求坐标系中三角形的面积ppt课件
在平面直角坐标系中求解三角形的面积问题
在平面直角坐标系中求解三角形的面积资料编号:202205230029学完一次函数和反比例函数,我们经常会遇到在平面直角坐标系中求解三角形面积的问题,这类问题题型多变,考查知识点多样,常见于一次函数的综合题、一次函数与反比例函数的综合题以及其它问题,很好的体现了数形结合思想方法的重要性.解决这类问题的方法要么是三角形面积公式法,要么是整体与部分之间的关系法,且方法的规律性很强.下面,我们对在平面直角坐标系中求解三角形面积的问题从题型和解题策略两个方面进行比较系统的研究.经过抽象概括,求解三角形的面积问题常见的图形有以下几种情形:图 1 AB边在x 轴上图 2 AB边在y轴上图 3 AB // x轴图 4 AB // y 轴图 5 任意三角形ABC图 6 任意三角形AOB当三角形有一条边在坐标轴上或与坐标轴平行时,常用三角形面积公式进行求解.如图1、图2、图3、图4所示.当三角形为任意三角形时,常用整体与部分之间的面积关系进行求解.如图5 图6所示. 如图1所示.C A B C ABC y x x y AB S ⋅-=⋅=∆2121. 如图2所示.C B A C ABC x y y x AB S ⋅-=⋅=∆2121. 如图3所示.A AB A ABC y x x y AB S ⋅-=⋅=∆2121（图中B A y y =）.（两平行线之间的距离处处相等）图 1 AB 边在x 轴上图 2 AB 边在y 轴上图 3 AB // x 轴如图4所示.C A B A C A ABC x x y y x x AB S -⋅-=-⋅=∆2121.（图中B A D x x x ==） 如图5所示.过点A 作y AE //轴,交BC 于点F .B C F A B C ACF ABF ABC x x y y x x AF S S S -⋅-=-⋅=+=∆∆∆2121.（这个问题往往需要求出直线BC 的解析式）如图6所示.设直线AB 与x 轴交于点C .B A BOC AOC AOB y OC y OC S S S ⋅+⋅=+=∆∆∆2121.图 4 AB // y 轴图 5 任意三角形ABC图 6 任意三角形AOB如图7所示.设直线AB 与x 轴交于点C .B A BOC AOC AOB y OC y OC S S S ⋅-⋅=-=∆∆∆2121.（这个问题往往需要求出直线AB 的解析式）图 7。
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
坐标系内三角形面积的求法
坐标系内三角形面积的求法平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？一、三角形的一边在坐标轴上例1如图1,三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC的面积.ffl 1分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高•由图1可知，三角形ABC的边AB在x轴上，容易求得AB的长，而AB边上的高，恰好是C点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-(-2)=6.因为C(2,4),所以C点到x轴的1距离，即AB边上的高为4,所以三角形ABC的面积为1 6 4 12.2二、三角形有一边与坐标轴平行例1如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(4, 5)，C(-1，2)，求三角形ABC的面积.H 2分析：由A(4, 1)，B(4, 5)两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4,这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A, B两点的横坐标相同，所以边AB // y轴，所以AB=5-1=4.作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4,所以CD=4- (-1) =5,所以三角形ABC1 的面积为-4 5 10.2三、坐标平面内任意三角形的面积例3如图3,在直角坐标系中，三角形ABC的顶点均在网格点上.其中A点坐标为（2,-1）,则三角形ABC的面积为_______________ 方单位.H 3分析：本题中三角形ABC的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解•可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.解：由题意知，B（4, 3），C（1,2）.如图4,过点A作x轴的平行线，过点C 作y轴的平行线，两线交于点E.过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D，交EA的延长线于点FJ则长方形BDEF的面积为3M=12，三1i角形BDC的面积为-1 3 1.5,三角形CEA的面积为-1 3 1.5，三角形2 21ABF的面积为-2 4 4.所以三角形ABC的面积为：长方形BDEF的面积-2（三角形BDC的面积+三角形CEA的面积+三角形ABF的面积）=12-（1.5+1.5+4）=5 （平方单位）.图4。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
直角坐标系中求三角形面积的方法
直角坐标系中求三角形面积的方法文章一《在直角坐标系里找三角形的面积》小朋友们，今天我们来一起探索一个有趣的数学知识——在直角坐标系中求三角形的面积！你们看，直角坐标系就像是一个大大的棋盘，上面有很多的点。
假如有一个三角形，它的三个顶点分别在这个坐标系里的不同位置，那我们怎么算出它的面积呢？比如说，有一个三角形，它的三个顶点分别是(0, 0)，(3, 0)和(0, 4)。
我们先画出这个三角形，然后发现，这个三角形的一条边就在 x 轴上，长度是 3，另一条边就在 y 轴上，长度是 4。
这时候，我们就可以用一个简单的方法来算面积啦，那就是用底乘以高除以2。
这个三角形的底是 3，高是 4，所以面积就是3×4÷2 = 6。
是不是很有趣呀？小朋友们，快来自己试试看吧！文章二《轻松算出直角坐标系中三角形的面积》小朋友们，你们知道吗？在直角坐标系里，我们也能算出三角形的面积哦！比如说，有个三角形的三个顶点是(1, 1)，(5, 1)和(3, 3)。
那我们先在纸上把这个直角坐标系画出来，然后把这三个点标上去。
再比如，有个三角形的顶点是(2, 2)，(6, 2)和(4, 4)，你们能自己算算它的面积吗？文章三《学会在直角坐标系里求三角形面积》小朋友们，咱们一起来玩个数学游戏！今天要在直角坐标系里找三角形的面积。
假设这里有个三角形，它的顶点是(0, 0)，(2, 0)和(0, 3)。
那我们想想哦，从(0, 0)到(2, 0)这条边是底，长 2。
从(0, 0)到(0, 3)这条边是高，长 3。
然后用2×3÷2 = 3，这就是面积啦。
又比如，三角形的顶点是(1, 1)，(4, 1)和(1, 4)。
底就是 4 1 = 3，高是 4 1 = 3，面积就是3×3÷2 = 4.5。
是不是很简单呀？你们也试试吧！文章四《直角坐标系中三角形面积的秘密》小朋友们，今天来告诉你们一个直角坐标系中三角形面积的小秘密！想象一下，在直角坐标系里有个三角形，三个顶点分别是(3, 3)，(6, 3)，(3, 6)。
坐标系中的三角形面积公式
坐标系中的三角形面积公式哎呀，同学们，你们知道吗？在数学的神秘世界里，坐标系中的三角形面积公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门呢！咱们先来说说什么是坐标系。
就好像一个大棋盘，有横着的线和竖着的线，它们交叉在一起，就形成了一个个小格子。
而三角形呢，就在这个大棋盘里玩耍。
那怎么算它的面积呀？这可不像咱们平常在纸上画个三角形，拿尺子一量就能算出来。
在坐标系里，得用特别的方法。
比如说有三个点A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3) 组成了一个三角形，那面积公式就是S = 1/2 |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))| 。
哎呀，是不是看起来有点复杂？其实啊，咱们可以把这个公式想象成一个魔法咒语。
你看，x1、x2、x3 就像是三个小伙伴，y1、y2、y3 也是三个小伙伴。
它们一起手拉手，按照这个特定的方式排列组合，就能算出三角形的面积啦。
老师给我们讲这个的时候，我一开始也晕头转向的，心里想：“这都是啥呀，怎么这么难！” 我就问同桌：“你能懂不？” 同桌摇摇头说：“我也迷糊着呢！” 后来老师又给我们举了好多例子，一步一步地带着我们算。
慢慢地，我好像有点明白了。
咱们再想想，如果把这个三角形当成一块地，那算出它的面积不就知道能种多少庄稼啦？或者把它当成一个拼图，知道了面积就能知道怎么把它拼到合适的地方去。
所以说，这个坐标系中的三角形面积公式虽然一开始让人头疼，但是只要咱们认真学，就能用它解决好多有趣的问题呢！这不就跟咱们玩游戏，一开始觉得难，掌握了技巧就变得好玩一样吗？我觉得呀，数学虽然有时候很难，但只要咱们不害怕，多琢磨，就能发现其中的乐趣和奥秘！。
坐标系中三角形面积的求法
坐标系中三角形面积的求法1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个听起来可能有点儿严肃，但其实非常有趣的数学话题——坐标系中的三角形面积。
是不是感觉有点小小的数学恐惧？别担心！我们今天就像喝茶聊天一样轻松地把它聊开。
你准备好了吗？那咱们就开聊吧！2. 基础知识2.1 坐标系的神奇首先，我们得搞清楚什么是坐标系。
简单来说，坐标系就像是一个地图，帮我们在平面上找到每一个点。
想象一下，你在一个巨大的餐桌上，左上角是“家”，右下角是“外卖”，那么在这张桌子上，每一个点都有它的位置。
我们通常用两个数字来表示一个点，比如 (x, y)，x 是横坐标，y 是纵坐标。
2.2 三角形的构成接下来，我们得认识一下三角形。
三角形就像一群小朋友手拉手，组成一个小小的三角形舞会。
它有三个顶点，三个边。
我们只要知道这三个顶点的坐标，就能开始我们的面积计算之旅啦。
想象一下，如果这三位小朋友的坐标是 A(x1, y1)、B(x2, y2) 和 C(x3, y3)，那么咱们就要用这些数字来找出这个三角形的面积。
3. 面积的计算3.1 面积公式好了，大家聚精会神，接下来就是重点了！三角形的面积计算其实并没有大家想象中那么复杂。
只要用一个简单的公式就可以搞定。
这个公式是：。
面积 = frac{1{2 times | x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2) | 。
听上去有点像高深莫测的魔法公式，但别怕！我们逐步来分析。
3.2 公式解析在这个公式里，x 和 y 其实就是我们之前提到的小朋友的坐标。
你可以把它想象成在游戏中打怪兽的秘籍，输入正确的数字，结果就会显现。
这里的“| |” 符号表示我们只关心面积的绝对值，也就是说，不管是正数还是负数，最后得到的面积都是正的。
为什么呢？因为面积不能是负的，对吧？这就像你不能把一个糖果“吃掉”的负数，哈哈！4. 举个例子4.1 实际应用好啦，咱们来实际应用一下这个公式。
假设有三个顶点 A(1, 2)、B(4, 6) 和 C(5, 1)。
初中数学人教八年级下册(2023年新编)第十九章 一次函数平面直角坐标系中三角形面积求法
例如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y =34x 与直线l2：y=3x−9相交于点A，直线l2交y轴负半轴与点B．(1)求点A坐标；(2)在x轴上取一点C(10,0)，求△ABC面积．解：（1）联立{y=34x y=3x−9∴{x=4y=3即A(4,3)（2）对于y=3x−9令x=0∴y=0−9=−9∴B(0,−9)法一：如图：D(0,3), E(10,3),F(10,−9)∴S△ABC=S四边形BDEF−S△ABD-S△ACE−S△BCF=12×10−12×12×4-12×6×3−12×10×9=120−24−9−45 =42D EF法二：如图：D(0,3), E(10,3)∴S△ABC=S梯形BDEC−S△ABD-S△ACE=12×(3+12)×10−12×12×4-12×6×3−12×10×9=75−24−9=42法三：如图：E(10,3), F(10,−9)∴S△ABC=S梯形ABFE−S△BCF-S△ACE=12×(6+10)×12−12×10×9-12×6×3=96−45−9=42D EEF法四：如图：F(10,−9)对于y=3x−9令x=10∴y=3×10−9=21∴E(10,21)∴S△ABC=S△BFE-S△ACE−S△BCF=12×10×30−12×21×6-12×10×9=150−63−45 =42EF法五：如图：过点C作CE⊥x轴,交直线l2于点E 对于y=3x−9令x=10∴y=3×10−9=21∴E(10,21)∴S△ABC=S△BCE-S△ACE=12×21×10−12×21×6=105−63=42法六：如图：延长CA交y轴于点D 方法六：补成靠轴三角形∵A(4,3),C(10,0)∴直线AC：y=−12x+5令x=0∴y=0+5=5E∴D(0,5)∴S△ABC=S△BCD-S△ABD=12×14×10−12×14×4=70−28=42法七：如图：对于y=3x−9令y=0∴3x−9=0∴x=3即D(3,0)S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×7×3+12×7×9=10.5+31.5 =42EDD法八：如图：过点A作AD⊥x轴,交BC于点D ∵B(0,−9),C(10,0)∴直线BC：y=910x−9令x=4∴y=910×4−9=−275∴D(4,−275)∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12×425×4+12×425×6=845+1265=42D法九：如图：过点A作AD⊥x轴,交BC于点D ∵B(0,−9),C(10,0)∴直线BC：y=910x−9令x=4∴y=910×4−9=−275∴D(4,−275)∴S△ABC=12×425×10=42D法十：如图：令直线l2与x轴交于点D 对于y=3x−9令y=0∴3x−9=0∴x=3即D(3,0)∴S △ABC =12×7×12=42D法十一：如图：A(4,3), B(0,−9),C(10,0) 直线l 2：y =3x −9∴S △ABC =12AB ·CD=12×√(4−0)2+[3−(−9)]2·|3×10−0−9|√32+(−1)2 =2√10·21√10=42法十二：如图：A(4,3), B(0,−9),C(10,0)∴AB=√(4−0)2+[3−(−9)]2=4√10AC=√(4−10)2+(3−0)2=3√5BC=√(10−0)2+[0−(−9)]2=√181由海伦公司可知S△ABC=√p(p−AB)(p−AC)(P−BC)=42（p为三角形ABC半周长）法十三：如图：A(4,3), B(0,−9),C(10,0)∴S△ABC=12(|430−9|+|0−9100|+|10043|)=12×(−36+90+30) =42。
坐标系三点坐标求三角形面积
坐标系三点坐标求三角形面积好嘞，今天咱们聊聊三角形的面积，没错，就是那个简单又有趣的几何问题，尤其是当你有三点坐标的时候，真的是可以轻松搞定。
想象一下，咱们在平面上随意找了三点，像是三个小朋友在草地上玩耍，哈哈。
它们的坐标分别是A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
大家别以为这就是个无聊的数学题，咱们可以把它当成一场游戏，看看这三点能组成多大的三角形，哎呀，真是让人兴奋。
先说说如何计算三角形的面积，大家可以记住一个公式，简直简单得不能再简单。
就是把这三点的坐标代入一个神奇的公式，叫做“绝对值法”。
听起来高大上，其实就是这样的：面积=1/2×|x1(y2y3)+x2(y3y1)+x3(y1y2)|。
哎呀，我这说得可真快，你别着急，咱们慢慢来。
这个公式看起来有点复杂，其实也就那么回事。
就是把每个点的坐标代进去，算算算，最后得出一个数字，咱们就知道了三角形的大小。
想象一下，如果这三点在你面前，像小精灵一样欢快地跳跃，咱们要做的就是把它们的位置放到这个公式里，然后看它们能组合成一个什么样的图形。
这个过程就像是拼图游戏，每个点都是拼图的一部分，只有把它们组合好，才能看到完整的三角形。
哦，对了，面积的单位就跟你用的坐标单位是一样的，比如说用厘米的话，面积就是平方厘米，别搞混了哦。
三点可能会组成一个“瘦长”的三角形，或者说是一个“扁平”的三角形，看起来好像快要消失了。
可别小看这小家伙，它也有自己的面积，尽管不大。
三角形的面积就像咱们的生活，有大有小，各种各样，但都是独一无二的。
就算面积是零，那也是一种特殊的存在，嘿嘿，可能就意味着这三点恰好在一条直线上，成了一条线段。
再说了，如果有一天，你在外面看到一片草地，草地上有三块石头，哦，那就是三个点。
你可以算算它们之间的面积，简直就是一场数学冒险。
用公式算出结果，然后跟朋友炫耀，谁说数学没意思？数学就在生活的每个角落，关键看你怎么去发现，怎么去玩。
数学北师大版八年级上册坐标系中三角形面积的求法
三 坐标系中任意三角形
• 如图，三角形AOB中，A,B两点的坐标分别 为A(2,4),B(6,2),求三角形AOB的面积.
拓展练习
如图2：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B， 抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
• 解：由 得点A的坐标为（1，2）， 点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的 坐标为（0，3）如图2，由 B、 。 A、 ＝ = C AC 三点的坐 ， 3 ＝ = CB ， 标可知，AB= ＝2 ，BC= ＝3 ，AC= ＝ 。 • ∵ AC2+BC2=AB2， • ∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900， ∴ SΔABC= AC· BC= × ×3 =3。
y C
B O 图1
A
x
• 二、三角形有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别 为A（4，1），B（4，5），C（-1，2）， 求三角形ABC的面积.
y
C
B
D A
O
x
图2
• 解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边 AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高 CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1） =5，所以三角形ABC的面积为10 .
2 ＝
=
AB
点的坐标
讨论交流 交流讨论
如图，抛物线的顶点A坐标为（1，4）,且经过 点B(-1，0）.根据以上条件你能获得哪些信息？
y
A(1,4)
3
B
C
-1
D
O
3
x
x 1
（1）连结BC，BD，CD.则S△BCD= 6 . （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PBD=S△CBD， 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. （3） 若 3S△PBD=4 S△CBD，
直角坐标系中求三角形面积
直角坐标系中求三角形面积
平面直角坐标系中三角形的面积计算问题一直以来是中考的常考题型，近几年的中考中又演变出了在函数背景下的三角形面积的最大值问题等，这类是初高中数学结合的问题，涉及的知识面广，综合度强.通常有以下两种解决方案：
这两种方法已经运用得相当广泛了，都需要一定的数学技巧，本文考虑直接从坐标的角度出发，探求解决这类问题的一种“通法”.
直角坐标系中求三角形的面积
若在坐标系第一象限有△ABC，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3 ，y3)，求△ABC的面积.
推导过程：
若△ABC不在第一象限时，可以通过平移变换：
考虑到坐标的正负数关系，若在坐标系第一象限有△ABC，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3 ，y3)。
则△ABC的面积为：
延伸
若在平面直角坐标系中有凸四边形ABCD，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3，y3)、D(x4，y4)，求凸四边形ABCD的面积。
可以转化为两个三角形的面积和：
在直角坐标系中求三角形的面积，关键是求点的坐标，掌握点的坐标的定义，利用三角形面积的计算公式以及同底等高，同底不等高，同高不等底，相似等方法进行割补，实质是要提炼出构造和坐标轴平行的矩形减去三个直角三角形的面积的通性通法。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
我知道你们可能会觉得这个话题有点儿枯燥，但是别担心，我会用一种轻松幽默的方式来讲解这个问题，让你们在轻松愉快的氛围中学到知识。
我们要明确什么是三角形。
三角形就是由三条线段相互连接的图形，这三条线段叫做三角形的边，而它们相互连接的地方叫做三角形的顶点。
好了，现在我们知道了三角形的基本概念，接下来我们就要开始求三角形的面积了。
那么，三角形的面积到底是怎么求出来的呢？其实，这个问题还有一个更简单的方法，那就是：如果一个三角形的底边长是a,高是h,那么它的面积就是ah/2。
这个公式是不是很简单呢？而且还很好记，因为它的名字叫做“海伦公式”。
那么，我们如何应用这个公式来求解具体的三角形面积呢？其实，只要知道三角形的底边长和高，就可以直接将这两个数值代入公式进行计算了。
比如说，我们有一个三角形，它的底边长是10,高是8,那么它的面积就是10 * 8/2=40。
有时候我们并不知道三角形的具体尺寸，只知道其中两个顶点的坐标。
这时候，我们就需要运用一些几何知识来求解了。
具体来说，我们可以先求出三角形的另外两个顶点的坐标，然后再将这些坐标代入海伦公式进行计算。
这个过程可能会比较复杂一点儿，但是只要你掌握了方法，就一定能够成功求解。
那么，我们如何求出三角形的另外两个顶点的坐标呢？这里就要用到一些基本的几何知识了。
我们要知道三角形的三个顶点是共线的，也就是说它们在同一条直线上。
我们要知道三角形的内角和是180度。
有了这两个条件，我们就可以根据已知的两个顶点的坐标来求出第三个顶点的坐标了。
具体的求法有很多种，这里我就不一一介绍了，你们可以去网上找一些相关的教程学习一下。
求解三角形的面积并不是一件难事儿。
只要你掌握了海伦公式和一些基本的几何知识，就可以轻松地解决这个问题了。
如果你觉得这个问题还是有点儿难度的话，也不要灰心丧气。
微专题三 平面直角坐标系中的三角形面积问题
（2）(4，- 3）
作业
必做题： 练习本P24 1—5题 选做题：你还能用其他的方法完成例3吗？
课堂小结
1、你在知识上有哪些收获？ 2、你在数学思想方法方面有何体会？ 3、你还有哪些困惑？
小结：1，3，4
一种问题：平面直角坐标系中的三角形面积问 题
三种类型：一边在坐标轴上或平行于坐标轴 三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上 由平行线产生的等积变换
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图，将直线BC沿y轴向上平移6个单位
长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G.
若P是抛物线上位于直线BC下方（不与点A,B
重合）的一个动点，连接PE，交直线BC于点
F，连接PD,DF,PB,PC.若 点P的坐标.
SPBC
10 21
SEDF
，求
（1) y x2 6x 5
四种思想：转化 、分类讨论 数形结合、函数与方程
的计算
方法一：铅垂高、水平宽法
SABC SACD SBCD
1 CD AF 1 CD BE
2
2
1 CD(AF BE) 2
1 2
CD( xB
xA)
铅垂高
水平宽
类型二 三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积
的计算
方法二：补全图形法
SABC SACD SABD SBCD
SABC S矩形ADEF SADC SBCE SABF
（或平行于坐标轴），h为AB边上 的高.
典例探究 例1 如图，一次函数 y
3 x m与反比例函数 y
3 的图象在第
一象限的交点为点A（1，n3).
x
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连接OA，求 AOB的面积.
三角形面积公式坐标系
三角形面积公式坐标系一、三角形面积公式在平面直角坐标系中的相关知识。
1. 已知三角形三个顶点坐标求面积。
- 设三角形三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。
- 三角形面积公式为S = (1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。
- 推导过程：- 我们可以通过向量的叉积来推导这个公式。
向量→AB=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)，向量→AC=(x_3 - x_1,y_3 - y_1)。
- 两个向量叉积的模|→AB×→AC|=|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1)-(x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|。
- 而三角形面积S=(1)/(2)|→AB×→AC|，经过展开化简就可以得到S =(1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。
2. 特殊情况。
- 当三角形有一边平行于坐标轴时：- 例如，若AB边平行于x轴（即y_1 = y_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| y_3 - y_1|，其中| AB|=| x_2 - x_1|。
- 若AB边平行于y轴（即x_1 = x_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| x_3 - x_1|，其中| AB|=| y_2 - y_1|。
3. 应用示例。
- 例：已知三角形三个顶点A(1,2)，B(3,4)，C(5,1)，求三角形面积。
- 解：根据公式S=(1)/(2)<=ft|1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)right|- 先计算式子内部的值：1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)=1×3+3×(- 1)+5×(-2)=3 - 3 - 10=-10。
求平面直角坐标系中三角形的面积
求平面直角坐标系中三角形的面积一、一边平行于坐标轴或与坐标轴重合的三角形此类问题的求解，只需确定此边上的高即可.例1 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-4，0），（0，4），（0，-1），求△ABC的面积.分析：根据三个顶点的坐标可以看出三角形ABC的边BC在y轴上，且BC边上的高就是点A的横坐标的绝对值，由此利用三角形的面积公式可直接求解.解：由点B，C的坐标可得BC=5，点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离，所以S△ABC=12×BC×AO=12×5×4=10.温馨提示：当两点在平行于x轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.二、没有边与坐标轴平行或重合的三角形此类问题的求解一般是要通过转化，使之成为比较规则的图形.例2 如图2，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（-3，-1），C（3，3），D（0，1），三角形ABC的边BC过点D，求△ABC的面积.分析：通过画图可以发现△ABC的每一条边都不与坐标轴重合，也不与坐标轴平行，因此，以△ABC的任意一边为底边都不容易求△ABC的面积.为了方便求解，可通过补形的方法，使之成为比较规则又易于求解的图形，从而利用相应的图形面积公式求解.解：方法一：将△ABC补成如图3所示的长方形GEFB或梯形BCEG.S△ABC=S长方形GEFB-S△AEC-S△BFC-S△BAG=BG·BF-12AE·EC-12CF·BF-12AG·BG=5×6-12×3×1-12×4×6-12×3×5=30-32-12-152=9.图3 图4方法二：如图4，分割成两个三角形，根据铅垂线与水平线求三角形的面积.S△ABC= S△ABD+ S△ACD=12AD·BE+12AD·CF=12×3×3+12×3×3=92+92=9.牛刀小试：如图5，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（-3，2），求△ABC的面积.图5答案：如图6，过点C作CD⊥x轴于点D，则S△A BC=S梯形O BC D+S△O A B-S△A C D=12×（2+4）×3+12×2×4-12×5×2=8.图6。
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7
6
5
4
3
2
1O
-5 -4 -3 -2 -1-1 1
2•B3
4
5
6
x
-2
-3
•C •-A4
-5
-6
-7
11
y
7
例3 如图3在平面
6
直角坐标系中 △ABC的三个顶 点的坐标分别是
5
4
3
•B
2 •C
A（2，-1）， B（4，3）， C（1，2）
1O
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2•A3 4 5 6
-2
-3
求△ABC的面积
-4 -5
-6
-7
7
小结3
• 当三角形的三边都不和坐标轴平行 时，一般利用“割补”法，把不规 则的图形转化成规则的图形。本题 就是利用“补”的方法，把三角形 补成一个长方形，先求出长方形的 面积，再减去多出的直角三角形的 面积，从而求出△ABC的面积
• 当三角形有一边在横轴（或纵轴） 上时，就以坐标轴上的边为底边， 它的长等于坐标轴上的两个顶点的 横坐标（或纵坐标）差的绝对值， 这条边上的高等于另一个顶点纵坐 标（或横坐标）的绝对值。
4
有一边与坐标轴平行
例2 如图2△ABC 的三个顶点的 坐标分别是
A（-1，-4）， B（2，0），
C（-4，-4）
求△ABC的面积
y
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6
5
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3
2
1O
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1
2•B3
4
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x
-2
-3
•C •-A4
-5
-6
-7
5
小结2
• 当三角形有一边和坐标轴平行时， 就以这条边为底边，它的长等于两 个顶点的横坐标（或纵坐标）差的 绝对值，这条边上的高等于另一个 顶点到这条边所在直线的距离
6
三边都不与坐标轴平行
8
巩固练习 y
• 在图4所示平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点都在网格点 上，其中点C的坐标是
C（1，2）
(1)直接写出点A、B的坐标
7
6
5
4
3
•B
2 •C
(2)三角形ABC的面积是多 少？
(3)将△ABC先向左平移3个 单位长度，再向上平移2个单 位长度，得到△A’B’C’, 写出A’,B’,C’三点的坐标
1O
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3•A4 5 6
-2 -3 -4 -5
x
-6
-7
9
10
能力提升
• 如图5,四边形ABCD 各顶点的坐标分别 为A(-7,0)、B(1,0)、 C(-1,6)、D(-5,4)
（1）求四边形ABCD的 面积
（2）将四边形ABCD各 顶点的纵坐标保持 不变，横坐标增加2， 作出所得的四边形 A’B’C’D’，并 求所得四边形的面 积
求坐标系中图形的面积
1
教学目标：正确熟练解坐标系中的图形面积问题
2
有一边在坐标轴上
y
例1 如图1△ABC的
7 6
三个顶点的坐标分 别是A（2，3），
5 4
3 •A
B（-4，0），C （4，0）
求△ABC的面积
2
-6
-5
-•4B-3
-2
1 -1-1
O
1
2
3
4•C5 6
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
3
小结1