ，且BE=DC=10m ，⊥此塑像的高AB 约为：AE+EB=58（米）．考点：解直角三角形的应用12．2400.【解析】【详解】试题解析：根据题意，飞机到控制点的距离是1200sin 30︒=2400（米）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．13．（14+23）米【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．⊥CD =8，CD 与地面成30°角，⊥DE =12CD =12×8=4，根据勾股定理得：CE =22CD DE -=2242-2284-=43．⊥1m 杆的影长为2m ，⊥DE EF =12， ⊥EF =2DE =2×4=8，⊥BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．⊥AB BF =12，⊥AB=12（28+43）=14+23．故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．14．240【解析】【详解】试题分析：如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答即可．解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．⊥tan⊥BCA==⊥DC=300cm，⊥AC=DC﹣AD=300﹣60=240（cm）．答：AC的长度是240cm，故答案为240．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．15.54米【解析】【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．【详解】解：在Rt△ACE中，⊥ACE=α=35°，CE=BD=20，⊥tan⊥ACE=AE CE，⊥AE=CE•tan⊥ACE=20•tan35°14.004，⊥AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．电视塔大约高339米．【解析】【详解】试题分析：根据CG和⊥CFG、CG和⊥CEG可以求得FG、EG的长度，根据EF=EG﹣FG 可以求出CG的长度，即可解题．试题解析：延长EF交CD于G，在Rt⊥CGF中，FG==CG，Rt⊥CGE中，EG==CG，⊥EF=EG﹣FG，⊥CG==125（+1）≈337.5米170cm=1.7，337.5+1.7≈339米．答：电视塔大约高339米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．17．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°(2)台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°【解析】【分析】（1）由题意得：17.52DF CD==cm，EF CD⊥，根据1cos2DFDDE∠==，可求D∠；（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得31531522EF=⨯=，根据cos0.134BHABHAB∠=≈，可得ABH∠的值，进而可求ABE∠的值．(1)解：由题意得，17.52DF CD==cm，EF CD⊥，⊥1cos2DFDDE∠==⊥60D∠=︒⊥平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．(2)解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，⊥30HF=⊥31531522EF=⨯=⊥15330152BH BE EF=--=-⊥cos0.134BHABHAB∠=≈⊥82.30ABH∠≈︒⊥18097.70ABE ABH∠=︒-∠=︒⊥台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．18．约是5.3米．【解析】【分析】由条件易得BE =DE =20，在Rt △BCE 中，利用三角函数求得BC 的长，进而可求AB ．【详解】解：⊥⊥BEC =⊥BDE +⊥DBE ，⊥⊥DBE =⊥BEC -⊥BDC =60°-30°=30°，⊥⊥BDE =⊥DBE ，⊥BE =DE =20，在Rt △BCE 中，⊥BCE =90°，sin⊥BEC =BC BE ， ⊥3sin 2010310 1.7317.32BC BE BEC =⋅∠=⨯=≈⨯=（米）， ⊥AB =BC -AC =17.3-12=5.3（米），答：旗杆AB 的高度约为5.3米．【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明BE ＝DE ，掌握三角形函数定义． 19．旗杆AB 的高度是（83+8）米．【解析】【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB ）×33=BD×1，解得BD ，从而可以求得AB 的高度． 【详解】，解：由题意可得，CD=16米，⊥AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，⊥CB•tan30°=BD•tan45°，⊥（CD+DB ）×33=BD×1， 解得BD=83+8，⊥AB=BD•tan45°=（83+8）米，即旗杆AB 的高度是（83+8）米．20．10.5米．【解析】【分析】设CD=x 米，由已知可得DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，利用⊥A 的正切求出x 的值即可.【详解】设CD=x 米，⊥⊥DBC=45°，⊥DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，tan⊥A=CD AD， ⊥tan35°=5.4+x x ， 解得：x=10.5，所以大树的高为10.5米．【点睛】 本题考查了俯角、仰角的定义，借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.21．(1)1.2米；(2)约为4.9米．【解析】【分析】（1）根据“每级小台阶都为0.4米”即可求得高度差DH 的长度；（2）过点B 作BM ⊥AH ，垂足为M ，由题意得：MH ＝BC ＝AD = 1，66A ∠=，即可求得AM 的长，在Rt △AMB 中，根据⊥A 的余弦函数即可求得AB 的长，从而可以求得结果．(1)解：由题意得，DH ＝0.43⨯＝1.2（米）；答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；(2)解：过点B作BM⊥AH，垂足为M，由题意得：⊥BCH＝⊥CHM＝⊥BMH＝90°，⊥ 四边形BCHM是矩形，MH＝BC＝AD= 1，⊥ AM＝AD+DH－MH＝1+1.2－1＝1.2，在Rt⊥AMB中，⊥A＝66°，⊥cosAMAAB =，⊥AB＝1.22.92cos660.41AM≈=︒（米），⊥ l ＝AD＋AB＋BC1 2.921 4.9≈++≈（米），答：所用不锈钢材料的总长度约为4.9米．【点睛】解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．22．C、D两点间的距离约为6.5米．【解析】【详解】试题分析：要求线段CD的长，可以先求线段BC和BD的长. 根据已知条件易知⊥ABC是等腰直角三角形，根据线段AB的长可以求得线段BC的长. 根据已知条件可以利用Rt⊥ABD和⊥BAD 的正切值求得线段BD的长. 利用线段BC和BD的长即可求得线段CD的长.试题解析：⊥⊥ABC=90°，⊥CAB=45°，⊥在Rt⊥ABC中，⊥CAB=⊥BCA=45°，⊥AB =15(米)，⊥在Rt⊥ABC 中，AB=BC =15(米).⊥⊥ABD =90°，⊥BAD =55°，tan55 1.43︒≈，⊥在Rt⊥ABD 中，tan tan5515 1.4321.45BD AB BAD AB =⋅∠=⋅︒≈⨯=(米)，⊥BC =15(米)，BD ≈21.45(米)，⊥CD =BD -BC ≈21.45-15=6.45≈6.5(米).答：点C 与点D 之间的距离约为6.5米.点睛：本题考查了解直角三角形及其应用的相关知识. 本题的图形属于典型的“双直角三角形”，需要重点掌握. 该类型问题的关键在于利用两个直角三角形的公共边(如本题中的线段AB )将已知条件在两个直角三角形之间进行转换，最终求解出要求的线段和角度.23．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析【解析】【分析】（1）在Rt ⊥ABE 中，根据⊥α的正切值即可求得楼高；（2）当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H .可求得AF =AB =17.3米，又因CF =CH =17.3-17.2=0.1米，CM =0.2，所以大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt ⊥ABE 中，⊥tan 6010BA BA AE ︒==, ⊥BA =10tan 60°=10310 1.7317.3≈⨯=米.即楼房的高度约为17.3米；（2）当45α︒=时，老人仍可晒到太阳；理由如下：假设没有台阶，当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H ，⊥⊥BF A =45°，⊥tan 451BA AF︒==，此时的影长AF =BA =17.3米， 所以CF =AF -AC =17.3-17.2=0.1，⊥CH =CF =0.1米，⊥大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上．⊥老人仍可晒到太阳．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．24．（1）大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）小敏家的高度AE 为20米．【解析】【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC 是矩形，即可求得AC 的长，然后分别在Rt⊥ABC 与Rt⊥ACD 中，利用三角函数的知识求得BC 与CD 的长，继而求得答案；（2）结合（1），由四边形AEDC 是矩形，即可求得小敏家的高度AE ．试题解析：（1）如图，⊥AC⊥BD ，⊥BD⊥DE ，AE⊥DE ，⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AC=DE=203米，⊥在Rt⊥ABC 中，⊥BAC=45°，⊥BC=AC=203米，在Rt⊥ACD 中，tan30°=CD AC ， ⊥CD=AC•tan30°=203×33=20（米）， ⊥BD=BC+CD=203+20（米）；⊥大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AE=CD=20米．⊥小敏家的高度AE为20米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题25．（1）山坡高度为400米；（2）山CF的高度约为541米．【解析】【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用⊥CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，⊥sin⊥BAH=BHAB，⊥BH=800•sin30°=400，⊥EF=BH=400米．答：AB段山坡的高度EF为400米；（2）在Rt△CBE中，⊥sin⊥CBE=CEBC，⊥CE=200•sin45°=1002，⊥CF=CE+EF=（1002+400）（米）．答：山峰的高度CF为（1002+400）米.。
北师大版九年级数学下全册详细教案(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数 第1课时 正切1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.阅读教材P2～4，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2.tanA 的值越大，梯子越陡.3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). (二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tanA 等于(C) A.513 B.1213 C.512 D.1252.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m ，在竖直方向上就升高60 m ，那么山坡的坡度i ＝tan α＝35.活动1 小组讨论例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中，tan α＝5132－52＝512.乙梯中，tan β＝68＝34. 因为tan β>tan α，所以乙梯更陡.求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.活动2 跟踪训练1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 为格点，则tan ∠AOB ＝(A) A.12 B.23 C.105 D.533.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝24，c ＝25，则tanA ＝247、tanB ＝724.4.如图，某人从山脚下的点A 走了300 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为70 m ，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)活动3 课堂小结 1.正切的定义.2.梯子的倾斜程度与tanA 的关系(∠A 和tanA 之间的关系).3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.第2课时 锐角三角函数1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.阅读教材P5～6，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ；∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sinA ＝a c .∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cosA ＝bc.2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数.3.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.锐角三角函数是在直角三角形的前提下.(二)自学反馈1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是(A) A.513 B.1213 C.512 D.1352.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为(A)A.4B.2 5C.181313D.1213133.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3、b ＝4，则sinB ＝45，cosB ＝35，tanB ＝43.活动1 小组讨论例1 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sinA ＝0.6，求BC 的长.解：在Rt △ABC 中， ∵sinA ＝BC AC ，即BC200＝0.6，∴BC ＝200×0.6＝120.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，cosA ＝1213，求AB 的长及sinB.解：在Rt △ABC 中， ∵cosA ＝ACAB ，即10AB ＝1213，∴AB ＝656. ∴sinB ＝AC AB ＝cosA ＝1213.这里需要注意cosA ＝sinB.活动2 跟踪训练1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC ＝8，DB ＝43，CD ⊥AB 于点D ，求sinB 的值.解：∵△ABC 是等腰三角形，∴BC ＝AC ＝8. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴CD ＝BC 2－BD 2＝82－（43）2＝4， ∴sinB ＝CD BC ＝48＝12.2.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB的值.解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝6，tanA ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝75.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)阅读教材P8～9，完成预习内容. 自学反馈完成下面的表格：sin α cos α tan α 30°12323345° 22 22 1 60°32123活动1 小组讨论 例1 计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan45°. 解：(1)原式＝12＋22＝1＋22.(2)原式＝34＋14－1＝0.sin 230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)解：根据题意可知，∠AOD ＝12∠AOB ＝30°，AO ＝2.5 m.∴OD ＝OAcos30°＝2.5×32＝2.165(m). ∴CD ＝2.5－2.165≈0.34(m).∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m. 活动2 跟踪训练 1.计算：(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；(2)cos 245°＋tan60°cos30°.解：(1)原式＝2＋ 3. (2)原式＝2. 2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m 高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D ，B 的距离为5 m ，则旗杆AB 的高度大约是多少米？(精确到1 m ，3取1.73)解：由已知可得四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝DB ＝5 m ，BE ＝CD ＝1.5 m. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACE ＝AECE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝5·tan60°＝53，∴AB ＝53＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)， 即旗杆AB 的高度大约是10 m. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.3 三角函数的计算1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.阅读教材P12～14，完成预习内容. 自学反馈1.已知tan α＝0.324 9，则α约为(B)A.17°B.18°C.19°D.20°2.已知tan β＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)活动1 小组讨论例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴BC ＝ABsin α＝200×sin16°≈55.13(m).例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥两端修建了40 m 长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？解：在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AC ＝1040＝14.∴∠A ≈14°28′.答：这条斜道的坡角α是14°28′.在直角三角形ABC 中，直接用正弦函数描述∠CBA 的关系式，再用计算器求出它的度数.活动2 跟踪训练1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1) (1)sin36°； (2)cos30.7°；(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cos61°－tan71°. 解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.2.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°). 解：∵∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5， ∴tanB ＝AC BC ＝12.520＝0.625，用计算器计算，得∠B ≈32°，∴∠A ＝90°－32°＝58°. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.1.4 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)阅读教材P16～17，完成预习内容. (一)知识探究1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系：三边之间的关系a 2＋b 2＝c 2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°；边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，sinB ＝b c ，cosB ＝a c ，tanB ＝ba .3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式∠B ＝90°－∠A ，求出∠B ，用关系式sinA ＝ac求出a.(二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则BC ∶AC ＝(A)A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶52.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为(B)A.5cos αB.5cos αC.5sin αD.5sin α活动1 小组讨论例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝15，b ＝5，求这个三角形的其他元素.解：在Rt △ABC 中，a 2＋b 2＝c 2，a ＝15，b ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝（15）2＋（5）2＝2 5.在Rt △ABC 中，sinB ＝b c ＝525＝12.∴∠B ＝30°.∴∠A ＝60°.例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝30，∠B ＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，∴∠A ＝65°.∵sinB ＝b c ，b ＝30，∴c ＝bsinB≈71.∵tanB ＝b a ，b ＝30，∴a ＝b tanB ＝30tan25°≈64.活动2 跟踪训练1.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝43，∠A ＝60°. 解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sinA ＝a c ，∴a ＝c ·sinA ＝43·sin60°＝43×32＝6，∴b ＝c 2－a 2＝（43）2－62＝2 3. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2 3.解：∵∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝62＋（23）2＝4 3. ∵tanA ＝a b ＝623＝3，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，求BC 的长.解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AB ＝8，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝4，BD ＝3AD ＝4 3.在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴DC ＝AD ＝4，∴BC ＝BD ＋DC ＝43＋4. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题能运用解直角三角形解决航行问题.阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容. 自学反馈1.如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向.2.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是250米.活动1 小组讨论例 如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D. 在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BDAD，∴BD ＝AD ·tan55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CDAD ，∴CD ＝AD ·tan25°. ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan55°＝20＋AD ·tan25°. ∴AD ＝20tan55°－tan25°≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.活动2 跟踪训练1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为(A)A.402海里B.403海里C.80海里D.406海里2.如图所示，A 、B 两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足. 则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°. ∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝100， 即33PC ＋PC ＝100，(33＋1)PC ＝100， ∴PC ＝33＋3×100＝50×(3－1.732)≈63.40>50.∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第2课时仰角、俯角问题1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P19想一想，完成预习内容.(一)知识探究1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.(二)自学反馈1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC ＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)A.1 200 mB.1 200 2 mC.1 200 3 mD.2 400 m2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)A.200米B.2003米C.2203米D.100(3＋1)米活动1 小组讨论例如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)解：∵∠DAB ＝30°，∠DBC ＝60°， ∴BD ＝AB ＝50 m.∴DC ＝BD ·sin60°＝50×32＝253≈43(m). 答：该塔高约为43 m. 活动2 跟踪训练1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险，理由如下： 在△AEC 中，∵∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60， ∴AE ＝203≈34.64(米).又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64(米).∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险.2.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：作CF ⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米， 在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AFCF，则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x tan α＝xtan30°＝3x ，在直角△ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，在直角△ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝33(x ＋4)米.∵CF －BE ＝DE ，即3x －33(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米).答：树高AB 是33＋122米.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.第3课时 坡度问题1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.2.理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝tan 坡角.阅读教材P19做一做，完成预习内容. 自学反馈1.如图所示，斜坡AB 和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B) A.斜坡AB 的坡角为α B.斜坡AB 的坡度为BCABC.斜坡AB 的坡度为tan αD.斜坡AB 的坡度为BCAC2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s ＝10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)A.72 mB.36 3 mC.36 mD.18 3 m活动1 小组讨论例 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)解：根据题意可得图形，如图所示： 在Rt △ABD 中，sin40°＝AD AB ＝AD4，∴AD ＝4sin40°＝4×0.64＝2.56， 在Rt △ACD 中，tan35°＝AD CD ＝2.56CD ，CD ＝ 2.56tan35°＝3.66，tan40°＝AD BD ＝2.56BD ，BD ＝ 2.56tan40°≈3.055 m.∴CB ＝CD －BD ＝3.66－3.055≈0.61(m). ∴楼梯多占了0.61 m 长一段地面. AC ＝ADsin35°≈4.46 m.∴AC －AB ＝4.46－4＝0.46(m). ∴调整后的楼梯会加长0.46 m. 活动2 跟踪训练1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是210cm.2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长.(精确到0.1 m)解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m). ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝13≈0.333 3，∴BEAE ＝0.333 3，即tan α＝0.333 3.∴α≈18°26′. ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α≈230.316 2≈72.7(m). 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m.这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.6 利用三角函数测高会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)阅读教材P22～23，完成预习内容. 自学反馈1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.活动1 小组讨论例1 测量底部可以到达的物体的高度下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.课题测量旗杆高测量示 意图测得 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 BD 的长 24.19 m 23.97 m 24.08 m 测倾器的高 CD ＝1.23 m CD ＝1.19 m 1.21 m 倾斜角α＝31°15′α＝30°45′α＝31°计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)AB ＝AE ＋BE ＝CEtan31°＋CD＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m) 例2 测量底部不可以到达的物体的高度.如图，小山上有一座铁塔AB ，在D 处测得点A 的仰角为∠ADC ＝60°，点B 的仰角为∠BDC ＝45°；在E 处测得A 的仰角为∠E ＝30°，并测得DE ＝90米，求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).解：在△ADE 中，∠E ＝30°，∠ADC ＝60°， ∴∠E ＝∠DAE ＝30°. ∴AD ＝DE ＝90米.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，则CD ＝12AD ＝45米，AC ＝AD ·sin ∠ADC ＝AD ·sin60°＝453米.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，则△BCD 是等腰直角三角形. BC ＝CD ＝45米，∴AB ＝AC －BC ＝453－45≈32.9米.答：小山高BC 为45米，铁塔高AB 约为32.9米. 活动2 跟踪训练为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索： 实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算树A B 的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a ，b ，c ，α，β等表示测得的数据a ·tan α＋1.5.(4)写出求树高的算式：AB ＝AB ＝a ·tan α＋1.5.解：实践一：∵∠CED ＝∠AEB ，CD ⊥DB ，AB ⊥BD ， ∴△CED ∽△AEB ， ∴CD AB ＝DE BE. ∵CD ＝1.6米，DE ＝2.7米，BE ＝8.7米， ∴AB ＝1.6×8.72.7≈5.2(m).实践二：(1)在距离树AB 的a 米的C 处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE ，求得树高出测角仪的高度AE ，则树高为AE ＋BE.(2)如图.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第三章圆3.1 圆1.回顾圆的基本概念.2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)阅读教材P65～66，完成预习内容.(一)知识探究1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.(二)自学反馈1.下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，图中共有2条弦.3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.活动1 小组讨论例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4_cm.直径是圆中最长的弦.例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D 为所求；图1 图2(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.活动2 跟踪训练1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0<r<5.3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm.(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3<r<5.(2)问中B、C、D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？活动3 课堂小结1.这节课你学了哪些知识？2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？3.2 圆的对称性1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)阅读教材P70～71，完成预习内容.(一)知识探究1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.(二)自学反馈1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦.(1)如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵.活动1 小组讨论例 如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由是：∵∠AOD ＝∠BOE ，∴AD ︵＝BE ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，则∠BAC ＝30°.2.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. ∴AB ＝AC ＝BC.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.3.如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，求∠AOB 的度数.解：∵AB ︵＝DC ︵， ∴∠AOB ＝∠DOC. ∵∠AOD ＝80°，∴∠AOB ＝∠DOC ＝12(180°－80°)＝50°.活动3 课堂小结圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.*3.3 垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)阅读教材P74～75，完成预习内容. (一)知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A 、B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ；那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (二)自学反馈1.如图，弦AB ⊥直径CD 于E ，相等的线段有：AE ＝EB ，CO ＝DO ；相等的弧有：AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵，CAD ︵＝CBD ︵.2.在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离OC 为3 cm ，则弦AB 的长为8_cm.活动1 小组讨论例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵所在圆的圆心)，其中CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.解：连接OC.设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m).在Rt △OCF 中，根据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即 R 2＝3002＋(R －90)2. 解得R ＝545.所以，这段弯路的半径为545 m.常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，弦AB ＝4 cm ，点O 到AB 的距离OC 的长是2 3 cm ，则⊙O 的半径是4_cm.2.CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，且AB ⊥CD ，垂足是E ，如果CE ＝2、AB ＝8，那么ED ＝8，⊙O 的半径r ＝5.3.已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE.∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.活动3 课堂小结用垂径定理及其推论进行有关的计算.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论11.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)阅读教材P78～80，完成预习内容. (一)知识探究1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.同弧或等弧所对的圆周角相等. (二)自学反馈1.如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则∠BAC ＝50°.2.如图所示，点A 、B 、C 在圆周上，∠A ＝65°，则∠D ＝65°.活动1 小组讨论例1 如图所示，点A 、B 、C 在⊙O 上，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝65°.例2 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝64°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2 跟踪训练1.如图，锐角△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20°，则∠B ＝70°.2.OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB. 同理∠BOC ＝2∠BAC. ∵∠AOB ＝2∠BOC. ∴∠ACB ＝2∠BAC.求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.活动3 课堂小结圆周角的定义、定理及推论.第2课时 圆周角定理的推论2、31.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容. (一)知识探究1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.(二)自学反馈1.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若∠BAD ＝110°，则∠BCD 等于(C) A.110° B.90° C.70° D.20°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是55°.活动1 小组讨论例1 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C) A.30° B.45° C.60° D.75°例2 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠CBE 是它的外角，若∠D ＝120°，则∠CBE 的度数是120°.例3 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD.证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠E ＝90°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠C ＝90°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C.∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.活动2 跟踪训练1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)A.1B. 2C. 3D.22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A 的度数.解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.活动3 课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.。
北师大版九年级数学下册《圆周角定理的推论和圆的内接四边形》培优训练(含答案)
北师版九年级数学下册《圆周角定理的推论和圆的内接四边形》培优训练一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中合格的是()2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A．110°B．120°C．135°D．140°3. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )A．58°B．60°C．64°D．68°4. 如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是()A．130°B．140°C．150°D．160°5．如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB的度数是( )A．80°B．100°C．90°D．无法确定6．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°7．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB ︵上一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径长为( )A ．6B ．5C ．3D ．3 28. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°9. 如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径长为( )A ．322B ．62C ．32D ．23310．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点．在下列判断中，不正确的是( )A ．当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形B ．当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥ACC ．当PO ⊥AC 时，∠ACP ＝30°D ．当∠ACP ＝30°时，△BPC 是直角三角形二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC＝____________.12．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，若∠BOD＝100°，∠BAD＝___________，∠BCD ＝___________.13．如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝__________.14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是____________．15. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.17. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为________．18. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与CD 的延长线交于点F ，∠DCE ＝80°，∠F ＝25°，则∠E 的度数为________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，已知∠EAD 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，并且BD ︵＝DC ︵.20．(6分) 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P .求证：AD·DC ＝PA·BC.21．(6分) 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝13，求AE 得值.22．(6分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O 的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．23．(6分)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB 于点D，若△OBD是直角三角形，求弦BC的长．24.(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．25．(8分) 如图，四边形APBC 是⊙O 的内接四边形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接PA ，PB ，PC.(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ；(2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠PAB 的值．参考答案：1-5CDABC 6-10 BCBDC11. 70°12. 50°，130° 13. 4 314. 平行15. 52°16. n17．30°18．45°19. 解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD ＝∠DCB.又∵BD ︵＝DC ︵，∴∠DAC ＝∠DCB.∴∠EAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠EAC20. 证明：连接BD.∵DP ∥AC ，∴∠PDA ＝∠DAC.∵∠DAC ＝∠DBC ，∴∠PDA ＝∠DBC.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠DAP ＝∠DCB.∴△PAD ∽△DCB.∴PA ∶DC ＝AD ∶BC ，即AD·DC ＝PA·BC21. 解：如图，连接AC.∵BA 平分∠DBE ，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠CDA ，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA. ∴AC ＝AD ＝5.∵AE ⊥CB ，∴∠AEC ＝90°.∴AE ＝AC 2－CE 2＝52－（13）2＝2 3.22. 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC.∵CD ＝CB ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D(2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)．∵∠B ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴CD ＝CE.∵CD ＝CB ，∴CE ＝CB ＝1＋723. 解：如图①，当∠ODB ＝90°，即CD ⊥AB 时，可得AD ＝BD ，∴AC ＝BC.又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∴∠DBO ＝30°.∵OB ＝5，∴BD ＝32OB ＝532. ∴BC ＝AB ＝2BD ＝5 3. 如图②，当∠DOB ＝90°时，可得∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形．∴BC ＝2OB ＝5 2.综上所述，弦BC 的长为53或5224. (1)证明：∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ，∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形(2)解：设CD ＝x.连接BD.∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，∴(7＋x)2－72＝42－x 2，解得x ＝1或x ＝－8(舍弃)，∴AC ＝8，BD ＝82－72＝15，∴S 菱形ABFC ＝815，S 半圆＝12·π·42＝8π 25. 解：(1)∵BC ︵＝BC ︵，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴∠PAC ＝90°，在Rt △PAC 中，∠ACP ＝30°，∴AC ＝3AP(2)如图，连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC. ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF.∵点P 是AB ︵的中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF.∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425. 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a.∴OF ＝7a ，AF ＝32a ，在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AC ＝40a ，在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝EG AE ＝FC AC， ∴EG 32a －EG ＝24a 40a，∴EG ＝12a. ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB ＝EF CF ＝12a 24a ＝12。