人教版数学高二A版选修4-5单元测试第四讲数学归纳法证明不等式

第四讲测评

(时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋ (25)

－1

是31的倍数时，当n ＝1时原

式为( )

A ．1

B ．1＋2

C ．1＋2＋3＋4

D ．1＋2＋22＋23＋24

2．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有f (n )种走法，则下面的猜想正确的是( )

A ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3)

B ．f (n )＝2f (n －1)(n ≥2)

C ．f (n )＝2f (n －1)－1(n ≥2)

D ．f (n )＝f (n －1)f (n －2)(n ≥3)

3．用数学归纳法证明恒等式1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

2n ，由n

＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边应同时加上( )

A ．12k ＋1

B ．－1

2k ＋1

C ．12(k ＋1)

D ．12k ＋1－12k ＋2

4．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2 5．下列说法中正确的是( )

A ．若一个命题当n ＝1,2时为真，则此命题为真命题

B ．若一个命题当n ＝k 时成立且推得n ＝k ＋1时也成立，则这个命题为真命题

C ．若一个命题当n ＝1,2时为真，则当n ＝3时这个命题也为真

D ．若一个命题当n ＝1时为真，n ＝k 时为真能推得n ＝k ＋1时亦为真，则此命题为真命题

6．若命题A (n )(n ∈N ＋)在n ＝k (k ∈N ＋)时成立，则有n ＝k ＋1时命题也成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时成立，则有( )

A ．命题对所有正整数都成立

B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立

C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立

D ．以上说法都不正确

7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －

1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )

A ．1＋2＋22＋…＋2k －

2＋2k －

1＝2k ＋

1－1 B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋

1＝2k －1＋2k ＋

1 C ．1＋2＋22＋…＋2k －

1＋2k ＋

1＝2k ＋

1－1 D ．1＋2＋22＋…＋2k －

1＋2k ＝2k ＋

1－1

8．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是( )

A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立

B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立

C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立

D ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立

9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1)

C ．2k ＋1k ＋1

D ．2k ＋3k ＋1

10．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞127

64成立时，起始值至少应取( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1

n ＋1＝

2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1

2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．

12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －

1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ＝______，b ＝____，c ＝______.

13．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 2”时，验证的第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．

14．用数学归纳法证明“n 3＋5n (n ∈N ＋)能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．

15．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，

则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是__________．

三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(8分)求数列：11×3，13×5，15×7，…，1

(2n －1)(2n ＋1)，…的前n 项和S n .

17．(8分)设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝x n 2＋1x n (n ∈N ＋)定义的数列，求证：x n ＜2＋1

n .

18．(8分)若n ∈N ＋，求证： 2！·4！·6！·…·(2n )！≥[(n ＋1)！]n .

由(1)(2)知，所证不等式对一切n ∈N ＋都成立．

19．(10分)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a

24对一切正整数n 都成立，求正

整数a 的最大值，并证明你的结论．

20．(8分)证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d . 21．(8分)用数学归纳法证明42n ＋

1＋3n

＋2

能被13整除，其中n ∈N ＋.