高中数学_等差数列的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

等差数列的概念教学设计

一、情景导学

多媒体展示：生活中涉及到的实例。

上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。

师生互动：通过多媒体举例让学生分析研究，并给出回答，教师归纳总结。

设计意图：创设问题情境，激发学生学习兴趣，导入新课。

二、教学重点与难点

重点：理解等差数列的概念.

难点：掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用.

三、探究学习

探究点1：等差数列的定义

请看下面的一些数列：

鞋的尺码，按照国家统一规定，有

22,22.5,23,23.5,24,24.5,…；①

某月星期日的日期为

2,9,16,23,30；②

一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm)为

89,83,77,71,65,59,53,47. ③

思考：上面几个数列有什么共同的特点？

师生互动：

小组合作探究，共同得出结论：

对于数列①，从第2项起每一项与前一项的差都等于0.5；

对于数列②，从第2项起每一项与前一项的差都等于7；

对于数列③，从第2项起每一项与前一项的差都等于-6.

这就是说，这些数列具有这样的共同特点：

从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.

设计意图：激发学生的探究欲望，使学生主动学习。

定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

你能用递推公式描述等差数列的定义吗？

思考1：当公差d=0时，{an}是什么数列？

提示：仍是等差数列.

思考2：将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.

提示：是等差数列,公差与原数列的公差互为相反数.

思考3：如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗?

提示：这个数列不一定是等差数列,等差数列中的“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻”可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但此数列不是等差数列.

师生互动：通过三个问题，让学生去思考，加深对定义的理解和掌握。

设计意图：引导学生主动参与、自主进行问题的分析探究。

例1.已知数列{a n }的通项公式为a n

=3n-5,这个数列是等差数列吗? 解:因为当n≥2时,

a n -a n-1

=3n-5-[3(n-1)-5]=3, 所以数列{a n

}是等差数列,且公差为3.

师生互动：引导学生，思考让写出完整的步骤。

设计意图：让学生掌握知识，规范步骤。

【变式练习1】

判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1

和公差d, 如果不是，说明理由。

（1）1，3，5，7，…

（2）9，6，3，0，-3…

（3）-8，-6，-4，-2，0，…

（4）3，3，3，3，…

1111(5)1,,,,,2345

（6）15，12，10，8，6，…

师生互动：教师巡视，让学生先思考，在回答问题。

设计意图：进一步加深对等差数列定义的理解和掌握。

探究点2：等差数列通项公式

思考：如果等差数列{a n }的首项为a 1

,公差为d ，那么它的通项公式是怎样的？

师生互动：学生根据定义进行推导，教师巡视，最后得出证明的两种方法归纳法和叠加法。 设计意图：培养学生归纳、概括的能力，养成学生周密慎思的习惯，对不同的方法进行比较，利于学生思维的发散，提高思维能力。

【变式练习2】已知在等差数列{a n }中， a 5=-20, a 20=-35,试求出数列的通项公式.

师生互动：学生解答，学生通过巡视注意学生的解体过程、及时给予指正。最后给出不同的解法（定义和函数思想的应用）。

设计意图：强化基础知识，加强对等差数列通项公式的理解和应用。

【小结】通项公式的理解

①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a 1和d 是基本量，只要知道a 1

和d 即可求出等差数列的任一项； ②从函数的观点来看，在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋(n －1)d =nd +(a 1

－d ) 可以看出，当公差d =0时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0

当公差d ≠0时， a n 是关于n 的一次式，其图象是直线y =dx +（a 1

-d ）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

师生互动：教师提出问题，学生思考，研讨回答，可以有质疑，取得共识后，教师明示正确结论

设计意图：从两个角度来思考通项的问题，加强对通项公式的理解，发散学生思维。 探究点3：等差中项

思考：如果三个数x,A,y 组成等差数列，那么A ，x,y 满足怎样的关系？

提示：如果x,A,y 组成等差数列，根据等差数列的定义，应有：A -x=y -A ，即2A=x+y 化简整理得：由此，我们可以得到等差中项的定义：

如果三个数x,A,y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项.

练一练：求出下列等差数列中未知的项。

(1) 3， a ， 5

(2) -3 ， b ， -9

(3) 3 ， c ， d ， -9

三、当堂达标训练

1.下列数列中,是等差数列的有 ( )

①5,5,5,……

②sin 0,sin 1,sin 2,sin 3;

③a+1,a+2,a+3,a+4;

④ ….

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 2.已知{a n }是等差数列,且a n

=-3n+1,则此数列 ( )

A.是公差为-3的递减等差数列

B.是公差为1的递增等差数列

C.是公差为3的递增等差数列

D.是公差为2的递减等差数列

3.若{a n }是等差数列,且a 1=1,公差d=3,则a n

=__________.

4.若{a n }是等差数列,且a 1=2,d=1,若a n

=7,则n=__________.

1234,,,,10101010