渭南市临渭区 2021年高三教学质量检测(Ⅰ)数学(理科)
陕西省渭南市2021届新高考五诊数学试题含解析
陕西省渭南市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )AB．3CD．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 2．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r ，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎣⎦B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以36,e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．1C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：若O 为ABC V 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC V 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即有222242AC BC AC BC d +⋅==„，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 的最大值为2，2sin 22d θ=„即θ的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 4．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=-因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==， 设AC x =，则)02BC x =<<，所以1122ABC S AC BC x ∆=⋅=以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 5．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.6．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【解析】 【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】∵复数1z i =+，∴||z =()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题7．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得R =，此外接球的体积为3，三棱锥O EFG -体积为3，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，HD ==，133R OH OA ==，由勾股定理：22233R R ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得R =， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为2113624343⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【答案】A 【解析】 【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：. 【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.10．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37 B ．13C 13D 37【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可． 【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=， ∴37c =， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=∴+=∴=±>∴=Q Q ，选B. 12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）A. ∅B. {2}C. {2,2}-D.{2,1,2,3}-【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解.【详解】{}{1,2,3}{2,2}2A B ⋂-==⋂， 故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 设21z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】B 【解析】 【分析】在等式21z i i ⋅=+的两边同时除以i ，利用复数的除法法则可求出复数z .【详解】21z i i ⋅=+，22122i i i z i i i+-∴===-.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3. 已知向量()1a m =，，()2b m =，，若//a b ，则实数m 等于（ ） A. 2- B.2 C. 2-2D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：因为()1,a m =，()2b m =，，且//a b 所以212m ⨯= 解得2m =± 故选：C.【点睛】本题考查向量共线求参数的值，属于基础题.4. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x | D. y =cosx【答案】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2x y =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.5. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A. 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C. 4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC -=【答案】A 【解析】【详解】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.6. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A.316B.38C.516D.716【答案】D 【解析】 【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果. 【详解】设正方形的边长为1则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形 等腰直角三角形面积为：1111224⨯⨯= 直角梯形面积为：12223242416⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴黑色部分面积为：13741616+= 则所求概率为：77161116=⨯ 本题正确选项：D【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题. 7. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A1920B.2021C.2122D.2223【答案】C 【解析】 输出结果为求和：111111111210111223212222321222222S =++++=-+-++-=--=⨯⨯⨯ ,选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若3,3a A π==， 则b+c 最大值为（ ） A. 3 B. 2C. 33 D. 4【答案】A 【解析】分析：由正弦定理可得32sin sin sin 3b c B C ===，于是2sin 2sin b c B C +=+22sin 2sin 2336B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用三角函数的单调性与值域即可得出.详解：由正弦定理可得32sin sin sin 3b c B C ===， 于是2sin 2sin b c B C +=+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 312sin 2sin 2B B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭ 3sin 3B B =+36B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B 为三角形内角， ∴当3B π=时，()max 23b c +=故选A.点睛：边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．同时应熟练掌握和运用内角和定理，可以减少角的种数.9. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是（ ） A. l ∥β或l β⊂ B. //l m C. m α⊥ D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质和线面平行的性质逐个分析判断即可得答案【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l ∥β或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选：A【点睛】此题考查线面垂直的性质和线面平行的性质的应用，属于基础题10. 已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.11. 函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.12. 设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A. 222e e +B. 25050e e +C. 2100100e e +D. 222e e --【答案】A 【解析】 【分析】由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+故选：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =_______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出a b +，再由向量a b +与a 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值． 【详解】向量(1,2)a =-，(,1)b m =，∴(1,3)a b m +=-+，向量a b +与a 垂直，()(1)(1)320a b a m ∴+⋅=-+⨯-+⨯=，解得7m =． 故答案为：7．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则和向量垂直的坐标表示，是基础题 14. 函数32cos 2y x x =+ 最小正周期为______________.【答案】π 【解析】 由3132cos 22(2cos 2)2y x x x x =+=+2sin(2)6x π=+知，周期22T ππ==，故填π.15. 函数()f x =2ln x +2x 在x =1处的切线方程是_____ 【答案】43y x =- 【解析】 【分析】欲求在点1x =处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【详解】2()2ln f x x x =+，(1)1f ∴=，()22f x x x'∴=+，当1x =时，(1)224f '=+=,得切线的斜率为4； 所以曲线在点1x =处的切线方程为：14(1)y x -=⨯-，即43y x =-．故答案为：43y x =-．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 16. 已知tan 2α，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 【答案】3 【解析】【详解】()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，sin 3cos a B b A =.（1）求角A 的大小； （2）若3a =3S =b c +的值. 【答案】（1）3A π=（2）3【解析】 【分析】（1）因为sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3cos A B B A =，即得tan 3A =解出A （2）利用cos A 得出223b c bc +-=，由3ABC S =得出2bc =，联立求b c +即可. 【详解】（1）因为sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3cos A B B A =， 化简得tan 3A =，0,3A A ππ<<∴=（2）22,333A a b c bc π==+-= 又313sin 23ABC S bc π==，即2bc = 联立可得()29b c +=，又0b c +>，3b c ∴+=18. 由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）之间，有如下统计资料：x （年）2 3 4 5 6 y （万元）2.23.85.56.57.0假设y 与x 之间呈线性相关关系.（1）求维修费用y （万元）与设备使用年限x （年）之间的线性回归方程；（精确到0.01） （2）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？参考公式：回归方程y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1） 1.230.08y x =+ （2）9.92万元 【解析】【分析】（1）根据统计表，利用公式求得x ，y ，b ，a ，代入回归方程y bx a =+求解.（2）将8x =，代入（1）求得的回归方程求解. 【详解】（1）2345645x ++++==，2.23.8 5.5 6.57.055y ++++==，20x y ⋅=，512 2.23 3.84 5.55 6.567.0i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑112.3=，52190ii x==∑，所以51522155112.31001.239080i ii i i x y x yb x x==-===---∑∑，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=，故线性回归方程为 1.230.08y x =+.（2）将8x =，代入回归方程 1.230.08y x =+ 得 1.2380.089.92y =⨯+=所以使用年限为8年时，维修费用大概是9.92万元.【点睛】本题主要考查了线性回归分析，还考查了数据处理的能力，属于中档题. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．（1）证明：1AC BC ⊥；（2）求二面角1C AB C --的余弦值大小． 【答案】（1）见解析（2）334【解析】 【分析】（1）根据AC ，BC ，1CC 两两垂直，建立如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．【详解】直三棱柱111ABC A B C -，底面三边长3AC =，4BC =，5AB =，AC ∴，BC ，1CC 两两垂直．如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则11(0,0,0),(3,0,0),(0,0,4),(0,4,0),(0,4,4)C A C B B（1）(3,0,0)AC =-，1(0,4,4)BC =-，∴10AC BC =，故1AC BC ⊥。
陕西省渭南市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
陕西省渭南市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 2．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.3．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B．CD【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫-⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-， 2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 【答案】C 【解析】试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系 5．在ABC V 中，12BD DC =u u u vu u uv ，则AD uuu v =（ ） A ．1344+AB AC u u uv u u u vB ．21+33AB AC u u uv u u u vC ．12+33AB AC u u uv u u u vD ．1233AB AC -u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．6．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.7．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=- 【详解】因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==， 设AC x =，则)2402BC x x =-<<，所以211422ABC S AC BC x x ∆=⋅=-以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．8．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D 【解析】 【分析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【答案】D 【解析】 【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=. 故选:D. 【点睛】样本123,,,,n x x x x L 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++L 的平均数为ax b +,方差为22a s .10．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.11．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r（ ）A ．4B ．C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 12．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届陕西省渭南市临渭区高三第一次质量检测数学(理)试题【含答案】
2022届陕西省渭南市临渭区高三第一次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则等于（ ）{}12M x x =->{}1128x N x -=≤≤M N ⋂A ．B ．C ．D ．(]1,4-[)1,3(]3,4[)4,+∞【答案】C【分析】先化简集合，再根据交集运算法则计算即可．M N 、【详解】解：，12x - >或，3x ∴>1x <-∴ 集合M =，()(),13,-∞-⋃+∞，1128x -≤≤ 即，013222x -≤≤，14x ∴≤≤∴ 集合N =，[]1,4．(]3,4M N ∴⋂=故选：C ．2．（ ）43i2i +=-A ．B ．C ．D ．2i +2i -12i -12i+【答案】D【解析】由复数的除法运算法则计算．【详解】解：.()()()()43i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 5++++===+-+-故选：D ．3．已知，为不同直线，，为不同平面，则下列选项：m n αβ①，；②，；③；④，其中能使成立的充//m n n α⊥m n ⊥//n α//,m βαβ⊥,//m βαβ⊥m α⊥分条件有A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【答案】C【分析】结合线面垂直、线面平行的性质与判定定理，对四个选项中的结论逐一进行分析,即可得到结果.【详解】①中，，由线面垂直的第二判断定理，可得,故①正确.//m n n α⊥m α⊥②中，，,则与可能平行也可能相交，故② 错误.m n ⊥//n αm α③中，，则与可能平行也可能相交也可能线在面内，故③错误.//,m βαβ⊥m α④中， ，由面面平行的性质，可得得,故④正确， ,//m βαβ⊥m α⊥故能使成立的充分条件有① ④ ，故选C.m α⊥【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4．已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点216y x =M y 15的坐标为M A ．B ．C ．D ．()1,8-()1,4-(1,-(2,-【答案】B【分析】利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，设，列式计算即可得解.(,)M x y 【详解】解：设，则根据题意及抛物线的定义可得:，解得，(,)M x y 1(4)5x x =+1x =代入抛物线方程得：，4y =±又点在第四象限，所以，故.M 4y =-(1,4)M -故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算,属于基础题.5．的展开式的常数项为，则实数（ ）61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭160-=a A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】B【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而列方程可求出x r 的值a 【详解】的展开式的通项，令，得，61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6662161()rr r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭620r -=3r =所以，解得，3636160C a-=-2a =-故选：B.【点睛】此题考查二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题6．函数的图象大致为（ ）()453ln sin x xf xx x +=+A ．B．C ．D ．【答案】D【分析】先利用分式有意义和函数的奇偶性排除B ，C ，然后观察剩佘选项的不同点，利用特殊值法排除A ，从而得解．【详解】因为，所以，排除选项B ；53sin 0x x +≠0x ≠因为，所以为奇函数，排除选项C ；445353()ln ||ln ||()()()sin ()sin x x x x f x f x x x x x -+-+-===--+---()f x 因为，所以排除选项A ．445335111()ln ||1101111()sin sin ee ef e e e e e +-+⎛⎫==< ⎪⎝⎭++故选：D ．7．等差数列中，若，则数列前11项的和为{}n a 159371139,27a a a a a a ++=++={}n a A ．121B ．120C ．110D ．132【答案】A【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a ∵，159371139,27a a a a a a ++=++=∴,()()3711159612a a a a a a d ++-++==-∴,2d =-∴,159131239a a a a d ++=+=解得.121a =∴．选A ．1111102111(2)1212S ⨯=⨯+⨯-=8．已知，则1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．78-781818-【答案】A【分析】本题首先可以根据诱导公式以及二倍角公式对进行化简，然后代入3cos 25πα⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出结果.1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】因为，1sin 54πα⎛⎫-=⎪⎝⎭所以322cos 2cos 2cos 2555πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos 212sin 55ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171248éùæöêúç÷=--´=-ç÷êúèøëû故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的灵活应用，考查的公式有、()cos cos παα+=-以及，考查化归与转化思想，是中档题.()cos cos αα=-2cos 212sin αα=-9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．1683163【答案】B【分析】由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱垂直于底面），PA ABCD 其直观图如图所示：四棱锥的底面是直角梯形（上底为，下底为，P ABCD -ABCD 1BC =3AD =高为），四棱锥的高是，所以直角梯形的面积为2AB =2PA =ABCD ，所以该四棱锥的体积为()()132422ABCD BC AD AB S +⨯+⨯===直角梯形P ABCD -．11842333P ABCD ABCD V S PA -=⨯⨯=⨯⨯=直角梯形故选:B ．【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin B ＋2sin A cos C ＝0，则当cos B 取 最小值时，＝（ ）caA BC ．2D 【答案】B【解析】把sin B ＋2sin A cos C ＝0利用正余弦定理统一成边，再利用余弦定理表示出cos B ，结合基本不等式可得结果【详解】由sin B ＋2sin A cos C ＝0，根据正弦定理和余弦定理得，222202a b c b a ab +-+⋅=∴，∴，22220a b c +-=2222c a b -=∴2222233cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===+≥当且仅当，即cos B 344a c c a =c a =故选：B ．【点睛】此题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属于基础题11．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在22221(0,0)x y a b a b -=>>0)y x =P y =点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）P (4,0)F -A B C D 【答案】D【解析】设的坐标为，函数的导数，根据条件可得P (m ()f x '=()k f m '===可解得，即，再根据双曲线的定义可求出其，从而得到离心率.4m =(4,2)P a【详解】设的坐标为，由左焦点，所以P (m (4,0)F -PF k =函数的导数()f x '=则在处的切线斜率P ()k f m '===即，得，则，42m m +=4m =(4,2)P设右焦点为，则，即，(4,0)A 2||||1)a PF PA =-==1a =-，∴双曲线的离心率4c = c e a ==故选：D12．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()ln e xf x x x a =+aA ．B ．C ．D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意转化为方程有两个不同的实数根，整理得到有两个不同的()0f x '=1ln x xa e +-=实根，转化为和在上有两个交点，根据导数求出的单调性、极y a =-1ln e x x y +=()0,+∞1ln e x x y +=值和最值，从而得到的取值范围.a 【详解】要使函数有两个极值点，()ln e xf x x x a =+求导得，()1ln e xf x x a =+'+则转化为有两个不同的实根，()1ln e 0x f x x a =++='即和在上有两个交点，y a =-1ln e x xy +=()0,+∞令，∴．()1ln e xx g x +=()1ln 1e x x x g x -='-记，()1ln 1h x x x =--()2110h x x x '=--<在上单调递减，且，()h x ()0,+∞()10h =所以当时，，，(]0,1x ∈()0h x ≥()0g x '≥所以在上单调递增；()g x (]0,1当时，，，()1,x ∈+∞()0h x <()0g x '<所以在上单调递减，()g x ()1,+∞故．()()max 11e g x g ==当时，；当时，，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x →所以，当，即时，10e a <-<10e a -<<y a=-和在上有两个交点，1ln e x x y +=()0,+∞故选D ．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.二、填空题13．已知曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为______.()21ln 22y x x =-32-【答案】12870x y +-=【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.【详解】设切点坐标为（），00(,)x y 00x >由，得（），()21ln 22y x x =-1y x x '=-0x >因为曲线在处的切线的斜率为，()21ln 22y x x =-00(,)x y 32-所以，解得（舍去），或，00132x x -=-02x =-012x =所以，201111ln 22228y ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以切线方程为，即，131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭12870x y +-=故答案为：.12870x y +-=14．已知向量，若，则向量与向量的夹角为____．,a b →→a ab →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭a →b →【答案】34π【解析】先根据得，再根据向量夹角公式计算即可得答案.a a b →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭=1a b →→⋅-【详解】解：∵，∴，即，a ab →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭0a a b →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭20a a b →→→+⋅=∴，=1a b→→⋅-∴，cos ,a bb a ba →→→→→→⋅==∴.3,4a b →→π=故答案为：．34π15．若点在不等式组所表示的区域内，则目标成数的最大值与最小值(),x y 326042030x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩z x y =-之和为_________.【答案】2-【分析】作出不等式组对应的平面区域，设得，利用数形结合即可的得到结论．z x y =-y x z =-【详解】解：不等式组，所表示的区域如图：326042030x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩由题意可知，，，当的平行线经过点时，截距最大，有最小值，(0,3)A (2,0)B -(2,1)C x y z -=A z 最小值为：，经过时，截距最小，此时最大：1，3-C z 所以目标函数的最大值与最小值之和为：．z x y =-2-故答案为：．2-【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．z 16．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】314【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。
2024届陕西省渭南市高三一模数学(理)试题(解析版)
渭南市2024届高三教学质量检测（1）数学试题（理科）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(12i)2i z −=+，则||z =（ ） A.25B. 1C.D.【答案】B 【解析】【分析】由复数乘除法运算求复数z ，即可求模.【详解】由题设22i 2i 4i 2i i 12i 5z ++++===−，故i 1z ==. 故选：B2. 已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =−<，则A B ∪=（ ） A. {}1,2,3 B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3,4D. {}04x x ≤<【答案】D 【解析】分析】根据二次不等式求解集合B ，再求并集即可.【详解】∵(){}{}4004Bx x x x x =−<=<<， ∴{}04A Bx x ∪=≤<．故选：D3. 在正三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，M 是11A B 的中点，则直线CM 与平面ABC 所成角的正弦【值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】作出线面角的平面角，利用正三柱的性质设出边长即可求得结果. 【详解】取N 是AB 的中点，连接,MN CN ，如下图所示：设三棱柱111ABC A B C 底面边长为a ，可得1BC CC a ==， 由正三棱柱性质可知MN ⊥平面ABC ，所以MCN ∠即为直线CM 与平面ABC 所成角的平面角，易知CN =，由勾股定理可得，所以sin MN MCN CM ∠=即直线CM 与平面ABC. 故选：B4. “米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()21:20=−>C y px p 和()22:20C ypx p =>构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出p 即可. 【详解】因为24PQ =，即2PQ =，由抛物线的对称性知1p x =−，由抛物线定义可知，1||2P p PF x =−，即4(1)2p=−−，解得6p ， 故选：D5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =−，则输出的S =A 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =−==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =−=−==；.第二次：121,1,3S a k =−+==−=； 第三次：132,1,4S a k =−=−==； 第四次：242,1,5S a k =−+==−=； 第五次：253,1,6S a k =−=−==； 第六次：363,1,7S a k =−+==−=， 结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.6. 设定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f x f x π+=，当[0,)2x π∈时，()sin f x x =，则11()6f π=（ ） A.12B.C. 12−D. 【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性质可求出1166f f ππ =，代入即可得出答案. 【详解】由()()f x f x π+=得1166f f ππ=−. 又()f x 为偶函数，所以1sin 6662f f πππ −===. 故选：A.7. 甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A 30种 B. 60种C. 90种D. 120种【答案】B 【解析】【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果..【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有15C 种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有1143C C 种，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有111543C C C 60=种； 故选：B8. 已知圆O 的方程为229x y +=，直线l 过点()1,2P 且与圆O 交于,M N 两点，当弦长MN 最短时，OM MN ⋅=（ ） A. 4− B.8−C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由条件可知，当MN 最短时，直线l OP ⊥，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当MN 最短时，直线l OP ⊥，OP ==，4MN ==，()cos π82MN OM MN OM MN OMN MN ⋅=⋅−∠=−⋅=−.故选：B.9. 如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面11A ADD 为梯形，113AD A D =，侧棱长8AB =.当侧面ABCD 水平放置时，液面与棱1AA 的交点恰为1AA 的中点.当底面11A ADD 水平放置时，液面高为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据梯形11A ADD 各边长的关系可求得水的体积占整个容器体积的58，由等体积法可知当底面11A ADD 水平放置时，液面高为5.【详解】取底面梯形11A ADD 两腰的中点为,E F ，如下图所示：由113AD A D =可得112EF A D =，所以四边形11A D FE 与四边形ADFE 的面积之比为123235+=+， 即可知容器中水的体积占整个容器体积的55538=+； 当底面11A ADD 水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的58, 即可得液面高为558AB =. 故选：C10. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA ，OB夹角的余弦值，记作cos(,)A B ，余弦距离为1cos(,)A B −.已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，(cos ,sin )R αα−，若P ，Q 的余弦距离为13，1tan tan 4αβ⋅=，则Q ，R 的余弦距离为（ ） A.35B.25C.14D.34【答案】A 【解析】【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，代入计算即可求得结果.【详解】由题意可得()cos ,sin OP αα= ，(cos ,sin )OQ ββ= ，(cos ,sin )OR αα=−，则()3co 2cos cos s sin si ,n OQ OQOP P Q OP αβαβ⋅==+=⋅， 又4sin s 1tan t in cos os an c αβααββ==⋅，所以cos cos 4sin sin αβαβ=，可得82cos cos ,sin sin 1515αβαβ==； 所以Q ，R 的余弦距离()cos cos sin sin 31151cos ,1Q R αβαβ−=×−=−.故选：A11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.32C.D.【答案】C 【解析】【分析】由长度关系可得2112BF AF =，知212AF F F ⊥，在12Rt F F A △中，利用12tan F AF ∠可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AF m =，2ABF 为等边三角形，2AB BF m ∴==，12π3F AF ∠=，又12BF BF m ==，2112BF AF ∴=，212AF F F ∴⊥，22b AF a∴=，1212222tan F F cF AF b AF a∴∠===，2222ac ∴−，220e −=，解得：e =e =， ∴双曲线C故选：C.12. 已知函数()πsin (0)4f x x ωω=+>在区间[]0,π上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论： ①()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是π2； ③ω的取值范围是1317,44；④()f x 在区间ππ,2319 上单调递增.其中正期结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈，则44ππk x ω+=,Z k ∈，结合条件可得π4π0π4k ω+≤≤有4个整数k符合题意，可求出ω的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论. 【详解】由函数()πsin (0)4f x x ωω=+>， 令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈可得44ππk x ω+=，Z k ∈，因为()f x 在区间[0,]π上有且仅有4个极值点，即可得π4π0π4k ω+≤≤有且仅有4个整数k 符合题意， 解得14014kω+≤≤，即0144k ω≤+≤，可得0,1,2,3k =，即1434144ω+×≤<+×，解得1317,44ω∈，即③错误； 对于①，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω +∈+ ，即可得π7π9ππ,422ω+∈， 显然当ππ7ππ,442ω+∈ 时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点； 当ππ9ππ,442ω+∈时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；即①错误； 对于②，()f x 的最小正周期为2π8π8π,1713T ω=∈，易知π8π8π,21713 ∈ ，所以()f x 的最小正周期可能是π2，即②正确； 对于④，当ππ,2319x∈时，πππππ,4234194x ωωω +∈++ ；由1317,44ω ∈可知ππππ9π9π,,2341942319ωω ++∈， 由三角函数图象性质可知()f x 在区间ππ,2319上单调递增，即④正确； 即可得②④正确. 故选：B【点睛】方法点睛：求解三角函数中ω的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知一组数据点()(),1,2,,7i i x y i = ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 24y x =−+，若717ii x==∑，则71ii y==∑_______．【答案】14 【解析】【分析】根据回归方程必过样本中心点(),x y ，即可得到答案.【详解】根据题意可知该组数据点71117i i x x ===∑，所以242y x =−+=，所以71471ii yy ===∑，故答案为：1414. 在ABC 中，120BAC ∠= ，1AB =，BC =，则ABC 的面积为______.【解析】【分析】利用余弦定理可解得1AC =，再由面积公式即可求得结果.【详解】由余弦定理可知2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +−∠==−⋅，即213122AC AC +−=−，解得1AC =；所以ABC的面积为111sin1202S =×××=15. 已知函数()f x 满足x ∀，0y >，()()()f xy yf x xf y =+，则满足条件的函数可以是()f x =______. 【答案】()0f x =（答案不唯一） 【解析】【分析】根据函数性质判断即可.【详解】结合常数函数的性质，()0f x =即满足,0x y ∀>，()()()f xy yf x xf y =+， 故答案为：()0f x =（答案不唯一）.16. 已知函数3,1()eln 3,1xx f x xx x a x >= −+≤ ，方程2[()]5()60f x f x −+=有7个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______.【答案】45a <≤或1a = 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由2[()]5()60f x f x −+=，令(f x t =），得2t =或3t =，然后分类1x ≤和1x >讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．【详解】因为2[()]5()60f x f x −+=，令(f x t =），得到2560t t −+=，解得2t =或3t =，又当1x >时，()eln xf x x=，则221eln e e(ln 1)()(eln )(eln )x x x x f x x x −×−′==， 当(1,e)x ∈时，()0f x ′<，当(e,)x ∈+∞时，()0f x ′>， 即()eln xf x x=在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,)+∞上单调递增， 又1x →时，()f x →+∞，e x =时，()1f x =，x →+∞时，()f x →+∞， 其图像如图，所以，当1x >时，()2f x =有2上解，()3f x =有2个解，又因为方程2[()]5()60f x f x −+=有7个不同的实数解，所以当1x ≤时，()f x 有3个实数解， 又1x ≤时，3()3f x x x a =−+，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′>，(1,1)x ∈−时，()0f x ′<，即当1x ≤时，3()3f x x x a =−+在区间(,1)−∞−上单调递增，在区间(1,1)−上单调递减， 又当=1x −时，()2f x a =+，当1x =时，()2f x a =−， 又当1x ≤时，()f x 有3个实数解，所以23223a a +> <−≤ 或2223a a −≤ +=，解得45a <≤或1a =，故答案为：45a <≤或1a =.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 满足：25a =，3726a a +=，其前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）若数列{}n n b a −是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）813n n a −=，2n S n =+ （2）2341232n n T n n ++−【解析】【分析】（1）由等比中项求出5a ，进而求出等差数列{}n a 的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前n 项和.（2）先求等比数列{}n n b a −的前n 项和n Q ，数列{}n b 的前n 项和即为nn n T Q S =+. 【小问1详解】{}n a 是等差数列，()375132a a a +∴==，∴数列{}n a 的公差52833a a d−=，首项1273a a d =−=，()18113n n a a n d −∴=+−=，()214123n d S na n n n n +−+. 813n n a −∴=，243n S n n =+为所求.【小问2详解】令nn n c b a =−，由题意有13n n c −=； 数列{}n c 是以1为首项，3为公比的等比数列∴其前n 项和()113112n n n a q Q q −−==−， n n n b c a =+ ，∴数列{}n b 的前n 项和2341232nn n nT Q S n n +++− 故2341232n n T n n ++−为所求.18. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC △沿着AC 折到APC △的位置，使⊥AP BC .（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A PB C −−的正弦值. 【答案】18. 证明见解析19.【解析】【分析】（1）过C 做CEAB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，根据余弦定理求得AC ，可证AC BC ⊥，又⊥AP BC ，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面APC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，求得平面APB ，BPC 的法向量1n ，2n，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的正弦值，即可得答案. 【小问1详解】由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===， 过C 做CEAB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，如图所示，根据对称性可得，12BE =，所以1cos 2BE ABC BC ∠==，可得60ABC ∠=°， 又由2AB BC =，所以2222cos 3AC BC AB BC AB ABC =+−⋅∠=，即3AC =， 所以222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又因⊥AP BC ，且AC AP A = ，所以BC⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC .【小问2详解】取AC 的中点E ，AB 的中点F ，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，EP 为z 轴正方向建立空间坐标系，则A，(B，()0,0C ，10,0),(2P ，所以12()AP =，)11,2(PB =−，)10,2CP = ，设平面APB 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面BPC 的法向量为()2222,,n x y z =，为则11111102102x y z x z +−= +=，得一个法向量(1n = ，22222102102x y z x z +−= +=，得一个法向量2(1,0,n = ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅设二面角A PB C −−的平面角为θ，s n i θ， 所以二面角A PB C −−. 19. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为0.40.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率； （2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了X 局后比赛结束，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）425； （2）分布列见解析，数学期望为23681. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得. （2）求出X 的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得. 【小问1详解】在比分为88:后甲先发球的情况下，甲以11:9获胜的情况分三种： 第一种：后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为123113552250P =×××=，第二种：后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为232113552250P =×××=， 第三种：后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为322111552225P =×××=， 所以所求事件的概率为：123331*********P P P ++=++=． 【小问2详解】随机变量X 的可能取值为2，3，4，5，224(2)339P X ==×=，121228(3)C 33327P X ==×××=， 1243212113(4)C ()()333381P X ==×××+=， 1333442121218(5)C ()C ()33333381P X ==×××+×××=， 所以X 的分布列为数学期望48138236()2345927818181E X =×+×+×+×=. 20. 已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+−−.(R)a ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a >，求证：211()f x a a>−−. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）对函数求导得到()(e 1)(2e 1)x x f x a ′=−+，分0a ≤和0a >进行讨论，再利用函数的单调性与导数间的关系即可求出结果；（2）根据（1）中的单调性，得到()f x 的最小值为ln 11a a −+，从而将问题转化成20l 11n a a++>，构造函数2)1()ln 1(0g x xx x =++>，对()g x 求导，利用函数的单调性与导数间的关系，求出()g x 的最小值，即可证明结果. 【小问1详解】因为2()e (2)e x x f x a a x =+−−，所以2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a ′=+−−=−+,易知，2e 10x +>恒成立，当0a ≤时，()0f x ′<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，由()0f x ′=，得到ln x a =−，当(,ln )x a ∈−∞−时，()0f x ′<；当(ln ,)x a ∈−+∞时，()0f x ′>，所以0a >时，函数()f x 在区间(,ln )a −∞−上单调递减，在区间(ln ,)a −+∞上单调递增， 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，当0a >时，函数()f x 减区间为(,ln )a −∞−，增区间为(ln ,)a −+∞. 【小问2详解】由（1）知，当0a >时，函数()f x 的最小值为2ln ln 121(ln )e (2)e ln ln ln 1a a a f a a a a a a a a a −−−−=+−+=++=−+，所以要证211()f x a a >−−，即证明2ln 1111a a a a −−+−>在区间()0,∞+上恒成立，整理得20l 11n a a ++>，令2)1()ln 1(0g x x x x =++>，则233221()x g x x x x ′−==−=所以当x ∈时，()0g x ′<，当)x ∈+∞时，()0g x ′>，则函数()g x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增，故()g x 的最小值为311ln 202122g =+=+>， 即0a >时，20l 11n a a++>恒成立，所以0a >时，211()f x a a >−−. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．21. 已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的上、下焦点分别为2F 、1F ，过点1F 作斜率为()110k k ≠的直线l 交椭圆于A ，B 两点，直线2AF ，2BF 分别交椭圆C 于M ，N 两点，设直线MN 的斜率为2k .求证：21k k 为定值.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，求得,a b 的值，即可求解；（2）设直线l 的方程为11y k x =−，1122(,),(,)A x y B x y ，求得2AF 为1111y y x x −+，联立方程组，求得11325M x x y =−，得到1111358(,)2525x y M y y −−−,同理2222358(,)2525x y N y y −−−，利用斜率公式，化简得到2121219()321()7y y k k x x −==−，即可得证. 【小问1详解】解：由椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，长轴长为4.可得2222412a c a a b c = = =+，解得2,a b==，所以椭圆C 标准方程为22143y x +=.【小问2详解】解：由（1）知22143y x +=，可得12(0,1),(0,1)F F −，设直线l 的方程为11y k x =−， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21121y y k x x −=−，的由2111AF y k x −=，所以直线2AF 的方程为1111y y x x −+， 联立方程组112211143y y x x y x − =+ += ，整理得222211111[43(1)]6(1)90x y x x y x x +−+−−=， 则0∆>且21122119[43(1)]M x x x x y −=+−，所以21112211111993[43(1)]15625Mx x x x x y x y y −−===+−−−， 可得111111135812525My x y y x y y −−=×+=−−，即1111358(,)2525x y M y y −−−, 同理可得2222358(,)2525x y N y y −−−，所以2121211222121122158582525(58)(25)(58)(25)333(25)3(25)2525N M N M y y y y y y y y y y k x x x x x y x y y y −−−−−−−−−−−===−−−−−−− 21211221211221219()9()6()15()6[(1)(1)]15()y y y y x y x y x x x kx x kx x x −−=−+−−−−+−211219()321()7y y k x x −=−， 即2137k k =，所以21kk 为定值.【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=− =+（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 6ρθ+． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）222x y +=0y −−=（2）【解析】【分析】（1）把曲线C 的方程两边平方相加可求曲线C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l 的直角坐标方程;（2）设(P x −，由题意可得||2||OP OA ≤，计算可求点P 横坐标的取值范围. 【小问1详解】 由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=−=+ （α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=−++++=由πcos 6ρθ+,得ππcos cos sin sin 66ρθρθ−12x y −,0y −−=, ∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l0y −−=【小问2详解】设(P x −,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤≤,两边平方得241240x x −+≤,x ≤≤∴点P横坐标的取值范围为 [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()1f x x a x =++−，a R ∈．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解；（2）对任意()0,3m ∈．关于x 的不等式()12f x m m <++总有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）53,22 −；（2）()5,3−． 【解析】【分析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.（2）由题意可知()min min 12f x m m<++，结合1224m m ++≥=与()()()11f x x a x a ≥+−−=+，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式()4f x ≤即为214x x ++−≤，则()()2,214,x x x ≤− −+−−≤或()21,214,x x x −<≤ +−−≤ 或()1,214,x x x > ++−≤ 解得522x −≤≤−或21x −<≤或312x <≤，故不等式的解集为53,22 −． （2）对任意()0,3m ∈，关于x 的不等式()12f x m m <++总有解()min min 12f x m m ⇔<++而1224y m m =++≥+=，当且仅当1=m m ，即1m =时取最小值， 又()()()11f x x a x a ≥+−−=+（当且仅当()()10x a x +−≤时取等号）故只需14a +<，得53a −<<，即实数a 的取值范围为()5,3−．【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.。
渭南市 2024 年高三教学质量检测(Ⅰ)理科数学参考答案
渭南市2024年高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（理科）参考答案一．选填题（每小题5分，共80分）二、解答题（共70分）17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以11521026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，................................................................................................................................3分所以32(1)=2n+1n a n =+-；..............................................................................................................................................4分n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ................................................................................................................................................6分（2）由已知得13n n n b a --=，由（1）知2n+1n a =，所以13n n n b a -=+，.................................................................9分n T =()123113322n n n S n n --+++⋅⋅⋅+=++.......................................................................................................................12分18.解：（1）由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===，过C 做CE AB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，根据对称性可得，1=2BE ，所以1cos 2EB ABC BC ∠==，可得60ABC ∠=︒，又由2AB BC =，所以2222cos 3AC BC AB BC AB ABC =+-⋅∠=，即3AC =，所以222AC BC AB +=，即AC BC⊥....................................................................................3分又因为BC AP ⊥，且AC AP A = ，所以BC ⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC ..........................................................................................................................................6分（2）取AC 的中点E ，AB 的中点F ，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，EP 为z 轴正方向建立空间坐标系，则3,0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1()0,0,2P D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,0,22AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0CB =，题号123456789101112答案BD BDB ABC CAC C题号13141516答案1434ln (()log ()0a x xf x x x f x ==结构或都对)145a a =<≤或设平面BPC 的法向量为()1111,,x n y z = ，平面BPA 的法向量为()2222,,n x y z =，求得一个法向量()3,0,11-=n .....................................................................................................................................8分又22222102231022x y z x z ⎧-+-=⎪⎪-=⎩，令21x =，则22y z ==，得一个法向量(2n =u u r.....................................................................................................................................10分所以77722-=-==n n 设二面角C PB --A 的平面角大小为θ，742cos 1sin 2==-=θθ所以二面角C PB --A 的正弦值为742..................................................................................................................12分20解：（1）由题意得2'()2(2)1(21)(1)xx x x f x ae a e e ae =+--=+-....................................................................2分①当0a ≤时，显然'()0f x <，所以()f x 在R 上单调递减；..................................................................................4分②当0a >时，令'()>0f x 得ln x a >-;令'()0f x <得ln x a<-所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln +)a -∞，单调递增.................................................................................6分（2）由（1）知，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln +)a -∞，单调递增所以1()(ln )1ln f x f a a a≥-=-+............................................................................................................................8分因此要证211()f x a a >--，需证21111ln a a a a -+>--即需证21ln ++10a a >令21()ln ++1,0a a a aϕ=>所以233122'()a a a >a a a ϕ-=-=， 0令'()a ϕ=0，得a =.................................................................10分易知()a ϕ在递减，在+)∞递增所以3ln 2()02a ϕϕ+≥=>.于是不等式得证...........................................................................................12分21.解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，长轴长为4.所以1,242c e a a ===解得22,1,3a c b ===.椭圆方程为22:143y x C +=.............................................................................................4分（2）易知12(0,1),(0,1)F F -易知直线l 方程为11y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，21121y y k x x -=-，直线2AF 的方程为：1111y y x x -=+...............................................5分联立112211143y y x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222211111[43(1)]6(1)90x y x x y x x +-+--=所以21112211111993[43(1)]15625M x x x x x y x y y --===+-⋅--，111111135812525My x y y x y y --=⨯+=--即1111358(,)2525x y M y y ---同理2222358(,)2525x y N y y ---....................................................................................................8分所以2121211222121122158582525(58)(25)(58)(25)=333(25)3(25)2525N M N M y y y y y y y y y y k x x x x x y x y y y -----------==-------212121112212111221121219()9()9()3=6()15()6[(1)(1)]15()21()7y y y y y y k x y x y x x x k x x k x x x x x ---===-+-⋅--⋅-+--则213=7k k .即21kk 为定值..............................................................................................................................................12分22解：（1）由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=-++++=.............................................3分由πcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得ππcos cos sin sin 66ρθρθ-=122x y ∴-=,0y --=∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l的直角坐标方程为0y --=...............................................5分（2）设(P x -,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤= (8)分,两边平方得241240x x -+≤,解得3322x +≤≤,∴点P横坐标的取值范围为33,22⎡⎢⎣⎦......................................................................................................10分23．解：(Ⅰ)由已知，不等式()≤4即为|+2|+|−1|≤4，则≤−2−(+2)−(−1)≤4，或−2<≤1+2−(−1)≤4，或>1+2+(−1)≤4,解得−52≤≤−2或−≤1或1<≤32，故不等式的解集为−52....................................................................................................................................5分(Ⅱ)对任意∈(0,3)，关于的不等式()<+1+2总有解⇔()min <+1+2min，而=+1+2≥+2=4，当且仅当=1，即=1时取最小值，又()≥|(+)−(−1)|=|+1|(当且仅当(+)(−1)≤0时取等号)，故只需|+1|<4，得−5<<3，即实数的取值范围为(−5,3)．...............................................................................................................................10分。
陕西省渭南市临渭区2022届高三第一次质量检测理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为A．B．C．D．2. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 下列说法中错误的是A ．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样B．线性回归直线一定过样本中心点C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D ．若一组数据1、、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是24. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A．B ．0C．D．5. 某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（ ）A．B．C．D．6.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（ ）A ．40B ．30C ．20D ．107. 设集合，，则A．B．C．D．8.已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）A ．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D ．存在非零实数，使得任意，陕西省渭南市临渭区2022届高三第一次质量检测理科数学试题(2)陕西省渭南市临渭区2022届高三第一次质量检测理科数学试题(2)三、填空题四、解答题10. 已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）A．B ．若，则C ．若，则D ．若.则11. 如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，M ，N ，P 分别是BC，，，的中点，以下说法正确的是（）A ．若，，则B．C ．平面D ．若，则平面平面12. 如图1，在直角梯形ABCD 中，，，点E ，F 分别为边AB ，CD 上的点，且.将四边形AEFD 沿EF 折起，如图2，使得平面平面EBCF，点是四边形AEFD 内的动点，且直线MB 与平面AEFD 所成的角和直线MC 与平面AEFD 所成的角相等，则下列结论正确的是（）A．B．点的轨迹长度为C．点到平面EBCF的最大距离为D ．当点到平面EBCF 的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为13. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交C 右支于M ，N 两点，且.写出C 的一条渐近线方程______.14. 已知，则的最大值为__________．15. 在三棱锥中，平面，，若，，，则三棱锥外接球的表面积为______.16. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰，某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄x 23456患病人数y2222171410(1)求y关于x的线性回归方程；(2)计算变量x，y的样本相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强．（若，则x，y相关程度很强；若，则x，y相关程度一般；若，则x，y相关程度较弱．）参考数据：．参考公式：相关系数，线性回归方程17. 已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即，时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求的最小值；（3）已知正数，满足.求证：.18. 已知数列中，，其前项和满足：（）.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.19. 设数列是公差为的等差数列，已知，(1)求数列的通项公式；(2)若，且的前n项和为，求.20. 如图，正方形和正方形所在平面的二面角是60°，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．21. 已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点，且．(1)求椭圆的方程；(2)记直线，的斜率分别为，，求的最小值．。
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三上学期暑期检测数学(理)试题
数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 已知集合{}1,1A =-，{}220,B x x x x Z =+-<∈∣，则A B =（ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}1,0,1-D. 1,0,1,2【答案】C【解析】【分析】先求出集合A 、B ，由此能求出A B .【详解】解：∵集合{}1,1A =-， {}{}{}220,21,1,0B x x x x Z x x x Z =+-<∈=-<<∈=-∣∣，∴{}1,0,1A B =-.故选：C.【点睛】此题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．3. 复数21i i-在复平面内对应的点为（ ）A. ()1,1--B. ()1,1-C. ()1,1-D. ()1,1【答案】B【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数21i i-所对应点的坐标得答案. 【详解】21i i -2(1)1(1)(1)i i i i i +==-+-+，对应点为(1,1)-， 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题.4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是（ ）A. f (x )＝e x －e －xB. f (x )＝tan xC. f (x )＝x ＋1x D. f (x )＝|x | 【答案】A【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】f (x )＝|x |是偶函数，排除D ；f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上先减后增，排除C ； f (x )＝tan x 在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B ；f (x )＝e x －e －x ，定义域为R又()()()x x f x e e f x --=--=-，故()f x 是奇函数；又()1x x f x e e =-，x y e =和1x y e =-在()0,+∞都是增函数， 故()f x 在()0,+∞上是单调增函数.即()x x f x e e -=-满足题意.故选：A .【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属基础题.5. 设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6. 若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. a <－3B. a ≤－3C. a >－3D. a ≥－3 【答案】B【解析】若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则()()2210f x x a =+-≤'在(),4-∞上恒成立，即：1a x ≤-，由于13x ->-，则3a ≤-，选B.7. 三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A. 60.70.7log 60.76<<B. 60.70.70.76log 6<<C. 0.760.7log 660.7<<D. 60.70.70.7log 66<< 【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果． 【详解】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，属于中档题. 8. 函数ln ||()x f x x=的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．【详解】解：函数ln ||()x f x x=是奇函数，排除A ，B ， 当x →+∞时，()0f x >，排除C ，故选D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断，其中函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，往往是解答函数图象的有效方法．9. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，x y e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 若函数()()212log 6f x x ax =++在[)2,-+∞上是减函数，则a 的取值范围为 A. [)4,+∞B. [)4,5C. [)4,8D. [)8,+∞【答案】B【分析】令t ＝26x ax ++，则由题意可得函数t 在区间[-2，+∞）上为增函数且t （-2）＞0，由此解得实数a 的取值范围．【详解】令t ＝26x ax ++，则函数g （t ）12log =t 在区间（0，+∞）上为减函数， 可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （-2）＞0， 故有()2224260a t a ＞⎧-≤⎪⎨⎪-=-+⎩，解得﹣4≤a ＜5，故选B ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，本题属于基础题.11. 已知()f x 是R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232019f f f f ++++=（ ）A. 50-B. 2C. 0D. 50【答案】C【解析】【分析】 由()()11f x f x -=+得到()()2f x f x =-，结合奇函数，求出()f x 的周期，再将所求的()()()()1232019f f f f ++++进行转化，得到其中的关系，从而得到答案.【详解】因为()()11f x f x -=+，用1x -代替上式中的x ，得到()()2f x f x -=而()f x 是R 的奇函数，所以有()()()22f x f x f x =-=--用2x -代替上式中的x ，得()()24f x f x -=--，所以()()()24f x f x f x =--=-，可得()f x 的周期为4.因为()12f =，()()040f f ==所以1x =时，由()()11f x f x -=+得()()200f f ==2x =时，由()()11f x f x -=+得()()()3112f f f =-=-=-故()()()159f f f ===⋅⋅⋅，()()()2610f f f ===⋅⋅⋅，()()()3711f f f ===⋅⋅⋅，()()()4812f f f ===⋅⋅⋅所以()()()()1232019f f f f ++++()()()()()()()5041234123f f f f f f f =++++++⎡⎤⎣⎦()5042020202=+-+++-0=故选C .【点睛】本题考查函数奇偶性，对称性，周期性的综合运用，属于中档题.12. 已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（ ）A. (-1，+∞)B. (-1，1)C. (-∞，-1)D. (-∞，+∞)【答案】A【解析】【分析】首先设函数()()36g x f x x =--，再利用导数判断函数单调性，利用单调性和函数的零点解不等式.【详解】设函数()()36g x f x x =--，()()3g x f x ''=-， ()3f x '>，()0g x '∴>，∴函数()g x 是单调递增函数，且()()()113160g f -=--⨯--=，1x ∴>-，()36f x x ∴>+的解集是()1,-+∞.故选：A【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能力，属于基础题型.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()16f =______．【答案】4【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值【详解】解：由题意令()a yf x x ，由于图象过点(2,2)， 得22a =，12a = 12()y f x x ∴==12(16)164f ∴== 故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．14. 已知函数f (x )＝2x ,x 0,lg x,x 0⎧≤⎨>⎩若f (m )＝1，则m ＝________.【答案】10或1-【解析】【分析】根据分段函数，分0m ≤和0m >两种情况讨论，求m 的值.【详解】当0m >时，lg 1m =，解得：10m =，当0m ≤时，21m =，解得：1m =-，综上可知：10m =或1-.故答案为：10或1-【点睛】本题考查利用分段函数，解方程，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略函数的定义域.15.曲线y =4，2）处的切线的斜率为_______. 【答案】14 【解析】【分析】先求函数的导数，利用导数的几何意义直接求切线斜率.【详解】y '=，当4x =时，14y '=，根据导数的几何意义可知曲线y =4，2）处的切线的斜率为14. 故答案为：14【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.16. 已知命题2:,1p x R x m ∀∈+>；命题:()(3)x q f x m =-是增函数.若“p q ∧”为假命题且“p q ∨”为真命题，则实数m 的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】【分析】分别求出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论p ，q 的真假，从而求出m 的范围即可．【详解】命题p ：∀x∈R，x 2+1＞m ，解得：m ＜1；命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，则3-m ＞1，解得：m ＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，p 真q 假时：1 2m m ⎧⎨≥⎩＜ 无解， p 假q 真时：1 2m m ≥⎧⎨⎩＜ ，解得：1≤m＜2， 故答案为[1，2）．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数f (x )＝222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2；（2）(1，3].【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数求得0x <的解析式，比照系数，即可求得参数m 的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数a 的范围.【详解】（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.（2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知2121a a ->-⎧⎨-⎩所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题.18. 设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）2a =，定义域为(1,3)-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由()12f =可解得2a =；令两个对数的真数大于零，解不等式组可得()f x 的定义域；（2）函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，函数(3)(1)y x x =-+在[0,1)上单调递增，在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，根据复合函数单调性的“同增异减”原理，可得()f x 的单调性，从而可求其最大值.【详解】解:（1）(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，解得2a =. 故22()log (1)log (3)f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x ,故()f x 的定义域为(1,3)-.（2）函数222()log (1)log (3)log (3)(1)f x x x x x =++-=-+,定义域为(1,3)-，30,(1,3)2⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增,函数(3)(1)y x x =-+在[0,1)上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[0,1)上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2(1)log 42f ==．【点睛】考查对数函数的运算以及复合函数的定义域、最大值的求法，中档题. 19. 若二次函数满足(1)()2f x f x x +-=且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[1-，1]上不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）1m <-． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设2()f x ax bx c =++，由(0)1f =得c 值，由(1)()2f x f x x +-=可得a ，b 的值，从而问题解决；（2）欲使在区间[1-，1]上不等式()2x m f x >+恒成立，只须2310x x m -+->，也就是要231x x m -+-的最小值大于0即可，最后求出231x x m -+-的最小值后大于0解之即得．【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)1f =，1c ∴=，2()1f x ax bx ∴=++(1)()2f x f x x +-=，22ax a b x ∴++=，∴22101a a a b b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩2()1f x x x ∴=-+；（2）由题意：212x x x m -+>+在[1-，1]上恒成立，即2310x x m -+->在[1-，1]上恒成立2235()31()24g x x x m x m =-+-=--- 其对称轴为32x =，()g x ∴在区间[1-，1]上是减函数， ()min g x g ∴=（1）1310m =-+->，1m ∴<-．【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．20. 在2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，a 同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. （1）求a 同学摸球三次后停止摸球的概率；（2）记X 为a 同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）14；（2）2. 【解析】 【分析】（1）设“a 名同学摸球三次后停止摸球”为事件A ，由排列组合知识结合古典概型概率公式可得()233414A P A A ==；（2）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，结合排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望.【详解】设“a 名同学摸球三次后停止摸球”为事件A ，则()233414A P A A ==，故a 名同学摸球3次停止摸球的概率为14． （2）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4()104P X ==； ()242116P X A ===； ()2223441126A P X A A ==+=；()122234136C A P X A ===； ()3344144A P X A ===所以随机变量X 的分布列：01234246664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查排列组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 21. 已知函数()()()2ln 10f x x ax x a =++->.（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性.（3）若对于任意的[]1,2a ∈，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()ln f x a m +≤恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）14a =；（2）详见解析；（3）[)12ln 2,++∞. 【解析】 【分析】（1）根据1x =是函数()f x 的一个极值点， 可得()10f '=，即可求出a （2）根据()f x 的导数，讨论当102a <<时，12a =时，12a >时，由导数大于0得增区间，导数小于0得减区间（3）根据()f x 的增减性，可知任意的[]1,2a ∈的最大值为()1ln21f a =+-，不等式()ln f x a m +≤恒成立可转化为ln21ln a a m +-+≤，构造函数()ln ln21g a a a =++-，求其最大值即可求出m 的取值范围.【详解】（1）()()222112111ax a x f x ax x x +-=+-='++ 因为1x =是函数()f x 的一个极值点，所以()10f '=，解得14a =. （2）因为()f x 的定义域是()1,-+∞，()()()221222111x ax a ax a xf x x x ⎡⎤--+-⎣⎦=='++①当10a <<时，列表()f x 在()1,0-，11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增；()f x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减.②当12a =时，()201x f x x +'=≥，()f x 在()1,-+∞单调递增.③当1a >时，列表()f x 在11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()0,+∞单调递增；()f x 在11,02a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减. （3）由（2）可知当12a ≤≤时，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()ln f x a +在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增.所以对于任意的[]1,2a ∈的最大值为()1ln21f a =+-，要使不等式()ln f x a m +≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，须ln21ln a a m +-+≤， 记()ln ln21g a a a =++-，因为()110g a a+'=>，所以()g a 在[]1,2上递增，()g a 的最大值为()212ln2g =+，所以12ln2m ≥+.故m 的取值范围为[)12ln2,++∞. 【点睛】本题主要考查了函数的极值点，利用导数求函数的单调区间，最值，构造函数，恒成立问题，属于难题.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为3cos 42sin4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （Ⅰ）求直线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(3,2)P 作直线1C 的垂线交曲线2C 于M ，N 两点，求||||PM PN . 【答案】（Ⅰ）10x y --=；()240y x x =≠；（Ⅱ）16.【解析】 【分析】（Ⅰ）直线1C 消去t 后就是直线的普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==转化后就是曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）首先写出垂线的参数方程，与曲线2C 的直角坐标方程联立，利用t 的几何意义求PM PN .【详解】（Ⅰ）直线1C 参数方程为3cos 42sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．消去t 可得：10x y --=；由24cos sin θρθ=可得22sin 4cos ρθρθ= 且sin 0θ≠ 得24y x = ()0x ≠； （Ⅱ）过点(3,2)P 垂直于直线1C的直线的参数方程为：32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入24y x =可得2160t +-=，设,M N 对应的参数为12,t t ，则1216t t =-， 所以1216PM PN t t ==.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的转化，以及利用t 的几何意义求长度问题，属于中档题型.23. 设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
陕西省渭南市2021届高三第一学期教学质量检测(Ⅰ)数学(理科)试卷【含答案】
陕西省渭南市2021届高三第一学期教学质量检测（Ⅰ）数学（理科）试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部范围．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{4,2,1,0,1,2,4}A =---，{}2|20B x x x =--，则A B ⋂=（ ） A ．{4,2,4}-- B ．{4,2,1,2,4}--- C ．{4,2,4}- D ．{4,2,1,2,4}-- 2．已知复数532z i i=++，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知223n S n n =+，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2B ．4C ．1D ．124．已知函数()33x x f x a -=+⋅是奇函数，则(2)f =（ ）A ．829 B ．829- C ．809 D ．809-5．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C．2018年上半年的票房收入增速最大D．2020年上半年的票房收入增速最小6．已知点(,)A m n在椭圆22142x y+=上，则22m n+的最大值是（）A．5 B．4 C．3 D．27．已知421(1)x axx⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中常数项系数为4，则a=（）A．4-B．1 C．12D．1-8．在长方体1111ABCD A B C D-中，底面ABCD是正方形，13AA AB=，E为1CC的中点，点F在棱1DD 上，且12D F DF=，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是（）A．3434-B．3434C．3417D．17349．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果内部小正方形的内切圆面积为4π，外部大正方形的外接圆半径为522，直角三角形中较大的锐角为α，那么tan2α=（）A．13B．23C．34D．1210．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若233334,3257m mmS a mS a m+-==+，则数列{}n a的公比q=（）A．2 B．2-C．12D．12-11．已知函数22log,0,()44,0.x xf xx x x>⎧=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m=-有四个不同的零点1234,,,x x x x，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞12．设2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，直线:20l x y c -+=（其中c 为双曲线C 的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若()220MN F M F N ⋅+=，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．53 B ．43C ．153D ．233第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量,a b 满足||2||4a b ==，且43a b ⋅=-，则向量,a b 的夹角是_______．14．函数3()ln 1f x x x x x =--+的图象在1x =处的切线方程是______．15．2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排,,,,,A B C D E F 六名工作人员到四个不同的区市县开展工作．每个地方至少需安排一名工作人员，其中A ，B 安排到同一区市县工作，D ，E 不能安排在同一区市县工作，则不同的分配方法总数为_______种．16．在三棱锥S ABC -中，90SBA SCA ︒∠=∠=，底面ABC 是等边三角形，三棱锥S ABC -3，则三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 3，ABC 3，sin cos sin cos 3cos b A C c A B a A +=．（1）求a 和角A ； （2）求ABC 的周长． 18．（12分）第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日—29日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打兵乓球人次，整理数据如下表（单位：天）：打乒乓球人次天气状况[0,100](100,200](200,300]晴天 2 13 20阴天 4 6 10雨天 6 4 5雪天8 2 0（1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．（2）假设阴天和晴天称为“天气好”，雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的22⨯列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关？人次200人次200>天气好天气不好参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：()2P K k0.10 0.05 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.82819．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，226AD BC AB===，//AD BC，AB BC⊥．（1）证明：PC CD⊥．（2）若PC AD =，点E 在线段CD 上，且2CE ED =，求二面角A PE C --的余弦值． 20．（12分）已知动点M 到点(3,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小2． （1）求动点M 的轨迹E 的方程．（2）过点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l '与轨迹E 交于点A ，B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，证明：||||AB FN 为定值． 21．（12分）已知函数121()(1)(0)2x f x x a e x ax x -=---+>． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a 时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设(1,2)P ，求11||||PM PN +的值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|23||1|f x x x =+--． （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 的最小值是m ，且232||a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．数学参考答案（理科）1．B 由题意可得{}2|20{1B x x x x x =--=-|或2}x ，则{4,2,1,2,4}A B ⋂=---． 2．A 因为5323222z i i i i i=+=-+=++，所以复数z 在复平面内对应的点为(2,2)Z ，位于第一象限． 3．B 设d 为数列{}n a 的公差，因为211(1)222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以22d =，则4d =． 4．D 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()3333x x x x a a --+⋅=-+⋅，解得1a =-，则2280(2)339f -=-=-． 5．D 由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A ，B 错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C 错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D 正确．6．B 由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．因为22n -，所以202n ，所以2244n -，即2224m n +．7．D 由题意得展开式中常数项通式为3324144C x ax a x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-．8．B 如图，在棱1DD 上取一点G ，连接,AG GE ，使得116D D D G =．由题意易得四边形CEGF 为平行四边形，则//EG CF ，故AEG ∠是异面直线AE 与CF 所成的角．设2AB =，则16AA =，从而17,22,29AE EG AG ===AEG ，由余弦定理可得22234cos 221722AE EG AG AEG AE EG +-∠===⋅⨯⨯，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是 3434．9．D 由题意可知小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为x ，则长的直角边为1x +．由勾股定理得22(1)25xx ++=，解得3x =，所以43sin ,cos 55αα==，则sin sin 12tan2cos 12cos2ααααα===+．10．C 当数列{}n a 的公比1q =时，22m m S S =，与23332m m S S =矛盾，故1q =不符合题意．当1q ≠时，()()2122111331113211m m m m m m m a q S q q q S q a q q---===+=---，所以132m q =．因为33415732m m a m q a m +-===+，所以5m =，即5132q =，则12q =． 11．A 函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点．画出()f x 的大致图象，如图所示．由图可知(4,8)m ∈．不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且12344,1x x x x +=-=．因为124x x +=-，所以214x x =--，则()12114(0,4)x x x x =--∈，故1234(0,4)x x x x ∈．12．C 设双曲线C 的左焦点为1F ，如图，取线段MN 的中点H ，连接2HF ，则2222F M F N F H +=．因为()220MN F M F N ⋅+=，所以20MN F H⋅=，即2MN F H ⊥，则22MF NF =∣∣．设22MF NF m ==．因为21122MF MF NF NF a -=-=，所以122111||4NF NF MF MF NF MF MN a -+-=-==，则||||2MH NH a ==，从而1HF m =，故222244c m m a -=-，解得22222m a c =+．因为直线l 的斜率为12，所以22212221221tan 222HF c a HF F HF a c-∠===+，整理得222214c a a c -=+，即2235c a =，则2253c a =，故22153c e a ==．13．56π 由题意可得433cos ,||||a b a b a b ⋅-〈〉===-，则向量,a b 的夹角是百56π． 14．320x y +-=（或32y x =-+） 由题意可得2()ln 3f x x x '=-，则(1)3,(1)1f f '=-=-，故所求切线方程为13(1)y x +=--，即320x y +-=．15．216 第一步，将6名工作人员分成4组，要求A ，B 同一组，D ，E 不在同一组． 若分为3，1，1，1的四组，A ，B 必须在3人组，有144C =种分组方法， 若分为2，2，1，1的四组，A ，B 必须在2人组，有2415C -=种分组方法，则一共有549+=种分组方法；第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有4424A =种．故总的分配方法有924216⨯=种．16．12π 设三棱锥外接球的球心为O ，三棱锥底面边长和高分别为a ，h ．设球心到底面ABC 的距离为2h d =．底面ABC 的外接圆半径为r ，则33r a =．由题意可知SA 是三棱锥S ABC -的外接球的一条直径，则213334S ABC V h -=⨯=212a h =．设三棱锥S ABC -的外接球半径为R ，则22222221142233444h h R r d a h h h h =+=+=+=++≥，故三棱锥S ABC -的外接球表面积为2412R ππ．17．解：（1）题意可得21332=2a =． 2分 因为sin cos sin cos 3cos b A C c A B a A +=，所以sin sin cos sin sin cos 3sin cos B A C C A B A A +=． 3分因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos 3cos B C C B A +=，所以sin 3cos A A =， 4分所以tan 3A =，则3A π=． 6分（2）由余弦定理可得222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=．① 7分 因为ABC 的面积为3，所以13sin 324bc A bc ==4bc =．② 9分 联立①②，解得2b c ==． 11分 故ABC 的周长为6a b c ++=． 12分18．解：（1）由题意可知随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4． 2分 设一天为阴天的概率为P ，则46101804P ++==，故1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 4分则X 的分布列为 X 01234P81256 2764 27128 364 12566分 故1414EX =⨯=． 7分 （2）人次200人次200> 天气好 25 30 天气不好2059分则2280(2553020)8.3355254535K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 11分 因为8.335 6.635>，所以有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关． 12分19．（1）证明：由题意易知223332AC =+=． 1分作CH AD ⊥，垂足为H ，则3CH DH ==，故223332CD =+=． 2分因为222AD AC CD =+，所以AC CD ⊥． 3分因为PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以AP CD ⊥． 4分因为AC ⊂平面,APC AP ⊂平面APC ，且AC AP A ⋂=，所以CD ⊥平面APC ． 5分 因为PC ⊂平面APC ，所以CD PC ⊥． 6分（2）解：因为6,32PCAD AC ===PA AC ⊥，所以2232AP PC AC -=以A 为原点，分别以,,AB AD AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 则(0,0,0),(1,5,0),(3,3,0),(0,0,32)A E C P ，从而(1,5,0),(0,0,32),(2,2,0),(3,3,32)AEAP CE CP ===-=--． 8分设平面APE 的法向量为()111,,n x y z =． 9分则111320,50,n AP n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令15x =，得(5,1,0)n =-． 9分设平面PCE 的法向量为()222,,m x y z =， 则2222233320,220,m CP x y z m CE x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令21x =，得2)m =． 10分设二面角A PE C --为θ，由图可知θ为锐角， 则||26cos 13||||262n m n m θ⋅===⨯． 12分 20．（1）解：由题意知，动点M 到点(3,0)F 的距离与到直线1:30l x +=距离相等， 1分 由抛物线的定义知，轨迹E 是以(3,0)F 为焦点，以直线1:30l x +=为准线的抛物线． 3分 所以点M 的轨迹E 的方程为212y x =． 5分（2）证明（方法一）：设直线:3(0)lx ty t '=+≠， 联立23,12,x ty y x =+⎧⎨=⎩得212360y ty --=． 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，G 为线段AB 的中点，则()212121212,6126y y t x x t y y t +=+=++=+，所以()263,6G t t +， 7分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为()2663y t t x t -=---，则()269,0N t +． 8分 从而22||69366FN t t =+-=+， 10分212||61212AB x x t =++=+，所以||2||AB FN =为定值． 12分 （方法二）设直线l '的方程为()()11223,,,,y kx k A x y B x y =-，G 为线段AB 的中点． 联立23,12,y kx k y x =-⎧⎨=⎩整理得()222261290k x k x k -++=， ()22222612491441440k k k k ∆=+-⨯=+>． 则212122612,9k x x x x k ++==，从而()1212126y y k x x k k +=+-=． 7分 因为G 为线段AB 的中点，所以22366,k G k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 8分则线段AB 的垂直平分线的方程为226136k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭． 令0y =，得2296k x k +=，则2296,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 9分 从而22229666||3k k NF k k ++=-=，21221212||6k AB x x k +=++=， 11分 故22221212||266||k AB k k FN k +==+． 12分 21．解：（1）因为121()(1)(0)2x f x x a e x ax x -=---+>，所以()1()()1(0)x f x x a e x '-=-->． 令()0f x '=，得x a =或1x =． 1分当0a 时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<． 则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >；由()0f x '<，得1a x <<． 则()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增．当1a =时，()0f x '恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >；由()0f x '<，得1x a <<． 则()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增． 3分综上，当0a 时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增． 4分（2）当0a 时，由（1）可知()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()f x 有最小值1(1)2f =-，故0a 不符合题意； 5分 当01a <<时，由（1）可知()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增， 因为()f x 无最小值，所以(0)(1)f f <，即112a e +-<-，解得112e a -<<； 6分当1a =时，由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意； 7分当12a <时，由（1）可知()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增．因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <，即21112a a a e e -+-<-，即121102a a e a e-+--<． 设1211()(12)2x x g x e x x e -+=--<，则11()(12)x g x e x x e'-=--<． 8分 设11()()(12)x h x g x e x x e '-==--<，则1()10x h x e '-=->在(1,2]上恒成立．故()h x 在(1,2]上单调递增，即()g x '在(1,2]上单调递增． 9分 因为11(1)0,(2)20g g e e e ''=-<=-->，所以存在唯一的0(1,2]x ∈，使得()00g x '=．故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增． 10分 因为1243(1)0,(2)2022e g g e e e e -=-=<=--<，所以()0g x <在(1,2]上恒成立， 即121102a a e a e -+--<在(1,2]恒成立，即12a <符合题意． 11分综上，实数a 的取值范围为1,22e⎛⎤- ⎥⎝⎦． 12分22．解：（1）由题意可得直线l 的普通方程为30x y +-=． 2分曲线C 的直角坐标方程为222680x y x y +--+=，即22(1)(3)2x y -+-=．4分 （2）直线l 的参数方程可化为212222,x y ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数）． 5分将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得2210t t ''--=，7分 则12122,1t t t t ''''+==-， 8分 故()21211212124116||||t t t t t t PM PN t t t t '''''''''''+--+=== 10分23．解：（1）当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 1分当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<； 2分当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ． 3分综上，不等式()0f x >的解集为{4x x <-|或2}3x >-． 4分 （2）由（1）可知当32x =-时，min 5()2f x =-，即52m =-，则235a b c ++=． 6分 因为()()2222222(23)123a b c a b c ++++++， 7分 所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++≥（当且仅当123a b c ==时等号成立）． 9分 故222a b c ++的最小值为2514． 10分。
2022届陕西省渭南市高三教学质量检测(一)数学(理)试题解析
2022届陕西省渭南市高三教学质量检测（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则()AB A =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}0,1,2D ．{}0,3,4答案：B【分析】先利用并集的定义求出A B ⋃，进而利用补集的定义求得. 解：{}{}0,1,2,1,2,3,4A B ==,{}0,1,2,3,4A B ∴⋃=, (){}3,4A B A ⋃∴=,故选:B.本题考查集合的并集，补集的运算，属基础题.关键是理解()A B A ⋃的意义.2．若1sin cos 2θθ+=，则sin 2θ=（ ） A ．32-B ．14-C ．38-D ．34-答案：D【分析】由已知两边平方，结合正弦的二倍角公式可得答案. 解：∵1sin cos 2θθ+=，∴两边同时平方可得112sin cos 1sin 24θθθ+=+=，∴3sin 24θ=-.故选：D ．3．函数33cos ()ln3cos xf x x x+=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C【分析】先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除不符合题意的选项，然后观察剩余选项的不同点，利用函数值的符号排除不符合题意的选项，从而得出答案. 解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ， ()333cos()3cos ()lnln 3cos()3cos f x xx x x x x+-+-=--=---=()f x -，所以()f x 为奇函数，排除选项A ，B ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以3cos 13cos x x +>-， 所以()33cos ln03cos x f x x x +=>-，排除D ． 故选：C.4．在ABC 中，若7AB =，5AC =，120ACB ∠=︒，则BC =（ ） A ．22B ．3C ．6D 6答案：B【分析】利用余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯∠，代入即得解 解：在ABC 中，由余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯∠故21492525()2BC BC =+-⨯⨯⨯-即25240BC BC +-=解得3BC =或8BC =-（舍去） 故选：B5．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将AED ，BEF ，DCF 分别沿DE ，EF ，DF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A '，则四面体A DEF '-的外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．12πC ．6πD ．3π答案：C【分析】由四面体A DEF '-的棱,,A D A E A F '''两两垂直，将它补形成长方体，求出该长方体的体对角线即可得解.解：依题意，,，A D A E A E A F A D A F ''''''⊥⊥⊥，且2,1A D A E A F '''===，如图：于是得四面体A DEF '-可以补形成以,,A D A E A F '''为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体A DEF '-的外接球相同，四面体A DEF '-的外接球的半径R ，则有2R 为长方体的体对角线长， 即22226R A D A E A F '''++=224(2)6R R πππ==, 所以四面体A DEF '-的外接球的表面积为6π. 故选：C6．已知等边ABC 的边长为3，若2CM BM =-，则AM BC ⋅=（ ） A ．32-B ．32C ．272-D ．272答案：A【分析】转化原式为()AM BC AB BM BC AB BC BM BC ⋅=+⋅=⋅+⋅，利用数量积的定义即得解解：由题意，2CM BM =-，故点M 为线段BC 上靠近点B 的三等分点 故||1BM =13()||||cos120||||cos033()13122AM BC AB BM BC AB BC BM BC ∴⋅=+⋅=+=⨯⨯-+⨯⨯=-故选：A7．2021年12月，面对严峻复杂的疫情防控形势，西安市的大学生迅速聚起磅礴的青春之力，投身于疫情防控各个岗位，提供秩序维护、信息填报、问询指引、物资转运等志愿服务．按照学校防疫办公室的安排，现从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加志愿者服务，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种答案：B【分析】首先从5人中选2人安排到星期五，再将余下的3人安排2人到星期六、星期日，按照分步乘法计数原理计算可得；解：解：依题意首先从5人中选2人安排到星期五有2510C =种安排，再将余下的3人安排2人到星期六、星期日有236A =种安排；按照分步乘法计数原理可得一共有225361060C A ⋅=⨯=种安排方法；故选：B8．把一根长为1米的绳子随机地剪为三段，则这三段可构成一个三角形的概率为（ ）A ．14B ．13C ．18D 2 答案：A【分析】设三条线段的长分别为,,1x y x y --，分别列出满足,x y 约束关系的不等式组和能构成三角形的事件空间的不等式组，结合图像以及几何概型的计算公式即得解解：设三条线段的长分别为,,1x y x y --，则01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+<⎩，对应区域如图所示：其面积为111122⨯⨯=，能构成三角形的事件空间为111x y x yx x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，对应区域如图所示：其面积为11112228⨯⨯=，由几何概型的概率公式，所求概率为481112P ==故选：A ．9．已知曲线C 的方程为221()91x y k k k +=∈--R ，下列说法错误的是（ ） A ．“1k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 B ．当5k =时，曲线C 是半径为2的圆C ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为3x y =± D ．存在实数k ，使得曲线C 2 答案：D【分析】根据曲线C 的方程及椭圆、双曲线的性质一一判断即可；解：解：因为曲线C 的方程为221()91x y k k k +=∈--R ， 对于A ：若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆则901091k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得15k <<，所以“1k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ：当5k =时曲线方程为22144x y +=即224x y +=，表示圆心在坐标原点()0,0，半径为2的圆，故B 正确；对于C ：当0k =时曲线方程为2219x y -=，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线方程为3xy =±，故C 正确； 对于D ：若曲线C的双曲线，即c e a ==，所以22a b =，则910k k -+-=显然不成立，故不存在实数k ，使得曲线CD 错误； 故选：D10．英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到1111e e 11!2!3!!(1)!n n θ=++++⋅⋅⋅+++（其中e 为自然对数的底数，01θ<<），其拉格朗日余项是e (1)!n R n θ=+．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e 的近似值也就越精确．若3(1)!n +近似地表示e 的泰勒公式的拉格朗日余项n R ，n R 不超过11000时，正整数n 的最小值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8答案：B【分析】根据题意，得到不等式31(1)!1000n ≤+，结合阶乘的运算，即可求解. 解：由题意，可得的31(1)!1000n ≤+，即(1)!3000n +≥， 当5n =时，6!7203000=<； 当6n =时，7!50403000=>， 所以n 的最小值是6． 故选：B.11．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是该正方体对角线1BD 上的动点，则以下结论不正确的是（ ）A ．1B P AC ⊥B ．直线AP 与平面ABCD 所成角最大值为4π C ．APC △面积的最小值是2 D ．当233BP =时，平面ACP ∥平面11AC D 答案：C【分析】证明AC ⊥平面11BDD B ，可得1AC B P ⊥判断A ；将APC △的面积表示出来，求PE 长度的最小值，从而得到APC △面积的最小值判断C ，作出线面角，再利用锐角三角函数计算即可判断B ；证明1BD ⊥平面APC 且1BD ⊥平面11AC D ，得到平面//ACP 平面11AC D 判断D ． 解：解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AC DD ⊥，1BD DD D =，1,BD DD ⊂面11BDD B ，故AC ⊥面11BDD B ，又1B P ⊂面11BB D D ，1AC B P ∴⊥，故A 正确；对于B ：过点P 作PM BD ⊥交BD 于点M ，连接AM ，依题意可得PM ⊥面ABCD ，所以PAM ∠即为AP 与平面ABCD 所成的角，当0PM =时，P 与B 重合，此时AP ⊂平面ABCD ，AP 与平面ABCD 所成的角为0︒，令PM x =，02x <≤，则2BM x =，2222cos2444AM BM AB BM AB x x π=+-⋅=+-，所以2222211tan 2442441111244412PM x x PAM AM x x x xx x x ∠=====+-+-⎛⎫⎛⎫+-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x =即2x =时tan PAM ∠取最大值1，所以PAM ∠最大值为4π，故B 正确；如图，连接BD 交AC 于E ，EP ⊂面11BDD B ，AC EP ∴⊥， 故122APCSAC PE PE =⋅=， 在1Rt BDD 中，当1PE BD ⊥时，PE 取最小值，22BD =，()22122123222B BD D D D =+==+， 所以1113sin 3DD DBD BD ∠==，此时136sin 233PE BE DBD =∠=⨯=，∴623()2233APC min SPE ==⨯=，故C 错误；当23BP =BEP △中，2BE =，116cos B D D D BD B =∠， 22222323662cos ()(2)22333PE BP BE BP BE PBE ∴+-⋅∠+-⨯⨯⨯ 得22222623()(PE PB BE +=+=，则PE PB ⊥， 又AC PB ⊥，ACPE E =，,AC PE ⊂面APC ，1BD ∴⊥面APC ，由正方体知111BD AC ⊥，11BD A D ⊥，即1BD ⊥面11AC D ，∴面//ACP 面11AC D ，故D 正确． 故选：C ． 12．设10.99a =，0.01e b =， 1.02c = ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >>答案：A 【分析】比较10.99a =与0.01e b =通过作商，构造()(1)e (0)x f x x x =->通过研究单调性比较大小； 0.01e b =与 1.02c =()e 120)xg x x x =+>通过研究单调性比较大小.解：10.99a =，0.01e b =，则0.010.010.99e (10.01)e b a==-， 令()(1)e (0)x f x x x =->，则()e 0x f x x '=-<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)1f x f <=， 所以(0.01)(0)1f f <=，所以1ba<，所以a b >.而c ==因此构造()e 0)xg x x =>，则()exg x '=()e 0xg x ''=>， 所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)110g x g ''>=-=， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)110g x g >=-=，所以(0.01)(0)0g g >=，即0.01e 0>，所以b c >， 故a b c >>. 故选：A 【方法点睛】比较大小一般是作差与作商比较，然后要能够有统一化的元素作为比较大小的纽带. 二、填空题 13．已知复数i1iz =-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =________． 答案：i 12-- 【分析】利用复数的除法化简可得i 12z -=，再结合共轭复数的定义，即得解 解：由题意，i i (1i)i 11i (1i)(1i)2z ⨯+-===--+ 故i 12z --=故答案为：i 12--14．若关于x 的方程22sin 210x x m +-=在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有实数根，则实数m 的取值范围是________． 答案：[2,1)-【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.解： 22sin 210x x m +-=，∴1cos 2210x x m -+-= ，即cos 220x x m -=，∴ 2sin(2)6x m π+= ，即sin(2)62m x π+=，,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7132(,)666x πππ+∈，设7132,(,)666x t t πππ+=∈，则sin 2m t =在713(,)66t ππ∈上有实数根， ∴ 1sin y t =，22m y =在713(,)66t ππ∈的图像有交点，如图由于131sin62π= 由图象可知， 1122m -≤< ，即21m -≤< 故答案为：[2,1)-15．下列说法中，正确命题的序号是________．①若命题“()p q ∧⌝”为真命题，则p ，q 恰有一个为真命题； ②命题“x ∀∈R ，e 0x >”的否定是“0x ∃∈R ，0e 0x <”；③设a ，b 为非零向量，则“0a b ⋅>”是“a 与b 的夹角为锐角”的充要条件； ④命题“函数()sin ()f x x x x =-∈R 仅有一个零点”的逆否命题是真命题． 答案：①④【分析】根据复合命题的真假判断①，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断②，根据向量数量积的定义判断③，利用导数研究函数的单调性，即可判断④；解：解：对于①，若命题“()p q ∧⌝”为真命题，则p 为真且q ⌝为真，则q 为假，故①正确； 对于②，命题“x ∀∈R ，e 0x >”的否定是“0x ∃∈R ，0e 0x ≤”，故②错误；对于③：设a ，b 为非零向量，由0a b ⋅>得不到a 与b 的夹角为锐角，如a 与b 同向时满足0a b ⋅>，由a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，故“0a b ⋅>”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故③错误；对于④，因为()sin ()f x x x x =-∈R ，则()1cos 0f x x '=-≥恒成立，所以()f x 在定义域R 上单调递增，又()00sin00f =-=，所以命题“函数()sin ()f x x x x =-∈R 仅有一个零点”为真命题，故其逆否命题也为真命题，故④正确； 故答案为：①④16．已知()2,4A ，()3,3B ，点(),P a b 是线段AB （包括端点）上的动点，则ba的取值范围是 ________．答案：[1，2]【分析】k 可以看成过点(),P a b 与坐标原点O 的直线的斜率，数形结合即得解 解：设bk a=，则k 可以看成过点(),P a b 与坐标原点O 的直线的斜率. 当点P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，直线OP 的斜率由OB k 增大到OA k ，如图所示.又30130OB k -==-，40220OA k -==-，所以12k ≤≤，即ba 的取值范围是[1，2].故答案为：[1，2] 三、解答题17．在①数列{}n a 是各项均为正数的递增数列，212n n n a a a ++=⋅，38a =且2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，________________． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，求数列{}21n n a b ++的前n 项和n T ． （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 答案：(1)2n n a = (2)()()841132n n n -++【分析】（1）若选①，可得数列{}n a 是等比数列，再根据等差中项的性质求出q ，即可得到通项公式，若选②、③根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（2）由（1）可得21212n n n a b n +++=+，再利用分组求和法计算可得；(1)解：若选①数列{}n a 是各项均为正数的递增数列，212n n n a a a ++=⋅，则数列{}n a 是等比数列，因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以43224a a a +=-，又38a =，所以88842q q=+⨯-，解得2q 或12q =（舍去），所以333822n n nn a a q --==⨯=；若选②22n n S a =-，当1n =时1122S a =-，解得12a =，当2n ≥时1122n n S a --=-，则112222n n n n S S a a ---=--+，即12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，21n na b ++所以2n n a =；若选③122n n S +=-，当1n =时211222a S ==-=，当2n ≥时122n n S -=-，所以1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，当1n =时2n n a =也成立，所以2n n a =；(2)解：因为2n n a =，所以22log log 2n n n b a n ===，所以21212n n n a b n +++=+，所以357212122232n n T n +=++++++++()()357212222123n n +=+++++++++()()()()32418411141232n n n n n n --++=+=+-18．如图，在四棱锥P ABCD -中，BC CD ⊥，AD CD =，32PA =，ABC ∆和PBC ∆均为边长为23的等边三角形.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； （2）求二面角C PB D --的余弦值. 答案：(1)见证明；313【分析】(1) 取BC 的中点O ，连接,OP OA ，要证平面PBC ⊥平面ABCD ，转证OP ⊥平面ABCD ，即证OP OA ⊥，OP BC ⊥ 即可；(2) 以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PBD 与平面PBC 的法向量，代入公式，即可得到结果.解：（1）取BC 的中点O ，连接,OP OA ， 因为,ABC PBC ∆∆均为边长为23的等边三角形， 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥，且3OA OP ==因为32AP =，所以222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥， 又因为OA BC O ⋂=，OA ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD .又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . （2）因为BC CD ⊥，ABC ∆为等边三角形， 所以6ACD π∠=，又因为AD CD =，所以6CAD π∠=，23ADC π∠=， 在ADC ∆中，由正弦定理，得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠，所以2CD =.以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P ，()3,0B ，()2,3,0D ，()0,3,3BP =，()2,23,0BD =-， 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =， 则·0·0n BP n BD ⎧=⎨=⎩，即330230z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则平面PBD 的一个法向量为()3,3,1n =， 依题意，平面PBC 的一个法向量()1,0,0m =所以·313cos ,13m n m n m n ==故二面角C PB D --313空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间X 近似地服从正态分布(,100)N μ，其中μ近似为样本平均数x ，求9(64)4P X <≤；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)，[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望． 附参考数据：若()2~,X N μδ，则①()0.6827P X μδμδ-<≤+=；②(22)0.9545P X μδμδ-<≤+=；③(33)0.9973P X μδμδ-<≤+=． 答案：（1）74；（2）0.8186；（3）分布列见解析；期望为65．【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可. （2）依据(2)(6494)P X P X μδμδ-<≤+=<≤，按公式计算即可.（3）先得到随机变量ξ的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.解：解：（1）根据频率分布直方图得：(550.01650.02750.045850.02950.005)1074x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）由题意知~(74,100)X N ，0.68270.9545(2)(6494)0.81862P X P X μδμδ+-<≤+=<≤==．（3）由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人， 随机变量ξ的取值可以为0、1、2、3，363101(0)6C P C ξ===，21641301(1)2C C P C ξ===，23164103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===，ξ的分布列为：11316()01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=20．已知函数()e x f x =．(1)若()1x f ax ≥+，求实数a 的取值范围； (2)若()ln g x x x =+，求证：()e 10x g x x -+≤． 答案：(1)1a = (2)证明见解析【分析】（1）依题意()0e 1x ax -+≥，令()()1e xh x x a =-+，x ∈R ，则问题转化为()min 0h x ≥，求出函数的导函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到()min ln 10a a h x a -=-≥，再构造函数()ln 1a a a a ϕ=--()0a >，利用导数说明函数的单调性即可得到函数的最大值，从而求出a 的取值；（2）由（1）可知e 1x x ≥+，则()()()()e 1()e 1110g x xg x x g x g x g x -+=-+≤-++=⎡⎤⎣⎦，即可得证；(1)解：由()1x f ax ≥+，即()0e 1x ax -+≥，令()()1e xh x x a =-+，x ∈R ，则问题转化为()min 0h x ≥，由于()e xh x a '=-，①当0a ≤时()0h x '>恒成立，所以()h x 在定义域上单调递增，又()00h =，所以当0x <时()0h x <，故不符合题意；②当0a >时，令()0h x '=得ln x a =，所以ln x a <时()0h x '<，当ln x a >时()0h x '>，即()h x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()ln min l ln n 1l e n 10a a h a a a x a a h -=-=--≥=，令()ln 1a a a a ϕ=--()0a >，所以()0a ϕ≥，因为()ln a a ϕ'=-，所以()a ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10a ϕϕ≤=，所以()0a ϕ≥时1a =，综上所述，实数a 的取值范围为1a =；(2)解：由（1）可知e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，因为()ln g x x x =+，所以()()()()e 1()e 1110g x xg x x g x g x g x -+=-+≤-++=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()ln 0g x x x =+=时等号成立，所以()e 10x g x x -+≤21．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点． (1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标． 答案：(1)002y py x y =+(2)；()p【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值. (1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'==，所以在点M 处的切线斜率00y y pk y y ='==，所求切线方程为000()p y y x x y -=-， 又202y x p =，故切线方程为2000()2y p y y x y p-=-，即002y p y x y =+. (2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p -=--，即220022y p p x y y p+=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>， 令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=， 所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点(1,0)P 且倾斜角为α．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且12||||13PA PB ⋅=，求直线l 的倾斜角α的大小． 答案：(1)2214x y +=(2)3πα=或23πα=【分析】（1）由222x y ρ=+，sin y ρθ=代入极坐标方程，化简可得所求曲线的方程；（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程，解方程可得倾斜角．(1)解：由22(13sin )4ρθ+=，可得2223sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入可得22234x y y ++=，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=；(2)解：设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入椭圆方程可得222(cos 4sin )2cos 30t t ααα++⋅-=， 设此方程的两根分别为1t ，2t ，则12223cos 4sin t t αα=-+，因为120t t <，故1212||||||13PA PB t t ⋅==， 所以22312cos 4sin 13αα=+，即231213sin 13α=+，解得sin α=sin α=（舍去）， 所以直线的倾斜角3πα=或23πα=，23．已知函数()|22|2||(0,0)f x x a x b a b =+++->>． (1)当4a =，1b =时，解不等式()10f x <； (2)若()f x 的最小值为6，求18a b+的最小值． 答案：(1)73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)254【分析】（1）根据绝对值的性质，结合分类讨论法进行求解即可； （2）根据绝对值的性质，结合基本不等式的性质进行求解即可. (1)当4a =，1b =时，()10f x <即为262110x x ++-<，得315x x ++-<，所以3,315x x x ≤-⎧⎨---+<⎩或31,315x x x -<<⎧⎨+-+<⎩或1,315,x x x ≥⎧⎨++-<⎩解得732x -<≤-或31x -<<或312x ≤<，故解集为73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)因为0a >，0b >所以()22222222222f x x a x b x a x b x a x b =+++-=+++-≥++-+2222a b a b =++=++.若()f x 的最小值为6，则226a b ++=， 所以24a b +=.则()18118128125217174444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当28b aa b=且24a b +=， 即2a =，1b =时等号成立， 所以18a b+的最小值为254.。
高三数学上学期第一次教学质量监测试题 理含解析 试题
彬州2021届高三第一次教学质量监测试卷理科数学一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假如全集U =R ，{|12}M x x =-<≤，{1,3,5}N =，那么()U M C N ⋂=〔 〕 A. (1,1)(1,2)-⋃ B. (1,2)- C. (1,1)(1,2]-⋃ D. (1,2]-【答案】C 【解析】 【分析】利用交集与补集运算即可得到结果【详解】∵全集U R =，{|12}M x x =-<≤，{}1,3,5N =， ∴()()(]1,11,2U M C N ⋂=-⋃ 应选C【点睛】此题考察了集合的交并补运算，属于根底题. 2.设3122iz i i+=--，那么z 的虚部是〔 〕 A. -1 B. 45-C. 2i -D. -2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z ，结合虚部的定义即可得出． 【详解】()()()()312212522225i i ii z i i i i i i i +++=-=--=--=---+，∴z 的虚部是-2 应选D【点睛】此题考察了复数的运算法那么、虚部的定义，属于根底题． 3.sin20α>，那么〔 〕 A. tan 0α>B. sin 0α>C. cos 0α>D.cos20α>【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式可知sin cos 与αα同号，又sin tan cos ααα=，从而得到结果. 【详解】由sin20α>可得2sin 0cos αα>，即sin cos 与αα同号， 又sin tan cos ααα=，∴tan 0α> 应选A【点睛】此题考察二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于根底题.4.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A 1 ， A 2 ， …A 14 ， 如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是〔 〕A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】A 【解析】该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 此题选择A 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．5.函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：假设函数()f x 在区间(,)a b 上有()()0f a f b <，那么p 是q 的〔 〕A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；比方：()2f x x =，区间为[]3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞，根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备； 应选C【点睛】此题考察充分必要条件，考察零点存在性定理，属于根底题.6.一个几何体的三视图如下图，其中主视图中ABC ∆是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为〔 〕A. 38B.34C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥，依题意，底面边长为12，侧棱为1，从而可得该几何体的侧视图的面积．【详解】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥〔如图〕，依题意，底面边长为12，侧棱为1221312⎛⎫-= ⎪⎝⎭3该几何体的侧视图的面积为133328= 应选A ．【点睛】考虑三视图复原空间几何体首先应深入理解三视图之间的关系，遵循“长对正，齐，宽相等〞的根本原那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 7.函数()12sin(3sin )222x x xf x =+-，将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移ϕ个单位得到()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的一个值为〔 〕A.2π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】化简函数可得()26f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，经图象变换可得()2226g x sin x πϕ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，结合对称性求出ϕ的值. 【详解】()()12sin3cos sin 13122226x x x f x sinx cosx sin x π⎛⎫⎛⎫=+-=+--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移ϕ个单位得到()g x 的图像，即()()2222266g x sin x sin x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭又()g x 为偶函数，∴2k Z 62k ππϕπ-=+∈，，即k 13πϕ=-=当时，应选B【点睛】解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点 〔1〕结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．〔2〕解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．〔3〕解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．8.如下图，三国时代数学家赵爽在?周髀算经?中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形〔阴影〕，设直角三角形有一内角为030，假设向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计，取3 1.732≈〕，那么落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为〔 〕A. 134B. 67C. 200D. 250【答案】B 【解析】 【分析】设大正方形的边长为2x ，-x ，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计〕，落在小正方形〔阴影〕内的米粒数个数．【详解】设大正方形的边长为2x -x ， 向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计〕， 设落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为a ，那么()22)5002a x x -=，解得a ＝500 应选B ．【点睛】此题考察概率的求法，考察几何概型概率计算公式等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是根底题．9.的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，那么三棱锥C ABD -的外接球体积为〔 〕 A.323πB.163πC.43π D. 4π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径，从而求出外接球的体积． 【详解】将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥C ﹣ABD ， 如下图：那么BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ， 三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径为BD ＝2， 外接球的体积为43π3R ＝43π． 应选C ．【点睛】此题考察了平面图形的折叠问题，也考察了空间想象才能的应用问题，是根底题目． 10.在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2223b c bc a +=，23bc a =，那么角C 的大小是〔 〕 A.6π或者23π B.3πC.23π D.6π 【答案】A 【解析】 【分析】由2223b c bc a +-=可得cosA 3=，进而利用2bc 3a =可得233sin A =C 值. 【详解】∵2223b c bc a +=，∴cosA 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =2A =∴5sin 6C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即)1sinCcosC 122cos C -= 解得50C 6π<< ∴2C=3π或者43π，即C=6π或者23π应选A【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的运用，同时考察两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．11.椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，假设直线OP 的斜率为14-，那么b 的值是〔 〕 A. 2C.32【答案】D 【解析】 【分析】设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，结合条件可得结果. 【详解】设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14〔x 1﹣x 2〕〔x 1+x 2〕21b+〔y 1﹣y 2〕〔y 1+y 2〕＝0，∵P 为线段AB 的中点， ∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+， 又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴b =应选D【点睛】此题考察了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考察了运算才能和转化才能，属于中档题.12.假设函数2322ln ,0()4,0x x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩的图像和直线y ax =有四个不同的公一共点，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 2(,4)e-B. (0,4)C. 2(,0)e-D.2(,0)(0,4)e-⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a=有三个不同的公一共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公一共点，如下图：由图易得：()2a ,00,4e ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭应选D【点睛】函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13.设,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，那么24z x y =-的最小值是__________．【答案】-22【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目的函数得答案．【详解】由约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，化24z x y =-为y 12=x 4z -． 由图可知，当直线y 12=-x 4z+过C 〔1，6〕时z 有最小值，等于2×14-×6＝﹣22．故答案为﹣22．【点睛】此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.假如32(3n x x的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中21x的系数是__________． 【答案】252 【解析】 【分析】令x ＝1可得各项系数之和，再根据各项系数之和为256，求得n 的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中21x的系数．【详解】3213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，令x ＝1可得各项系数之和为〔3﹣1〕n ＝256，求得n ＝8，那么3213n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝83213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项是 18rr T C +=•()83r x -•321rx ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8rC =•83r-•()5831r rx--，令5823r -=-，解得6r = 故展开式中21x的系数是68C •23252= 故答案为252．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于根底题．15.如下图，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，那么3x y +的最小值为__________．【答案】4233+ 【解析】 【分析】由条件通过三角形的重心与三点一共线推出∴1133y x+=1，然后根据根本不等式即可求出x +y 的最小值．【详解】根据条件：1AC AN y =，1AB AM x=； 又1133AG AB AC =+； ∴1133AG AM AN x y=+； 又M ，G ，N 三点一共线；∴1133y x+=1； ∵x ＞0，y ＞0；∴3x +y ＝〔3x +y 〕〔1133x y +〕44333x y y x =++≥+=3x +y 3x y y x =时“=〞成立．【点睛】此题考察了平面向量的线性运算与一共线定理的应用问题，也考察了根本不等式在求最值中的应用问题．16.点12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，假设2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2[,)3PQF ππ∠∈，那么双曲线离心率e 的取值范围为______.【答案】 【解析】分析：根据双曲线的定义，可求得122,4PF a PF a ==，设12FPF θ∠=，由余弦定理可得，222216441cos 1,162a a c a θ+-⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦，进而可得结果.详解：如图，2PQ QF =，又11212QF Q F a PF -==，那么有122,4PF a PF a ==， 不妨假设12F PF θ∠=， 那么有()122,3FQF πππθπ⎡⎫∠=--∈⎪⎢⎣⎭，可得2,3πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 12F PF ∆中余弦定理，222216441cos 1,162a a c a θ+-⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦， 22279a c a ≤<，即)7,3c e a⎡=∈⎣，故答案为)7,3. 点睛：此题主要考察利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.此题是利用点到直线的间隔 等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【答案】〔1〕21n a n =-，*n N ∈〔2〕1132n T ≤< 【解析】【分析】〔1〕由2b ac =，1S =，解得b ，从而得到数列{}n a 的通项公式； 〔2〕由〔1〕可得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法得到前n 项和，从而得到n T 的取值范围.【详解】解：〔1〕∵2b ac =，21111224S ac b =⨯==，2b =， ∴21n a n =-，*n N ∈. 〔2〕∵11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∵n T 是关于n 的增函数*n N∈，， ∴1132n T≤<. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔2〕1k =； 〔3〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔4〕()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.18.我正在创立全国文明城，某高中为理解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社〞、“演讲社〞、“围棋社〞三个活动小组中随机抽取了6人进展问卷调查，各活动小组人数统计如下列图：〔1〕从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率； 〔2〕从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名，用X 表示抽得“表演社〞小组的学生人数，求X 的分布列及数学期望. 【答案】〔1〕415〔2〕详见解析 【解析】 【分析】〔1〕由题意按分层抽样的方法抽取6人，那么三个小组分别抽取3人，2人，1人.利用古典概型计算公式得到这2名学生来自同一小组的概率；〔2〕X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【详解】解：〔1〕由条件可知，表演社、演讲社、围棋社分别有45人、30人、15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，那么三个小组分别抽取3人，2人，1人.从中抽取2名，那么这2名学生来自同一小组的概率为223226415C C P C +==. 〔2〕X 的所有可能取值为0,1,2,3，()33361020C P X C ===，()1233369120C C P X C +===， ()1233369220C C P X C ===，()33361320C P X C ===，所以X 的分布列为()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察概率的求法，考察离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考察古典概型、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题． 19.如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.〔1〕求证：平面BEF ⊥平面PAC ；〔2〕在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 15？假设存在，确定点C 的位置；假设不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】〔1〕先证明BE AC ⊥，PA BE ⊥，可得BE ⊥平面PAC ，从而平面BEF ⊥平面PAC ； 〔2〕由题意可知,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系，求出平面PBC 的法向量及AG ，代入公式可得未知量的方程，解之即可. 【详解】〔1〕证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点， ∴BE AC ⊥又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥ ∵PA AC A ⋂= ∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面BEF ∴平面BEF ⊥平面PAC〔2〕解：如图，由〔1〕知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为,AC PC 的中点， ∴//EF PA ，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，∴,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系.那么()0,2,0A -，()0,2,2P -，()23,0,0B ，()0,2,0C ， 设()23,2,2BG BP λλλλ==--，[]0,1λ∈ 所以)()()231,21,2AG AB BG λλλ=+=--()BC =-，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，那么 ·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩，20420y y z ⎧-+=⎪⇒⎨-=⎪⎩，令1x =，那么y =z =， ∴(1,3,2n =?·AG n AG n=5⇒=12λ⇒=或者1110〔舍去〕 故12λ=故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为5， 此时G 为线段PB 的中点.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破〞：第一，破“建系关〞，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关〞，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关〞，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关〞.20.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上存在一点P ，过点P作PM l ⊥，垂足为M ，使PMF ∆是等边三角形且面积为〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕假设点H 是圆222:()0O x y r r +=>与抛物线C 的一个交点，点(1,0)A -，当HF HA获得最小值时，求此时圆O 的方程. 【答案】〔1〕24y x =〔2〕225x y += 【解析】 【分析】〔1〕利用等边三角形可得p 值，从而得到抛物线C 的方程；〔2〕设H 的坐标为(0,x ，易得()()2222000|1|14HF x HA x x =+=++，，所以()()22022001||||14x HF HA x x +=++，结合最值即可得到圆O 的方程.【详解】解：〔1〕如下图，∵等边PMF ∆的面积为43 设边长为a ，2343=，∴4a =，∴4MF = ∵060MFO ∠=，∴01cos60422p MF ==⨯= 所以抛物线C 的方程是24y x =.〔2〕法一：设H 的坐标为(00,2x x ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -()(()2222||121HF x x x =-+=+，()(()2222||1214HA x x x x =++=++，所以()()()22022000201||114||21411x HF x HA x x x +==≥++++当且仅当01x =时取等号，即当HF HA取最小值时，H 点坐标为()1,2把H 点坐标代入圆的方程可得225x y +=.法二：设H 的坐标为()24,4t t ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -()()222222||411641HF t t t =-+=+， ()2222||4116HA t t =++，所以()()22222222224116||16121||41168t t HF t HA t t t++==+≤+++，当且仅当12t =时取等号，即当HF HA取最小值时，H 点坐标为()1,2把H 点坐标代入圆的方程可得225x y +=.【点睛】求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的间隔 ，利用它的几何意义来解决问题． 21设函数()(ln )f x x x a =-.〔1〕假设()1f x >-恒成立，求a 的取值范围；〔2〕对函数'()y f x =图像上任意两个点1122(,),(,)A x y B x y ，12(0)x x <<，设直线AB 的斜率为k 〔其中'()f x 为函数()f x 的导函数〕，证明：12()2x x k +>.【答案】〔1〕1a <〔2〕证明过程详见解析 【解析】 【分析】〔1〕()1f x >-恒成立即()1min f x >-，利用导函数研究函数的单调性与极值即可； 〔2〕由1212ln ln x x k x x -=-，要证()122x x k +>，即证()121212ln ln 2x x x x x x -+>-，令12xt x =，()0,1t ∈，即证()21ln 1t t t ->+.【详解】〔1〕解法一：()'ln 1f x x a =+-()10'01a x f x x e lnx a ->⎧>⇔⇔>⎨>-⎩，()1'00a f x x e -<⇔<<，()f x 在()10,a e -为减函数，在()1,a e -+∞为增函数.∴()()11min a a f x f e e--==-，由()1min 11a f x ea -=->-⇔<，所以所求范围为1a <.解法二：由()1f x >-，有()ln 1x x a -<-， ∵0x >， ∴11ln ln x a a x x x ->-⇔<+恒成立， ()1ln g x x x=+，()22111'x g x x x x-=-=，易知()g x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，()()min 11g x g ==，∴1a <〔2〕证明：∵()'ln 1f x x a =+-， ∴1212ln ln x x k x x -=-，要证()122x x k +>，即证()121212ln ln 2x x x x x x -+>-∵120x x -<，只要证121212ln ln 2x x x x x x --<+，即证1121221ln 21x x x x x x -<+令12x t x =，()0,1t ∈，即证()21ln 1t t t ->+，也即证()21ln 01t t t -->+ 设()()21ln 1t F t t t -=-+，()0,1t ∈，∵()()()()222141'011t F t t t t t --=-=<++ ∴()F t 在()0,1为减函数 故()()10F t F >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()122x x k +>成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.〔2〕根据条件，寻找目的函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或者利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为23cos 4sin ρθθ=+，两直线1l 和2l 相交于点P .〔1〕求点P 的直角坐标；〔2〕假设Q 为圆2cos :22sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕上任意一点，试求PQ 的范围.【答案】〔1〕(2,2)-〔2〕2]PQ ∈ 【解析】 【分析】(1)把直线1l 的参数方程与直线2l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解得点P 的直角坐标；(2) 依题意知，圆C的普通方程为()2224x y ++=，max min ||PQ PC r PQ PC r =+=-，.【详解】解：〔1〕依题意知，直线1l 的直角坐标方程为220x y ++= 直线2l 的直角坐标方程为3420x y +-= 联立方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 22x y =-⎧⇒⎨=⎩，所以点P 的坐标为()2,2-〔2〕依题意知，圆C 的普通方程为()2224x y ++= 所以圆心为()0,2C -，其半径2r =∴max ||2PQ PC r =+=∴min ||2PQ PC r =-=故2PQ ⎡⎤∈⎣⎦.【点睛】此题考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题． 23.函数()32f x x x =--+ 〔1〕求函数()f x 的值域；〔2〕假设[]2,1x ∃∈-，使()2f x x a ≥+成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕[5,5]-〔2〕(,2]a ∈-∞ 【解析】 【分析】(1)利用零点分段法可得()5,321,235,2x f x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪≤-⎩进而可得函数()f x 的值域；(2)[]2,1x ∃∈-，使()2f x x a ≥+成立即[]2,1x ∃∈-使得221a x x ≤--+成立，转求二次函数的最大值即可.【详解】解：〔1〕依题意可得：()5,321,235,2x f x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪≤-⎩当23x -<<时，5215x -<-+< 所以()f x 的值域为[]5,5-〔2〕因为21x -≤≤，所以()2f x x a ≥+，化为221x x a -+≥+得[]2,1x ∃∈-使得221a x x ≤--+成立令()221g x x x =--+，[]2,1x ∃∈-，得()()212g x x =-++所以，当1x =-时，()max 2g x =， 所以(],2a ∈-∞.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个根本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏应用．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 理
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 理时 长：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知表示虚数单位,则复数的i2i+1 模为（ ） A. 55 B. 1 C.5 D. 52.“m=43”是“直线024=-+-m my x 与圆422=+y x 相切”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．已知向量(3,2)a =-，)1,(-=y x b 且a ∥b ，若,x y 均为正数，则3x + 2y 的最小 值是（）A ．24B ．8 C.83 D.53 4已知等比数列｛｝的前n 项和为,则“”是“”的条件 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要5.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A.413B ．21313C ．926D ．31326 6. 已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.27．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为，则该球的表面积为（ ） A.225πB.25 C.425πD.50 8.已知函数5cos sin ()xx x x f x e-=，则函数()f x 的大致图像为（ ）A B C D9.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率等于（ ）A.3B.2C.5D.610、已知三棱锥S-ABC 中，∠SAB=∠ABC=2π,SB=4,SC=2,AB=2,BC=6, 则三棱锥S-ABC 的体积（ ）A.4B.6C.34D.6311. 已知1F ,2F 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第一象限内的点,延长2PF 交椭圆于点Q ,若PQ PF ⊥1,且PQ PF =1,则椭圆的离心率（ ） A.22-B.23-C.12-D.36-12.已知函数在R 上可导，其导函数为,若f(x)满足：（x-1）<0,f(2-x)=则下列判定一定正确的是（ ）A.f(1)<ef(0)B.ef(1)<f(2)C.()()3＜03f f e D.()()5＞05f f e 二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________．14..已知，则 ________15．已知正四棱柱的顶点在同一个球面O 上，且球O 的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．16.已知函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答..,26sin sin 322..)(4＜4-)1()125()(,,)(),1,(cos ),sin ),sin(2(,,,,AB ,17的面积求，）若（值域时，求当都有对任意的，向量的对边分别为中，角在ABC C B a x f x f x f R x n m x f x n A A x m c b a C B A C ∆=+=≤≤∈⋅==-=∆πππ18.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD 中,平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明:AB⊥PD;(2)若PA=PD=AB,∠APD=90°,设Q 为PB 中点,求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值. 19.甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班各出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432,乙队每人答对的概率都为23.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.(1)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.20.已知点A ，B 坐标分别为（0，1），（0，-1），M （m ，0）和N （2，n ）是两个动点，直线AN 和BM 相交于点P ，22=+n m 。
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理命题范围：集合，函数 ，导数，三角函数 ，向量，数列 考试时间：120分钟 试题分值：150分 一．选择题（每小题5分，共60分） 1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．给出下列三个结论：①“若2230x x --≠，则 1x ≠”为假命题；②命题02,:>∈∀xR x P ，则:P ⌝02,00≤∈∃x R x 使；③“()2k k Z πϕ=π+∈”是“函数() sin 2y x =+ϕ为偶函数”的充要条件。
其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．等差数列{}n a 中，n S 为n a 的前n 项和，208=a ，567=S ，则12a =（ ） A ．2B ．32C ．36D ．404 .已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=( ) （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）85．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）A ． 6天B ． 7天C ． 8天D ． 9天6.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2()2(),()(+=--=-x f x f x f x f ，且)0,1(-∈x 时，512)(+=x x f ，则=)20(log 2f （ ） A.1 B.54 C.-1 D.54-7.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值为（ ）A.2-B.23-C.34- D.1- 8．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）A ． 向左平移个单位长度 B ． 向左平移个单位长度C ． 向右平移个单位长度D ． 向右平移个单位长度9．已知函数，则函数的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为（）A ． 1B ． 2C ．D ． 11．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，且，则周长的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ． 12．定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题4分，共20分） 13.已知31)3cos(=-πα,则=-)62sin(πα． 14.如若向量a =（k,3）,b =(1,4),c =(2,1),已知2a -3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围为。
2021届陕西省渭南市高三下学期二模数学(理)试题(解析版)
2021届陕西省渭南市高三下学期二模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2650A x N x x =∈-+，{2,3,4}B =，则()Z AC B =（ ）A ．{}2,3B ．{}1,2,3,4C ．{}1,5D ．{}1,2,3,5【答案】C【分析】求出集合A 后可求()Z AC B .【详解】{}{}151,2,3,4,5A x N x =∈≤≤=，故(){}1,5Z A C B =，故选：C.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则()12z i ⋅+的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A【分析】根据欧拉公式求出z ，再由复数乘法运算即可求出.【详解】根据欧拉公式可得2cos sin22iz i i e πππ==+=，则()()12122z i i i i ⋅+=⋅+=-+. 故选：A.3．大数学家高斯在19岁时，解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题，并认为这是他最得意的作品之一.设α是圆内接正十七边形的一个内角，则（ ）A ．sin cos 0αα+>B ．sin 20α>C ．cos 20α>D ．tan 20α>【答案】C【分析】利用多边形的内角和公式求出α，再逐项判断即可得正确的选项. 【详解】正十七边形内角和为()17-215ππ=，故1517πα，因为34παπ<<，故0sin 2α<<，而1cos 2α-<<-，故sin cos 0αα+<，故A 错误. 因为3222παπ，故sin 20α<，cos 20α>，tan 20α<，故C 正确，BD 均错误. 故选：C.4．已知离散型随机变量12,ζζ的分布列为则下列说法一定正确的是（ ） A ．()()12E E ζζ> B ．()()12E E ζζ< C ．()()12D D ζζ> D ．()()12D D ζζ<【答案】D【分析】利用公式计算出两个随机变量的期望和方程后可得正确的选项. 【详解】()()1216512453,344E E ζζ+++++====，故()()12E E ζζ=， ()()2222222121325124592,9 2.544D E ζζ+⨯++++=-==-=，()()12D D ζζ<，故选：D.5．在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2620x x ++=的根，则1179a a a 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据315,a a 是方程2620x x ++=的根，利用韦达定理得到3153156,2a a a a +=-⋅=，再利用等比数列的性质求解.【详解】因为在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2620x x ++=的根， 所以3153156,2a a a a +=-⋅=，所以3150,0a a <<，由等比数列的性质得23960a a a ⋅=>， 所以90a <，所以1179a a a === 故选：B6．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为3011()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 故选C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.7．已知点P 为抛物线24x y =上任意一点，点A 是圆()22:65C x y +-=上任意一点，则PA 的最小值为（ ） A．6BC．D．【答案】B 【分析】设2,4x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，先求得点p 与圆心C 的距离的最小值，再减去半径即可. 【详解】设2,4x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，则222264x PC x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4223616x x =-+， ()221162016x =-+，当216x =时，min 25PC =， 所以min 2555PA =-= 故选：B8．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC SB ⊥B ．平面SCD ⊥平面SADC ．SA 和SC 与平面SBD 所成的角相等D ．异面直线AB 与SC 所成的角和异面直线CD 与SA 所成的角相等 【答案】D【分析】对A ，证明出AC ⊥平面SBD ，由线面垂直的性质可判断；对B ，证明出CD ⊂平面SCD 即可证明；对C ，设ACBD O =，连接SO ，易得CSO ∠即为SC 与平面SBD 所成的角，ASO ∠即为SA 与平面SBD 所成的角；对D ，可得异面直线AB 与SC 所成的角小于90，CD SA ⊥.【详解】底面为正方形，AC BD ∴⊥，SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，SD AC ∴⊥， SDBD D =，AC ∴⊥平面SBD ，又SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥，故A 正确；底面为正方形，CD AD ∴⊥，SD ⊥底面ABCD ，SD CD ∴⊥，SD AD D ⋂=，CD平面SAD ，CD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SAD ，故B 正确； 设ACBD O =，连接SO ，AC ⊥平面SBD ，CSO ∴∠即为SC 与平面SBD 所成的角，ASO ∠即为SA 与平面SBD 所成的角，易得SA SC =，O 为AC 中点，CSO ASO ∴∠=∠，故C 正确；//AB CD，∴SCD∠异面直线AB与SC所成的角，且90SCD∠<，又CD⊥平面SAD，SA⊂平面SAD，CD SA∴⊥，即异面直线CD与SA所成的角为90，故D错误.综上，只有D选项错误.故选：D.9．函数sinx xx xye e--=+的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项. 【详解】因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x x x x x x x xf x e e e e------+-==++得()()f x f x =--， 所以sin x xx xy e e --=+为奇函数，排除C ；在[0,)+∞，设()sin g x x x =-，()1cos 0g x x ='-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=，故sin 0x xx xy e e--=≥+在[0,)+∞上恒成立， 排除A 、D ， 故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．以“全民全运同心同行”为主题口号的第十四届全国运动会将于2021年9月15日至27日在陕西举行.组委会安排,,,,A B C D E 五名工作人员到我市三个比赛场馆做准备工作，每个场馆至少1人，则不同的安排方法有（ ） A ．150种 B ．210种C ．240种D ．300种【答案】A【分析】先将5人按照要求分成三组，再排序分到三个不同场馆，按照分步乘法计数原理计算即得结果.【详解】根据题意，分两步进行分析： 第一步：分成3组，每组至少一人.（1）按照一组3人，其他两组各1人，共有3510C =种情况； （2）按照一组1人，其他两组各2人，共有1225422215C C C A =种情况. 故共有101525+=种分组方案； 第二步：排序.将分好的三组进行全排列，分到三个不同的比赛场馆，共336A =种排法.故五名工作人员到三个比赛场馆，每个场馆至少1人，不同的安排方法共有256150⨯=种. 故选：A.【点睛】易错点点睛：处理平均分问题时，按照组合数进行分组后，要除以平均组数的全排列，以除掉重复的情况，这是常考的易错点.11．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是. A ．1 BC ．2D．【答案】C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴的一个顶点为D ，直线2x a =与C 交于A ，B 两点，若ABD △的垂心在C 的一条渐近线上，则C 的离心率为（ ） A．B ．2CD【答案】D【分析】由ABD △的垂心在C 的一条渐近线上，设垂心为(),H a b ，DH AB ⊥，再由直线2x a =与C 交于A ，B两点得()2A a，()2,B a ，化简整理可得22a b =，进而求得离心率.【详解】设ABD △的垂心为H ，则DH AB ⊥，不妨设()0,D b ，(),H a b，()2A a，()2,B a ，因为))1112AD BHb b kkaa=⨯=--，所以则22a b =，22212b e a=+=，e =故选：D ．【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、填空题13．已知向量满足3||||1,()2a b a a b ==⋅+=，则,a b =___________. 【答案】3π【分析】由已知可求得12a b ⋅=，即可求出cos ,a b ，得出所求.【详解】3||||1,()2a b a a b ==⋅+=， 232a ab ∴+⋅=，则12a b ⋅=，1cos ,2a b a b a b=∴⋅=⋅， [],0,a b π∈，,3a b π∴=.故答案为：3π.14．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若32413,1S S S a =+=-，则3a =___________. 【答案】2【分析】根据3243S S S =+列出式子求出公差即可求出3a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由3243S S S =+可得()111333246a d a d a d +=+++，即132d a =-，11a =-，32d ∴=， 312132a a d ∴=+=-+=.故答案为：2.15．下列四个命题是真命题的序号为___________. ①命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”. ②曲线3y x =在0x =处的切线方程是0y =.③函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数的充要条件是05a <<.④根据最小二乘法，由一组样本点(,i i x y )(其中1,2,...,300i =)求得的线性回归方程是y bx a =+，则至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+上.【答案】①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”，故正确.②因为3y x =，所以()()2300,0,0y x y y ''===，所以曲线在0x =处的切线方程是0y =，故正确；③若函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数，则05a a >⎧⎨≤⎩，解得05a <≤，所以函数为增函数的充要条件是05a <≤，故错误；④回归方程y bx a =+恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误； 故答案为：①②16．所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体､正六面体､正人面体､正十二面体､正二十面体.由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为___________. 【答案】3π【分析】如图所示，12345,,,,O O O O O 分别为所在正方形的中心，O 为正八面体内切球的球心，取23O O 的中点为E ，连接1O E ，过O 作1OK O E ⊥，垂足为K ，则OK 为内切球的半径，求出OK 的长度后可求内切球的表面积.【详解】如图所示，12345,,,,O O O O O 分别为所在正方形的中心，O 为正八面体内切球的球心. 由正方体和正八面体的对称性可得O 为正方形2345O O O O 的中心，且1O O ⊥平面2345O O O O ，取23O O 的中点为E ，连接1O E ，过O 作1OK O E ⊥，垂足为K ，则OK 为内切球的半径.因为正方体的棱长为1，故正方形2345O O O O，所以4OE =，而112OO =，故1OK ==， 故内切球的表面积为34363ππ⨯=， 故答案为：3π.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c bc a b c-+=+-. （1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值． 【答案】(1) 3A π=；(2)4【分析】（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A .（2）根据正弦定理求出a ，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）由a b c bc a b c-+=+-化简得222b c a bc +-=， 由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得1cos 22bc A bc == 又因为0A π<<， 所以3A π=. （2）由正弦定理得22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+--=， 当且仅当b c =时取等号．故11sin 32224S bc A =⨯⨯=（b c =时取等号）．即ABC 面积S 的最大值为334【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点.（1）求证：//BM 平面EFC ；（2）若DEAD =，求二面角M BD A --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）连接AC 交BD 于点N .连接MN ，通过//MN CE 和//BN EF 证明平面//BMN 平面CEF ，再利用面面平行的性质可得出；（2）以D 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BDM 和平面ABD 的一个法向量，利用向量关系即可求解.【详解】证明：（1）连接AC 交BD 于点N .连接MN . 因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点， 由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ，又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ， 易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ， 所以平面//BMN 平面CEF . 又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM 平面EFC ；（2）以D 为原点建系如图.则()()110,0,0,,0,,1,1,022D M B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,0,22DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,0)DB =，设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，则有00DM n DB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即022x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩.令1x =，得()1,1,1n =-- 由于DE ⊥平面ABD ，所以取平面ABD 的法向量为()0,0,1m = 则13cos ,||313m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯，所以26sin ,1cos ,3m n m n 〈〉=-〈〉=， 则二面角M BD A --的正弦值为63.【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19．已知函数()2ln f x x a x =-.（1）当2a =时，试判断函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若对任意的1(,)∈+∞x e，()2xf x x e a >-+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）在()0,1上单调递减；在(1,)+∞上单调递增；（2）()0,e .【分析】（1）由2a =得到22ln ()(0)f x x x x =->，再由()0f x '>， ()0f x '<求解即可；（2）将2()e xf x x a >-+恒成立，转化为对任意的1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，e 1ln x a x<+恒成立，令e ()1ln xg x x=+，用导数法求解其最小值即可.【详解】（1）当2a =时，22ln ()(0)f x x x x =->，因为()2212()2x f x x x x-'=-=. 所以()0f x '>得：1x >；令()0f x '<得：01x <<， 所以函数()f x 在()0,1上单调递减；在(1,)+∞上单调递增. （2）2()e x f x x a >-+即e (1ln )x a x >+，因为1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以1ln 0x +>，所以当0a >时，对任意的1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，e 1ln xa x<+恒成立.令e ()1ln xg x x=+，则211ln ()(1ln )x e x x g x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=+，令1()1ln h x x x=+-，显然函数()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由于()ln11011h =-=+， 所以当11x e<<时，()0h x <， ()0g x '∴>所以函数()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，所以()()1g x g e ≥=，所以0a e <<， 故a 的取值范围为()0,e .【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；20．中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元. （1）求系统需要维修的概率；（2）该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品所需要维修的费用，求ξ的期望；（3）为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作.问：p 满足什么条件时可以提高整个系统G 的正常工作概率？【答案】（1）727；（2）700；（3）21p <时，可以提高整个系统G 的正常工作概率.【分析】（1）由n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出系统需要维修的概率．（2）设X 为需要维修的系统的个数，则7~3,27X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且900X ξ=，由此能求出ξ的期望()E ξ．（3）当系统G 有5个元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统正常才正常工作，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，若前3个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统G 均能正常工作，由此求出新增两个元件后系统G 能正常一作的概率，从能求出p 满足什么条件时可以提高整个系统G 的正常工作概率．【详解】解：（1）系统需要维修的概率为32133121733327C C ⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）设X 为需要维修的系统的个数，则7~3,27X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且900X ξ=， 所以()()7900900370027E E X ξ==⨯⨯=． （3）当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统G 才正常工作①若前3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为21223212339C p p ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭； ②若2个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为()()11223221412339C C p p p p p ⎡⎤⋅⋅-+=-⎣⎦； ③若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为33328327C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭； 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()22224882829927927p p p p p -+-+=+令28287192727p p -+>-，解得22p <<，即21p <时，可以提高整个系统G 的正常工作概率.21．已知点()2,1P -是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，且E 的离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）点A 、B 在椭圆E 上，PD AB ⊥，D 为垂足，若直线PA 和直线PB 斜率之积为16-.求证：存在定点N ，使得ND 为定值. 【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，由此可得出椭圆E 的标准方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，利用已知条件求出直线AB 所过定点M 的坐标，取PM 的中点N ，利用直角三角形的几何性质可得出结果.【详解】（1）由题设可得224112a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆E 的方程为22163x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+.联立22163x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()()222214230k x kmx m +++-=， 由()()()2222221682138630k m k m m k ∆=-+-=--->，得()226 3.*m k <+设()11,A x y 、()22,B x y ，则有122421km x x k +=-+，()21222321m x x k -=+，因为()2,1P -，所以()()()()2212121212121211112224PA PBk x x k m x x m y y k k x x x x x x +-++---⋅=⨯=+++++()()()()222222222222234114211212188226234242121m km k k m m k m m k k k km m m km k k -⎛⎫⨯+--+- ⎪-+-+++⎝⎭===--+--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭， 则22422310k km m m +-+-=，所以()()212210k m k m -++-=， 由于P ∉直线AB ，所以210k m -+≠，因此2210k m +-=即12m k =-（满足()*式），故直线AB 的方程可化为()112y k x =-+，所以直线AB 恒过定点11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭；当直线AB 的斜率不存在时，可得其方程为1x =，不妨设1,2A ⎛ ⎝⎭、1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，显然有11196PA PB k k ⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅==-. 因此直线AB 恒过定点11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为PD AB ⊥，所以取N 为PM 的中点，即13,24N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，有11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，12ND PM ==即存在定点N ，使ND 为定值.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 10.ρρθ-+=（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值. 【答案】（1）y =，22610x y x +-+=；（2）3.【分析】（1）消参即可得出直线方程，222,cos x y x ρρθ+==即可得出直角坐标方程. （2）联立极坐标方程，由韦达定理可得31A B A B ρρρρ+==，，进而可得结果.【详解】（1）由12x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l的普通方程为y =，将222,cos x y x ρρθ+==代入26cos 10ρρθ-+=中， 得曲线C 的直角坐标方程为22610x y x +-+=． （2）直线l 的极坐标方程是()3θρπ=∈R ，代入曲线C 的极坐标方程得2310.ρρ-+= 设,A B 两点对应的极径分别为,,A B ρρ则31A B A B ρρρρ+==，， 所以11|||| 3.||||||||A BA BOB OA OA OB OA OB ρρρρ+++===⋅ 23．已知函数()42 1f x x x =---的最大值为m . （1）求m ；（2）若,,a b c 均为正数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++.【答案】（1）3m =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值的几何意义，分1x ≤，14x <<，4x ≥三种情况求解；（2）由（1）知，3a b c ++=，然后由222a b c a b c c a b+++++，利用基本不等式证明；【详解】（1）当1x ≤时，()23f x x =+≤， 当14x <<时，()()366,3f x x =-+∈-； 当4x ≥时，()26f x x =---.综上所述，函数()y f x =的最大值为3m = （2）由（1）知，3a b c ++=.由基本不等式得222a b c a b c c a b+++++，222222a b c c a b a b c c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当a b c ==时，等号成立，所以2223b c a a b c a b c++++=.【点睛】易错点睛：利用基本不等式证明或求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方。
陕西省渭南市2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题
一、单选题1. 已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，设点，分别为、的内心，若，则（ ）A．B．C．D．2.如图是周期为的三角函数的图像的一部分，那么可以写成（）A．B．C．D．3. 若集合A ={x |0≤x ≤2},B ={x |x 2>1},则A ∪B =（ ）A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |x >0或x <﹣1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x ≥0或x <﹣1}4. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．向量在向量上的投影向量是C．D ．与向量方向相同的单位向量是5. 设M 为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M 等于（ ）A ．{长江，黄河}B ． {长江，黑龙江}C ． {长江，珠江}D ． {长江，黄河，黑龙江，珠江}6. 地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚､耐压､耐磨､防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，则（）A．B．C．D．7. 已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 下列不等式正确的是（ ）A．B．陕西省渭南市2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题陕西省渭南市2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题二、多选题三、填空题C．D．9. 已知函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，若对于任意的，则值可以为（）A．B．C．D．10. 设为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，过作与轴平行的直线，和过点且与垂直的直线交于点，与轴交于点，则（ ）A ．为定值B ．当直线的斜率为时，的面积为其中为坐标原点C．若为的准线上任意一点，则直线，，的斜率成等差数列D．点到直线的距离为11. 根据小红家2022年全年用电量（单位：度）和该月的用电量占年总用电量的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（）A ．2022年第二季度的用电量为260度B ．2022年下半年的总用电量为500度C ．2022年11月的用电量为100度D ．2022年12个月的月用电量的中位数为80度12.如图，，，是全等的等腰直角三角形，，处为直角顶点，且O ，，，四点共线.，若点，，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（）A．B．C．D．四、解答题13. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．14. 设是曲线上的动点，且.则的取值范围是__________.15.已知，分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于A ，C两点，直线与圆相交于B ，D两点，若四边形的面积为，则的离心率为________.16.在，角，，的对边分别为，，.且.(1)求B ；(2)若点D 在AC 边上，满足，且，，求BC 边的长度.17.已知数列满足，．(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)设的前项和为，，证明：数列的前n 项和小于．18.如图，在正三棱柱中，D 为棱上的点，E ，F ，G分别为的中点，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)若平面，求二面角的余弦值．19. 某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；(2)记分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出.20. 已知拋物线和圆．(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．21. 已知公差大于0的等差数列满足，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.。
陕西省渭南市2021届高三下学期二模理科数学试题
②曲线 在 处的切线方程是 .
③函数 为增函数的充要条件是 .
④根据最小二乘法，由一组样本点( )(其中 )求得的线性回归方程是 ，则至少有一个样本点落在回归直线 上.
16．所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体､正六面体､正人面体､正十二面体､正二十面体.由棱长为 的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为___________.
如图所示， 分别为所在正方形的中心， 为正八面体内切球的球心，取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，则 为内切球的半径，求出 的长度后可求内切球的表面积.
【详解】
如图所示， 分别为所在正方形的中心， 为正八面体内切球的球心.
由正方体和正八面体的对称性可得 为正方形 的中心，
且 平面 ，取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，
故选C.
【点睛】
指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和 作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.
7．B
【分析】
设 ，先求得点p与圆心C的距离的最小值，再减去半径即可.
【详解】
设 ，
则 ，
，
，
当 时， ，
所以
故选：B
8．D
【分析】
对A，证明出 平面 ，由线面垂直的性质可判断；对B，证明出 平面 即可证明；对C，设 ，连接 ，易得 即为 与平面 所成的角， 即为 与平面 所成的角；对D，可得异面直线 与 所成的角小于 ， .
陕西省渭南市2021届高三下学期二模理科数学试题
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 的值.
23．已知函数 的最大值为 .
（1）求 ；
（2）若 均为正数，且满足 ，求证： .
参考答案
1．C
【分析】
求出集合 后可求 .
【详解】
，故 ，
故选：C.
2．A
【分析】
根据欧拉公式求出 ，再由复数乘法运算即可求出.
（1）求系统需要维修的概率；
（2）该电子产品共由3个系统 组成，设 为电子产品所需要维修的费用，求 的期望；
（3）为提高系统 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为 ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作.问： 满足什么条件时可以提高整个系统 的正常工作概率？
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不【分析】
由已知可求得 ，即可求出 ，得出所求.
【详解】
，
，则 ，
，
， .
【详解】
根据欧拉公式可得 ，
则 .
故选：A.
3．C
【分析】
利用多边形的内角和公式求出 ，再逐项判断即可得正确的选项.
【详解】
正十七边形内角和为 ，故 ，
因为 ，故 ，而 ，故 ，
故A错误.
因为 ，故 ， ， ，故C正确，BD均错误.
故选：C.
4．D
【分析】
利用公式计算出两个随机变量的期望和方程后可得正确的选项.
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
陕西省渭南市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
陕西省渭南市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）.A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B 【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.2．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C.本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 4．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题．【详解】设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D 【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．5．已知函数f(x)＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A．12⎛⎝ B．12⎡⎢⎣C．1,2e ⎛ ⎝⎦D．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由已知可将问题转化为：y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y ＝kx －12的下方，即可求得：k ＞12；再求得直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，k＝e；结合图象即可得解. 【详解】若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根， 则y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方． ∴k×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝1ln 2m m+＝1m，∴m e 此时，k ＝1m ＝e e，f(x)的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件， 故所求k 的取值范围是12e ⎛ ⎝⎭， 故选D.. 【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．6．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.7．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.8．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 【解析】 【分析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 9．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.10．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.11．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。