二面角的有关概念面面垂直判定PPT课件
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8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
高中数学：面面垂直判定课件共20张PPT
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
两平面垂直
1、定义：两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 两个半平面重合：二面A角是 0o； ② 两个半平面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． B
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
2、判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
D
A
C
B
线面垂直
面面垂直
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
α β
αβ
l
线线垂直 线面垂直
二面角和面面垂直.ppt
平面PAC 平面PBC.
P C A
证明：设⊙O所在的平面为 α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以PA ⊥BC 因为点C是圆周上不同于A，B的任意一 点，AB是⊙O的直径
O
B 所以，∠BCA是直角，即BC ⊥AC
又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC ⊥平面PBC。
又因为PA与AC是ΔPAC所在平面内的两条相交直线， 所以，BC ⊥平面PAC。
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那
么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB 求证：α⊥β.
α A B E D
α
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
C
β
∵AB⊥β，CD
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∪ ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是 直二面角，∴α⊥β.
为判定直线在平面 内提供了理论依据
例1 如图，已知平面 ⊥ 平面 ， ∩ ＝l，在 l 上取
线段 AB＝4，AC，BD 分别在平面 和平面 内，并且
垂直于它们的交线 AB，并且 AC＝3，BD＝12． 求 CD 的长．
解：联接 BC，CD．因为 AC⊥ AB ， C
B D l
D C D
E A B
F
C
A
B
D1 A1
（1）
C1
B1 A1
D1
（2）
O H
C1
G B1
步骤： 一“作”二“证”三“算”
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 面角。这条直线叫做二面 1、根据定义作出来—— 定义法 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂直作出来 的大小与 其顶点 做二面角的面。 ——垂面法 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或其逆定理作出来 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 ——三垂线法 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 小来度量 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
高中数学——面面垂直的性质 PPT课件 图文
[两个平面垂直的性质定理2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
人教版高中数学第二章2,4面面垂直的判定和性质(共25张PPT)教育课件
A
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
∴ CD⊥AE .
∴ AE⊥平面PCD. AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
C B
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
， ，
n P
m ，n ，（面面垂直的性质定理）
又 c， m c，n c，
c . 又 a， b，
b c，c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直 于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （1）求证：平面ACE⊥平面PCD； （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
E
PO 3 AO 3a ,
∴ ∠PBO = 45° 故 PB与底面AC所成的角为45°.
D
C
OF
A
B
作业
1. 教材习题2.3A组1、2、3、6；B组1、2、4 2.《导学精练》蓝皮+活页2.3.3；
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
二面角及面面垂直(13)精选教学PPT课件
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
个平面内垂直于它们交线的直线垂
A1
β
直于另一个平面。
α
按此继续
布置作业：
P163 练习B ：3、4
按此继续
本节课到此结束
完
2000年4月
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨， 而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！ 也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影； 也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚； 也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。
她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。
她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。
个平面内垂直于它们交线的直线垂
A1
β
直于另一个平面。
α
按此继续
布置作业：
P163 练习B ：3、4
按此继续
本节课到此结束
完
2000年4月
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨， 而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！ 也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影； 也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚； 也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。
她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。
她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。
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β
棱
面
l
α
2021/3/8
9
知识探究（二）：二面角的平面角
思考1:把门打开，门和墙构成二面 角；把书打开，相邻两页书也构成 二面角.随着打开的程度不同，可得 到不同的二面角，这些二面角的区 别在哪里？
2021/3/8
10
思考2:我们设想用一个平面角来反 映二面角的两个半平面的相对倾斜 度，那么平面角的顶点应选在何处？ 角的两边在如何分布？
O
2021/3/8
B
A
18
作业: P73习题2.3 A组：4，7.
2021/3/8
19
2.3.2 平面与平面垂直的判定
第二课时 平面与平面垂直
2021/3/8
20
问题提出
1.二面角与二面角的平面角分 别是什么含义？二面角的平面角有 哪几个基本特征？
(1)顶点在棱上；
(2)边在两个面内；
2021/3/8
2021/3/8
公路
3
2021/3/8
4
知识探究（一）：二面角的有关概念
思考1:直线上的一点将直线分割成 两部分，每一部分都叫做射线. 平 面上的一条直线将平面分割成两部 分，每一部分叫什么名称？
射线 射线
半平面 半平面
2021/3/8
5
思考2:将一条直线沿直线上一点折起， 得到的平面图形是一个角，将一个平 面沿平面上的一条直线折起，得到的 空间图形称为二面角，你能画一个二 面角的直观图吗？
2021/3/8
6
思考3:在平面几何中，我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角”，按照这种定义 方式，二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组
成2021的/3/8 图形叫做二面角
7
思考4:下列两个二面角在摆放上有 什么不同？
β
l
α
l
α
β
2021/3/8
8
思考5:一个二面角是由一条直线和 两个半平面组成，其中直线l叫做二 面角的棱，两个半平面α、β都叫 做二面角的面，二面角通常记作 “二面角α-l-β”.那么两个相交平 面共组成几个二面角？
β
2021/3/8
l
α
11
思考3:在二面角α-l-β的棱上取一 点O，过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA，OB，能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
2021/3/8
12
思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一 确定？这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关？
一个是直二面角，那么其他三个二
面角的大小如何？
2021/3/8
23
思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角，则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中，有哪些实例反映出两个平面垂 直？
2021/3/8
24
思考4:在图形上，符号上怎样表示 两个平面互相垂直？
β
β
α
α
2021/3/8
2.3.2 平面与平面垂直的判定
第一课时 二面角的有关概念
2021/3/8
1
问题提出
1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.
2021/3/8
2
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？
29
思考5:结合图形，两个平面垂直的 判定定理用符号语言怎样表述？
β
l α
l ,l
2021/3/8
30
思考6:过一点P可以作多少个平面与 平面α垂直？过一条直线l可以作多 少个平面与平面α垂直？
P l
α
l α
2021/3/8
31
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB 是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上 不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
l
αOBFra bibliotek27思考3：在二面角α-l-β中，直线m 在平面β内，如果m⊥α，那么二面 角α-l-β是直二面角吗？
2021/3/8
β m
l
α
a
28
思考4:根据上述分析，可以得到两 个平面互相垂直的判定定理，用文 字语言如何表述这个定理？
如果一个平面经过另一个平面的垂
线202，1/3/8 则这两个平面垂直.
25
思考5:如果平面α⊥平面β，那么 平面α内的任一条直线都与平面β 垂直吗？
α
β
2021/3/8
26
知识探究（二）：两个平面垂直的判定
思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题？
思考2:如图，∠AOB为直二面角 Α-l-β的平面角，那么直线AO与 平面α的位置关系如何？
β A
2021/3/8
少度，就说二面角是多少度.平面角
是直角的二面角叫做直二面角. 当
二面角的两个面重合时，二面角的
大小为多少度？当二面角的两个面
合成一个平面时，二面角的大小为
多少度？一般地，二面角的平面角
的取值范围如何？ [0 ,180 ]
2021/3/8
15
思考7:如图，过二面角α-l-β一个 面内一点A，作另一个面的垂线，垂 足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O， 连结AO，则∠AOB是二面角的平面角 吗？为什么？
(3)边垂直于棱.
21
2.直线与直线，直线与平面可以 垂直，平面与平面是否存在垂直关 系？如何认识两个平面垂直？我们 从理论上作些探讨.
2021/3/8
22
知识探究（一）：两个平面垂直的概念
思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的？直线与平面垂直是怎样定义 的？
思考2:什么叫直二面角？如果两个
相交平面所成的四个二面角中，有
β
B
O
lA
2021/3/8
α β
B
lO
A
α
13
思考5:上面所作的角叫做二面角的 平面角，你能给二面角的平面角下 个定义吗？ β
B
lO
Aα
以二面角的棱上任意一点为顶点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所成的角叫做二
面角的平面角. 2021/3/8
14
思考6:二面角的大小可以用它的平
面角来度量，二面角的平面角是多
P
2021/3/8
C A
O
B
32
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面
β A
2021/3/8
α
l
O
B
16
思考8:如图，平面γ垂直于二面角 的棱l，分别与面α、β相交于OA、 OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？ 为什么？
l
O
B
A
2021/3/8
α
α
γ
ββ
17
理论迁移
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1
D1
B1
A1
C
D