2020年泰安市高三数学上期中第一次模拟试题及答案
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案解析)
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．有四个关于三角函数的命题：x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈sin(x-y)=sinx-siny x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是1p ，4p B ．2p ，4p 1p ，3p ．已知21a =-，2e 2b =，1ln55c =，则（）a b c<<B ．c b a<<c a b<<二、多选题A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛+=+ ⎝B ．函数()f x 的一个对称中心为三、填空题参考答案：【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2x f x =的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>于是e x ∀≥，不等式((()f ax f x ≤则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项因此()(e)2e g x g ≥=+，即2a ≤“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。
2019-2020学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|log2(x−1)<0}，B={x|x≤3}，则(∁R A)∩B=()A.(−∞, 1]B.(2, 3)C.(2, 3]D.(−∞, 1]∪[2, 3]【答案】D【考点】对数函数的定义域交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|0<x−1<1}={x|1<x<2}，B={x|x≤3}，∴∁R A={x|x≤1或x≥2}，∴(∁R A)∩B=(−∞, 1]∪[2, 3]．故选D.2. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()−x D.y=x2−4xA.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；C，y′=−1−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.3. 命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是()A.∀x>0，x(x+1)≤(x−1)2B.∀x≤0，x(x+1)≤(x−1)2C.∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2D.∃x≤0，x(x+1)≤(x−1)2【答案】C命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是：∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2.故选C.4. 已知sin(x+π6)=m，则cos(2x−2π3)=()A.1−2m2B.2m2−1C.mD.2m−1【答案】B【考点】二倍角的三角函数二倍角的余弦公式诱导公式【解析】直接利用三角函数的诱导公式的运用和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：已知sin(x+π6)=m，所以cos(π2−x−π6)=cos(x−π3)=m，则cos(2x−2π3)=2cos2(x−π3)−1=2m2−1．故选B.5. “a3>b3”是“log7a>log7b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的单调性与特殊点【解析】根据a3>b3推出a>b，但是a，b未必是正数，因此log7a>log7b未必有意义；反之，log7a>log7b推出a>b>0，则必有a3>b3．根据充分必要条件的判定，即可得出结果．【解答】解：若a3>b3，则a>b，当b<a≤0时，或a>0≥b时，由“a>b”推不出“log7a>log7b”；所以，”a 3>b 3”是”log 7a >log 7b ”的必要不充分条件． 故选B .6. 已知向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)，若(2m →+n →) // (m →−2n →)，则λ=( ) A.−1 B.0 C.1 D.2【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】可以求出2m →+n →=(3λ+4,4),m →−2n →=(−λ−3,−3)，根据(2m →+n →)∥(m →−2n →)即可得出−3(3λ+4)+4(λ+3)＝0，解出λ即可． 【解答】解：2m →+n →=(3λ+4,4),m →−2n →=(−λ−3,−3)， ∵ (2m →+n →)//(m →−2n →)，∴ −3(3λ+4)+4(λ+3)=0，解得λ=0． 故选B .7. 函数f(x)=3sin x−x x 2+1在[−π, π]的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质 【解析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项． 【解答】 解：f(−x)=3sin (−x)+x x 2+1=−3sin x−x x 2+1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故排除A ，B ，当x =π6时，f(π6)=32−π6π236+1>0，故排除D .故选C .8. 将函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的个数是( ) ①g(5π12)=1；②g(x)在[5π12,3π4]单调递减；③x =−π12是g(x)图象的一条对称轴； ④(π8,0)是g(x)图象的一个对称中心.A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 【解析】根据图象平移得出函数g(x)的解析式，再对题目中的命题分析、判断，从而得出正确命题的序号． 【解答】解：函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得f(x −π12)=sin [2(x −π12)−π6]=sin (2x −π3)的图象， 所以函数g(x)=sin (2x −π3)；对于①，g(5π12)=sin (2×5π12−π3)=sin π2=1，所以①正确；对于②，x ∈[5π12, 3π4]时，2x −π3∈[π2, 7π6]， 所以g(x)在[5π12,3π4]上单调递减，②正确；对于③，x =−π12时，g(−π12)=sin (−π6−π3)=−1， 所以x =−π12是g(x)图象的一条对称轴，③正确； 对于④，x =π8时，g(π8)=sin (π4−π3)≠0，综上知，正确的命题序号是①②③，共3个．故选C.9. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n+1a n，则S10=()A.100B.110C.50D.55【答案】D【考点】数列递推式等差数列的前n项和【解析】本题先根据题干中的关系式得到a2＝2，然后代入n+1有2S n+1＝a n+2a n+1．两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可得到结果．【解答】解：由题意，可知：当n=1时，2a1=2S1=a2a1，可得a2=2．∵2S n=a n+1a n，∴2S n+1=a n+2a n+1．两式相减，可得2(S n+1−S n)=a n+1(a n+2−a n)．即2a n+1=a n+1(a n+2−a n)．∴a n+2−a n=2．∴数列{a n}的奇数项和偶数项都是以2为公差的等差数列．又∵a1=1，a2=2．∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．S10=10×1+10×92×1=55．故选D.10. 已知函数f(x)=a sin x−√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=a sin x−√3cos x=2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x= 5π∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sin x−√3cos x=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 己知函数f(x)={e(x+1)2,x≤0,x+4x−3,x>0,函数y=f(x)−a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则−x1x2+x3+x4的取值范围为()A.(3, 3+e]B.[3, 3+e)C.(3, +∞)D.[3, 3+e)【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出f(x)的图象和直线y＝a，考虑四个交点的情况，把−x1x2与x3+x4用含有a的代数式表示，再由函数的单调性求解．【解答】解：函数y=f(x)−a有四个不同的零点，即两函数y=f(x)与y=a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1<a≤e，x1，x2是方程e(x+1)2=a的两根，即x2+2x+1−ln a=0的两根，∴x1x2=1−ln a，x3，x4是方程x+4x−3=a的两根，即x2−(3+a)x+4=0的两个根，∴x3+x4=3+a，∴−x1x2+x3+x4=2+a+ln a．∵g(a)=2+a+ln a在(1, e]上为单调增函数，∴g(a)∈(3, e+3]．故选A.12. 对任意实数a，b定义运算“⊙”，a⊙b={b,a≥b,a,a<b，设f(x)=(|2−x2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论：①f(x)最大值为2；②f(x)有3个单调递减区间；③f(x)在[−32,−1]是减函数；④f(x)图象与直线y=m有四个交点，则0≤m<2，其中正确结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【考点】命题的真假判断与应用根的存在性及根的个数判断函数的单调性及单调区间【解析】分别作出y＝4−|x|，y＝|2−x2|的图象，可得f(x)＝(|2−x2|)⊙(4−|x|)的图象，结合图象可得f(x)的最大值，可判断①；以及f(x)的减区间，可判断②；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增，可判断③；由图象可得若f(x)图象与直线y＝m有四个交点，可得m＝0，而0<m<2时，f(x)图象与直线y＝m有六个交点，可判断④．【解答】解：分别作出y=4−|x|，y=|2−x2|的图象，可得f(x)=(|2−x2|)⊙(4−|x|)的图象，如图：由图象可得f(x)的最大值为2；f(x)的减区间为(−2, −√2)，(0, √2)，(2, +∞)，即f(x)有3个单调递减区间；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增；若f(x)图象与直线y=m有四个交点，可得m=0，而0<m<2时，f(x)图象与直线y=m有六个交点．综上可得①②正确；③④错误．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.函数f(x)=x cos x+sin x在点(0, 0)处的切线方程为________．【答案】2x−y=0利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到f′(0)，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f(x)=x cos x+sin x，得f′(x)=cos x−x sin x+cos x，∴f′(0)=cos0−0×sin0+cos0=2．∴函数f(x)=x cos x+sin x在点(0, 0)处的切线方程为：y=2x，即2x−y=0．故答案为：2x−y=0.设为数列{a n}的前n项和，若S n=12a n+1,n∈N∗，则a5=________．【答案】2【考点】数列递推式【解析】当n≥2时，{2S n=a n+22S n−1=a n−1+2，可得a n＝−a n−1⇒⇒a n+2＝a n．故数列{a n}是周期为2的周期数列．即可求解．【解答】解：当n≥2时，{2S n=a n+2，2S n−1=a n−1+2，∴a n=−a n−1⇒a n+1=−a n⇒a n+2=a n，故数列{a n}是周期为2的周期数列．∵S1=12a1+1，∴a1=2．∴a5=2．故答案为：2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为√34(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则ca的取值范围是________．【答案】(2, +∞)【考点】解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得s=12ac sin B=√34(a2+c2−b2)=√3 4×2ac cos B，可求tan B，进而可求B，然后由正弦定理可ca=sin Csin A=sin Csin(2π3−C)，展开后利用正切函数的性质可求范围．【解答】解：∵由余弦定理可得，cos B=a 2+c2−b22ac，∴a2+c2−b2=2ac cos B，∵S=12ac sin B=√34(a2+c2−b2)=√34×2ac cos B，∴tan B=√3，∵0<B<π，∴B=π3，∴由正弦定理可得：c a =sin Csin A=sin Csin(2π3−C)=12sin C+√32cos=1+√3tan C，∵C∈(π2, 2π3)，∴tan C<−√3，∴2+√3tan C >2，可得ca∈(2, +∞)．故答案为：(2,+∞).已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，且当x∈(0,π2)时，f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0．则不等式f(x)sin2x<1的解集为________．【答案】(−π8, π8)【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】构造新函数令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，由已知条件判断函数单调性，利用函数的单调性判断函数自变量的范围可得答案．【解答】解：已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，则F′(x)=f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0(0<x<π2)，所以F(x)=f(x)sin2x在(0,π2)上为单调递增，且F(π8)=f(π8)sin(2×π8)=1，所以F(x)=f(x)sin2x<F(π8)，解得0<x<π8，由f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数得，F(x)=f(x)sin2x在(−π2,π2)为偶函数，所以不等式f(x)sin2x<1的解集为：(−π8,π8 ).故答案为：(−π8,π8 ).三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=4sin(x−π6)cos x+2．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最值．【答案】解：(1)由已知得，f(x)=4(sin x cosπ6−cos x sinπ6)cos x+2=2√3sin x cos x−2cos2x+2=√3sin2x−cos2x+1=2sin(2x−π6)+1．∴T=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵x∈[−π4,π4]，∴2x−π6∈[−23π,π3]，∴当2x−π6=π3，即x=π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x−π6=−π2，即x=−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1．∴函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．【考点】正弦函数的周期性三角函数的最值【解析】（1）展开两角差的正弦，再由倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期；（2）由x 的范围求得相位的范围，则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最值可求．【解答】解：(1)由已知得，f(x)=4(sin x cos π6−cos x sin π6)cos x +2 =2√3sin x cos x −2cos 2x +2=√3sin 2x −cos 2x +1=2sin (2x −π6)+1． ∴ T =2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵ x ∈[−π4,π4]，∴ 2x −π6∈[−23π,π3]，∴ 当2x −π6=π3，即x =π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x −π6=−π2，即x =−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1． ∴ 函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．如图，在△ABC 中，∠A =60∘，AB =2，AC =1，BD →=2DC →，AE →=λAC →−AB →(λ∈R )．(1)若AD →⋅AE →=−4，求λ的值；(2)若非零向量m =xAB →+yAC →(x,y ∈R )，求|m||y|的最小值．【答案】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →， ∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2 =x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(xy )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34， ∴ 当xy=−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．【考点】两向量的和或差的模的最值平面向量数量积的性质及其运算律 向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）由图表示出AD →，则AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)，再结合条件即可求出λ； (2)|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2，配方，利用二次函数最值求解即可．【解答】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2 =x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴ |m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(x y )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34，∴ 当xy =−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)(sin A −sin B)=(c −b)sin C ．(1)求A；(2)若2c=(1+2√3)b，求sin B．【答案】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sin C=(1+2√3)sin B，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sin B，∴2sin23πcos B−2cos23πsin B=(1+2√3)sin B，∴cos B=2sin B，又sin2B+cos2B=1，∴sin B=√55．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2＝bc，利用余弦定理可求cos A，结合范围A∈(0, π)，可求A的值；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos B＝2sin B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．【解答】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sin C=(1+2√3)sin B，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sin B，∴2sin23πcos B−2cos23πsin B=(1+2√3)sin B，∴cos B=2sin B，又sin2B+cos2B=1，∴sin B=√55．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2+a3=a4，S4+2=a5；数列{b n}满足b1=1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．(1)求a n和b n；(2)求数列{1(b n+2)log2a n}的前n项和T n．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由2a2+a3=a4，可得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1（舍），又S4+2=a5，∴a1(1−24)1−2+2=a1⋅24，解得a1=2，∴a n=2n,n∈N∗；∵1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)，∴当n≥2时，1b1+2b2+⋯+n−1b n−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n =n2b n−(n−1)2b n−1，整理得nb n =n−1b n−1(n≥2)，又b1=1，则数列{nb n}是首项为1的常数列，∴nb n=1，∴b n=n,n∈N∗；(2)设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴T n=c1+c2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【考点】数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】（1）设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求a n；由b1＝1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．将n换为n−1，相减可得b n；（2）设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >0)， 由2a 2+a 3=a 4，可得q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1（舍）， 又S 4+2=a 5， ∴a 1(1−24)1−2+2=a 1⋅24，解得 a 1=2，∴ a n =2n ,n ∈N ∗；∵ 1b 1+2b 2+⋯+nb n=n 2b n(n ∈N ∗)，∴ 当n ≥2时，1b 1+2b 2+⋯+n−1bn−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n=n 2b n−(n−1)2b n−1，整理得n b n=n−1bn−1(n ≥2)，又b 1=1，则数列{nb n}是首项为1的常数列，∴nb n=1，∴ b n =n,n ∈N ∗；(2)设c n =1(b n +2)log 2a n=1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴ T n =c 1+c 2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n −1−1n +1)+(1n −1n +2)] =12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点（用t 表示第t 月份，t ∈N ∗），根据历年数据，某水库的蓄水量V （单位：亿立方米）与时间t 的近似函数关系为：当0<t ≤10时，V(t)=(−t 2+14t −40)e at +60；当10<t ≤12时，V(t)=12t 2−284t +1700；若2月份该水库的蓄水量为33.6亿立方米． (1)求实数a 的值；(2)求一年内该水库的最大蓄水量．参考数据：e 2=7.39,e =2.72,√e =1.65,√e 3=1.40． 【答案】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60，V′(t)=(−2t +14)e 14t +1(−t 2+14t −40)e 14t=−14e 14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12． 又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米． 【考点】利用导数研究函数的最值 根据实际问题选择函数类型 对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）根据V(2)＝33.6计算a ；（2）利用导数求出V(t)在(0, 10]上的单调性，再结合V(11)，V(12)的值得出V(t)的最大值． 【解答】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60， V′(t)=(−2t +14)e 14t+14(−t 2+14t −40)e 14t =−14e 14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12． 又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米．已知函数f(x)=e 2x −me x −m 2(3x −12),g(x)=(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意的m ∈R ，x >0，都有f(x)>g(x)成立，求正整数k 的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln (−m)，当x >ln (−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln (−m)，+∞)上单调递增， 当x <ln (−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln (−m))上单调递减；当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立， 即 e 2x −me x −m 2(3x −12)>(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +ln x)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0， 即 (e x −ln x)2>k 2，令ℎ(x)=e x −ln x,ℎ′(x)=e x −1x ，令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −ln x >0，∴ e x −ln x >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求导后分类讨论判断其单调性；（2）转化可得 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立，利用导数研究即可． 【解答】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln (−m)，当x >ln (−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln (−m)，+∞)上单调递增， 当x <ln (−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln (−m))上单调递减；当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立， 即 e 2x −me x −m 2(3x −12)>(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +ln x)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0， 即 (e x −ln x)2>k 2，令ℎ(x)=e x −ln x,ℎ′(x)=e x −1x ，令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −ln x >0，∴ e x −ln x >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2．。
山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)
山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1}，N={−1,0}，则M∩N=()A. {−1,0，1}B. {−1,1}C. {0}D. φ2.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是()A. y=−x13B. y=x4C. y=x12D. y=x−23.“a>1”是“lna>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的终边经过点(−3,4)，则sin(α+π4)的值()A. √25B. √210C. −√25D. −√2105.已知正项等比数列{a n}的公比为q，a7=2q2，则a2⋅a8=()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=sin(x−π2)(x∈R)，下面结论错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称D. 函数f(x)是奇函数7.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,x)，若a⃗//b⃗ ，则|b⃗ |=()A. √52B. 52C. √5D. 58.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定9. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,m =0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是( )．A. f (x )=3sin (x +π3) B. f (x )=3sin (2x +π3) C. f (x )=3sin (2x −π3)D. f (x )=3sin (2x +π6)10. 函数f(x)=sinx2+cosx (−π≤x ≤π)的图象大致为( )A.B.C.D.11. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，BC =2AD ，点E 是BC 中点，F 是AE 中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 已知f(x −1)=2x ，则f(3)=( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 扇形的周长是20，当扇形的圆心角为______ 弧度时扇形的面积最大． 14. 命题p ：∀x ∈R ，2x >x 2的否定是______． 15. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1an −1+1，则a 2014= ______ ．16. 已知函数f (x )={|ln (x −1)|,x >12x−1+1,x ≤1，若函数g (x )=f (x )−a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(−2,3)，b⃗ =(3,4)，c⃗=a⃗−2b⃗ ．(1)求b⃗ ⋅c⃗(2)若a⃗−λb⃗ 与3a⃗−b⃗ 垂直，求实数λ的值．18.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6.求cosA+sinC取值范围．19.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m，使得f(x)图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．20.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，等差数列{b n}满足b2=0，b6+b8=10．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n⋅b n}的前n项和S n．21.如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，OE=1，EF=√3，设∠AOE=α．(1)写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α)；(2)写出函数f(α)的取值范围．22.已知函数其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：−3<f(x1)+f(x2)<−2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵M={0,1}，N={−1,0}，∴M∩N={0}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，根据题意逐项进行判断即可得到结果．解：A.函数是奇函数，错误；B.在(0,1)上y′=4x3>0，所以函数y=x4在(0,1)上是增函数，错误；C.y=x12是非奇非偶函数，错误；D.该函数是偶函数，x∈(0,1)时，y′=−2x−3<0，所以该函数在(0,1)上是减函数，正确．故选D．3.答案：C解析：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．根据充要条件判断即可．解：若a>1推出“lna>0”，若lna>0，由对数函数得性质得a>1，所以，“a>1”是“lna>0”的充要条件，故选C．解析：由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得sin(α+π4)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，属于基础题．解：∵角α的终边经过点(−3,4)，则sinα=45，cosα=−35，∴sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=45×√22−35×√22=√210，故选B．5.答案：D解析：本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质，根据等比数列的通项公式和性质求解即可.属于基础题．由a2·a8=a52，只需求a5即可．解：a7=a1q6=2q2⇒a1q4=2⇒a5=2，所以a2·a8=a52=4，故选D．6.答案：D解析：解：∵y=sin(x−π2)=−cosx，∴T=2π，A正确；y=cosx在[0,π2]上是减函数，y=−cosx在[0,π2]上是增函数，B正确；由图象知y=−cosx关于直线x=0对称，C正确．y=−cosx是偶函数，D错误．故选D先利用三角函数的诱导公式化简f(x)，利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性．解析：本题考查向量的坐标运算、向量平行的性质及向量的模，属于基础题．根据题意利用向量平行的性质可得x的值，然后可得b⃗ 的模即可．解：因为向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,x)，a⃗//b⃗ ，则1×x−2×(−1)=0，解得x=−2，所以b⃗ =(−1,−2)，所以|b⃗ |=√(−1)2+(−2)2=√5．故选C．8.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e12x，则g′(x)=f′(x)e12x−12f(x)e12x(e12x)2=2f′(x)−f(x)2e12x>0，函数g(x)在R上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．9.答案：B解析：本题主要考查了根据已知图像求解析式的问题，属于基础题；根据已知可得A=3，且周期T=π即得ω=2，再根据(−π6,0)为第一点即可得φ．解：已知可得A=3，且周期T=56π−(−π6)=π即得ω=2，再根据(−π6,0)为第一点得−π6×2+φ=0，所以φ=π3，所以函数，故选B．10.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx=−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C，分母2+cosx>0，则当0<x<π时，sinx>0，则f(x)>0，排除D，f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B不满足条件．故选：A．。
山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.5．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②． 由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 7．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.11．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．104．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．18．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为______．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是______．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为______．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，则（∁U A）∪B={3，4，5}．故选：C．2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=2t+i，z2=1﹣2i，∴=，又为实数，∴4t+1=0，即t=﹣．故选：D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B．5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．7．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．8．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据标准差的含义，可判断①；根据几何概型概率计算公式，可判断②；根据直线与圆的位置关系，可判断③【解答】解：①若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为=≠，故为假命题；③（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B．9．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故选：A．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：①a n=（﹣1）n，则a3+a5≥2a4不成立，故①错误，②∵a32+a52≥2|a3a5|=2a42；故；故②正确，③若a n=（﹣1）n，则a3=a5=﹣1，但a1=﹣1，a2=1，a1=a2；不成立，故③错误，④若a5＞a3，则q2a3＞a3，∵q2＞0，∴q2a5＞q2a3，即a7＞a5成立，故④正确，故正确的是②④，故答案为：②④．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD．【解答】解：，==﹣+．∴=（）•（﹣）=﹣++=1．∵=，=AD2，．∴AD2+﹣=1，解得AD=1．故答案为：1．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t＞﹣．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求解导数f′（x）=﹣6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数．【解答】解：∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，∴x=0，x=（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0∴存在唯一的零点，是正数．（2）当t＞0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x∴f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）单调递减在（0，）单调递增∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，∴存在唯一的零点，（3）当t＜0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜，x＞0∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减在（，0）单调递增∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，∵只需极小值f（）＞0即可，+1＞0，且t＜0∴﹣＜t＜0，综上：﹣＜t＜0，或t≥0故答案为：t＞﹣．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据，•=12解出a，使用余弦定理解出c．【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣+1=sin（2x+）+．令≤2x+≤，解得≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间是[，]，k∈Z．（2）∵f（C）=sin（2C+）+=，∴sin（2C+）=1，∴C=．∵•=abcosA=2a=12，∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，其中不含有编号2的基本事件有，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a n=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n=q n﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有a n=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=（n﹣1）•3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n﹣1﹣1）•3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=（n﹣1）•3n﹣（n﹣2）•3n﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1，∴b n=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式是b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，n≥2时，c n﹣1=，c n﹣c n﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，c n≥c n﹣1；n=7，…时，c n＜c n﹣1．即有n=5或6时，c n取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB．（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，∵M是CE中点，∴MQ∥AC，∵PB=4PN，AB=4AQ，∴QN∥AP，又∵AP∩PC=P，AP⊂平面APC，PC⊂平面APC，QN∩QM=Q，QN⊂平面MNQ，QM⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAC，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P．利用斜率计算公式可得k CP，可得直线CP的方程，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得D．可得直线DE 的斜率，化简整理即可证明．【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得a2=16，b2=4，∴椭圆C： +=1．证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2），直线BC的方程为：=1，化为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，∴4x P=，解得x P=，∴y P=k（x P﹣4）=，故P．k CP==，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，∴D．直线DE的斜率为k1===，∴．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=+=+，F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故F（x）max=+；证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+＜1，∴F（x）＜h（x），即+＜x﹣f（x）；解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2020年9月19日。
山东省泰安市宁阳县2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题含解析
2022—2023学年高三上学期期中检测试题数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|280A x x x =--≤，{}1,0,2,4,5,7,8B =-，则A B = （）A.{}1,0,4- B.{}1,0,2,4-C.{}0,4,7,8 D.{}4,5,7,8【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再去求A B ⋂即可解决【详解】由2280x x --≤，得24x -≤≤，则{}{}{}1,0,2,4,5,7,81,0,2,4|24A B x x -=⋂=-≤≤⋂-故选：B.2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题p 的否定为（）A.,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥B.,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥C.00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D.00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，再否定结论即可.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“()0000,0,1,2x y x y ∃∈+≥”.故选：D【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，注意只否定结论即可，属简单题.3.设命题p ：关于x 的不等式210x ax ++≥对一切R x ∈恒成立，命题q ：对数函数()43log a y x -=在()0,∞+上单调递减，那么p 是q 的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】p 为真，利用判别式小于0求解a 的范围；q 为真时，由对数函数的单调性求解a 的范围，然后利用充分必要条件的判定得答案.【详解】关于x 的不等式210x ax ++>对一切R x ∈恒成立，则240a -<，即22a -<<，∴p 为真：22a -<<；对数函数()43log a y x -=在()0,∞+上单调递减，则0431a <-<，即413a <<.∴q 为真：413a <<.∵41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2-∴p 是q 的必要不充分条件.故选：C.4.已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（）A .9B.－9C.212 D.214-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-,∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-；当5836a a =⎧⎨=-⎩时,3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-.故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.5.垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A .20个月B.40个月C.28个月D.32个月【答案】D 【解析】【分析】根据题意先确定,a b 的值，令()1v t =，求得时间t .【详解】依题意()()61260.05120.1v a b v a b ⎧=⋅=⎪⎨=⋅=⎪⎩，解得160.0252a b =⎧⎪⎨⎪=⎩，故()60.0252t v t =⨯.令()60.02521t v t =⨯=，得6240t=，即2log 406t=，则212lg 2120.36log 406632lg 20.3t ⎛⎫++⨯⎛⎫==⨯≈⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过32个月.故选：D.6.函数()2cos 1x x e xf x e =-的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得正确结论．【详解】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，当0x ≠时，2e cos cos ()e 1e ex x xxx xf x -==--，cos cos ()()e e e ex xx x x xf x f x ----===---（），所以()f x 为奇函数，故排除B 、D 选项.当02x π<<时，cos 0x >，e e x x ->，所以cos ()0e e xx x f x -=>-，排除C ，故选：A ．7.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.34-B.34C.1-D.1【答案】B 【解析】【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】π2sin()4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.8.已知函数()()21ln 2145f x x x x =-+--+，则()1f -、()2e f 、()e2f 的大小关系是（）A.()()()e212e f f f -<< B.()()()2e1e 2f f f -<<C.()()()2ee12f f f <-< D.()()()e22e 1f f f <<-【答案】A【解析】【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，可得出()()15f f -=，分析函数()f x 在()2,+∞上的单调性，构造函数()ln xg x x=，利用导数分析函数()g x 在(]0,e 上的单调性，可得出2e 、e 2的大小，并比较e 2与5的大小，结合函数()f x 的单调性可得出结论.【详解】因为()()()()2211ln 21ln 214521f x x x x x x =-+-=-+--+-+，对任意的()(),22,x -∞⋃∈+∞，()()()()()()22114ln 21ln 212121f x x x f x x x -=-+-=-+-=-+-+，所以，函数()f x 的图象关于直线2x =对称，则()()15f f -=，当2x >时，()()()21ln 121f x x x =---+，因为二次函数()221y x =-+在()2,+∞上为增函数，且()2210y x =-+>，所以，函数()ln 1y x =-、()2121y x =--+在()2,+∞上为增函数，所以，函数()f x 在()2,+∞上为增函数，令()ln x g x x=，其中0e x <≤，则()1ln 0xg x x -'=≥，故函数()g x 在(]0,e 上为减函数，所以，()()2e g g <，即ln 2ln e2e<，所以，e 2e ln 2ln 22ln e ln e =<=，所以，2e e 2>，又因为5e2225>=>，即2e e 25>>，所以，()()()()2ee251f f f f >>=-.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知实数x ，y 满足x y a a <（0<a <1），则下列关系式恒成立的有（）A.33x y> B.11x y< C.ln(1)0x y -+> D.sin sin x y>【答案】AC 【解析】【分析】先根据题干条件，得出x y >，再进行判断，BD 选项可以通过举出反例进行证明，AC 选项可以通过函数的单调性进行证明.【详解】因为01a <<，所以()xf x a =是单调递减函数，因为x y a a <，所以x y >，而()3g x x =是定义在R 上单调递增函数，故33x y >，A 正确；当1x =，=2y -时，满足x y >，此时11xy>，故B 错误；因为x y >，所以11x y -+>，所以ln(1)0x y -+>，C 正确；当πx =，π2y =时，sin π=0，πsin 12=，所以sin sin x y <，D 错误.故选：AC10.将函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：①()102f =；②()y f x =在[]0,π上有两个零点；③()f x 的图象关于直线π6x =-对称；④()f x 在区间2π8π,33⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，其中所有正确的结论是（）A.①B.②C.③D.④【答案】BD 【解析】【分析】根据平移后的函数图象，结合函数周期以及特殊点求得参数,ωϕ，可得()f x 解析式，由此计算()0f判断①，求出()y f x =-在[]0,π上的零点，判断②，将π6x =-代入函数解析式验证，判断③，根据正弦函数的单调性可判断④，即得答案.【详解】将函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为：()π2sin[()]2f x x ωϕ=++，由图像知7ππ2π1)4π,4π2664(T ω-∴====,将点π(,2)6代入()f x 表达式中，得1ππ22sin[()]262ϕ=++，即π1sin()3ϕ=+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则()1π2sin()26f x x =+；故()π02sin16f ==，故①错误；()y f x =即1π1π2sin()sin()26262x x +=+=，由[]0,π得1ππ2π[,2663x +∈，故1ππ263x +=或2π3，即π3x =或π，即()y f x =-在[]0,π上有两个零点，②正确；将π6x =-代入()1π2sin(26f x x =+，得ππ(2sin2612f -=≠±，即()f x 的图象不关于直线π6x =-对称，③错误；当2π8π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1ππ3π[,]2622x +∈，由于正弦函数sin y x =在π3π[,]22上单调递减，故()f x 在区间2π8π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，④正确，故选：BD11.已知函数()322f x x ax x =--，下列命题正确的是（）A.若1x =是函数()f x 的极值点，则12a =B.若1x =是函数()f x 的极值点，则()f x 在[]0,2x ∈上的最小值为32-C.若()f x 在()1,2上单调递减，则52a ≥D.若()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，则1a ≥-【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由()01f '=可求出a 的值，对于B ，由选项A ，可求得()f x ，然后利用导数可求出()f x 在[]0,2x ∈上的最小值，对于C ，由题意可得()0f x '≤，可求出a 的范围，对于D ，将问题转化为2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，构造函数2()ln h x x x x=--，再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A ，由()322f x x ax x =--，得()2322f x x ax '=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以(1)3220f a '=--=，得12a =，经检验1x =是函数()f x 的极小值点，所以A 正确，对于B ，由选项A ，可知()32122f x x x x =--，则()232f x x x '=--，由()0f x '>，得23x <-或1x >，由()0f x '<，得213x -<<，所以()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞递增，在2(,1)3-上递减，所以当[]0,2x ∈时，1x =时，()f x 取得最小值()1311222f =--=-，所以B 正确，对于C ，因为()f x 在()1,2上单调递减，所以()0f x '≤，即()23220f x x ax '=--≤，得312a x x≥-在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2g x x x x =-∈，则231()02g x x'=+>，所以()g x 在()1,2单调递增，所以(1)()(2)g g x g <<，即15()22g x <<，所以52a ≥，所以C 正确，对于D ，由()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，得232ln 2x x x ax x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，即2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，令2()ln h x x x x =--，[]1,2x ∈，则222122()10x x h x x x x -+'=-+=>，所以()h x []1,2x ∈上单调递增，所以max ()(2)2ln 211ln 2h x h ==--=-，所以1ln 2a ≥-，所以D 错误，故选：ABC12.对于给定数列{}n c ，如果存在实数,t m ，对于任意的*N n ∈均有1n n c tc m +=+成立，那么我们称数列{}n c 为“M 数列”，则下列说法正确的是（）A.数列{}21n +是“M 数列”B.数列{}21n+不是“M 数列”C.若数列{}n a 为“M 数列”，则数列{}1n n a a ++是“M 数列”D.若数列{}n b 满足11b =，123nn n b b p ++=⨯，则数列{}n b 不是“M 数列”【答案】AC 【解析】【分析】根据“M 数列”的定义，判断一个数列是不是“M 数列”，即判断是否存在实数,t m ，对于任意的*N n ∈均有1n n c tc m +=+成立，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于选项A ，由“M 数列”定义，得()2()2111n t n m ++=++，即()2130n t t m -+--=，存在1,2t m ==对于任意的N n *∈都成立，故A 正确；对于选项B ，由“M 数列”定义，得()12121n n t m ++=++，即()2210nt t m -⋅++-=，存在2,1t m ==-，对于任意的N n *∈都成立，即数列{}21n+是“M 数列”，故选项B 错误；对于选项C ，若数列{}n a 为“M 数列”，则121,n n n n a ta m a ta m +++=+=+，所以121()2n n n n a a t a a m ++++=++，所以数列{}1n n a a ++是“M 数列”，故C 正确；对于选项D ，若数列{}n b 是“M 数列”，存在实数,t m ，对于任意的*N n ∈，有1n n b tb m +=+，可得121()2n n n n b b t b b m ++++=++，即123232n n p t p m +⋅=⨯⨯+，故()23320np t m -+=，对于任意的N n *∈都成立，则2(3)020p t m -=⎧⎨=⎩，所以3,0t m ==或0p m ==，当3,0t m ==时，13n n b b +=，符合“M 数列”定义，此时数列{}n b 是“M 数列”；当0p m ==时，1n n b b +=-，符合“M 数列”定义，此时数列{}n b 是“M 数列”，D 错误，故选：AC【点睛】关键点点睛：判断一个数列是不是“M 数列”，关键是要理解其定义的含义，如果判断数列是“M 数列”，就要求出实数,t m ，对于任意的*N n ∈均有1n n c tc m +=+成立，如果不是“M 数列”，说明其不符合定义即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f [f (-1)]=4，且a >-1，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：因为函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，所以(1)1f a -=+又因为a >-1，所以(1)10f a -=+>，所以[]()12(1)1242a f f f a +-=+===，则12a +=，解得1a =，故答案为：1.14.已知ABC 的内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，4a =，7cos 225A =-，则ABC 外接圆半径为______．【答案】522.5【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知，结合sin 0A >，可求sin A 的值，然后利用正弦定理即可求出ABC 外接圆的半径【详解】由7cos 225A =-得2712sin 25A -=-，又()0,πA ∈所以sin 0A >，4sin 5A =.则由正弦定理可得ABC 外接圆半径44542sin 225R A ===⨯.故答案为：52.15.已知数列{}()*Nn c n ∈是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若1c 、数列{}2nc 的第2项、数列{}2n c 的第5项恰好构成等比数列，则数列{}n c 的通项公式为______．【答案】21n c n =-【解析】【分析】通过等差数列的通项公式用d 分别表示{}n c ，{}2n c ，{}2n c ，再通过等比中项的性质列出()()2131124d d +=⨯+即可求解.【详解】设等差数列{}n c 的公差为()0d d >，所以()()1111n n d n d c c =+-=+-，所以()2121n d c n =+-，()2211n d c n =+-，又因为1c 、数列{}2n c 的第2项、数列{}2n c 的第5项恰好构成等比数列，即113124d d ++，，构成等比数列，所以()()2131124d d +=⨯+，解得20d d ==，（舍去），所以21n c n =-.故答案为：21n c n =-.16.已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案．【详解】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144b e elne ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故答案为【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =求集合B ；（2）若A B =，求实数a 的值．【答案】（1）{|45}B x x =<<；（2）1a =-．【解析】【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按2与31a +的大小分类讨论求解.【详解】（Ⅰ）由405xx ->-，得45x <<，故集合{|45}B x x =<<；（Ⅱ）由题可知，2(2,1)B a a =+①若231a <+，即13a >时，(2,31)A a =+，又因为A B =，所以222131a a a =⎧⎨+=+⎩，无解；②若231a =+时，显然不合题意；③若231a >+，即13a <时，(31,2)A a =+，又因为A B =，所以223112a a a =+⎧⎨+=⎩，解得1a =-．综上所述，1a =-．【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算.求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、tan x 中2x k ππ≠+.18.如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.（1）求角B ；（2）若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π3B =（2）4+2 3.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=【小问2详解】由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin 44ABC ACD ABCD S =S S =x =θθθ- 四边形（）π4sin 3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S有最大值19.已知数列{}n a 的前项和为n S ，若()12n n nS n S +=+，且11a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()2112n n n b n a a -=≥，11b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证32n T <.【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知等式可得12n n S n S n++=，采用累乘法可求得当2n ≥时的n S ，利用1n n n a S S -=-可求得n a ，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n ≥时n b 的通项，由()()112122n b n n n n =<--，采用裂项相消法可求得11112n T n ⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，由10n>可得结论.【小问1详解】由()12n n nS n S +=+得：12n n S n S n++=，则当2n ≥时，()123211232111143123212n n n n n n n n n S S S S S S n n n S S S S S S n n n -----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a ==，()12n n n S +∴=，()()11122n n n n n n n a S S n -+-∴=-=-=，经检验：11a =满足n a n =；()n a n n *∴=∈N .【小问2详解】由（1）得：当2n ≥时，()()11111212221n b n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n n T b b b b b n n -⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-++⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭11112n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n >，111n∴-<，1113111222n T n ⎛⎫∴<+-<+= ⎪⎝⎭.20.已知函数()2πcos sin 34f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（3）将函数()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数()g x 的图象，求函数()4y g x =-在[]0,2π上所有零点之和．【答案】（1）()511,1212ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）最小值为12-，最大值为14（3）13π3【解析】【分析】（1）先将函数()f x 化简成一个三角函数，再根据单调区间公式求得即可；（2）先由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出整体角的取值范围，再求得()f x 的最大值和最小值；（3）先根据图形变换求出()4y g x =-，在求其零点得出结果.【小问1详解】函数()22π1cos sin sin cos cos 34224f x x x x x x x ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭1πsin 223x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z 解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数的单调递减区间为()511,1212ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【小问2详解】由（1）得()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()11,24f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当π12x =-时，函数()f x 的取最小值，最小值为12-，当π4x =时，函数()f x 的取最大值，最大值为14.【小问3详解】将函数的图象()f x 向左平移π3个单位得到函数()1ππ1πsin 2sin 223323g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令()304y g x =-=，[]0,2πx ∈，即1πsin 2234x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，整理得πsin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ22π33+=+x k 或()2π2π3k k +∈Z ，当0k =时，ππ233x +=或2π3，即0x =，π6；当1k =时，πx =，7π6；当2k =时，2πx =；故所有零点之和为π7π13π0π2π663++++=．21.小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）【答案】（1）第三年；（2）第5年.【解析】【分析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∵2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立，∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.22.已知函数2()2ln 21,f x x ax x =-+-()()()23g x f x ax a R =-+∈.（1）若()11f =-，求函数()y f x =的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()0g x ≤恒成立，求整数a 的最小值；（3）当01a <<时，函数()g x 恰有两个不同的零点12,x x ，且12x x <，求证：124733x x a+>.【答案】（1）单调增区间为()0,1（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出2a =，再利用导数求出()f x 的单调增区间；（2）先利用分离参数法得到()22ln 12x x a x x+++≥对()0,x ∈+∞恒成立.令()()22ln 12x x h x x x++=+，求导得到()()()()22212ln 2x h x x x xx '-++=+，再令()2ln x x x ϕ=+，判断出01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()00x ϕ=，得到()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，求出()max 01h x x =，得到()011,2a x ∈≥.由a Z ∈，求出整数a 的最小值；（3）用分析法证明：当01a <<时，把题意转化为只需证122x x a+>.先整理化简得到()()()()221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，只需证()()()()2212121212122ln ln x x x x x x x x x x -+-+>-+-.令()120,1x t x =∈，构造函数()()21ln 1t G t t t-=-+，利用导数证明出()21ln 1t t t -<+.即证.【小问1详解】当()11f =-时，()1211f a -=-+-=-，所以2a =，则()22ln 221f x x x x =-+-，定义域为()0,∞+.令()()()2121'0x x f x x--+=>，解得：01x <<.所以()f x 的单调增区间为()0,1.【小问2详解】依题意()()230g x f x ax =-+≤对()0,x ∈+∞恒成立，等价于()22ln 12x x a x x+++≥对()0,x ∈+∞恒成立.令()()22ln 12x x h x x x++=+，则()()()()22212ln 2x h x x x x x '-++=+令()2ln x x x ϕ=+在()0,∞+上是增函数，()110ϕ=>，()11112ln 14ln 202222ϕ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()00x ϕ=即002ln 0x x +=对()00,x x ∀∈，()0x ϕ<，()0h x '>，所以()h x 在()00,x 上单调递增；对()0,x x ∞∀∈+，()0x ϕ>，()0h x '<，所以()h x 在()0,x +∞上单调递减.所以()()()()()0000max 000002ln 12122x x x h x h x x x x x x +++====++.所以()011,2a x ∈≥.又a Z ∈，所以整数a 的最小值2【小问3详解】当01a <<时，由（2）知()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减且10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()g x →-∞；依题意存在1x ，()20,x ∈+∞使得()()12g x g x =已知12x x <可得1210x x a<<<要证124733x x a+>成立，只需证122x x a +>因为12,x x 是()g x 的零点，所以()()()()21111222221110201112lnx ax a x g x g x lnx ax a x ⎧⎧=+-+⎪⎪=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=+-+⎪⎪⎩⎩，两式相减得：()()221212121ln ln (1)2x x a x x a x x -=-+--即()()()()221212121222ln ln xx x x a x x x x -+-=-+-只需证()()()()2212121212122ln ln xx x x x x x x x x -+-+>-+-又因为12x x <只需证()()22221121212122ln2x x x x x x x x x x -++<-+-即证()1212122ln x x x x x x -<+令()120,1x t x =∈则()()21ln 1t G t t t -=-+，所以()()()22101t G t t t -'=>+，所以()G t 在()0,1增函数，所以()()10G t G <=即()21ln 1t t t -<+.即()1212122lnx x x x x x -<+成立.所以原不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．-21-。
山东省泰安市第一中学2020届上学期高三年级期中模拟联合考试数学试卷
B 当点 移动至 中点时，才有 与 相交于一点，记为点 ，且
C 无论点 在 上怎么移动，异面直线 与 所成角都不可能是
D 当点 移动至 中点时，直线 与平面 所成角最大且为
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
14．等比数列 的各项均为正数，且 ，则
15．已知向量 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数 的取值范围为______．
16．已知数列 中， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
17．在 中，角 的对边分别为 ， 且 面积为 ，则角B＝， 面积 的最大值为_____．
三、解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19－21题14分，第22－23题15分，共82分）
18 （10分）已知数列 中， ，且 成等比数列，
21．（14分）如图，在四棱锥 中， 为矩形， 是以 为直角的等腰直角三角形，平面 ⊥平面 ．
（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2） 为直线 的中点，且 ，求二面角 的余弦值
22 （15分） 已知函数 。
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）当 时且 时，证明： 。
23．（15分）设函数f（）＝m－e＋3（m∈R）
（1）讨论函数f（）的极值；
（2）若a为整数，m＝0，且 ，不等式（－a）＜＋2成立，求整数a的最大值。
【试题答案】
一、单项选择题：
1－5 DDBCA 6－10 CACDD
二、多项选择题：
三、填空题
149 15 16． 17． ，
16【详解】
即
由累加法可得：
所以DE＝100
答：甲、乙两人之间的距离为100 m………………………………6分
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题
取值范围是 (2 e2 , 2)
C．若对任意 x e ，不等式 f (ax) f ((x2 2x) ln x) 恒成立，则实数 a 的最大值为 2 e
D．若
f
( x1 )
g(x2 )
n(n
0)
，则
ln n x1( x2
2)
的最大值为
1 e
三、填空题 13．在 ABC 中，若 A 60, B 45, BC 3 2 ，则 AC
B． p2 ， p4
C． p1 ， p3
6．已知 a
2
1， e2b
2，c
1 ln 5 ，则（ 5
）
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． p2 ， p3 D． b c a
试卷第 1页，共 4页
7．已知函数 f x 1 的图象关于(1, -1)对称， f x 1为偶函数，则下列函数是奇函数
A．3
B．4
C．5
D．6
2．设 p :1 x 2, q : 2 x 1 ，则 p 是 q 成立的（ ）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3． 3 tan18 tan 42 tan162 tan 42 的值为（ ）
A． 3 3
B． 3
C． 3
sin x 4．函数 y＝1＋x＋ x2 的部分图象大致为（ ）
m
1 2 有两个极值
点. x1, x2 x1 x2 ，过点 x1, g x1 和 x2, g x2 的直线的斜率为 k，证明： k 0 .
试卷第 4页，共 4页
D． 3 3
A．
B．
C．
D．
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-2，-1}B. {-2，0}C. {-1，0}D. {-2，-1，0}2.若复数（2-i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A. 3B.C.D. -33.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x-y的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -34.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且|PM|=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为（）A. B. C. D. 25.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）A. 9≤a＜10B. 9＜a≤10C. 10＜a≤11D. 8＜a≤96.已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 1C. 5D. 67.（1-2x）5（2+x）的展开式中，x3的系数是（）A. 120B. -120C. 100D. -1008.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位9.已知函数等于（）A. 2B. log26C. log27D. 310.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A. B. C. D.11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知在△ABC和点M满足=，若存在实数m使得成立，则m=______．14.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为______．15.若，α∈（，π），则sin2α=______．16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1=1，b2=2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°．（1）证明：AD⊥PB；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．19.已知椭圆的离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（-2，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围．20.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析．已知学生甲的30次随堂测试成绩如下（满分为100分）：（1）把学生甲的成绩按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]分成6组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）规定随堂测试成绩80分以上（含80分）为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学生乙，对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析，甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立．已知甲成绩优秀的概率为P1（以频率估计概率），乙成绩优秀的概率为P2，若P2-P1≥0.5，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”．在一次随堂测试中，记X为两人中获得优秀的人数，已知E（X）=0.8，问二人是否适合结为“对子”？21.已知m＞0，函数f（x）=e x-mx，直线l：y=-m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y=-m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的方程为x2-2x+y2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）直线与直线l交于点A，点B是曲线C上一点，求△AOB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵（2-i）（a+i）=（2a+1）+（2-a）i的实部与虚部互为相反数，∴2a+1+2-a=0，即a=-3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为×（72+77+80+x+86+90）=81，解得x=0；又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；x-y=0-3=-3．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，即可求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0），P在第一象限,依题意可知抛物线准线x=-1，∴x0=4-1=3，∴y0=，∴P（3，），F（1，0）．∴直线PF的斜率为.故选C．5.【答案】B【解析】解：依次运行流程图，结果如下：n=13，S=0满足判断框内的条件n≥a，S=13，n=12满足判断框内的条件n≥a，S=25，n=11满足判断框内的条件n≥a，S=36，n=10满足判断框内的条件n≥a，S=46，n=9此时，不满足判断框内的条件n≥a，退出循环，所以a的取值范围是9＜a≤10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线，y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（0，3），此时z的最大值为z=0+2×3=6，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.【答案】B【解析】解：（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5∵（1-2x）5的展开式的通项为T r+1=C5r（-2x）r=（-2）r C5r x r令r=3得（1-2x）5展开式中x3的项的系数是-8C53=-80令r=2得（1-2x）5展开式中x2的项的系数是4C52=40∴（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5的展开式中x3的项的系数是2×（-80）+40=-120故选：B．将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r分别取3，2求出二项式的含x3和含x2的系数．本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8.【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数f（x）=A sin（ωx+φ），的图象可得A=1，，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：B．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（2019）=f（4）=log24=2．故选：A．推导出f（2019）=f（4），由此能求出结果．本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα==，解得a=3．∵最小角α的余弦值为，∴=．∴=．故选：A．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．可先作出所求角再利用余弦定理求值．【解答】解：如图：取BC中点E，连接NE,AE，MN,∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，,又E为BC的中点，,,所以四边形BENM为平行四边形，所以, 则或其补角即为所求异面直线所成角，又,,所以．故选D．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=|x2-2x-1|-t=0得|x2-2x-1|=t，作出y=|x2-2x-1|的图象如图，要使f（x）有四个不同的零点，则0＜t＜2，同时x1，x4，是方程x2-2x-1-t=0的两个根，x2，x3，是方程x2-2x-1+t=0的两个根，则x1x4=-1-t，x1+x4=2，x2x2=-1+t，x2+x3=2，则x4-x1===2，x3-x2===2，则2（x4-x1）+（x3-x2）=4+2，设h（t）=4+2，h′（t）=-=-，由h′（t）＞0得-＞0，得＞，平方得＞得8-4t＞2+t，得5t＜6，即0＜t＜，此时为增函数，由h′（t）＜0得＜t＜2，此时为减函数，故当t=时，h（t）取得极大值h（）=+2=4+2=+=4，h（0）=6，h（2）=8，则8＜6，即h（t）的取值范围是，故选：A．作出y=|x2-2x-1|的图象，利用|x2-2x-1|=t有4个不同的根，用t表示x1，x2，x3，x4，结合根与系数之间的关系，求出2（x4-x1）+（x3-x2）的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合，转化为关于t的函数关系，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】3【解析】解：由点M满足，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则=∴∴m=3故答案为：3确定点M为△ABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值．本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解题的关键是确定点M为△ABC 的重心14.【答案】12【解析】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示；用垂直于侧棱的平面截三棱柱，得截面图形是侧视图，又侧棱长为4，则该三棱柱的体积为V=S截面•侧棱=×2×4×3=12．故答案为：12．由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱得截面图形是侧视图，根据侧棱长求出该三棱柱的体积．本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式及其应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.直接利用二倍角公式的变换求出结果．【解答】解：由，α∈（，π），所以：，整理得：，所以：，则：，∴sin2．故答案为.16.【答案】3【解析】解：因为PF⊥x轴，所以设M（-c，t），则A（-a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率为-，则BN的方程为y=-（x-a），令x=0，则y=，即N（0，），因为|OE|=2|ON|，所以2•||=||，即2（c-a）=c+a，即c=3a，则离心率e==3．故答案为：3．根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）差数列{a n}满足，可得a1+a2=4，a1+a2+a2+a3=12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d=4，4a1+4d=12，解得a1=1，d=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）由题意可得c1=a=a1=1，c2=a=a2=3，可得数列{c n}的公比为3，c n=3n-1，由c n=a=2b n-1，可得b n=（1+3n-1），{b n}的前n项和T n=（1+3+…+3n-1）+n=•+n=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，同理，得AD⊥PE，又PE∩BE=E，PE⊂平面PBE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB．解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，由（1）可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，如图，由题意得PD=PA=AD=2，则E（0，0，0），B（0，，0），C（-2，，0），P（0，0，），∴=（0，，0），=（0，，-），=（-2，，-），设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），由，取y=1，得=（0，1，1），由（1）得是平面PAD的一个法向量，∴cos＜，＞==，∴＜＞=45°，∴平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为45°．【解析】（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出AD⊥BE，AD⊥PE，从而AD⊥平面PBE，由此能证明AD⊥PB．（2）EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，则椭圆方程为+y2=1，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由=α，可得-y1=ay3，则α=-，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为y=（x-1），即x=，代入曲线C的方程又x12+y12=1，整理可得（3-2x1）y2+2y1（x1-1）-y12=0，∴y1y3=-，∴α=-=3-2x1，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1=1，α=1，显然a=3-2x也成立，∴α=3-2x，同理可得β=3-2x，设直线l的方程为y=k（x+2），（k≠0），联立，消去y整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，由△=（8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，解得0＜k2＜，又x1+x2=-，∴α+β=3-2x1+3-2x2=6-2（x1+x2）=14-∈（6，10）即α+β的取值范围是（6，10）．【解析】（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，即可求出椭圆方程，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），分“两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得α+β范围，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质，求出椭圆的标准方程．画出频率分布直方图如图所示；（2）由（1）知P1=0.1，随机变量X的所有可能取值分别为0，1，2；当X=0时，P（X=0）=0.9×（1-P2），当X=1时，P（X=1）=0.9×P2+0.1×（1-P2）=0.8×P2+0.1，当X=2时，P（X=2）=0.1×P2；X所以的数学期望为（）P2+0.1+2×0.1×P2=P2+0.1=0.8，解得P2=0.7；所以P2-P1=0.7-0.1=0.6＞0.5，所以学生甲与学生乙适合结为“对子”．【解析】（1）根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值，求出P2以及P2-P1的值，由此得出结论．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21.【答案】解：（1）由題意，令g（x）=e x-mx+m，（m＞0）则g'（x）=e x-m，令g'（x）＞0，解得x＞ln m．所以g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜ln m，所以g（x）在（-∞，ln m）上单调递减，则当x=ln m时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min=g（ln m）=m-m lnm+m=m（2-ln m）①当m（2-ln m）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2-ln m）=0，即m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2-ln m）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）=g（ln m+x）-g（ln m-x）=me x-me-x-2mx，（x＞0）φ′（x）=m（e x+e-x-2）∵e x+e-x≥2=2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0∴x＞0时，g（ln m+x）＞g（ln m-x）恒成立，又0＜x1＜ln m＜x2，∴ln m-x1＞0，∴g（ln m+ln m-x1）＞g（ln m-ln m+x1）即g（2ln m-x1）＞g（x1），又g（x1）=g（x2）∴g（x2）＜g（2ln m-x1）∵2ln m-x1＞ln m，x2＞ln m，y=g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，∴x2＜2ln m-x1即x1+x2＜2ln m．∵，∴•=（mx1-m）（mx2-m）=m2（x1-1）（x2-1），∵．∴m2（x1-1）（x2-1）＜m2，即（x1-1）（x2-1）＜1，则x1x2-（x1+x2）+1＜1，∴x1x2-（x1+x2）＜0，即x1x2＜x1+x2，即成立．【解析】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．（1）根据函数与方程的关系，设g（x）=e x-mx+m，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．（2）构造函数φ（x），求函数的导数，结合f（x）与l的交点坐标，进行证明即可．22.【答案】解：（1）由x=2+t得t=（x-2）代入y=2+整理得x-+4=0，∴直线l的普通方程为x-+4=0，又，∴ρ2cos2θ-2ρcosθ+ρ2sin2θ=0，∴ρ=2cosθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2）由得，∴A（2，2），设B（ρ，θ），则ρ=2cosθ，∴△AOB的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=|4ρsin（-θ）|=|4cosθsin（-θ）|=|2cos（2θ+）+|，∴S mac=2+．【解析】（1）用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C的极坐标方程；（2）先求得A（2，2），再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，由f（x）＞1，得或或，解得：＜x≤2或2＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），f（x）＜2x+1恒成立，即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，整理得：（2-x）m＞-x，当x=2时，0＞-2成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，∵-1≤x＜2，∴0＜2-x≤3，∴≥，∴1-≤，故g（x）max=，故m＞．【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1 (含答案解析)
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−4<x<3}，B={−5,−4,−3,−2}，则A∩B=()A. {−4,−3,−2}B. {−3,−2}C. {−4,−3}D. {−5,−4}2.设i是虚数单位，如果复数z=a−i2+i，其实部与虚部互为相反数，那么实数a=()A. −3B. 3C. −13D. 133.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x−y=()A. 3B. −3C. 4D. −44.过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为−√33，则|MF|=()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√35.如图是一个算法流程图，则输出的n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 66.设x,y满足约束条件{y−x≤0,x+2y≤4,x−2y≤2,则z=x−3y的最大值为()A. 4B. 32C. −83D. 27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的表面积为()A. 24+√3B. 24+2√3C. 14√3D. 12√3 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=2，a 4=16，则{a n }的前5项和S 5等于 ( )A. 30B. 31C. 62D. 649. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π3个长度单位 C. 向右平移π6个长度单位D. 向左平移π3个长度单位10. 已知函数则f(2019)=( )A. 45B. 23C. 12D. 1311. 3、已知，则等于( ) A.B.C.D.12. 若函数恰有三个极值点，则m 的取值范围是( )A. (−12,−13)B. (−12,0)C. (−1,−13)D. (−1,−12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn = ______ ． 14. 已知数列{a n }满足S n =2n 2+n −1，则通项a n = ______ ． 15. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为8，∠BAC =5π6，BC =3，则该直三棱柱的外接球的表面积为________．16. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+1．2(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA−asinB，且0<A<π，2求f(B)的取值范围．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，求证：(1)平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)AB1//平面C1BD．19.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数．(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点为F(1,0)．(1)求椭圆的方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=e x，x∈R．(Ⅰ)求函数f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若m>0，讨论函数g(x)=f(x)x2−m零点的个数．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −a|−|x +3|，a ∈R ．(1)当a =−1时，解不等式f(x)≤1；(2)不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．直接利用交集运算得答案．【解答】解：集合A={x|−4<x<3}，B={−5,−4,−3,−2}，则A∩B={−3,−2}，故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数a−i2+i ，又已知复数a−i2+i的实部与虚部互为相反数列等式求解即可得答案．【解答】解：a−i2+i =2a−1−(a+2)i5，又复数a−i2+i的实部与虚部互为相反数，则2a−15=a+25，解得a=3．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题目．根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【解答】解：根据茎叶图中的数据，由甲班6名同学成绩的平均数可得：72+77+81+80+x+86+90=82，6解得x=6，又乙班6名同学的中位数为=77，得y=2，由70+y+822∴x−y=6−2=4．故选C．4.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√3，可得DN=2√3，3则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得n=0执行循环体，n=1满足条件21≤16，执行循环体，n=2满足条件22≤16，执行循环体，n=3满足条件23≤16，执行循环体，n=4满足条件24≤16，执行循环体，n=5不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5．故选：C．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图，由图象可知当直线经过点A(−2,−2)时，此时z最大．此时z的最大值为z=−2+6=4，故选A.7.答案：B解析：【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确求出几何体的棱长是解题的关键，属于基础题．由三视图和题意求出三棱柱的棱长、判断出结构特征，由面积公式求出各个面的面积，加起来求出该棱柱的全面积．【解答】解：根据三视图和题意知，三棱柱的底面是正三角形：边长2，边上的高是√3，侧棱与底面垂直，侧棱长是4，×2×√3∴该棱柱的全面积S=3×2×4+2×12=24+2√3，故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查等比的通项公式以及前n项和公式，属于基础题．先运用等比的通项公式得到q=2，再运用求和公式计算，即可得到答案．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，则a4a1=q3=8，解得q=2．则此数列的前5项的和S5=a1(1−q5)1−q =2×(1−25)1−2=62，故选C．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据y= Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得A=1，根据T4=14⋅2πω=7π12−π3，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，求得φ=π3，∴f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，故把f(x)的图象向右平移π6个长度单位，可得g(x)=sin2x的图象，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数，函数的周期性，属于中档题．当x>0时，f(x)的周期为8，根据分段函数及周期性求解即可．【解答】解：函数当x>0时，因为f(x)=−1f(x−4)，则f(x+4)=−1f(x)，所以f(x+8)=−1f(x+4)=f(x)，所以当x>0时，f(x)的周期为8，则f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=−1f(−1)，又，则f(2019)=−1f(−1)=12．故选C．11.答案：B解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a+b．12.答案：A解析：【分析】本题考查导数与函数的极值之间的关系，属于中档题．利用导数研究函数的极值即可得出答案．【解答】解：由题意知，当x>0时，令f′(x)=0，可化为：，令，则，则函数g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，g(x)的图象如图所示：，故0<−2m<1即−12<m<0时，f(x)有2个不同的解，当x ≤0时，令f ′(x )=0，x =3m+12<0，解得：m <−13， 综上，m 的取值范围为(−12,−13) ．故选A ．13.答案：−6解析：解：∵在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =3，n =−2．∴mn =−6．故答案为：−6．由已知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出mn 的值． 本题考查向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意加法法则的合理运用． 14.答案：{2,n =14n −1,n ≥2解析：解：当n =1时，a 1=S 1=2+1−1=2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+n −1−[2(n −1)2+(n −1)−1]=4n −1．∴a n ={2,n =14n −1,n ≥2． 故答案为：{2,n =14n −1,n ≥2． 利用“当n =1时，a 1=S 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1”即可得出．本题考查了利用“当n =1时，a 1=S 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1”求数列通项公式，属于基础题．15.答案：100π解析：【分析】本题考查该三棱柱外接球的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．求出外接球的半径，即可求出该三棱柱外接球的表面积．【解答】解：三角形外接圆的半径为r ，，外接球的半径为R ， R =√32+(82)2=5.外接球的表面积为．故答案为100π.16.答案：√62解析：【分析】本题考查两条直线的交点坐标，中点坐标公式，双曲线的性质及几何意义．写出直线F 1B 的方程，分别与双曲线的渐近线方程联立，求出P ，Q 的坐标，则可得线段PQ 的中点N 的坐标，又|MF 2|=|F 1F 2|，知M(3c,0)，可得直线MN 的斜率，根据直线MN 与F 1B 垂直，可得到斜率之间的关系，化简后，结合c 2=a 2+b 2，即得答案．【解答】解：依题意F 1(−c,0)，B(0,b)，∴直线F 1B 的方程为：y =b c x +b ， 由{y =b c x +b y =−b a x，得P(−ac c+a ,bc c+a )， 由{y =b c x +b y =b a x，得Q(ac c−a ,bc c−a )， 则线段PQ 的中点N(a 2c b 2,c 2b )，又|MF 2|=|F 1F 2|，知M(3c,0)， 则直线MN 的斜率k =bc a 2−3b 2，则b c ×bca −3b =−1，得a 2=2b 2，即2c 2=3a 2，故e=ca =√62．故答案为√62．17.答案：解：(Ⅰ)由题知f(x)=12sin2x−12(1−cos2x)+12，=12sin2x+12cos2x，=√22sin(2x+π4)．由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8．所以f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)．(Ⅱ)依题意，由正弦定理，sinBcos2A=sinBcosA−sinAsinB．因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA−sinA．即(cosA−sinA)(cosA+sinA−1)=0当cosA=sinA时，A=π4；当cosA+sinA=1时，A=π2．由于0<A<π2，所以A=π4．则B+C=34π．则0<B<34π．又π4<2B+π4<7π4，所以−1≤sin(2B+π4)≤1．由f(B)=√22sin(2B+π4)，则f(B)的取值范围是[−√22,√22]．解析：(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．(Ⅱ)首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．18.答案：证明：(1)因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD//B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1//平面C1BD．解析：(1)由线面垂直的判定定理得出BD⊥平面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理得出平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)连接B1C交BC1于O，连接OD，证明OD//B1A，由线面平行的判定定理证明AB1//平面C1BD．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．19.答案：解：(1)记这 100 份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10+0.008×10+0.013×10+0.015×10+(x−95)×0.024=0.5，解得x=100，∴这100份数学试卷成绩的中位数为100．(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100=2份，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100=4份，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为：{A,B}，{A,a}，{A,b}，{A,c}，{A,d}，{B,a}，{B,b}，{B,c}，{B,d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，共15种结果，至少一份总分少于65分的有：{A,B}，{A,a}，{A,b}，{A,c}，{A,d}，{B,a}，{B,b}，{B,c}，{B,d}，共9种结果，∴抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率为：p =915=35．解析：(1)利用频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的中位数．(2)总分在[55,65)的试卷共有2份，记为A ，B ，总分在[135,145)的试卷共有4份，记为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.答案：解：(1)依题意可得{c a=1a =√22a 2=b 2+c 2=b 2+1, 解得a =√2 ，b =1，所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立得方程组{x 22+y 2=1y =k(x −1), 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0，由Δ=(−4k 2)2−4(1+2k 2)·2(k 2−1)=8k 2+8>0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2 ，x 1·x 2=2(k 2−1)1+2k 2，所以y 1⋅y 2=k 2(x 1−1)·(x 2−1)=k 2[x 1·x 2−(x 1+x 2)+1]=−k 21+2k 2，因为OM ⊥ON ，所以OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 即x 1·x 2+y 1⋅y 2=k 2−21+2k 2=0， 所以k =±√2，即直线l 的方程为y =±√2(x −1)．解析：本题主要考查了椭圆性质的运用，椭圆标准方程的求法，椭圆与直线位置关系的判定与运用，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题．(1)根据椭圆的几何性质，求出a 、b 的值即可；(2)讨论直线MN 的斜率是否存在，设出MN 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OM ⊥ON ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出直线的斜率k ，即可求出直线l 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)函数的导数f′(x)=e x ，则f′(1)=e ，f(1)=e ，则函数f(x)在x =1处的切线方程y −e =e(x −1)，即y =ex ；(Ⅱ)由g(x)=f(x)x 2−m =0， 得m =f(x)x 2=e x x 2，设ℎ(x)=e x x 2，则ℎ′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2x x 4=e x (x−2)x 3，当x <0时，ℎ′(x)>0，此时函数单调递增，且ℎ(x)>0，当x >2时，ℎ′(x)>0，此时函数单调递增，当0<x <2时，ℎ′(x)<0，此时函数单调递减，即当x =2时，函数ℎ(x)取得极小值ℎ(2)=e 24， 作出函数ℎ(x)的草图如图当m >0时，若m >e 24时，ℎ(x)=m 有3个不同的根，即函数g(x)有3个不同的零点， 若m =e 24时，ℎ(x)=m 有2个不同的根，即函数g(x)有2个不同的零点，若0<m <e 24时，ℎ(x)=m 有1个不同的根，即函数g(x)有1个不同的零点．解析：(Ⅰ)求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f(x)在x =1处的切线方程； (Ⅱ)由g(x)=0，利用参数转化法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值单调性是解决本题的关键．22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12，直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12， 因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程； (2)根据直线的斜率可得．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|−|x +3|≤1，⇔{x ≤−3−x −1+x +3≤1或{−3<x <−1−x −1−x −3≤1或{x ≥−1x +1−x −3≤1, 解得：⌀或−52≤x <−1或x ≥−1，综上，不等式的解集为[−52,+∞)；(2)∵x ∈[−2,3]，∴x +3>0，∴不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔|x −a|≤x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−(x +7)≤x −a ≤x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−x −7−x ≤−a ≤7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−7≤a ≤2x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[−2,3]的最小值是3，∴−7≤a ≤3，即a 的取值范围为[−7,3]．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)将a =−1代入f(x)，通过讨论x 的范围，得到不等式组，解出即可；(2)问题转化为−7≤a ≤2x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[−2,3]的最小值是3，从而求出a 的范围即可．。
2019-2020学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|log2(x−1)<0}，B={x|x≤3}，则(∁R A)∩B=()A.(−∞, 1]B.(2, 3)C.(2, 3]D.(−∞, 1]∪[2, 3]【答案】D【考点】对数函数的定义域交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|0<x−1<1}={x|1<x<2}，B={x|x≤3}，∴∁R A={x|x≤1或x≥2}，∴(∁R A)∩B=(−∞, 1]∪[2, 3]．故选D.2. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cosx−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sinx−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sinx∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；C，y′=−1x2−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.3. 命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是()A.∀x>0，x(x+1)≤(x−1)2B.∀x≤0，x(x+1)≤(x−1)2C.∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2D.∃x≤0，x(x+1)≤(x−1)2【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是：∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2.故选C.4. 已知sin(x+π6)=m，则cos(2x−2π3)=()A.1−2m2B.2m2−1C.mD.2m−1【答案】B【考点】二倍角的三角函数二倍角的余弦公式诱导公式【解析】直接利用三角函数的诱导公式的运用和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：已知sin(x+π6)=m，所以cos(π2−x−π6)=cos(x−π3)=m，则cos(2x−2π3)=2cos2(x−π3)−1=2m2−1．故选B.5. “a3>b3”是“log7a>log7b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的单调性与特殊点【解析】根据a3>b3推出a>b，但是a，b未必是正数，因此log7a>log7b未必有意义；反之，log7a>log7b推出a>b>0，则必有a3>b3．根据充分必要条件的判定，即可得出结果．【解答】解：若a3>b3，则a>b，当b<a≤0时，或a>0≥b时，由“a>b”推不出“log7a>log7b”；反之，若“log7a>log7b”，则有“a>b”，所以，”a3>b3”是”log7a>log7b”的必要不充分条件．故选B.6. 已知向量m→=(λ+1, 1)，n→=(λ+2, 2)，若(2m→+n→) // (m→−2n→)，则λ=()A.−1B.0C.1D.2【答案】B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】可以求出2m→+n→=(3λ+4,4),m→−2n→=(−λ−3,−3)，根据(2m→+n→)∥(m→−2n→)即可得出−3(3λ+4)+4(λ+3)＝0，解出λ即可．【解答】解：2m→+n→=(3λ+4,4),m→−2n→=(−λ−3,−3)，∵(2m→+n→)//(m→−2n→)，∴−3(3λ+4)+4(λ+3)=0，解得λ=0．故选B.7. 函数f(x)=3sinx−x在[−π, π]的图象大致为()x2+1A.B.C.D.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质【解析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：f(−x)=3sin(−x)+xx 2+1=−3sinx−x x 2+1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故排除A ，B ， 当x =π6时，f(π6)=32−π6π236+1>0，故排除D .故选C .8. 将函数f(x)=sin(2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的个数是( ) ①g(5π12)=1； ②g(x)在[5π12,3π4]单调递减；③x =−π12是g(x)图象的一条对称轴； ④(π8,0)是g(x)图象的一个对称中心.A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 【解析】根据图象平移得出函数g(x)的解析式，再对题目中的命题分析、判断，从而得出正确命题的序号． 【解答】解：函数f(x)=sin(2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度， 得f(x −π12)=sin[2(x −π12)−π6]=sin(2x −π3)的图象， 所以函数g(x)=sin(2x −π3)；对于①，g(5π12)=sin(2×5π12−π3)=sin π2=1，所以①正确； 对于②，x ∈[5π12, 3π4]时，2x −π3∈[π2, 7π6]， 所以g(x)在[5π12,3π4]上单调递减，②正确；对于③，x =−π12时，g(−π12)=sin(−π6−π3)=−1， 所以x =−π12是g(x)图象的一条对称轴，③正确；对于④，x=π8时，g(π8)=sin(π4−π3)≠0，所以(π8,0)不是g(x)图象的一个对称中心，④错误．综上知，正确的命题序号是①②③，共3个．故选C.9. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n+1a n，则S10=()A.100B.110C.50D.55【答案】D【考点】数列递推式等差数列的前n项和【解析】本题先根据题干中的关系式得到a2＝2，然后代入n+1有2S n+1＝a n+2a n+1．两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可得到结果．【解答】解：由题意，可知：当n=1时，2a1=2S1=a2a1，可得a2=2．∵2S n=a n+1a n，∴2S n+1=a n+2a n+1．两式相减，可得2(S n+1−S n)=a n+1(a n+2−a n)．即2a n+1=a n+1(a n+2−a n)．∴a n+2−a n=2．∴数列{a n}的奇数项和偶数项都是以2为公差的等差数列．又∵a1=1，a2=2．∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．S10=10×1+10×92×1=55．故选D.10. 已知函数f(x)=asinx−√3cosx图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=asinx−√3cosx=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 己知函数f(x)={e(x+1)2,x≤0,x+4x−3,x>0,函数y=f(x)−a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则−x1x2+x3+x4的取值范围为()A.(3, 3+e]B.[3, 3+e)C.(3, +∞)D.[3, 3+e)【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出f(x)的图象和直线y＝a，考虑四个交点的情况，把−x1x2与x3+x4用含有a的代数式表示，再由函数的单调性求解．【解答】解：函数y=f(x)−a有四个不同的零点，即两函数y=f(x)与y=a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1<a≤e，x1，x2是方程e(x+1)2=a的两根，即x2+2x+1−lna=0的两根，∴x1x2=1−lna，x3，x4是方程x+4x−3=a的两根，即x2−(3+a)x+4=0的两个根，∴x3+x4=3+a，∴−x1x2+x3+x4=2+a+lna．∵g(a)=2+a+lna在(1, e]上为单调增函数，∴g(a)∈(3, e+3]．故选A .12. 对任意实数a ，b 定义运算“⊙”，a ⊙b ={b,a ≥b,a,a <b, 设f(x)=(|2−x 2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论：①f(x)最大值为2；②f(x)有3个单调递减区间；③f(x)在[−32,−1]是减函数；④f(x)图象与直线y =m 有四个交点，则0≤m <2，其中正确结论有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用根的存在性及根的个数判断 函数的单调性及单调区间 【解析】分别作出y ＝4−|x|，y ＝|2−x 2|的图象，可得f(x)＝(|2−x 2|)⊙(4−|x|)的图象，结合图象可得f(x)的最大值，可判断①；以及f(x)的减区间，可判断②；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增，可判断③；由图象可得若f(x)图象与直线y ＝m 有四个交点，可得m ＝0，而0<m <2时，f(x)图象与直线y ＝m 有六个交点，可判断④． 【解答】解：分别作出y =4−|x|，y =|2−x 2|的图象， 可得f(x)=(|2−x 2|)⊙(4−|x|)的图象，如图：由图象可得f(x)的最大值为2；f(x)的减区间为(−2, −√2)，(0, √2)，(2, +∞)， 即f(x)有3个单调递减区间；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增；若f(x)图象与直线y =m 有四个交点，可得m =0， 而0<m <2时，f(x)图象与直线y =m 有六个交点． 综上可得①②正确；③④错误． 故选C .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.函数f(x)=xcosx +sinx 在点(0, 0)处的切线方程为________． 【答案】 2x −y =0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，得到f′(0)，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：由f(x)=xcosx +sinx ， 得f′(x)=cosx −xsinx +cosx ，∴ f′(0)=cos0−0×sin0+cos0=2．∴ 函数f(x)=xcosx +sinx 在点(0, 0)处的切线方程为： y =2x ，即2x −y =0． 故答案为：2x −y =0.设为数列{a n }的前n 项和，若S n =12a n +1,n ∈N ∗，则a 5=________． 【答案】 2【考点】 数列递推式 【解析】当n ≥2时，{2S n=a n +22S n−1=a n−1+2 ，可得a n ＝−a n−1⇒⇒a n+2＝a n ．故数列{a n }是周期为2的周期数列．即可求解． 【解答】解：当n ≥2时，{2S n=a n +2,2S n−1=a n−1+2,∴ a n =−a n−1⇒a n+1=−a n ⇒a n+2=a n ， 故数列{a n }是周期为2的周期数列． ∵ S 1=12a 1+1，∴ a 1=2． ∴ a 5=2． 故答案为：2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2−b 2)，且∠C 为钝角，则ca 的取值范围是________． 【答案】 (2, +∞) 【考点】 解三角形 余弦定理 正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得s=12acsinB=√34(a2+c2−b2)=√3 4×2accosB，可求tanB，进而可求B，然后由正弦定理可ca=sinCsinA=sinCsin(2π3−C)，展开后利用正切函数的性质可求范围．【解答】解：∵由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac，∴a2+c2−b2=2accosB，∵S=12acsinB=√34(a2+c2−b2)=√34×2accosB，∴tanB=√3，∵0<B<π，∴B=π3，∴由正弦定理可得：c a =sinCsinA=sinCsin(2π3−C)=12sinC+√32cosC=1+√3tanC，∵C∈(π2, 2π3)，∴tanC<−√3，∴2+√3tanC >2，可得ca∈(2, +∞)．故答案为：(2,+∞).已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，且当x∈(0,π2)时，f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0．则不等式f(x)sin2x<1的解集为________．【答案】(−π8, π8)【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】构造新函数令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，由已知条件判断函数单调性，利用函数的单调性判断函数自变量的范围可得答案．【解答】解：已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，且当x∈(0,π2)时，f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0．则F′(x)=f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0(0<x<π2)，所以F(x)=f(x)sin2x在(0,π2)上为单调递增，且F(π8)=f(π8)sin(2×π8)=1，所以F(x)=f(x)sin2x<F(π8)，解得0<x<π8，由f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数得，F(x)=f(x)sin2x在(−π2,π2)为偶函数，所以不等式f(x)sin2x<1的解集为：(−π8,π8 ).故答案为：(−π8,π8 ).三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=4sin(x−π6)cosx+2．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最值．【答案】解：(1)由已知得，f(x)=4(sinxcosπ6−cosxsinπ6)cosx+2=2√3sinxcosx−2cos2x+2=√3sin2x−cos2x+1=2sin(2x−π6)+1．∴T=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵x∈[−π4,π4]，∴2x−π6∈[−23π,π3]，∴当2x−π6=π3，即x=π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x−π6=−π2，即x=−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1．∴函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．【考点】正弦函数的周期性 三角函数的最值三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】（1）展开两角差的正弦，再由倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期；（2）由x 的范围求得相位的范围，则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最值可求． 【解答】解：(1)由已知得，f(x)=4(sinxcos π6−cosxsin π6)cosx +2 =2√3sinxcosx −2cos 2x +2=√3sin2x −cos2x +1=2sin(2x −π6)+1． ∴ T =2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵ x ∈[−π4,π4]，∴ 2x −π6∈[−23π,π3]，∴ 当2x −π6=π3，即x =π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1； 当2x −π6=−π2，即x =−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1． ∴ 函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．如图，在△ABC 中，∠A =60∘，AB =2，AC =1，BD →=2DC →，AE →=λAC →−AB →(λ∈R)．(1)若AD →⋅AE →=−4，求λ的值；(2)若非零向量m =xAB →+yAC →(x,y ∈R)，求|m||y|的最小值． 【答案】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2=x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(xy )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34，∴ 当xy =−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．【考点】两向量的和或差的模的最值平面向量数量积的性质及其运算律 向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）由图表示出AD →，则AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)，再结合条件即可求出λ； (2)|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y ，配方，利用二次函数最值求解即可．【解答】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →， ∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2=x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(xy )2+2xy+1=√4(xy+14)2+34，∴当xy =−14即y=−4x时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．(1)求A；(2)若2c=(1+2√3)b，求sinB．【答案】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sinC=(1+2√3)sinB，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sinB，∴2sin23πcosB−2cos23πsinB=(1+2√3)sinB，∴cosB=2sinB，又sin2B+cos2B=1，∴sinB=√55．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2＝bc，利用余弦定理可求cosA，结合范围A∈(0, π)，可求A的值；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB＝2sinB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．【解答】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sinC=(1+2√3)sinB，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sinB，∴2sin23πcosB−2cos23πsinB=(1+2√3)sinB，∴cosB=2sinB，又sin2B+cos2B=1，∴sinB=√55．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2+a3=a4，S4+2=a5；数列{b n}满足b1=1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．(1)求a n和b n；(2)求数列{1(b n+2)log2a n}的前n项和T n．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由2a2+a3=a4，可得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1（舍），又S4+2=a5，∴a1(1−24)1−2+2=a1⋅24，解得a1=2，∴a n=2n,n∈N∗；∵1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)，∴当n≥2时，1b1+2b2+⋯+n−1b n−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n =n2b n−(n−1)2b n−1，整理得nb n =n−1b n−1(n≥2)，又b1=1，则数列{n bn}是首项为1的常数列，∴nb n =1，∴bn=n,n∈N∗；(2)设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴T n=c1+c2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【考点】数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】（1）设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求a n；由b1＝1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．将n换为n−1，相减可得b n；（2）设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由2a2+a3=a4，可得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1（舍），又S4+2=a5，∴a1(1−24)1−2+2=a1⋅24，解得a1=2，∴a n=2n,n∈N∗；∵1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)，∴当n≥2时，1b1+2b2+⋯+n−1b n−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n =n2b n−(n−1)2b n−1，整理得nb n =n−1b n−1(n≥2)，又b1=1，则数列{n bn}是首项为1的常数列，∴nb n =1，∴bn=n,n∈N∗；(2)设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴T n=c1+c2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点（用t表示第t 月份，t∈N∗），根据历年数据，某水库的蓄水量V（单位：亿立方米）与时间t的近似函数关系为：当0<t≤10时，V(t)=(−t2+14t−40)e at+60；当10<t≤12时，V(t)=12t2−284t+1700；若2月份该水库的蓄水量为33.6亿立方米．(1)求实数a的值；(2)求一年内该水库的最大蓄水量．参考数据：e2=7.39,e=2.72,√e=1.65,√e3=1.40．【答案】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e2a+60=−16e2a+60=33.6，∴e2a=26.416=1.65，又√e=1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60， V′(t)=(−2t +14)e 14t +14(−t 2+14t −40)e 14t=−14e14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12． 又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米． 【考点】利用导数研究函数的最值 根据实际问题选择函数类型 对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）根据V(2)＝33.6计算a ；（2）利用导数求出V(t)在(0, 10]上的单调性，再结合V(11)，V(12)的值得出V(t)的最大值． 【解答】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60， V′(t)=(−2t +14)e 14t +1(−t 2+14t −40)e 14t=−14e14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12． 又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米．已知函数f(x)=e 2x −me x −m 2(3x −12),g(x)=(m −lnx)lnx −3m 2x +k 22．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意的m ∈R ，x >0，都有f(x)>g(x)成立，求正整数k 的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)，①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln(−m)，当x >ln(−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln(−m)，+∞)上单调递增， 当x <ln(−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln(−m))上单调递减； ③当m >0时，e x +m >0，令f′(x)=0，解得x =ln 32m ， 当x >ln 3m 2时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln3m 2,+∞)上单调递增，当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立， 即 e 2x −me x −m2(3x −12)>(m −lnx)lnx −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +lnx)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +lnx)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0， 即 (e x −lnx)2>k 2，令ℎ(x)=e x −lnx,ℎ′(x)=e x −1x ， 令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−lnx 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −lnx >0，∴ e x −lnx >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求导后分类讨论判断其单调性；（2）转化可得 m 2−2(e x +lnx)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立，利用导数研究即可． 【解答】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln(−m)，当x >ln(−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln(−m)，+∞)上单调递增， 当x <ln(−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln(−m))上单调递减； ③当m >0时，e x +m >0，令f′(x)=0，解得x =ln 32m ， 当x >ln 3m 2时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln3m 2,+∞)上单调递增，当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立， 即 e 2x −me x −m2(3x −12)>(m −lnx)lnx −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +lnx)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +lnx)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0， 即 (e x −lnx)2>k 2，令ℎ(x)=e x −lnx,ℎ′(x)=e x −1x ， 令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−lnx 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −lnx >0，∴ e x −lnx >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2．。
山东省泰安市第四中学2020届高三数学上学期期中试题
山东省泰安市第四中学2020届高三数学上学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 其中1-10题是单选题，11-12题是多选题）1. 设集合2{1213},{log }A x x B x y x =-≤+≤==，则A B = ( )A.(0,1]B.[1,0]- C [1,0)- D.[0,1]2．已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 3. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3778,35a a S +==，则2a =（） A.5B.6C.7D.84．设x ∈R ，则“｜x +1｜＜2”是“lg x ＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x ＞y ＞0，x +y =1，若，1()y a x=，1()log xyb xy =，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若l ⊥m ，则α⊥βC ．若α⊥β，则l ⊥mD ．若α∥β，l ∥m7．函数()()33lg x x f x x -=+⋅的图象大致为8．若非零向量a b 、满足a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为 A ． 150B ． 120C ．60D ．309. 已知函数()sin f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3πD.23π 10．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为 A ．83π B．3C．D ．323π11．已知空间中两条直线a ，b 所成的角为50°，P 为空间中给定的一个定点，直线l 过点P 且与直线a 和直线b 所成的角都是θ(0°＜θ≤90°)，则下列选项正确的是 A ．当θ=15°时，满足题意的直线l 不存在 B ．当θ=25°时，满足题意的直线l 有且仅有l 条 C ．当θ=40°时，满足题意的直线l 有且仅有2条 D ．当θ=60°时，满足题意的直线l 有且仅有3条12. 设函数2()ln (0)2ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有( ) A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 已知()0,απ∈且3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则=αsin _________. 14．若在ABC △中，1BC =，其外接圆圆心O 满足0=++OC OB OA ，则AB AC ⋅= .15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为 .16．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式0)()(222≥-ax f x a e f e x x 恒成立，则正数a 的最大值为_______.17．（10分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos (cos cos )0C a C c A b ++=．（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==ABC ∆的面积．18．(12分)己知集合{}24120A x x x =--≤，{}2240B x x x m =--+4≤ (1)求集合A 、B ；(2)当m ＞0时，若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条作，求实数m 的取值范围．19. （12分）设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足nn a n b 2log )1(1+=，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求锐二面角A MD B --的余弦值.21．(12分)某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米． (1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值22．（12分）已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x mx x -≤-恒成立，求实数m的取值范围.2017级高三上学期期中考试 数 学 试 题（答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 其中1-10题是单选题，11-12题是多选题）1-5. ADCBC 6—10.ADBDB 11.ABD 12.BCD 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.10334+ 14． 2115．53 16． e三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第19-22题12分，共70分） 17． （1）∵2cos (cos cos )0C a C c A b ++=， 由正弦定理可得2cos (sin cos sin cos )sin 0C A C C A B ++=， (2)∴2cos sin()sin 0C A C B ++=，即2cos sin sin 0C B B +=，…………………3 又0180B <<︒，∴sin 0B ≠，∴1cos 2C =-，即120C =︒．…………………5 （2）由余弦定理可得2222222cos12024a a a a =+-⨯︒=++， 又0,2a a >=， (8)∴1sin 2ABC S ab C ∆==ABC ∆．……………………………10 18.解：（1）由24120x x --≤，得26x -≤≤. 故集合{|26}A x x =-≤≤……1分由2244=0x x m --+，得1=2+x m ，2=2x m -.当0m >时，22,m m -<+由22440x x m --+≤得22,m x m -≤≤+ 故集合{|22}B x m x m .=-≤≤+ ………3分 当0m <时，22,m m ->+由22440x x m --+≤得：22,m x m +≤≤- 故集合{|2+2}B x m x m .=≤≤- ………5分 当=0m 时，由2440x x -+≤得2x =故集合{}2B x x .== ………6分 (2)x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，[2,6]∴-是[2,2]m m -+的真子集， ………………………7分则有222226m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥， …………………………10分又当4m =时，[2,2][2,6]m m -+=-，不合题意，……………………11分∴实数m 的取值范围为(4,)+∞. ………………………12分19.解：（1）1112,n a S ===时， (2)()()11122,22222n n n n n n n n S S n a S S n +--=-∴=-≥∴=-=≥ (4)21=a 符合2n n a =∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a = (6)（2）n n n b nn )1(12log )1(12+=+=111+-=n n………………………8 1113121211+-++-+-=n n T n 111+-=n ……………………………………………………………………………12 18．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()0,,0,,,A D B M ⎫⎪⎪⎝⎭，2322322,,1,,,1,,1MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由20202m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =， 由2020n MDy z n MB y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取x 1=，得(=n.1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m nA MDB --的余弦值为5．21.解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分（2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x=-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分 22．（Ⅰ）易知()f x 不是常值函数，∵21()ln 12f x x a x =-+在[]1,2上是增函数， ∴'()0af x x x=-≥恒成立，……………………………………………………2 所以2a x ≤，只需2min ()1a x ≤=； (4)（Ⅱ）因为20a -≤<，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[1,2]上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤，则()()121211f x f x mx x -≤-，可化为2121())m m f x f x x x +≤+（，………………………………………………6 设21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[1,2]上的减函数，……………………………………………………8 即2()0a mh x x x x=--≤'在[1,2]上恒成立， 等价于3m x ax ≥-在[1,2]上恒成立， (10)设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤<，所以2'()30g x x a =->，所以函数()g x 在[1,2]上是增函数，所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立） 所以12m ≥． (12)。
山东省泰安市高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届山东省泰安市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合(){}2|log 10A x x =-<，{}|3B x x =≤，则()R A B =ð（ ）A ．(),1-∞B ．()2,3C ．(]2,3 D ．(][],12,3-∞U【答案】D【解析】先化简集合A ，再求A R ð，从而根据交集运算求得结果. 【详解】由集合(){}{}2|log 10|12A x x x x =-<=<<，则{}|12R A x x x =≤≥或ð， 又{}|3B x x =≤，所以(][],12,3R A B =-∞ðI U . 所以本题答案为D. 【点睛】本题考查集合的交并补混合运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题. 2．下列函数在区间()0,+∞上是增函数的是( ) A ．2x y x e =+ B ．cos x y x e =- C ．1y x x=- D ．24y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项中函数在()0,+∞上的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项，对于A ，2xy x e =+，其导数'2xy x e =+，当0x >时，有'20xy x e =+>恒成立，则函数()f x 在()0,+∞上为增函数，符合题意；对于B ，cos xy x e =-，其导数为'sin x y x e =--，在(),2ππ上，'0y <，则函数()f x 在(),2ππ上为减函数，不符合题意； 对于C ，1y x x =-，其导数为21'1y x =--，当0x >时，有21'10y x--<═恒成立，则函数()f x 在()0,+∞上为减函数，不符合题意；对于D ，24y x x =-，为二次函数，在()0,2上为减函数，不符合题意；故选：A ．本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题． 3．命题“()()20,11x x x x ∀>+>-”的否定是（ ） A ．()()20,11x x x x ∀>+≤- B ．()()20,11x x x x ∀≤+≤- C ．()()20,11x x x x ∃>+≤- D ．()()20,11x x x x ∃≤+≤-【答案】C【解析】全称命题的否定需要变成特称命题,且注意()()211x x x +>-要变成()()211x x x +≤-.【详解】“()()20,11x x x x ∀>+>-”的否定为“()()20,11x x x x ∃>+≤-” 故选：C 【点睛】本题主要考查全称命题的否定,属于基础题型. 4．已知sin 6x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．212m - B ．221m -C ．mD ．21m -【答案】B 【解析】将角223x π-拆分成6x π+及一些特殊角的形式，利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理. 【详解】222cos 2cos 2cos 2=2sin 1=213666x x x x m πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选B. 【点睛】已知角的某种三角名称值，求其相关角的三角名称值问题，把题目中已知的角做整体及特殊角一起，去构造需要求解的角，再利用诱导公式、倍角公式进行处理. 5．“33a b ＞”是“77log log a b ＞”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】将33a b ＞及77log log a b ＞都化成最简形式，分别是a b ＞及0a b >＞，从而能得出结论. 【详解】若33a b ＞，则a b ＞，当0b a ≤＜，或0a b ≥＞时，由a b ＞推不出77log log a b ＞；反之，若77log log a b ＞，则有a b ＞，所以，“33a b ＞”是“77log log a b ＞”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】判断充分条件必要条件考题，可以通过将两命题都化成最简形式，再利用“小范围可以推出大范围”的特点，可以得出结论.6．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()22m n m n +-u r r u r rP ，则λ=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据题意，首先求出2,2m n m n +-，然后利用向量平行的坐标运算，写出λ的关系式，计算求解即可. 【详解】因为2m n +()34,4λ=+，2m n -u r r()3,3λ=---，且(2)//(2)m n m n +-，所以()()()334430λλ-⋅+-⋅--=，0λ=．【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，以及向量平行的坐标运算，属于基础题. 7．函数23sin ()1x xf x x -=+在[]-，ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断.因为23sin ()()1x xf x f x x --=-=-+，所以函数()f x 为奇函数，故排除A,B 由于2()01f πππ-=<+ ，排除D 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题.8．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是( ) A ．5112g π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()g x 在区间53124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．12x π=-是()g x 图象的一条对称轴D ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心【答案】D【解析】利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，然后利用正弦型函数的性质判断各选项中有关函数()y g x =的性质及函数值的正误. 【详解】由题意可得()sin 2sin 2121263g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则55sin 11263g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项正确； 当53124x ππ≤≤时，72236x πππ≤-≤，则函数()y g x =在区间53124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，B 选项正确；sin 11263g πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12x π=-是()y g x =图象的一条对称轴，C 选项正确；sin 0843g πππ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是()y g x =图象的一个对称中心，D 选项错误.【点睛】本题考查三角函数图象平移与三角函数的基本性质，解题的关键就是要确定函数解析式，并利用正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=，则10S =（ ）. A ．100 B ．110C ．50D ．55【答案】D【解析】首先利用递推关系式得到112n n n S a a --=⋅，两式相减可求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n 项和公式求出结果. 【详解】∵12n n n S a a +=⋅①，11a =， 当1n =时，1212a a a =⋅，得22a =， 当2n ≥时，112n n n S a a --=⋅② 由②-①得：()112n n n n a a a a +-=-，又∵12n n n S a a +=⋅，可得0n a ≠，进而112n n a a +--=，当n 为奇数时，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，故：2121n a n -=-； 当n 为偶数时，数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故：22n a n =； 所以当n 为正整数时，n a n =， 则()101011012310552S +=+++==， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 和公式的应用，由递推公式求出其通项公式是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】运用辅助角公式，化简函数()f x的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数()f x的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin)(f x a x x xθθ==+为辅助角)，由于函数的对称轴的方程为56xπ=，且53()622afπ=+，即322a+=1a=，所以()2sin()3f x xπ=-，又由12()()4f x f x⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Zππ=+∈，2222,6x k k Zππ=-∈，所以1212222,3x x k k k Zπππ+=++∈，当12k k==时，12x x+的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．己知函数()()21,043,0xe xf xx xx+⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同的零点，从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1234x x x x-++的取值范围为（）A．[)3,3e+B．[)3,3e+C．()3,+∞D．(]3,3e+【答案】D【解析】画出函数()f x的草图，结合题意得到(1,]a e∈。
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解析：A
【解析】
在 中， ， ，可得 ，解得 ．
由余弦定理可得： ．
6．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题可知，将 ，两边同时除以 ，得出 ，运用累加法，解得 ，整理得 ；
考点：累加法求数列通项公式
7．D
解析：D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，
由z=x+y,得y=−x+z,
平移直线y=−x+z，由图象可知当直线y=−x+z经过点A时，直线y=−x+z的截距最大，
14．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-6
解析：-6
【解析】
由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线 经过点A(0，3)时，直线的纵截距 最大，z最小.所以 故填-6.
15．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题
解析：
【解析】
【分析】
由 得 为等差数列，求得 通项公式，则 可求
【详解】
则 为以首项为1，公差为3的等差数列，则
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题
16．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
【详解】
由题,因为 , , ,
所以 ,当且仅当 ,即 , 时等号成立,
因为 恒成立,则 ,即 ,解得 ,
故选:A
【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据对数运算法则，可知 ，再根据等比数列的性质可知 ，最后计算 的值.
24．已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
25．已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
26．如图， 中， .点 分别在边 和 上，将 沿 翻折，使 变为 ，且顶点 落在边 上,设
解：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
19．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
解析：
【解析】
【分析】
利用 成等比数列得到 ，再利用余弦定理可得 ，而根据正弦定理和 成等比数列有 ，从而得到所求之值.
解析：-2
【解析】
【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到
可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
解析：
【解析】
在△ 中， ， ，且 ,故
故答案为： .
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
【详解】
解： ，
由余弦定理 ，可得 ，
整理可得： ， 解得 或3．
如图，CD为AB边上的中线，则 ，
在 中，由余弦定理 ，可得： ，或 ，
解得AB边上的中线 或 ．
故选C．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
若 恒成立,则 的最小值大于 ,利用均值定理及“1”的代换求得 的最小值,进而求解即可.
解析：5
【解析】
【分析】
设等差数列的 ，再由 ， ，列出关于 的方程组，从而得到 .
【详解】
因为 ，所以设 ，
因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列前 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.
A．8B．10C．12D．16
5．若 的对边分别为 ，且 ， , ,则 （ ）
A．5B．25C． D．
6．已知数列{an}满足a1=1，且 ，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）
A． B． C．an=n+2D．an=（n+2）·3n
7． 若 的最大值为6， 的最小值为（ ）
A．0B．-1C．-2D．-3
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住 中 系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
18．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=−x+z的截距最小，此时z最小．
由 得A(3,3)，
∵直线y=k过A，
∴k=3.
由 ,解得B(−6,3).
此时z的最小值为z=−6+3=−3，
本题选择D选项.
点睛：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．
3．已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的值是( )
A． B． C． D．
4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 ，则 的值为（）
2．B
解析：B
【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，选B.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用 先求出 ，然后计算出结果.
【详解】
根据题意Байду номын сангаас当 时， , ,
故当 时， ,
数列 是等比数列,
则 ，故 ,
解得 ,
故选 .
【点睛】
本题主要考查了等比数列前 项和 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
所以 。
当且仅当 即 时，上式取“=”号。
所以当 时， 取最小值 。
故选A。
【点睛】
利用基本不等式 可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当 都取正值时，（1）若和 取定值，则积 有最大值；（2）若积 取定值时，则和 有最小值。
二、填空题
13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
数列 ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项 ，得通项公式，从而得结论．
【详解】
最下层的“浮雕像”的数量为 ，依题有：公比 ，解得 ，则 ， ，从而 ，故选C．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．
20．【解析】【分析】△ACD中求出AC△ABD中求出BC△ABC中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD中∠BDC＝15
解析：
【解析】
【分析】
△ACD中求出AC，△ABD中求出BC，△ABC中利用余弦定理可得结果.
【详解】
A．1B．3C．6D．9
12． 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为12，则 的最小值为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．设等差数列 的前 项和为 ， ， ， .其中 且 ，则 ______.
14．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值为__________．
15．已知数列 中， ，且 ，则 __________.（用数字作答）
【详解】
∵ 成等比数列，∴ .又∵ ，∴ .
在 中，由余弦定理 ，
因 ，∴ .
由正弦定理得 ，
因为 ， 所以 ，
故 .
故答案为 .
【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
2020年泰安市高三数学上期中第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则